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押第5题
导数的几何意义
用导数的几何意义研究曲线的切线,是高考的一个热点,内容主要涉及求曲线的斜率与方程、曲线的条数、公切线问题,由切线满足条件求参数或参数范围等,高考中既有基础客观题,也有压轴客观题,时而也会以解答题形式考查,其中求曲线的切线方程是历年高考考查的一个重点,故预测2021年考查曲线的方程的可能性比较大.
1.
利用导数研究曲线的斜率或倾斜角
导数的几何意义是研究曲线的切线的基石,函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y＝f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率．也就是说,曲线y＝f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是.
2.求曲线在某点处的切线
求以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化简．
3.
求曲线过某点的切线
求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x0,y0),解方程组得切点(x0,y0),进而确定切线方程．
4.
求曲线的切线条数
求曲线切线的条数一般是设出切点,由已知条件整理出关于t的方程,把切线条数问题转化为关于t的方程的实根个数问题.
5.曲线的公切线
研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线,当其中一条曲线为二次函数的图象是也可以用求解.
1.（2020年高考全国Ⅰ卷理）函数的图像在点处的切线方程为（
）
A.
B.
C.
D.
2.（2020年高考全国Ⅲ卷理）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切,则l的方程为（
）
A.
y=2x+1
B.
y=2x+
C.
y=x+1
D.
y=x+
3.（2019年高考全国II卷理）已知函数.
（1）讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点,证明曲线y=ln
x
在点A(x0,ln
x0)处的切线也是曲线的切线.
4.（2019年高考全国Ⅲ卷理）已知曲线在点处的切线方程为,则（
）
A.,
B.,
C.,
D.,
5.（2018年高考全国Ⅰ卷理）设函数,若为奇函数,则曲线
在点处的切线方程为
A．
B．
C．
D．
1．（2021.
广东省肇庆市高三二模）曲线在处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021.
江西省新八校高三联考）若曲线的一条切线为（e为自然对数的底数）,其中m,n为正实数,则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021.
豫南九校高三联考）曲线在处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2021.
安徽省六安市高三月考）函数的图象在点处的切线的倾斜角为（
）
A．
B．0
C．
D．1
5．（2021.
山西省大同市高三上学期期中）若曲线在处的切线与直线平行,则a=（
）
A．
B．1
C．或1
D．或1
6．（2021.
陕西省安康高三仿真模拟）已知直线是曲线的切线,则（
）
A．或1
B．或2
C．或
D．或1
7．（2021.
四川省内江市高三模拟）函数在处的切线如图所示,则（
）
A．0
B．
C．
D．
8．（2021.
陕西省榆林市高三模拟）若函数的图象在处的切线与直线垂直,则的值为（
）
A．1
B．2或
C．2
D．1或
9．（2021.
湖南省永州市高三二模）曲线在处的切线过原点,则的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2021.
河南省九师联盟高三2月联考）已知函数和图象的一个公共点为,现给出以下结论：①；②；③和的图象在点处的切线的倾斜角互补；④和的图象在点处的切线互相垂直.其中正确结论的序号是（
）
A．①③
B．②④
C．②③
D．①④
11．（2021.
江西省吉安市“省重点中学五校协作体”高三联考）已知函数是定义域为的奇函数,且当时,,则曲线在点处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2021.
安徽省皖南八校高三第二次联考）已知直线与曲线相切于点A、与曲线的另一交点为B,若A、B两点对应的横坐标分别为,则（
）
A．
B．2
C．1
D．
13．（2021.
四省名校高三第三次大联考）设函数,直线是曲线的切线,则的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
14．（2021.
全国百强名校“领军考试”高三3月联考）已知函数,若与的图象交于点,且存在过点的直线与的图象都相切,则的图象在处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
15．（2021.
江苏省七市2021届高三2月调研）已知曲线在,,两点处的切线分别与曲线相切于,,则的值为（
）
A．1
B．2
C．
D．
16．（2021.
