资源简介

年 级
六年级
学 科
数学
版 本
北师大版
内容标题
总复习：比和比例
编稿老师

【本讲教育信息】
一. 教学内容：
总复习：比和比例
基本内容及知识点
1. 比的意义和性质
2. 按比分配
3. 比例和比例的性质
4. 比例尺
5. 正比例的意义
6. 反比例的意义
7. 正比例、反比例应用题
二. 教学重点
知识要求：
①使学生理解并掌握比的意义、比例的意义、正比例和反比例的意义，比与除法、分数之间的联系和区别．
②理解比的基本性质、分数的基本性质、商不变的基本性质及其联系与区别．
③能够根据比的意义和基本性质正确、迅速地求出比值和化简比；弄清求比值和化简比的区别，能根据比和除法的关系求已知比值的比里的未知项；根据比例的意义和基本性质判断两个比能不能组成比例，能比较熟练地解比例．
④能够应用比的意义求平面图的比例尺，并根据比例尺求图上距离和实际距离．进一步认识按比例分配问题的结构特征，加深理解并掌握按比例分配问题的解题思路和方法，会解按比例分配应用题．
⑤更清楚地认识正比例和反比例关系的特征，能正确地判断成正比例关系或反比例关系的量．进一步掌握正比例和反比例应用题的数量关系、解题思路，能正确地解答成正、反比例关系的应用题。
能力要求：
1. 能正确、迅速地求比值和化简比，会求比的未知项。
2. 会根据有关条件求图上距离、实际距离或比例尺。
3. 能运用按比例分配的方法解决实际问题。
4. 会解最基本的正比例应用题和反比例应用题。
5. 使学生进一步受到事物是相互联系的教育，初步接触函数思想。
知识教学
（一）比的意义和性质
1、比的意义：
两个数相除又叫两个数的比。
（如：爸爸身高是小明身高的多少倍？170÷110＝＝17：11）
2、比的读写法，各部分名称。
（1）17比11记作17：11 1.5比3记作 （ 1.5:3 ）
（2）比的各部分名称
5 ： 7
前项 比号 后项
3、什么是比值？
比的前项除以比的后项所得的商叫做比值
比值是一个数，一般用整数或分数表示。
例题1、求比值
3.5：0.7＝35：7＝5
5：8＝5÷8＝0.625
：＝÷＝×＝
注意比值的读法：三分之二
4、比与除法、分数的关系
比
前项
比号
后项
比值
除法
被除数
除号
除数
商
分数
分子
分数线
分母
分数值
比的后项能不能是零？为什么？
小结：因为除法中除数不能为0，分数中分母不能为0，所以比的后项也不能是零。
例题2、求下面比的未知项。
x：3＝0.21 120：x＝24
解：x＝3×0.21 解： x＝120÷24
x＝0.63 x＝5
根据什么可以求出比的未知项？
5、比的基本性质： 比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数 （零除外），比值不变。
为什么“零除外”？
6、化简比：
应用比的基本性质，可以把比化成和它相等的最简单的整数比。
把比化成最简单的整数比，叫做化简比。
例题3、化简比
（1）63：9＝＝
（2）7.5：2.5＝75：25＝3：1
想一想：把整数比、小数比或分数比化成最简单的整数比的一般方法是什么？
　　①整数比写成分数后约分后得最简比。
②小数比先化成整数比，再化简。
③分数比先同乘分母的最小公倍数化成整数比，再化简。
例4、填空：（ ）÷4＝＝0.75＝（ ）：20＝（ ）%
（3）÷4＝＝0.75＝（ 15）：20＝（75 ）%
注意：熟练掌握除法、分数、小数、比、百分数之间的关系，整体观察把握公用条件。
（二）按比分配
例5、六年级三个班共有150人，一班人数、二班人数和三班的人数比是6：5：4，这三个班各有多少人？
6＋5＋4＝15
150×＝60（人）
150×＝50（人）
150×＝40（人）
答：一班有60人，二班有50人，三班有40人。
一般的，我们把这样的应用题，叫“按比分配应用题”，按比分配应用题的解题步骤是什么？
（1）确定总份数。
（2）把比转化成分数。
（3）求一个数的几分之几是多少？
（三）比例和比例的性质
1、比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。
