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7.3　三角函数的图象与性质
7.3.1　三角函数的周期性
课标要求
素养要求
1.理解周期函数，最小正周期的定义.2.会求正、余弦函数和正切函数的周期.3.能够判断实际问题中的周期.
通过周期函数的定义和周期函数在实际中的应用，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
新知探究
丹麦这个处在安徒生童话中的国家，如同安徒生的童话描写一般，有很大的风，也有很多的风，自然也有很多很大的风车，而现在丹麦又有了世界上最大的风力发电机组，这个维斯塔斯和三菱合作的大风车V164－8.0
MW，全部高度有220米，风车风轮的直径也达到了世界最大的风力发电机组164米，扫掠面积21
000平米，在风速11米/秒时，转速在4.8～12.1
rpm之间，电力输出可达到每小时最大8百万瓦，这个风力发电组的电能能满足7
500个家庭的电力需求.
风力发电机就是靠它的叶片周而复始的转动给我们带来了巨大的收益.这种周而复始的转动就是周期现象.
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问题　(1)你能用数学语言刻画函数的周期性吗？如果函数y＝f(x)的周期是T，那么函数y＝f(ωx)(ω>0)的周期是多少？
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos
(ωx＋φ)的周期与什么量有关？其计算周期的公式是什么？
提示　(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，则f(x)为周期函数，y＝f(ωx)的周期为.
(2)与ω有关，T＝
.
1.周期函数
没有特别说明的情况下，周期均指函数的最小正周期
条件
①函数f(x)的定义域为A，②如果存在一个非零常数T，③对于任意的x∈A，都有x＋T∈A，且f(x＋T)＝f(x)
结论
函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期
2.最小正周期
条件
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数
结论
这个最小的正数叫做f(x)
的最小正周期
3.正弦、余弦、正切函数的周期性
函数
y＝Asin(ωx＋φ)
y＝Acos(ωx＋φ)
y＝Atan(ωx＋φ)
周期
T＝
T＝
T＝
条件
A≠0，ω>0，A、ω、φ为常数
拓展深化
[微判断]
1.任何周期函数都有最小正周期.(×)
提示　常数函数f(x)＝c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期.
2.若存在正数T，使f(x＋T)＝－f(x)，则函数f(x)的周期为2T.(√)
3.y＝|sin
x|是周期函数.(√)
4.当x＝时，sin＝sin
x，则一定是函数y＝sin
x的周期.(×)
提示　根据周期函数的定义，存在T≠0，对于定义域内的任一个x，都有f(x＋T)＝f(x)，特殊的不行.
[微训练]
1.函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　)
A.6π
B.3π
C.2π
D.π
解析　T＝＝6π，故选A.
答案　A
2.函数y＝sin是(　　)
A.周期为π的奇函数
B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数
D.周期为2π的偶函数
解析　因为y＝sin＝cos
x，所以该函数是周期为2π的偶函数.
答案　D
3.设k∈R＋，若函数f(x)＝sin的最小正周期为，则k＝________________.
解析　T＝＝，∴k＝3.
答案　3
[微思考]
1.一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？
提示　周期有无数多个；周期函数的图象循环重复出现.
2.若函数f(x)的周期为T，则kT，k∈N
也是f(x)的周期吗？为什么？
提示　是，利用周期函数的定义，f(x)＝f(x＋T)＝f(x＋2T)＝…＝f(x＋kT).
题型一　求三角函数的周期
【例1】　求下列函数的周期：
(1)f(x)＝2sin，x∈R；
(2)f(x)＝1－2cos，x∈R；
(3)f(x)＝|sin
x|，x∈R.
解　(1)法一　设f(x)的周期为T，
则2sin＝2sin，
即2sin＝2sin对任意的x均成立.
即2sin＝2sin
u，其中u＝x＋.
∵y＝2sin
u的周期为2π，∴＝2π，
∴T＝4π，
∴f(x)＝2sin的周期为4π.
法二　∵T＝＝4π.
∴f(x)＝2sin的周期为4π.
(2)f(x)＝1－2cos的周期为T＝＝4.
(3)利用周期函数的定义，
f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|－sin
x|＝|sin
x|＝f(x).
∴f(x)＝|sin
x|的周期为π.
规律方法　求三角函数周期的方法
(1)定义法，即利用周期函数的定义求解.