河南省高三下学期高考适应性考试）若函数（为常数）存在两条均过原点的切线,则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
（限时：30分钟）
1．已知的图象如图所示,则与的大小关系是（
）
A．f′(xA)＞f′(xB)
B．f′(xA)＜f′(xB)
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
2．已知函数,则曲线在点处的切线斜率为（
）
A．1
B．-4
C．0
D．2
3．已知函数,若曲线在点处的切线斜率为7,则（
）
A．1
B．8
C．
D．
4．已知函数是奇函数,则曲线在点(0,0)处的切线斜率为（
）
A．2
B．﹣2
C．1
D．﹣1
5．曲线在处的切线与直线相互垂直,则（
）
A．1
B．
C．2
D．
6．已知函数的图像在处的切线斜率为,则“”是
“”的（
）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知直线和曲线相切,则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数的图象与轴切于点,则的极值为（
）
A．极大值为,极小值为0
B．极大值为0,极小值为
C．极小值为,极大值为0
D．极大值为,极小值为0
9．已知曲线在点处的切线与曲线相切,则（
）
A．4
B．2
C．
D．8
10．已知函数在点处与点处的切线均平行于轴,则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数,,曲线上总存在两点,使曲线在?两点处的切线互相平行,则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数,方程恰有两个根,记较大的根为,则（
）
A．
B．
C．
D．
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精品试卷·第
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押第5题
导数的几何意义
用导数的几何意义研究曲线的切线,是高考的一个热点,内容主要涉及求曲线的斜率与方程、曲线的条数、公切线问题,由切线满足条件求参数或参数范围等,高考中既有基础客观题,也有压轴客观题,时而也会以解答题形式考查,其中求曲线的切线方程是历年高考考查的一个重点,故预测2021年考查曲线的方程的可能性比较大.
1.
利用导数研究曲线的斜率或倾斜角
导数的几何意义是研究曲线的切线的基石,函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y＝f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率．也就是说,曲线y＝f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是.
2.求曲线在某点处的切线
求以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化简．
3.
求曲线过某点的切线
求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x0,y0),解方程组得切点(x0,y0),进而确定切线方程．
4.
求曲线的切线条数
求曲线切线的条数一般是设出切点,由已知条件整理出关于t的方程,把切线条数问题转化为关于t的方程的实根个数问题.
5.曲线的公切线
研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线,当其中一条曲线为二次函数的图象是也可以用求解.
1.（2020年高考全国Ⅰ卷理）函数的图像在点处的切线方程为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【解析】,,,,因此,所求切线的方程为,即.故选B.
2.（2020年高考全国Ⅲ卷理）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切,则l的方程为（
）
A.
y=2x+1
B.
y=2x+
C.
y=x+1
D.
y=x+
【答案】D
【解析】设直线在曲线上的切点为,则,
函数的导数为,则直线的斜率,
设直线的方程为,即,
由于直线与圆相切,则,
两边平方并整理得,解得,（舍）,
则直线的方程为,即.故选D.
3.（2019年高考全国II卷理）已知函数.
（1）讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点,证明曲线y=ln
x
在点A(x0,ln
x0)处的切线也是曲线的切线.
【解析】（1）f（x）的定义域为（0,1）,（1,+∞）单调递增．
因为f（e）=,,
所以f（x）在（1,+∞）有唯一零点x1,即f（x1）=0．
又,,
故f（x）在（0,1）有唯一零点．
综上,f（x）有且仅有两个零点．
（2）因为,故点B（–lnx0,）在曲线y=ex上．
由题设知,即,
故直线AB的斜率．
曲线y=ex在点处切线的斜率是,曲线在点处切线的斜率也是,
所以曲线在点处的切线也是曲线y=ex的切线．
4.（2019年高考全国Ⅲ卷理）已知曲线在点处的切线方程为,则（
）
A.,
B.,
C.,
D.,
【答案】D
【解析】令,则,,得.
,可得.故选D.
