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函数的基本性质（提高）
【考纲要求】
1. 了解函数的定义域、值域，并能简单求解．
2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．
【知识网络】

【考点梳理】
1．单调性
（1）一般地，设函数的定义域为如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，若都有，那么就说函数在区间上单调递增，若都有，那么就说函数在区间上单调递减。
（2）如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有严格的单调性，区间叫做的单调区间。
（3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导/数定义复合图像
定义法：
用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设，且；②作差；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断的正负符号；⑤根据定义下结论。
复合函数分析法
设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数/为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
导数证明法：
设在某个区间内有导数，若在区间内，总有，则在区间上为增函数（减函数）；反之，若在区间内为增函数（减函数），则。
图像法：
一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。
2、奇偶性
(1)定义:
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数.
理解：
(Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x在x轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件.
(Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤:
①考察函数定义域;
②考察f(-x)与f(x)的关系;
③根据定义作出判断.
(Ⅲ)定义中条件的等价转化
①f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) =-1 (f(x)≠0)
②f(-x)= f(x) f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x) =1 (f(x)≠0)
(2)延伸
(Ⅰ) 设函数f(x)是定义域关于原点对称的任意一个函数,则有
f(x)=+ =g(x)+p(x)
其中,g(x)= 为偶函数,p(x)= 为奇函数.
即对于定义域关于原点对称的任何一个函数f(x), f(x)总可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.
(Ⅱ)若f(x)为奇函数且零属于f(x)的定义域,则f(0)=0.
(3)奇(偶)函数图像的特征
(Ⅰ)奇函数图像关于原点对称;
(Ⅱ)偶函数图像关于y轴对称.
(4)奇偶性与单调性的联系
当函数f(x)既具奇偶性,又在某区间上单调时,我们可利用奇、偶函数的定义导出以下命题:
设G,G＇为函数ｆ（ｘ）的定义域的子区间，并且区间Ｇ与Ｇ＇关于原点对称，则有
(Ⅰ)当ｆ（ｘ）为奇函数时，ｆ（ｘ）在区间Ｇ和区间Ｇ＇上的单调性相同；
(Ⅱ)当ｆ（ｘ）为偶函数时，ｆ（ｘ）在区间Ｇ和区间Ｇ＇上的单调性相反．
这一命题又可凝练为八个字：区间对称，奇同偶反．
【典型例题】
类型一、求（判断）函数的单调区间
例1.证明函/数在区间是增函数。
解：设，



函数在区间是增函数。
举一反三：
【变式】求下列函数的单调区间：
(1)y=|x+1|； (2)　　　　(3).
解：(1)画出函数图象，
∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；
(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；
(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).
类型二、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)
例2. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.
解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知
只需；
(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4
∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7
.
举一反三：
【变式】已知函数，若关于x的方程/有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.
解：单调递减且值域(0,1]，单调递增且值域为，由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.
类型三、判断函数的奇偶性
例3. 判断下列函数的奇偶性：
(1) (2)
(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)
(6) (7)
解析：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；
(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；
(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ；
(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(5)
，∴f(x)为奇函数；
(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(7)，∴f(x)为奇函数.
举一反三：
【变式】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则
F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)
G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)
∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
类型四、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)
例4．设是偶函数．
（1）求的值;
（2）证明：在上为增函数．
解析：
（1）方法一：
∵是偶函数且其定义域为，∴
∵，∴
∴，解得或
∵， ∴
方法二：∵是偶函数且其定义域为，∴
∴当时即
∴，解得或
∵ ∴
（2）方法一：定义法
由（1）知：
设，则，
∵ ∴
∴，，
∴即
故在上为增函数。
方法二：导数法
由（1）知：，∴
∵时
∴时
故在上为增函数。
点评：偶函数在其定义域内恒成立，因此可以应用恒等式的相关方法进行处理。在利用定义法证明单调性的时候，必须注意书写格式的规范。
举一反三：
【变式】已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0(1)f(x)为奇函数；
(2)f(x)在(－1，1)上单调递减/
【答案】
(1)证明：由f(x)+f(y)=f(),
令x=y=0,得f(0)=0,
令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0
∴f(x)=－f(－x)，∴f(x)为奇函数/
(2)证明：先证f(x)在(0，1)上单调递减
令0∵00,1－x1x2>0，∴>0,
又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0
∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,
由题意知f()<0，即f(x2)∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0
∴f(x)在(－1，1)上为减函数。
类型五：分段函数的基本性质
例5．已知函数，求：
（1）的值；（2）的定义域、值域。
解析：
（1）∵， ∴
∴
（2）的定义域为，即
当时，；
当时，；
当时，；
综上可得的值域为。
点评：分段函数分段讨论，先局部后整体；结果应当要并。
举一反三：
【变式】设，，则 ， .
【答案】：。
解析：，；
，.
例6. （2016年高考天津卷理）已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
（A）（0，] （B）[，] （C）[，/]{}（D）[，）{}
【答案】C
解析：由在上递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，，又∵时，抛物线与直线相切，也符合题意，∴实数的去范围是，故选C.
【总结升华】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【巩固练习】
1．下列判断正确的是（ ）
A．函数是奇函数 B．函数是偶函数
C．函数是非奇非偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数
2．若函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．（2016年高考北京卷文）下列函数中，在区间/ 上为减函数的是（）
A./ B./ C./ D./
D 由/在/上单调递减可知D符合题意，故选D.
5．下列四个命题：
(1)函数的定义域，在时是增函数，也是增函数，则在定义域上是增函数；
(2)若函数与轴没有交点，则且；
(3) 的递增区间为；
(4) 和表示相同函数。
其中正确命题的个数是( )
A． B． C． D．
6．6(2016年高考新课标Ⅱ卷文) 已知函数f(x)（x∈R）满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3| 与y=f(x) 图像的交点为（x1,y1），(x2,y2)，…，（xm,ym），则（ ）
(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m
7.函数的单调递减区间是____________________。
8.已知定义在上的奇函数，当时，，那么时， .
9.若函数在上是奇函数,则的解析式为________.
10.（2016年高考江苏卷）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上， 其中 若 ，则的值是 .
11.若函数在上是减函数，则的取值范围为__________。
12.判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
13.已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：（1）函数是上的减函数；
（2）函数是奇函数。
14.设函数与的定义域是且,是偶函数, 是奇函数,且,求和的解析式.
15.设为实数，函数，
（1）讨论的奇偶性；
（2）求的最小值。
【参考答案与解析】
1.C 选项A中的而有意义，非关于原点对称，选项B中的
而有意义，非关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数；
2. C 对称轴，则，或，得，或
3. B ,是的减函数，
当
4.A 对称轴
5.A （1）反例；（2）不一定，开口向下也可；（3）画出图象
可知，递增区间有和；（4）对应法则不同
6. B 因为函数y=f(x)（x∈R）与函数y=|x2-2x-3|图象都关于x=1对称，所以两个函数图象的交点也关于x=1对称，当m为偶数时，，当m为奇数时.
7. 画出图象
8. 设，则，，
∵∴,
9. ∵∴
即
10. ，
因此
11.
12.解：（1）定义域为，则，
∵∴为奇函数。
（2）∵且∴既是奇函数又是偶函数。
13.证明：(1)设，则，而
∴
∴函数是上的减函数;
(2)由得
即，而
∴，即函数是奇函数。
14.解：∵是偶函数, 是奇函数，∴，且
而,得,
即，
∴，。
15.解：（1）当时，为偶函数，
当时，为非奇非偶函数；
（2）当时，
当时，，
当时，不存在；
当时，
当时，，
当时，。

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