(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.
【训练1】　在函数①y＝cos|x|，②y＝|cos
x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的函数有(　　)
A.①③
B.①④
C.③④
D.②③
解析　①y＝cos|x|，周期为2π；②y＝|cos
x|，周期为π，正确；③y＝cos，周期为π，正确；④y＝tan周期为；故选D.
答案　D
题型二　周期函数在实际中的应用
【例2】　若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性地变化，如图所示，请回答下列问题：
(1)单摆运动的周期是多少？
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3)当t＝11
s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？
解　(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4
s.
(2)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动.
(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11
s相对于静止位置的位移是0
cm.
规律方法　根据函数关系对应的图象，首先确定函数的周期，然后再利用周期解决问题.
【训练2】　若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示.
(1)求该函数的周期；
(2)求t＝10
s时钟摆的高度.
解　(1)由图象可知，该函数的周期为1.5
s；
(2)设h＝f(t)，由函数f(t)的周期为1.5
s，可知f(10)＝f(1＋6×1.5)＝f(1)＝20，
∴t＝10
s时钟摆的高度为20
mm.
题型三　三角函数周期性的综合应用
【例3】　定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin
x，则f＝(　　)
A.－
B.
C.－
D.
解析　f＝f＝f＝f＝f＝f＝sin＝.
答案　D
【迁移1】　(变换条件)若将例3中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？
解　f＝f＝f＝f＝f＝－f＝－sin＝－.
【迁移2】　(变换结论)若将例3条件不变，求f＋f的值.
解　f＝f＝f＝sin＝，
f＝f＝f＝f＝f＝sin＝，
所以f＋f＝＋＝.
规律方法　当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.
【训练3】　设f(x)是周期为2的奇函数，当0x＋x，则1解析　当1因为当0x＋x，
所以f(2－x)＝sin(2－x)＋2－x.
因为f(x)是周期为2的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－f(2－x)＝－sin(2－x)＋x－2＝sin(x－2)＋x－2.
答案　sin(x－2)＋x－2
一、素养落地
1.通过本节课的学习，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象素养.
2.求函数的最小正周期的常用方法：
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.
(2)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝.
二、素养训练
1.函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　)
A.4π
B.2π
C.π
D.
解析　由题意知T＝＝π，故选C.
答案　C
2.已知函数f(x)＝sin－1，则下列命题正确的是(　　)
A.f(x)是周期为1的奇函数
B.f(x)是周期为2的偶函数
C.f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D.f(x)是周期为2的非奇非偶函数
解析　f(x)＝sin－1＝－cos
πx－1，故选B.
答案　B
3.函数f(x)＝sin
ωx和函数g(x)＝tan
ωx(ω>0)的最小正周期之和为π，则ω＝________.
解析　函数f(x)＝sin
ωx，周期T1＝，函数g(x)＝tan
ωx，周期T2＝，
∴T1＋T2＝＝π，∴ω＝3.
答案　3
4.函数f(x)＝3cos(ω>0)的最小正周期为，则f(π)＝________.
解析　由已知＝，得ω＝3，
所以f(x)＝3cos，
所以f(π)＝3cos＝3cos＝3cos＝－.
答案　－
5.已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin
x，求当x∈时，f(x)的解析式.
解　x∈时，3π－x∈，
∵x∈时，f(x)＝1－sin
x，
∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin
x.
又∵f(x)是以π为周期的偶函数，
∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝1－sin
x，x∈.
基础达标
一、选择题
1.若f(x)＝tan(ωx)(ω>0)的周期为1，则f的值为(　　)
A.－
B.－
C.
D.
解析　依题意T＝＝1，ω＝π，f(x)＝tan(πx)，所以f＝tan＝.故选D.
答案　D
2.函数f(x)＝tan与函数g(x)＝sin的最小正周期相同，则ω＝(　　)
A.±1
B.1
C.±2
D.2
解析　因为函数f(x)＝tan与函数g(x)＝sin的最小正周期相同，因此＝，∴ω＝±1，选A.
答案　A
3.设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
解析　由f(－x)＝f(x)，
则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称.
由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2，故选B.
答案　B
4.下列函数中最小正周期为π的奇函数是(　　)
A.y＝cos
2x
B.y＝sin
2x
C.y＝sin
D.y＝tan
2x
解析　分析可知，选项A，C皆为偶函数，对于D：T＝，对于B：T＝＝π，故选B.
