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备战2021年高考数学函数专题小练
专题8
函数与方程的综合应用
一、单选题
函数，方程有4个不相等实根，则m的取值范围是
A.
B.
C.
D.
已知a，b，c为正实数，满足，，，则a，b，c的大小关系为???
A.
B.
C.
D.
对于函数，把满足的实数叫做函数的不动点设，若有两个不动点，则实数a的取值范围是???
A.
B.
C.
D.
已知函数则函数的零点个数为?
?
A.
7
B.
8
C.
10
D.
11
已知函数与为常数，若函数恰有三个零点，，，则
A.
e
B.
C.
1
D.
3
已知函数与函数的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为??
A.
B.
C.
D.
已知函数若不等式的解集中整数的个数为3，则a的取值范围是
A.
B.
C.
D.
已知函数满足，函数其中表示两数中的最大值若函数与函数图象的交点为，，，，则
A.
0
B.
1
C.
2018
D.
4036
设a，，函数若函数恰有3个零点，则
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
设D是函数定义域内的一个子区间，若存在，使，则称是的一个“开心点”，也称在区间D上存在开心点．若函数在区间上存在开心点，则实数a的取值范围是??
A.
???????????????????
??
B.
????????????????
???
?
C.
???????????????????
D.
?
已知函数与函数的图象在区间上恰有两对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是
A.
B.
C.
D.
已知函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，且点M，N关于原点对称，则实数a的取值范围是
A.
B.
C.
D.
二、单空题
设D是函数定义域内的一个区间，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间D上存在“次不动点”，若函数在区间上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是________．
若函数，的图象与直线恰有两个不同交点，则m的取值范围是??????????．
已知函数，设函数，若函数在R上恰有两个不同的零点，则k的值为______．
已知函数若互不相等，则的取值范围为________．
三、解答题
已知函数．
当时，函数有意义，求实数a的取值范围；
时，函数的图像与无交点，求实数b的取值范围．
已知函数，，且函数是偶函数．
求的解析式；．
若不等式在上恒成立，求n的取值范围；
若函数恰好有三个零点，求k的值及该函数的零点．
已知函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
求函数的解析式；
若的图象与直线恰有三个公共点，求m的取值范围．
设a，b，c，d不全为0，给定函数，若，满足有零点；的零点均为的零点；的零点均为的零点，则称，为一对“K函数”．
当，时，验证，是否为一对“K函数”，并说明理由；
若，，且，为一对“K函数”，求实数c的取值范围．
已知函数的最小正周期为，且直线是其图像的一条对称轴．
求函数的解析式；
将函数的图像向右平移个单位，再将所得的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的两倍后所得的图像对应的函数记作，已知常数，且函数在区间内恰有2021个零点，求常数与n的值．
设函数．
作出函数f?的图象；
当且f??时，求的值；
若方程f?有两个不相等的正根，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
解：函数是连续函数，时，，
时函数的导数为，
当时，，递增；
当时，，递减，
可得在处取得极大值，
时，，函数是减函数，
作出的图象，
设，
关于x的方程，
即为，
有1个大于实根，一个根在；
由题意可得：
解得．
故选C．
2.【答案】D
解：作，，，的图象，
由题可知a即为与的交点横坐标，
b即为与交点的横坐标，
c即为与交点的横坐标，
由图可知，
故选D．
3.【答案】D
解：由可得且，设，
则，易知在和上单调递减，
在上单调递增，
所以的极小值为，作出的大致图象如图所示，
若函数有两个不动点，则的图象与直线的两个不同的交点，
由图可知．
故选D．
4.【答案】B
解：函数
令，得，令，
作出函数的大致图象如图所示，
则有4个实数根，其中，
若，则有1个实数根，
若，则有1个实数根，
若，则有4个实数根，
若，则有2个实数根，
故共有8个实数根，
则的零点个数为8．
故选B．
5.【答案】D
函数恰有三个零点，，，
有三个根，，，
函数与为常数有三个交点，
显然为常数恒过点，
而函数亦过点，且关于点对称，
故依题意得：，
则．
故选．
6.【答案】B
解：由题意知，方程在上有解，
即，
即在上有解，
即函数与在上有交点，
的导数为，
当时，，函数递减；
当时，，函数递增．
可得处函数取得极大值，
函数与在上的图象，如图所示：
当直线与相切时，
设切点为，则，
解得，
切点为，可得，
由图象可得a的取值范围是．
故选B．
7.【答案】C
解：函数不等式的解集中整数的个数为3
即即的解集中整数的个数为3
设，，，
的解集中整数的个数为3
由题可知，即，所以在坐标系中做出和的图象，如图所示．
?过定点，?过定点
要满足，
即
由解得????
而
．
?????
