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高考冲刺 三角函数公式及应用
【高考展望】
高考对三角恒等式部分的考查仍会是中低档题，无论是小题还是大题中出现都是较容易的．主要有三种可能：
（1）以小题形式直接考查：利用两角和与差以及二倍角公式求值、化简；
（2）以小题形式与三角函数、向量、解三角形等知识相综合考查两角和与差以及二倍角等公式；
（3）以解答题形式与三角函数、向量、解三角形、函数等知识相综合考查，对三角恒等变换的综合应用也可能与解三角形一起用于分析解决实际问题的应用问题，主要考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力
复习时，要注重对问题中角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性，还要重视相关的思想方法，如数形结合思想、特值法、构造法、等价转换法等的总结和应用，这有利于缩短运算程序，提高解题效率
【知识升华】
1.三角函数的化简与求值、证明的难点在于众多三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择，要认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在
（1）化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；
（2）求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围
（3）证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等
2.对于三角变换公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如， 等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式；三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。
3.三角函数恒等变形的基本策。
①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
②项的分拆与角的配凑。如分拆项：;
配凑角(常用角变换):、、
、、等.
③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次
④化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
⑤引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。
4. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，
即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cosα= cosβcos（α-β）- sinβsin（α-β） ，1= sin2α+cos2α，==tan（450+300）等。
5. 正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
变形形式
①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;
②sinA=,sinB=,sinC=;
③a:b:c=sinA: sinB: sinC;
④
解决的问题
已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。
已知三边，求各角；
已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
注：在ΔABC中，sinA>sinB是A>B的充要条件。（∵sinA>sinBa>bA>B）
6．三角形的面积公式：
（1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
（2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
（3）△＝＝＝；
（4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径）
（5）△＝；
（6）△＝；；
（7）△＝r·s。
7.三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换
因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。；
（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。
r为三角形内切圆半径，p为周长之半
（3）在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=
60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列。
【典型例题】
类型一、三角函数的化简与求值
【例1】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数
Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.
【思路点拨】因为(2)中角为15°，二倍后为特殊角，所以本题利用由特殊到一般思想选择(2)式进行计算。
【解析】(1)选择(2)式计算如下
(2)证明:



【思路点拨】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想.
举一反三：
【变式】利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
【思路点拨】利用两角和与差的三角公式逆用可得。
【解析】（1）；
（2）；
（3）．
【例2】化简
【思路点拨】此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？
【解析】
思考：是怎么得到的？，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于和的.
【总结升华】注意辅助角公式的灵活运用f(x)=asinx+bcosx=sin(x+)(其中cos=,sin=)的形式
【例3】（1）化简
（2）求值
【思路点拨】（1）从把角变为入手，合理使用公式；
（2）应用公式把非角转化为的角，切化弦。
【解析】（1）原式
=
因为0<<π,所以所以
所以原式=-cosθ
(2)原式
【总结升华】（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则
①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们打到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等。
（2）根式的化简常常需要升幂去根号，在化简中注意角的范围以确定三角函数值的正负号；
（3）对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：
①化为特殊角的三角函数值；
②化为正、负相消的项，消去求值；
③化分子、分母出现公约数进行约分求值。
（4）化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂，和差化积、积化和差等。
举一反三：
【变式】已知，求的值
【思路点拨】化简已知条件化简所求式子，用已知表示所求代入已知求解结论。
【解析】
解得=-3或=.
【总结升华】对于和式，基本思想是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用。
类型二、三角函数的给值求值问题
【例4】已知，求及．
【思路点拨】利用两角差的正弦公式和二倍角余弦公式，可计算出sinα和cosα得解。
【解析】解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得
，即 ①
由题设条件，应用二倍角余弦公式得

故 ②
由①和②式得，
因此，，由两角和的正切公式
解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得，
解得　　，即
由可得
由于，且，故(在第二象限于是，
从而
以下同解法一
【总结升华】1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含）进行转换得到．
2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．
举一反三：
【变式】已知，是第三象限角，求的值.