答案　B
5.设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f的值为(　　)
A.1
B.
C.0
D.－
解析　f＝f＝f＝sin＝.
答案　B
二、填空题
6.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin
x，则f的值为________.
解析　f＝f＝f＝f＝sin＝.
答案　
7.已知函数y＝sin(x>0)的最小正周期为3π，则函数y＝3cos[(2A－1)x－π]的最小正周期为________.
解析　由题意知2π·A＝3π，
∴A＝，∴2A－1＝2.
∴y＝3cos[(2A－1)x－π]＝3cos(2x－π)的周期为T＝π.
答案　π
8.若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1，4)，则正整数ω的最大值为________.
解析　∵T＝，1<<4，ω>0，则<ω<2π.
∴正整数ω的最大值为6.
答案　6
三、解答题
9.设函数f(x)＝3sin，ω>0且最小正周期为.
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知f＝，求sin
α的值.
解　(1)因为f(x)＝3sin且最小正周期为，所以＝，即ω＝4，所以f(x)＝3sin.
(2)∵f(x)＝3sin，∴f＝
3sin＝3cos
α＝，∴cos
α＝，∴sin
α＝±.
10.已知弹簧振子对平衡位置的位移x(单位：cm)与时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示.
(1)求该函数的周期；
(2)求t＝10.5
s时弹簧振子对平衡位置的位移.
解　(1)由图象可知，该函数的周期为4
s.
(2)设位移与时间的函数关系为x＝f(t)，
由T＝4，所以f(10.5)＝f(2.5＋2×4)＝f(2.5)＝－8(cm).
故t＝10.5
s时弹簧振子相对平衡位置的位移为－8
cm.
能力提升
11.干支纪年历法(农历)，是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存.黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法.干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录.甲、乙、丙、丁、戊、己
、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.受此周期律的启发，可以求得函数f(x)＝sin＋cos
3x的最小正周期为(　　)
A.15π
B.12π
C.6π
D.4π
解析　由天干为10个，地支为12个，其周期为其公倍数：60，故可得y＝sin的周期T1＝3π，y＝cos
3x的周期T2＝π，T1、T2的最小公倍数为6π，故f(x)的最小正周期为6π.故选C.
答案　C
12.已知函数f(x)＝cos.
(1)判断f的奇偶性；
(2)若函数g(x)的最小正周期是2π，且当x∈时，g(x)＝f，求关于x的方程g(x)＝的解集.
解　(1)f＝cos
＝cos＝－sin
2x.
令F(x)＝f＝－sin
2x，
由于F(－x)＝－sin(－2x)＝sin
2x＝－F(x)，
所以F(x)是奇函数，即f是奇函数.
(2)当
x∈时，g(x)＝f＝cos.
因为x＋∈，所以由g(x)＝，解得x＋＝－或x＋＝，
即x＝－或－.又因为g(x)的最小正周期为2π，
所以g(x)＝的解集为
.
创新猜想
13.(多选题)下列函数中最小正周期为π，且为偶函数的有(　　)
A.y＝tan
B.y＝sin
C.y＝sin|2x|
D.y＝|sin
x|
解析　A中，y＝tan，函数周期为π，非奇非偶函数，排除；
B中，y＝sin＝－cos
2x，函数周期为π，偶函数，满足；
C中，y＝sin
|2x|不是周期函数，排除；
D中，y＝|sin
x|，函数周期为π，偶函数，满足；故选BD.
答案　BD
14.(多空题)若f(x)＝sinx，则f(－2)＝________；f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
025)＝________.
解析　由f(x)＝sinx，得f(－2)＝sin＝－；函数f(x)＝sinx的周期为＝6，
∵f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝sin＋sin＋sin
π＋sin＋sin＋sin
2π＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
025)＝337×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝.
答案　－　(共34张PPT)
7.3　三角函数的图象与性质
7.3.1　三角函数的周期性
课标要求
素养要求
1.理解周期函数，最小正周期的定义.
2.会求正、余弦函数和正切函数的周期.
3.能够判断实际问题中的周期.