只要两个比的比值相等，就能组成比例。
2、比例的基本性质
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫比例的基本性质
如：1.5：3＝1：2
1×3＝1.5×2＝3
例6、12的因数有（ ），选出其中的四个因数，把它们组成一个比例是（ ）。
12的因数有（1、2、3、4、6、12 ），选出其中的四个因数，把它们组成一个比例是（2：4＝6：12）。
注意：利用比例的基本性质，找出乘积相等的两组数据。
3、解比例
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项就可以求出另外一个未知项，求比例的未知项，叫做解比例。
例7、解比例
＝15：60
解：15x＝300
x＝20
例8、甲、乙两个粮仓共存粮3150吨，如果甲仓运出粮食的，乙仓运进粮食的，此时甲、乙两个粮仓的存粮吨数相等，甲、乙两个粮仓原来各存粮多少吨？
注意：用按比分配方法解答。根据：
甲×（1－）＝乙×（1＋）
得：甲：乙＝：＝4：3
4＋3＝7
3150×＝1800（吨）
3150×＝1350（吨）
答：甲、乙两个粮仓原来各存粮1800、1350吨。
（四）比例尺
图上距离与实际距离的比，叫这幅图的比例尺。

1、数字比例尺 如：1：7000 000 图上1厘米表示实际7000 000厘米。注意统一单位。
2、线段比例尺：如

3、比例尺的应用
比例尺的关系式：
图上距离＝（实际距离）×（比例尺） 公式变形
实际距离＝（图上距离）÷（比例尺）
例9、下图是根据的比例尺画出来的平行四边形，你能计算出这个平行四边形的面积吗？
3÷＝3000（厘米） 2 ÷＝2000（厘米）
3000×2000＝6000000（平方厘米）
答：这个平行四边形的面积是6000000平方厘米。
注意：这个比例尺是长度比，而不是面积比。
（五）正比例 、反比例的意义
1、正比例的意义
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
如果用字母x、y表示两种相关联的量，用k表示比值（一定），数量关系可以概括成
＝k（一定） y和x叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
例如，总价随着数量的变化而变化，总价和数量的比的比值（单价）是一定的，我们就说，总价和数量是成正比例的量。
＝工效（一定） 工总和工时是成正比例的量
＝速度（一定） 所以路程与时间成正比例。
2、反比例的意义
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
如果用字母x、y表示两种相关联的量，用k表示乘积（一定），数量关系可以概括成
x×y＝k（一定） y和x叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
例如，长×宽＝面积（一定） 长和宽是成反比例的量
每本的页数×装订的本数＝纸的总页数（一定） 每本的页数和装订的本数是成反比例的量
3、判断成正比例还是反比例的方法:
（1）判断两种量是否是相关联的量，
（2）如果是，再看这两种量对应的数的比值或积是否一定，
（3）如果比值一定，这两种量成正比例；如果积一定，这两种量成反比例。
例10、判断下面各题两种相关联的量成不成比例？如果成，成什么比例？
（1）长方形的面积一定，长与宽。（ 反 ）
（2）时间一定，工作效率和工作总量。（ 正 ）
（3）一条路的长度一定，已经修的和没有修的。（ 不成 ）
（六）正比例 、反比例应用题
例11、大力集团第二车间要加工一批机器零件，原计划每天加工3000个，28天可以完成任务，实际6天就加工了12600个零件，照这样计算，实际多少天完成生产任务？
注意：（1）用正比例知识解答
＝工效等
（2）用反比例知识解答
（12600÷6）·x＝3000×28 积等
2100 x＝84000
x＝40
答：照这样计算，实际40天完成生产任务。