【解析】因为，由此得
又因为是第三象限角，所以
所以
【例5】设关于x的方程sinx＋cosx＋a＝0在(0, 2π)内有相异二解α、β.
(1)求α的取值范围; (2)求tan(α＋β)的值.
【解析】 (1)∵sinx＋cosx＝2(sinx＋cosx)＝2 sin(x＋),
∴方程化为sin(x＋)＝－.
∵方程sinx＋cosx＋a＝0在(0, 2π)内有相异二解,
∴sin(x＋)≠sin＝ .
又sin(x＋)≠±1 (∵当等于和±1时仅有一解),
∴|－|<1 . 且－≠. 即|a|<2且a≠－.
∴ a的取值范围是(－2, －)∪(－, 2).
(2) ∵α、 β是方程的相异解, ∴sinα＋cosα＋a＝0 ①.
sinβ＋cosβ＋a＝0 ②.
①－②得(sinα－ sinβ)＋( cosα－ cosβ)＝0.
∴ 2sincos－2sin
sin＝0, 又sin≠0,
∴tan＝.
∴tan(α＋β)＝＝.
【总结升华】要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0, 2π)这一条件.
【例6】已知，求的值。
【思路点拨】比较题设中的角与待求式中的角，不难发现或将变化为，再由求解。
【解析】方法一：∵，又。又又
方法二：
【总结升华】三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示。
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示两个“已知角”的和或差的形式；
（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”。
（3）常见的配角技巧
类型三、三角函数的给值求角问题
【例7】设函数f(x)=2在处取最小值.
求.的值;
在ABC中,分别是角A,B,C的对边,已知,求角C..
【解析】（1）

因为函数f(x)在处取最小值，所以,由诱导公式知,因为,所以.所以
（2）因为,所以,因为角A为ABC的内角,所以.又因为所以由正弦定理,得,也就是,
因为,所以或.
当时,;当时,.
【总结升华】本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.
【例8】
【思路点拨】
【解析】
∴
【总结升华】（1）通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数。若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好。
（2）解给值求角问题的一般步骤为：
①求角的某一个三角函数值；
②确定角的范围；
③根据角的范围写出所求的角。
类型四、三角恒等式的证明
【例9】求证：
【思路点拨】观察本题左、右两边式子间的差异，若选择“从左证到右”，则“切化弦”的方法可用；若选择“从右证到左”，则倍角公式应是必用公式；
【解析】方法一：
方法二：
【总结升华】首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始，通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出引进结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等。
举一反三：
【变式1】在△ABC中，若sinA·cos2＋sinC·cos2＝sinB，求证：sinA＋sinC＝2 sinB．
【证明】∵sinA·cos2＋sinC·cos2＝sinB
∴sinA·＋sinC·＝sinB
∴sinA＋sinC＋sinA·cosC＋cosＡ·sinC＝3sinB
∴sinA＋sinC＋sin(A＋C)＝3sinB
∵sin(A＋C)＝sinB ∴sinA＋sinC＝2sinB
【变式1】已知2tanA＝3tanB，求证：tan(A－B)＝．
【证明】tan(A－B)＝
＝
＝
类型五、三角形中的三角函数问题
【例10】已知ABC中，A，,求
【思路点拨】可通过设一参数k(k>0)使,
证明出
【解析】设 则有，，
从而==
又，所以=2
【总结升华】ABC中，等式恒成立。
（1）定理的表示形式：；
或，，
（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角
例11（2018 天水校级模拟）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1）且∥．
（Ⅰ）求锐角B的大小；
（Ⅱ）如果b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．
【思路点拨】（Ⅰ）由两向量的坐标及两向量平行，利用平面向量平行时满足的条件列出关系式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，求出tan2B的值，由B为锐角，得到2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）由B的度数求出sinB及cosB的值，进而由b及cosB的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式化简求出ac的最大值，再由ac的最大值及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值
【解析】（Ⅰ）∵=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1）且∥，