通过周期函数的定义和周期函数在实际中的应用，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
新知探究
丹麦这个处在安徒生童话中的国家，如同安徒生的童话描写一般，有很大的风，也有很多的风，自然也有很多很大的风车，而现在丹麦又有了世界上最大的风力发电机组，这个维斯塔斯和三菱合作的大风车V164－8.0
MW，全部高度有220米，风车风轮的直径也达到了世界最大的风力发电机组164米，扫掠面积21
000平米，在风速11米/秒时，转速在4.8～12.1
rpm之间，电力输出可达到每小时最大8百万瓦，这个风力发电组的电能能满足7
500个家庭的电力需求.
风力发电机就是靠它的叶片周而复始的转动给我们带来了巨大的收益.这种周而复始的转动就是周期现象.
问题　(1)你能用数学语言刻画函数的周期性吗？如果函数y＝f(x)的周期是T，那么函数y＝f(ωx)(ω>0)的周期是多少？
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos
(ωx＋φ)的周期与什么量有关？其计算周期的公式是什么？
1.周期函数
没有特别说明的情况下，周期均指函数的最小正周期
条件
①函数f(x)的定义域为A，②如果存在一个______常数T，
③对于______的x∈A，都有x＋T∈A，且__________＝f(x)
结论
函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的______
非零
任意
f(x＋T)
周期
2.最小正周期
条件
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的______
结论
这个最小的正数叫做f(x)
的____________
正数
最小正周期
3.正弦、余弦、正切函数的周期性
拓展深化
[微判断]
1.任何周期函数都有最小正周期.(
)
提示　常数函数f(x)＝c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期.
2.若存在正数T，使f(x＋T)＝－f(x)，则函数f(x)的周期为2T.(
)
3.y＝|sin
x|是周期函数.(
)
提示　根据周期函数的定义，存在T≠0，对于定义域内的任一个x，都有f(x＋T)＝f(x)，特殊的不行.
×
√
√
×
[微训练]
A.6π
B.3π
C.2π
D.π
答案　A
A.周期为π的奇函数
B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数
D.周期为2π的偶函数
答案　D
答案　3
[微思考]
1.一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？
提示　周期有无数多个；周期函数的图象循环重复出现.
2.若函数f(x)的周期为T，则kT，k∈N
也是f(x)的周期吗？为什么？
提示　是，利用周期函数的定义，f(x)＝f(x＋T)＝f(x＋2T)＝…＝f(x＋kT).
题型一　求三角函数的周期
【例1】　求下列函数的周期：
解　(1)法一　设f(x)的周期为T，
∴T＝4π，
(3)利用周期函数的定义，
f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|－sin
x|＝|sin
x|＝f(x).
∴f(x)＝|sin
x|的周期为π.
答案　D
题型二　周期函数在实际中的应用
【例2】　若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性地变化，如图所示，请回答下列问题：
(1)单摆运动的周期是多少？
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3)当t＝11
s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？
解　(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4
s.
(2)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动.
(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11
s相对于静止位置的位移是0
cm.
规律方法　根据函数关系对应的图象，首先确定函数的周期，然后再利用周期解决问题.
【训练2】　若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示.
(1)求该函数的周期；
(2)求t＝10
s时钟摆的高度.
解　(1)由图象可知，该函数的周期为1.5
s；
(2)设h＝f(t)，由函数f(t)的周期为1.5
s，可知f(10)＝f(1＋6×1.5)＝f(1)＝20，
∴t＝10
s时钟摆的高度为20
mm.
答案　D
【迁移1】　(变换条件)若将例3中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？
规律方法　当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.
【训练3】　设f(x)是周期为2的奇函数，当0x＋x，则1解析　当1因为当0x＋x，
所以f(2－x)＝sin(2－x)＋2－x.
因为f(x)是周期为2的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－f(2－x)＝－sin(2－x)＋x－2＝sin(x－2)＋x－2.
答案　sin(x－2)＋x－2
一、素养落地
二、素养训练
答案　C
A.f(x)是周期为1的奇函数
B.f(x)是周期为2的偶函数
C.f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D.f(x)是周期为2的非奇非偶函数
答案　B
3.函数f(x)＝sin
ωx和函数g(x)＝tan
ωx(ω>0)的最小正周期之和为π，则ω＝________.
答案　3
∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin
x.
又∵f(x)是以π为周期的偶函数，
∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，

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