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第一章单元检测试卷
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设全集U={x|x>1}，集合A={x|x>2}，则 =（A）
A.{x|1C.{x|x>2} D.{x|x≤2}
2.已知集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x=ab,a,b∈A，且a≠b}，则A∩B=（A）
A.{0，2，3} B.{0，1，2}
C.{0，2，4} D.{0，2，3，6}
3.已知集合A={x|x≤0，x∈R}，B={a,1}，若A∩B≠，则实数a的取值范围是（D）
A.a<1 B.a≤1
C.a≥0 D.a≤0
4.设集合A={-1，0}，集合B={0，1，2}，则A∪B的子集个数是（C）
A.4 B.8 C.16 D.32
5.若集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值是（B）
A.0 B.0或1
C.1 D.不能确定
6.已知函数f(x) 若f(f(m))≥0，则实数m的取值范围是（D）
A.［-2，2］
B.［-2，2］∪［4，+∞）
C.［-2，2+ ］
D.［-2，2+ ］∪［4，+∞）
7.如图所示，点P从点A出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为△ABC的中心，设P点走过的路程为x，△OAP的面积为y（当A，O，P三点共线时，记面积为0），则函数y=f(x)的图象大致为（A）
8.已知函数f(x)= 则下列图象错误的是（B）
9.定义在R上的函数f(x)满足：①f(0)=0，②f(x)+f(1-x)=1，③= f(x)，且当0≤x1A.1 B.
C. D.
10.如图，圆与两坐标轴分别切于A，B两点，圆上一动点P 从A开始沿圆周按逆时针方向匀速旋转回到A点，则△OBP的面积随时间变化的图象符合（A）
11.已知集合A={1，2，3}，B={(x,y)|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则集合B的子集的个数为（C）
A.4 B.7 C.8 D.16
12.函数f(x)=x2-2ax+a+2在［0，a］上的最大值为3，最小值为2，则a的值为（C）
A.0 B.1或2
C.1 D.2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）
13.已知f(x)=ax2+2ax+1在［-2,3］上的最大值为6，则f(x)的最小值为或-74.
14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间(-∞,+∞)上单调递减，若f(3x+1)+f(1)≥0，则x的取值范围是.
15.已知函数f(x)是R上的奇函数，且f(x+2)为偶函数，若f(1)=1，则f(8)+f(9)=1.
16.已知y=f(x),x∈R，有下列4个命题：
①若f(1+2x)=f(1-2x)，则f(x)的图象关于直线x=1对称；
②y=f(x-2)与y=f(2-x)的图象关于直线x=2对称；
③若f(x)为偶函数，且f(2+x)=-f(x)，则f(x)的图象关于直线x=2对称；
④若f(x)为奇函数，且f(x)=f(-x-2)，则f(x)的图象关于直线x=1对称.
其中正确的命题为①②③④.（填序号）
三、解答题（本大题共6小题，17小题10分，18,19,20,21,22每小题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题10分）
（1）求函数y= 的定义域；
（2）已知函数f(x)= 若对任意x∈R恒有f(x)≥f(0),求实数a的取值范围.
解：（1）要使函数式有意义，必有3-2x-x2≥0，
即x2+2x-3≤0，解得-3≤x≤1.
（2）若a<0，则f(a)=0故a≥0，而f(0)=a2,故若对任意x∈R恒有f(x)≥f(0)，
则x+ +a≥2+a≥a2恒成立，
故a2-a-2≤0，故0≤a≤2.
18.（本小题12分）
已知不等式>1.
（1）若不等式对于任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若不等式对于任意x∈(0,1］恒成立，求实数k的取值范围.
解：（1）∵x2+x+1= >0，
∴kx2+kx+4>x2+x+1，
即(k-1)x2+(k-1)x+3>0.
当k-1=0，即k=1时， 3>0恒成立，∴k=1成立；
当k-1≠0，即k≠1时，
解得1综上所述，1≤k<13.
（2）由（1）可知，k(x2+x)>x2+x-3，
由x∈（0，1］知，x2+x>0.
则要证明不等式对于任意x∈（0，1］恒成立，
即证明恒成立.
设y=x2+x,x∈(0,1］，则y∈（0，2］，
，∴k>- .