∴2sinB（2cos2﹣1）=﹣cos2B，
∴2sinBcosB=﹣cos2B，即sin2B=﹣cos2B，
∴tan2B=﹣，
又B为锐角，∴2B∈（0，π），
∴2B=，
则B=
（Ⅱ）当B=，b=2，
由余弦定理cosB=得：a2+c2﹣ac﹣4=0，
当B=，b=2，
由余弦定理cosB=得：a2+c2+ac﹣4=0，
又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立），
∴S△ABC=acsinB=ac≤（当且仅当a=c=2时等号成立），
则S△ABC的最大值为
【总结升华】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，余弦定理，基本不等式的运用，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】（2018 黄山三模）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．
（1）求A的大小；
（2）现在给出下列三个条件：①a=1；②；③B=45°，试从中选择两个条件以确定△ABC，求出所确定的△ABC的面积．
【解析】（1）因为，所以﹣cosBcosC+sinBsinC﹣=0，
所以cos（B+C）=，
因为A+B+C=π，所以cos（B+C）=﹣cosA，
所以cosA=，A=30°．
（2）方案一：选择①②，可以确定△ABC，
因为A=30°，a=1，2c﹣（）b=0，
由余弦定理，得：12=b2+（）2﹣2b??，
整理得：b2=2，b=，c=，
所以S△ABC===．
方案二：选择①③，可以确定△ABC，
因为A=30°，a=1，B=45°，C=105°，
又sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+sin60°cos45°=．
由正弦定理的c===，
所以S△ABC===．
【变式2】在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a,b,c，若b2=ac，求的取值范围.
【解析】
类型六、三角函数公式的综合应用
【例12】设，其中，若对一切恒成立，则
①
②＜
③既不是奇函数也不是偶函数
④的单调递增区间是
⑤存在经过点（a,b）的直线与函数的图象不相交.
以上结论正确的是 _____________________________(写出正确结论的编号).
【思路点拨】先将’变形为 ，再由对一切恒成立得a,b之间关系，然后顺次判断命题真假.
【解析】答案:①③.
由对一切恒成立知，求得。所以
①，故①正确.
②故②错误.
③.所以③正确.
④因为b>0,所以，解得.故④错误.
⑤因为，要经过点（a,b）的直线与函数图象不相交，则此直线与x轴平行，又的振幅为，所以直线必与图象有交点. ⑤错误.
【例13】已知向量,函数的最大值为6.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象.求在上的值域.
【解析】(Ⅰ),
则;
(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移个单位得到函数的图象,
再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数.
当时,,.
故函数在上的值域为.
另解:由可得,令,
则,而,则,
于是,
故,即函数在上的值域为.
【总结升华】若函数f(x) 的解析式通通过三角恒等变换可转化为y=asinx+bcosx+k的形式，则函数f(x)的解析式可化为f(x)=sin(x+)+k(其中cos=,sin=)的形式。
注意：解析式与三角函数有关的函数若求函数的周期、单调区间、对称轴、值域等问题时，一般要转化为y=Asin(ωx+)+k的形式。
举一反三：
【变式2】已知：
（1）请说明函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到；
（2）设函数图象位于y轴右侧的对称中心从左到右依次为A1、A2、A3、A4、…、…、，试求A4的坐标
【解析】（1）
∴

所以函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
（2）∵函数图象的对称中心为，
由得函数的对称中心为，
依次取1，2，3，4……可得A1、A2、A3、A4……各点，
∴A4的坐标为
【巩固练习】
1.（2018春 宜春校级期末）已知△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，且a=x（x＞0），b=2，A=60°，若三角形有两解，则x的取值范围是（　　）
A．x＞ B．0＜x＜2 C．＜x＜2 D．＜x≤2
2.如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ）
A. B. C. D.
3.已知是实数，则函数的图象不可能是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
4.已知△ABC中，，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是 （ ）
A. B.
C. D.
6.若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为（ ）
A． B. C. D.