故选：C．
8.【答案】C
【解析】解：函数满足，可知函数图象的对称轴为；
函数其中表示两数中的最大值函数的图象的对称轴为，
函数与函数图象的交点为，，，，
可得．
故选：C．
判断两个函数的对称轴，然后通过对称的性质，求解即可．
本题考查函数与方程的应用，函数图象的对称性，是解题的关键，是基本知识的考查．
9.【答案】C
解：当时，，最多一个零点；
当时，
，
，
当，即时，，在上递增，最多一个零点，不合题意；
当，即时，
令得，函数递增，
令得，函数递减，函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点，
所以函数在上有一个零点，在上有2个零点，
如右图：
且
解得，，，
，，
故选：C．
10.【答案】B
解：依题意，存在，使，
解得，
由，求出上的，此时；
当时，；时，，
故实数a的取值范围是．
故选B．
11.【答案】A
解：由已知得到方程在上有两解，即在上有解．
设，则，
令得或．
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减．
当时，取得最大值，
，，且，
．
从而m的取值范围为．
故选：A．
12.【答案】B
解：函数的图象与函数关于原点对称，
则原题等价于函数与函数的图象有交点，
即方程有解，
即有解，
令
，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
，
，
，
所以实数a的取值范围是，
故选：B．
13.【答案】
【解析】解：依题意，存在，使，
当时，使，
当时，解得，
由，
得或，舍去，
x
2
0
a
最大值
当时，a最大，
所以常数a的取值范围是
故答案为：
根据“在区间D上有次不动点”当且仅当“在区间D上有零点”，依题意，存在，使，讨论将a分离出来，利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围．
本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数零点和利用导数研究最值等有关知识，属于中档题．
14.【答案】
解：因为，
所以，
所以，
所以，且，
作出函数的图像，如图：
由题意结合函数图象可知．
故答案为．
15.【答案】
解：函数
当时，，；
当时，，；
当时，，；
作出函数的图象，
由函数在R上恰有两个不同的零点，可得有两个不等实根．
由图象可得，
即有时，两图象有两个交点，
故答案为．
16.【答案】
解：画出函数的图像，
则时，．
设，则有．
当时，
由，得，即
由，得，即
所以，可得，
所以的取值范围是．
故答案为．
17.【答案】解：由题意可知对一切恒成立，
即，
令，，
根据对勾函数的性质，在上单减，在上单增，
，；
时，由题意可知方程无解，
即在内无解，
记，
令，，
根据复合函数的性质，在上单调递减，
，
，
图象无交点，或．
18.【答案】解：，
．
是偶函数，，．
，
．
令，
，不等式在上恒成立，
等价于在上恒成立．
．
令，，则，，．
令，则，
方程
可化为，即，
也即．
又方程有三个实数根，
有一个根为2，．
，解得或．
由，得，
由，得，
该函数的零点为0，，2．
19.【答案】解：，
依题意有
即，解得．
函数的解析式为．
由条件可知，函数有极大值，极小值，
大致图象如图，
因为的图象与直线恰有三个公共点，
所以．
20.【答案】解：当，时，，，
令，得，而，即不是的零点，不满足，
所以，不是一对“K函数”．
由，为一对“K函数”，不妨设满足，
则由知，．
又由，，得，
，，
令，得或，
由得，，可推出，
根据题意的零点均为的零点，故必然无非零实数根．
令，则必然无非零实数根．
当时，，
令在上单调递减，
，即，解得：；
当时，，
令在上单减，在上单增，
，即，解得：，故不成立；
当时，，此时在R上恒成立，也恒成立．
21.【答案】解：由三角函数的周期公式可得，
，
令，得，
由于直线为函数的一条对称轴，
所以，得，
由于，，则，
因此，．
将函数的图象向右平移个单位，得到函数，
再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为．
．
令，可得，
令，得，，
则关于t的一次方程必有两不等实根、，则，，异号．
当且时，
则方程和在区间均有偶数个根，
从而方程在也有偶数个根，不合题意
当，则，此时，
当时，只有一根，有两根，
所以，关于的方程在上有三个根，
由于，
则方程在上有个根，
由于方程在区间上只有一个根，
在区间上无实解，
方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，
因此，关于x的方程在区间上有2020个根，在区间上有2022个根，不合题意
当时，则，此时，
当时，只有一根，有两根，
所以，关于x的方程在上有三个根，
由于，
则方程在上有个根，
由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，
方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，
因此，关于x的方程在区间上有2021个根，满足题意．
若有一根绝对值大于1，则另一根绝对值大于0且小于1，有偶数个根，不合题意
综上所述：，．
22.【答案】解：函数f?的图象如图所示，
因为f?
故f?在上是减函数，在上是增函数，
由且f??，得，
且，所以；
方程f?有两个不相等的正根，
即当时，函数的图象与直线有两个不同的交点，
由函数f?的图象可知，
当时，函数的图象与直线有两个不同的交点，
方程f?有两个不相等的正根，
即实数m的取值范围为．

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