19.（本小题12分）
已知函数f(x)= 的定义域为(-1,1)，满足f(-x)=-f(x)，且.
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）证明：f(x)在(-1,1)上是增函数；
（3）解不等式f(x2-1)+f(x)<0.
解析：（1）根据题意f(-x)=-f(x)，由待定系数法可求b=0，又由，得a=1,
则函数f(x)的解析式可求.
（2）设-1作差f(x1)-f(x2)，证明f(x1)（3）由已知f(-x)=-f(x)，由（2）可知，f(x)在（-1，1）上是增函数，则-
（1）解：由f(-x)=-f(x)，得=- =0，则f(x)= .又由= ，得a=1.
∴f(x)= .
（2）证明：设-1则f(x1)-f(x2)= .
又∵-1∴x1-x2<0,1-x1x2>0，1+ >0,1+ >0.
从而f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在(-1,1)上是增函数.
（3）解：由f(x2-1)+f(x)<0，得f(x2-1)<-f(x)，即f(x2-1)∴原不等式的解集为(-1,0)∪.
20.（本小题12分）
已知函数f(x)是正比例函数，函数g(x)是反比例函数，且f(1)=1，g(1)=2.
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)+g(x)的奇偶性；
(3)求函数f(x)+g(x)在(0，］上的最小值.
解：(1)设f(x)=k1x，g(x)= ，其中k1k2≠0.
∵f(1)=1，g(1)=2，∴k1×1=1，=2，
∴k1=1，k2=2，∴f(x)=x，g(x)=2x.
(2)设h(x)=f(x)+g(x)，则h(x)=x+2x，
∴函数h(x)的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).
∵h(-x)=-x+ =- =-h(x)，
∴函数h(x)是奇函数，即函数f(x)+g(x)是奇函数.
(3)由(2)知h(x)=x+ .
设x1，x2是(0，］上的任意两个不相等的实数，且x1∵x1，x2∈(0，］，且x1∴x1-x2<0,0∴x1x2-2<0，∴(x1-x2)(x1x2-2)>0.
∴h(x1)>h(x2).
∴函数h(x)在(0，］上是减函数，函数h(x)在(0，］上的最小值是h()=2，
即函数f(x)+g(x)在(0，］上的最小值是2.
21.（本小题12分）
若定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立，且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：y=f(x)-1为奇函数；
(2)求证：f(x)是R上的增函数；
(3)若f(4)=5，解不等式f(3m-2)<3.
(1)证明：因为定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立，
所以令x1=x2=0，则f(0+0)=f(0)+f(0)-1，
即f(0)=1.
令x1=x，x2=-x，
则f(x-x)=f(x)+f(-x)-1，
所以［f(x)-1］+［f(-x)-1］=0，
故y=f(x)-1为奇函数.
(2)证明：由(1)知y=f(x)-1为奇函数，
所以f(x)-1=-［f(-x)-1］.
任取x1，x2∈R，且x10，
所以f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1=f(x2)-［f(x1)-1］=f(x2)-f(x1)+1.
因为当x>0时，f(x)>1，
所以f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)+1>1，
即f(x1)故f(x)是R上的增函数.
(3)解：因为f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1，且f(4)=5，所以f(4)=f(2)+f(2)-1=5，即f(2)=3.
由不等式f(3m-2)<3，得f(3m-2)由(2)知f(x)是R上的增函数，
所以3m-2<2，即m<，
故不等式f(3m-2)<3的解集为.
22.（本小题12分）
已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)= .
(1)求m，n的值；
(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上为增函数；
(3)若f(x)≤对x∈恒成立，求a的取值范围.
(1)解：因为奇函数f(x)的定义域为R，所以f(0)=0.
故有f(0)= =0，解得m=0.
所以f(x)= .由f(-1)=-f(1)，
得，
解得n=0，所以m=n=0.
(2)证明：由(1)知，f(x)= ，任取-1因为-1故1-x1x2>0.又因为x1故f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在(-1,1)上为增函数.
(3)解：由(2)知，f(x)在(-1,1)上为增函数，
所以函数f(x)在上为增函数，
故最大值为.
由题意可得，解得a≥.
故a的取值范围为.

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