5.（2018年高考全国Ⅰ卷理）设函数,若为奇函数,则曲线
在点处的切线方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】通解
因为函数为奇函数,所以,
所以,所以,
因为,所以,所以,所以,所以,所以曲线在点处的切线方程为．故选D．
优解
因为函数为奇函数,所以,所以,解得,所以,所以,所以,所以曲线在点处的切线方程为．故选D．
1．（2021.
广东省肇庆市高三二模）曲线在处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】,,,故切线方程为,即.
故选A.
2．（2021.
江西省新八校高三联考）若曲线的一条切线为（e为自然对数的底数）,其中m,n为正实数,则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】,设切点坐标为,∴,∴,
∴,故选C.
3．（2021.
豫南九校高三联考）曲线在处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由,得,则,,所以曲线在处的切线的方程为,即.令得；令得.所以直线与两坐标轴的交点坐标分别为,,所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为.
故选D.
4．（2021.
安徽省六安市高三月考）函数的图象在点处的切线的倾斜角为（
）
A．
B．0
C．
D．1
【答案】A
【解析】,
设倾斜角为,则,故选A
5．（2021.
山西省大同市高三上学期期中）若曲线在处的切线与直线平行,则a=（
）
A．
B．1
C．或1
D．或1
【答案】A
【解析】,于是切线的斜率,切线与直线平行
,,时,,切点是,切线的斜率,故切线方程是：,
即和直线重合,故,故选A．
6．（2021.
陕西省安康高三仿真模拟）已知直线是曲线的切线,则（
）
A．或1
B．或2
C．或
D．或1
【答案】D
【解析】直线的斜率为,对于,令,解得,故切点为,代入直线方程得,解得或1.故选D
7．（2021.
四川省内江市高三模拟）函数在处的切线如图所示,则（
）
A．0
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为切线过和,所以,所以切线方程为,取,则,所以,所以.故选A.
8．（2021.
陕西省榆林市高三模拟）若函数的图象在处的切线与直线垂直,则的值为（
）
A．1
B．2或
C．2
D．1或
【答案】D
【解析】由题意知：直线的斜率为,则在处切线的斜率为3,
又∵,即,∴或,故选D．
9．（2021.
湖南省永州市高三二模）曲线在处的切线过原点,则的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】曲线,,切点为,所以切线的斜率,
又直线过原点,所以,得,．所以,故切线的方程为即．故选．
10．（2021.
河南省九师联盟高三2月联考）已知函数和图象的一个公共点为,现给出以下结论：①；②；③和的图象在点处的切线的倾斜角互补；④和的图象在点处的切线互相垂直.其中正确结论的序号是（
）
A．①③
B．②④
C．②③
D．①④
【答案】A
【解析】对于①因为,,得,故①正确；对于②因为和在点处的切线不平行且不重合,所以,故②错误；对于③显然成立,故③正确；对于④假设和的图象在点处的切线互相垂直,则有,即,这与矛盾,故④错误.故选A.
11．（2021.
江西省吉安市“省重点中学五校协作体”高三联考）已知函数是定义域为的奇函数,且当时,,则曲线在点处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数是定义域为的奇函数,当时,,∴时,
当时,又,,∴在点处的切线方程为：.故选A.
12．（2021.
安徽省皖南八校高三第二次联考）已知直线与曲线相切于点A、与曲线的另一交点为B,若A、B两点对应的横坐标分别为,则（
）
A．
B．2
C．1
D．
【答案】C
【解析】可得,直线l与相切于点A,,则切线斜率为,又直线过定点,则,∴．故选C.
13．（2021.
四省名校高三第三次大联考）设函数,直线是曲线的切线,则的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题得.设切点,则;则切线方程为,即,又因为是曲线的切线
所以则.令.则.
则有时,在上递减;时,在上递增﹐
所以时,取最大值,即的最大值为.
故选D．
14．（2021.
全国百强名校“领军考试”高三3月联考）已知函数,若与的图象交于点,且存在过点的直线与的图象都相切,则的图象在处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为,,所以,,设,
则,即,解得,,所以,切点为
所以的图象在处的切线方程为,即,故选A.
