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第九讲
一次函数与反比例函数之专题突破培优辅导
在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现，这类试题不仅能考查两个函数的基本性质，而且能考查同学们综合分析问题的能力。现以以下典型例题为例，浅谈这类问题的解法，供参考。
典型例题
题型一：求同一坐标系下的图象
【例1】
已知函数与在同一直角坐标系中的图象大致如图1，则下列结论正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
【变式题组】
1、在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（
）
A.
B.
C.
D.
2、当k＞0时,反比例函数和一次函数的图象大致是(
)
题型二：一次函数与反比例函数结合求解析式，自变量的取值范围，面积等
【例2】如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．www-2-1-cnjy-com
（1）求一次函数、反比例函数的关系式；
（2）求△AOB的面积.
（3）当自变量x满足什么条件时，y1>y2
.（直接写出答案）
（4）将反比例函数的图象向右平移n（n＞0）个单位，得到的新图象经过点（3，-4），求对应的函数关系式y3．（直接写出答案）2-1-c-n-j-y
【变式题组】
1、在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于A(a，－2)，B两点．
(1)求反比例函数表达式和点B的坐标；
(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连结PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．
题型三：与最小（大）值有关的问题
【例3】一次函数y＝mx＋5的图象与反比例函数y＝(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B(4，1)两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求△OAM的面积S；
(3)在y轴上求一点P，使PA＋PB最小．
【变式题组】
1．如图，直线y＝2x＋3与y轴交于A点，与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为(1，0)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点D(a，1)是反比例函数y＝(x>0)图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PB＋PD最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
题型四：与面积有关的动点或存在问题
【例4】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2,6），点B的坐标为（n，1）
（1）求反比例函数与一次函数的表达式。
（2）点E为y轴上的一个动点，若，求点E的坐标
【变式题组】
如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC．若△ABC的面积为2．
（1）求k的值；
（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
演练巩固·培优升级
1、一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=(k≠0)在同一直角坐标系中的图象如图，则当y1＜y2时，x的取值范围是____．
2、函数y1＝x与y2＝的图象如图所示，下列关于函数y＝y1＋y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是(2，4)，其中所有正确结论的序号是_______．
3、如图，一次函数y＝kx－1的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点B，BC垂直x轴于点C.若△ABC的面积为1，则k的值是_______．21教育网
4、如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，已知点B的坐标是，则k的值为（
　）
A．4
B．6
C．8
D．10
5、如图，A，B两点在反比例函数y＝的图像上，C，D两点分别在反比例函数y＝的图像上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC＝2，BD＝1，EF＝3，则k1－k2的值是
(　
　)
A．6
B．4
C．3
D．2
6、一次函数与反比例函数，其中，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（
）
7、如图，一次函数（）与反比例函数（）的图象交于点A（﹣1，2），B（m，﹣1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P（n，0）（n＞0），使△ABP为等腰三角形？若存在，求n的值；若不存在，说明理由．
8、如图，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)求两函数图象的另一个交点的坐标；
(3)直接写出不等式kx＋b≤的解集．
.
第九讲
一次函数与反比例函数之专题突破培优答案
在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现，这类试题不仅能考查两个函数的基本性质，而且能考查同学们综合分析问题的能力。现以以下典型例题为例，浅谈这类问题的解法，供参考。
典型例题
题型一：求同一坐标系下的图象
【例1】
已知函数与在同一直角坐标系中的图象大致如图1，则下列结论正确的是（
B
）
A.
B.
C.
D.
【变式题组】
1、在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（
C
）
A.
B.
C.
D.
2、当k＞0时,反比例函数和一次函数的图象大致是(
C
)
题型二：一次函数与反比例函数结合求解析式，自变量的取值范围，面积等
【例2】如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．www-2-1-cnjy-com
（1）求一次函数、反比例函数的关系式；
（2）求△AOB的面积.
（3）当自变量x满足什么条件时，y1>y2
.（直接写出答案）
（4）将反比例函数的图象向右平移n（n＞0）个单位，得到的新图象经过点（3，-4），求对应的函数关系式y3．（直接写出答案）2-1-c-n-j-y
分析：（1）、将B点坐标代入反比例函数解析式可得，将A点代入可得点A的坐标为（－4,2），将A、B两点代入一次函数解析式可得一次函数解析式为y=－x－2.