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一、填空
1. 甲数是乙数的3倍，甲数与乙数的比是（ ）：（ ）。
2. 2A＝B，那么A：B＝（ ）：（ ）。
3. 20厘米：80米＝1：（ ）
4. 图上距离是实际距离的，这幅图的比例尺是（ ）。
5. a:b＝2:3，a和b成（ ）比例。
6. 完成一件工程，甲单独做要6小时，乙单独做要8小时，甲与乙的工作效率的比是（ ）。
7. 如果3x＝4y，那么x：y＝（ ）：（ ）。
8. 4：16＝（ ）：32＝2：（ ）＝（ ）：（ ）。
9. 用18的约数组成比值最大的比例式是（ ）。
10. 在一个比例式中，两个比的比值都是4，这个比例式的内项分别是3.5和2，这个比例式应该是（ ）或（ ）。
11. 甲数和乙数的和是12.5，甲数（不等于0）除以乙数所得的商与甲数的比是2：5，那么甲数和乙数的差是（ ）。
12. 有长方形和正方形两种不同的纸板（正方形的边长和长方形的宽一样长），正方形纸板数与长方形纸板数之比为2：5。现在用这些纸板拼成一些长方体无盖纸盒（即每个纸盒只用5块板），可以拼成两种纸盒，恰好用完全部的纸板，这两种纸盒的个数比是（ ）。
二、判断：对的打√，错的打×。
1. 如果2A＝3B，那么A：B＝2：3。（ ）
2. 一个比例，两个外项的积和两个内项的积的比是1：1。（ ）
3. 如果A：B＝C：D，那么＝1。（ ）
4. 两个加数的和一定，这两个加数成反比例。（ ）
三、选择（把正确答案的字母填在括号里）
1. 总产量一定，日产量和天数（ ）
A．不成比例 B．成正比例　　　　Ｃ．成反比例
2. 把线段比例尺改写成数字比例尺是（　 　）
A. 　　　　　　B．　　　　　　C．　
3. 用12的4个约数组成的比例是（ ）
A. 1：3＝2：6 B. 1：4＝3：12
C. 1×12＝3×4 D. 12：1＝6：2
4. 甲、乙的平均数是40，丙是30，丙数与三个数的和的最简整数比是（ ）。
A. 3：11 B. 3：7 C. 11：3 D. 3：4
四、解比例
：＝x：3　　　　　　　　　5.2：x＝6.5：13
五、解答应用题
1. 一个操场的长是200米，宽是100米，在比例尺是的平面图上，长和宽各应画多少厘米？（并画出图，标上比例尺）
2. 一辆汽车从甲地开往乙地，用2小时行完了全程的。照这样的速度继续行驶，还需要多少小时才能到达乙地？
3. 一种农药，用药液和水按照1：1500配制而成。现在只备有540千克的水，要配制这种农药，需要多少千克药液？
4. 甲乙二人共同完成242个机器零件。甲做一个零件要6分钟，乙做一个零件要5分钟。完成这批零件时，两人各做了多少个零件？
5. 一支工程队铺一段铁路，原计划每天铺3．2千米，实际每天比原计划多铺25%，实际铺完这段路用了12天。原计划用多少天才能铺完？
6. 两个平行四边形A、B重叠在一起，重叠部分的面积是A的，是B的 。已知A的面积是12平方厘米。求B比A的面积多多少平方厘米？
7. 某厂女工人数与全厂人数的比是3：4，若男、女工人各增加60人，这时女工与全厂人数的比是2：3，原来全厂共有多少人？
8. 吴老师购买了一套新房，下面是这套房的平面图。
（比例尺1：200）
（1）量得平面图中客厅的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米（得数保留整厘米数）。
（2）客厅的实际面积是（ ）平方米。
（3）如果把客厅的地面铺上边长是0．5米的正方形瓷砖，至少需要（ ）块瓷砖。
【试题答案】
一、填空
1、甲数是乙数的3倍，甲数与乙数的比是（ 3 ）：（ 1 ）。
2、2A＝B，那么A：B＝（ 1 ）：（ 2 ）。
3、20厘米：80米＝1：（ 400 ）
4、图上距离是实际距离的，这幅图的比例尺是（）。
5、a:b＝2:3，a和b成（ 正 ）比例。
6、完成一件工程，甲单独做要6小时，乙单独做要8小时，甲与乙的工作效率的比是（4：3）。
7、如果3x＝4y，那么x：y＝（ 4 ）：（ 3 ）。