15．（2021.
江苏省七市2021届高三2月调研）已知曲线在,,两点处的切线分别与曲线相切于,,则的值为（
）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】B
【解析】由题设有,化简可得即,
整理得到,同理,不妨设,
令,
因为当时,均为增函数,故为增函数,
同理当时,故为增函数,
故分别为在、上的唯一解,
又,故,
故为在的解,故即.
所以,故选B.
16．（2021.
河南省高三下学期高考适应性考试）若函数（为常数）存在两条均过原点的切线,则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意得,设切点坐标为：,
则过原点的切线斜率：,整理得：,
存在两条过原点的切线,,,存在两个不同解,
设,,则问题等价于与存在两个不同的交点
又,当时,,单调递减；
当时,,单调递增,,
的大致图象如下：
若与存在两个不同的交点,则,解得
（限时：30分钟）
1．已知的图象如图所示,则与的大小关系是（
）
A．f′(xA)＞f′(xB)
B．f′(xA)＜f′(xB)
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
【答案】B
【解析】由导数的几何意义可知,f′(xA),f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率,
由图象可知f′(xA)＜f′(xB)．故选B
2．已知函数,则曲线在点处的切线斜率为（
）
A．1
B．-4
C．0
D．2
【答案】A
【解析】由题意,函数,可得,则,即曲线在点处的切线斜率为.故选A.
3．已知函数,若曲线在点处的切线斜率为7,则（
）
A．1
B．8
C．
D．
【答案】A
【解析】由得,所以曲线在点处切线斜率为,解得.故选
A．
4．已知函数是奇函数,则曲线在点(0,0)处的切线斜率为（
）
A．2
B．﹣2
C．1
D．﹣1
【答案】D
【解析】由题意函数为奇函数可知
所以,所以,则函数可化为,则,
则由导数得几何意义可知曲线在点(0,0)处的切线斜率为-1.故选D.
5．曲线在处的切线与直线相互垂直,则（
）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】A
【解析】,曲线在处的切线斜率为
由切线与直线相互垂直,可得,解得,故选A
6．已知函数的图像在处的切线斜率为,则“”是
“”的（
）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为,所以,,若,则,解得,
故“”是
“”的充要条件,故选A.
7．已知直线和曲线相切,则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设切点是,由,则以P为切点的切线方程为,因为该切线过原点,所以,
所以,所以a8．已知函数的图象与轴切于点,则的极值为（
）
A．极大值为,极小值为0
B．极大值为0,极小值为
C．极小值为,极大值为0
D．极大值为,极小值为0
【答案】A
【解析】,由函数的图象与轴切于点得：,∴①,②联立①②,解得,,则函数
则,令得到：或
当或时,,当时,
即函数在,上单调递增,在上单调递减
则极大值为,极小值为,故选A
9．已知曲线在点处的切线与曲线相切,则（
）
A．4
B．2
C．
D．8
【答案】D
【解析】由得,当时,切线的斜率,则曲线在点处的切线方程为,因为它与相切,所以有唯一解,即有唯一解,故
,解得,故选D.
10．已知函数在点处与点处的切线均平行于轴,则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数,所以定义域为,,
因为曲线在点处与点处的切线均平行于轴,所以,,所以,,所以、是方程的两个不相等的正根,所以,,则,解得,令,
则
,
易知在上是减函数,
故,
所以的取值范围是,故选A．
11．已知函数,,曲线上总存在两点,使曲线在?两点处的切线互相平行,则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数,导数．由题意可得,,且．即有,化为,而,
,化为对,都成立,令,,则在上单调减,在上单调递增,所以,,
,即的取值范围是．故选B．
12．已知函数,方程恰有两个根,记较大的根为,则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图所示：
函数的图像与恰有两个交点,且最大的根为,则函数在处的切线为,显然,当时,则,切点坐标为
所以由点斜式得切线方程为即
所以得,
故选D
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