（2）、根据题意可得C（－2,0）
S=2×2÷2+2×4÷2=2+4=6
（3）、根据图形可得x＜-4或0＜x＜2
（4）y3=
【答案】（1）、；y=－x－2；（2）、S=6；（3）、x＜-4或0＜x＜2；（4）、y3=
【变式题组】
1、在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于A(a，－2)，B两点．21教育网
(1)求反比例函数表达式和点B的坐标；
(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连结PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．
【答案】解：（1）把A（a，﹣2）代入y=x，可得a=﹣4，
∴A（﹣4，﹣2），
把A（﹣4，﹣2）代入y=，可得k=8，
∴反比例函数的表达式为y=，
∵点B与点A关于原点对称，
∴B（4，2）；
（2）如图所示，过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，
设P（m，），则C（m，m），
∵△POC的面积为3，
∴m×|m﹣|=3，
解得m=2或2，
∴P（2，）或（2，4）．
题型三：与最小（大）值有关的问题
【例3】一次函数y＝mx＋5的图象与反比例函数y＝(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B(4，1)两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求△OAM的面积S；
(3)在y轴上求一点P，使PA＋PB最小．
解（1）将B（4，1）代入y＝，k=4，所
将A(1，4)，B（4，1）代入y=mx+5，∴y=-x+5，（4分）
（2）在中，令x=1，解得y=4，∴A（1，4）∴S=×1×4=2，
（3）作点A关于y轴的对称点N，则N（-1，4），
连接BN交y轴于点P，点P即为所求．
设直线BN的关系式为y=kx+b，
把B（4，1），N（-1，4）代入得y＝
∴
【变式题组】
1．如图，直线y＝2x＋3与y轴交于A点，与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为(1，0)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点D(a，1)是反比例函数y＝(x>0)图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PB＋PD最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为（1，0），
∴在直线y=2x+3中，当x=1时，y=2+3=5，
∴点B的坐标为（1，5），
又∵点B（1，5）在反比例函数y=上，∴k=1×5=5，
∴反比例函数的解析式为：y=
（2）将点D（a，1）代入y=，得：a=5，
∴点D坐标为（5，1）
设点D（5，1）关于x轴的对称点为D′（5，-1），
过点B（1，5）、点D′（5，-1）的直线解析式为：y=kx+b，
可∴直线BD′的解析式为：y=-
根据题意知，直线BD′与x轴的交点即为所求点P，
当y=0时，得：=0解得：x=
故点P的坐标为（，0）
题型四：与与面积有关的动点或存在问题
【例4】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2,6），点B的坐标为（n，1）
（1）求反比例函数与一次函数的表达式。
（2）点E为y轴上的一个动点，若，求点E的坐标
解：（1）Y=，
（2）点E的坐标（0，5），（0，9）
【变式题组】
如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC．若△ABC的面积为2．
（1）求k的值；
（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称，∴OA=OB，
∴△BOC的面积=△AOC的面积=2÷2=1，
又∵A是反比例函数y=
图象上的点，且AC⊥x轴于点C，
∴△AOC的面积==1，∵k＞0，∴k=2．
故这个反比例函数的解析式为y=；
（2）x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形．设D（m，0）
将y=2x与y=
联立成方程组得交点坐标：A（1，2），B（-1，-2），
AD =（1-m） +2 ，
BD =（1+m） +2 ,
AB =（1+1） +(2+2) =20
①当AD⊥AB时，如图1，BD =AB +AD ，解得m=5∴D（5，0）；
②当BD⊥AB时，如图2，AD =AB +BD ，解得m=-5∴D（-5，0）；
③当AD⊥BD时，如图3，BA =DB +AD ，解得m=∴D（
，0）．
故x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）或（-5，0）或（
，0）
演练巩固·培优升级
1、一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=(k≠0)在同一直角坐标系中的图象如图，则当y1＜y2时，x的取值范围是_-13___．
2.（2017，南京）函数y1＝x与y2＝的图象如图所示，下列关于函数y＝y1＋y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是(2，4)，其中所有正确结论的序号是____①_③___．
3、如图，一次函数y＝kx－1的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点B，BC垂直x轴于点C.若△ABC的面积为1，则k的值是___2_____．
4、如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，已知点B的坐标是，则k的值为（　C　）
A．4
B．6
C．8
D．10
5、如图，A，B两点在反比例函数y＝的图像上，C，D两点分别在反比例函数y＝的图像上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC＝2，BD＝1，EF＝3，则k1－k2的值是
(　D　)
A．6
B．4
C．3
D．2
6、一次函数与反比例函数，其中，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（
C
）
7、如图，一次函数（）与反比例函数（）的图象交于点A（﹣1，2），B（m，﹣1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P（n，0）（n＞0），使△ABP为等腰三角形？若存在，求n的值；若不存在，说明理由．
分析：
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）分三种情形讨论：①PA=PB，②
AP=AB，③BP=BA．分别解方程即可解决问题；
【答案】（1），y=﹣x+1；（2）n=或．
【解析】（1）把A（﹣1，2）代入，得到k2=﹣2，∴反比例函数的解析式为．
∵B（m，﹣1）在上，∴m=2，由题意得：，解得：，∴一次函数的解析式为y=﹣x+1．
（2）∵A（﹣1，2），B（2，﹣1），∴AB=，分三种情况讨论：
①当PA=PB时，（n+1）2+4=（n﹣2）2+1，∴n=0，∵n＞0，∴n=0不合题意舍弃．
②当AP=AB时，22+（n+1）2=（）2，∵n＞0，∴n=﹣1+．
③当BP=BA时，12+（n﹣2）2=（）2，∵n＞0，∴n=2+．
综上所述，n=或．
8、如图，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6.21世纪教育网版权所有
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)求两函数图象的另一个交点的坐标；
(3)直接写出不等式kx＋b≤的解集．
答案：
解：(1)∵OB＝2OA＝3OD＝6，
∴OB＝6，OA＝3，OD＝2，
∵CD⊥DA，∴DC∥OB，
∴＝，∴＝，
∴DC＝10，
∴C(－2，10)，B(0，6)，A(3，0)，
代入一次函数y＝kx＋b，
得解得
∴一次函数的表达式为y＝－2x＋6.
∵反比例函数y＝经过点C(－2，10)，
∴n＝－20，
∴反比例函数的表达式为y＝－；
(2)由解得或
∴另一个交点坐标为(5，－4)；
(3)由图象可知kx＋b≤的解集为－2≤x＜0或x≥5.
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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