8、4：16＝（ 8 ）：32＝2：（ 8 ）＝（ 1 ）：（ 4 ）。
9、用18的约数组成比值最大的比例式是（ 9：1＝18：2 ）。
10、在一个比例式中，两个比的比值都是4，这个比例式的内项分别是3.5和2，这个比例式应该是（14：3.5＝2：0.5 ）或（8：2＝3.5：0.875）。
11、甲数和乙数的和是12.5，甲数（不等于0）除以乙数所得的商与甲数的比是2：5，那么甲数和乙数的差是（ 7.5 ）。
12、有长方形和正方形两种不同的纸板（正方形的边长和长方形的宽一样长），正方形纸板数与长方形纸板数之比为2：5。现在用这些纸板拼成一些长方体无盖纸盒（即每个纸盒只用5块板），可以拼成两种纸盒，恰好用完全部的纸板，这两种纸盒的个数比是（3：4）。
二、判断：对的打√，错的打×。
1、如果2A＝3B，那么A：B＝2：3。（ × ）
2、一个比例，两个外项的积和两个内项的积的比是1：1。（ √ ）
3、如果A：B＝C：D，那么＝1。（ √ ）
4、两个加数的和一定，这两个加数成反比例。（ × ）
三、选择（把正确答案的字母填在括号里）
1、总产量一定，日产量和天数（ C ）
A、不成比例 B、成正比例　　　　C、成反比例
2、把线段比例尺改写成数字比例尺是（　C　）
A、　　　　　 B、　　　　　　C、　
3、用12的4个约数组成的比例是（ A、B ）
A、1：3＝2：6 B、1：4＝3：12
C、1×12＝3×4 D、12：1＝6：2
4、甲、乙的平均数是40，丙是30，丙数与三个数的和的最简整数比是（ A ）。
A、3：11 B、3：7 C、11：3 D、3：4
四、解比例
：＝x：3　　　　　　　　　5.2：x＝6.5：13
解：x＝1 解：6.5x＝13×5.2
x＝ x＝10.4
五、解答应用题
1、一个操场的长是200米，宽是100米，在比例尺是的平面图上，长和宽各应画多少厘米？（并画出图，标上比例尺）
200米＝20000厘米 100米＝10000厘米
20000×＝4（厘米）
10000×＝2（厘米）
答：长和宽各应画4厘米、2厘米。
2、一辆汽车从甲地开往乙地，用2小时行完了全程的。照这样的速度继续行驶，还需要多少小时才能到达乙地？
（1－）÷（÷）
＝÷
＝（时）
答：还需要小时才能到达乙地。
3、一种农药，用药液和水按照1：1500配制而成。现在只备有540千克的水，要配制这种农药，需要多少千克药液？
540×＝0.36（千克）
答：需要0.36千克药液。
4、甲乙二人共同完成242个机器零件。甲做一个零件要6分钟，乙做一个零件要5分钟。完成这批零件时，两人各做了多少个零件？
6＋5＝11
242×＝132（个）
242－132＝110（个）
答：甲做110个零件， 乙做132个零件。
5、一支工程队铺一段铁路，原计划每天铺3．2千米，实际每天比原计划多铺25%，实际铺完这段路用了12天。原计划用多少天才能铺完？
〔3.2×（1＋25%）×12〕÷3.2
＝48÷3.2
＝15（天）
答：原计划用15天才能铺完。
6、两个平行四边形A、B重叠在一起，重叠部分的面积是A的，是B的 。已知A的面积是12平方厘米。求B比A的面积多多少平方厘米？
12×÷－12
＝18－12
＝6（平方厘米）
答：B比A的面积多6平方厘米。
7、某厂女工人数与全厂人数的比是3：4，若男、女工人各增加60人，这时女工与全厂人数的比是2：3，原来全厂共有多少人？
解：设：原来全厂共有4x人。
（3x＋60）：（4x＋60×2）＝2：3
9x＋180＝8x＋240
9x－8x＝240－180
4x＝240
x＝60
答：原来全厂共有240人。
8、吴老师购买了一套新房，下面是这套房的平面图。
（比例尺1：200）
（1）量得平面图中客厅的长是（ 4 ）厘米，宽是（ 2 ）厘米（得数保留整厘米数）。
（2）客厅的实际面积是（ 32 ）平方米。
（3）如果把客厅的地面铺上边长是0．5米的正方形瓷砖，至少需要（ 128 ）块瓷砖。

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