7.已知，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是（ ）
A.（，） B.［，） C.（，） D.［，）
9.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象 （ ）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
10.函数的最小正周期等于( )
11.已知函数则的值为 .
12.（2018 朔州模拟）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）在区间[0，]上的最小值为　 ．
13. （2018 河北区一模）设函数y=cos2x+2cos2（﹣x）﹣1，x∈R
（1）求f（x）的最小正周期；
（3）求f（x）在闭区间[﹣]上的最大值与最小值．
14. 设函数．
（Ⅰ）求的最小正周期．
（Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值．
15.已知锐角中内角、、的对边分别为、、，，且.
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）设函数，图象上相邻两最高点间的距离为，求的取值范围.
16.已知函数．
（1）求的值；
（2）若对于任意的，都有，求实数的取值范围．
【参考答案】
1.【答案】C
【解析】∵在△ABC中，a=x（x＞0），b=2，A=60°，
∴由正弦定理得：sinB==
∵A=60°，
∴0＜B＜120°，
要使三角形有两解，得到60°＜B＜120°，且B≠90°，即＜sinB＜1，
∴＜＜1，
解得：＜x＜2，故选C．
2.【答案】C
【解析】函数的图像关于点中心对称
由此易得.
3. 【答案】D
【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了．
4.【答案】D
【解析】本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=知A为钝角，cosA<0排除A和B，再由选D
5.【答案】C
【解析】，由题设的周期为，∴，
由得，，故选C
6.【答案】D
【解析】
，
又.故选D
7.【解析】
＝＝
【答案】D
8. 【答案】A
【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)
∴得f(|2x－1|)＜f(),再根据f(x)的单调性
得|2x－1|＜ 解得＜x＜
9. 【答案】A
【解析】由题知，所以，故选择A。
10.【答案】A
【解析】把原式化为y=Asin(ωx+φ)的形式再求解.
∴最小正周期www.jb1000.com
11.【答案】1
【解析】因为所以
故http://www.jb1000.com
12.【答案】-1
【解析】由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，
可得A=2，=﹣，求得ω=2．
再根据图象经过点（，0），可得2?+φ=kπ，k∈Z，
求得φ=﹣，故函数f（x）=2sin（2x﹣）．
∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，故函数f（x）的最小值为2×（﹣）=﹣1，
13.【解析】（1）∵函数y=cos2x+2cos2（﹣x）﹣1=cos2x+cos（﹣2x）=cos2x+sin2x=2sin（+2x），
∴f（x）的最小正周期为=π．
（3）在闭区间[﹣]上，2x+∈[﹣，]，故当2x+=﹣时，函数y取得最小值为2×（﹣）=﹣；
故当2x+=时，函数y取得最大值为2×1=2．
14.【解析】（Ⅰ）=
=
= 21世纪教育网
故的最小正周期为T = =8
(Ⅱ)解法一：
在的图象上任取一点，它关于的对称点 .
　　由题设条件，点在的图象上，从而21世纪教育网

　　　　　　　　　 =
=
当时，，因此在区间上的最大值为
　　　 21世纪教育网
　　解法二：
因区间关于x = 1的对称区间为，且与的图象关于
　　x = 1对称，故在上的最大值为在上的最大值
　　由（Ⅰ）知＝
当时，
　　　因此在上的最大值为21世纪教育网
　　　　　　　 .
15.【解析】（Ⅰ）因为,由余弦定理知
所以.
又因为,则由正弦定理得:,
所以,
所以.
（Ⅱ）
由已知,则
因为,,由于,
所以, .
根据正弦函数图象,所以.
16.【答案】解：（1）．
（2）
．
因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时，取得最大值．
所以 ， 等价于 ．
故当 ，时，的取值范围是．

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