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八上数学同步课时训练12章小专题(五)　
等三角形的基本模型
类型1　平移模型
　
此模型的特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，需要在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等.
1.(南充中考)如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC.
(1)求证：△AOD≌△OBC；
(2)若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数.
解：(1)证明：∵点O是线段AB的中点，
∴AO＝OB.
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠OBC.
在△AOD和△OBC中，
∴△AOD≌△OBC(SAS).
(2)∵△AOD≌△OBC，
∴∠ADO＝∠OCB＝35°.
∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠OCB＝35°.
类型2　对称模型
　
所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等.
2.(桂林中考)如图，AB＝AD，BC＝DC，点E在AC上.求证：
(1)AC平分∠BAD；
(2)BE＝DE.
证明：(1)在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠BAC＝∠DAC，
即AC平分∠BAD.
(2)由(1)知∠BAE＝∠DAE，
在△BAE和△DAE中，
∴△BAE≌△DAE(SAS).
∴BE＝DE.
3.某产品的商标如图所示，O是线段AC，DB的交点，且AC＝BD，AB＝CD，小华认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是：∵AC＝DB，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，∴△ABO≌△DCO.
你认为小华的思考过程正确吗？如果正确，指出他用的是判别三角形全等的哪个条件；如果不正确，写出你的思考过程.
解：小华的思考过程不正确，因为AC和BD不是这两个三角形的边.
正确的解答是：连接BC，
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB(SSS).
∴∠A＝∠D.
在△AOB和△DOC中，
∴△AOB≌△DOC(AAS).
【思考】　你还能用其他解法解决此题吗？试试看.
类型3　旋转模型
　
4.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AB∥CD，O是BD的中点.
(1)求证：△ABO≌△CDO；
(2)若BC＝AC＝4，BD＝6，求△BOC的周长.
解：(1)证明：∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO.
∵O是DB的中点，∴BO＝DO.
在△ABO和△CDO中，
∴△ABO≌△CDO(AAS).
(2)∵△ABO≌△CDO，∴AO＝CO＝AC＝2.
∵BO＝BD＝3，
∴△BOC的周长为BC＋BO＋OC＝4＋3＋2＝9.
5.复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图1，已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ，CP，则BQ＝CP.”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图1的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ＝CP.之后，他将点P移到等腰△ABC外，原题中其他条件不变，发现“BQ＝CP”仍然成立，请你就图2给出证明.
证明：∵∠QAP＝∠BAC，
∴∠QAP＋∠PAB＝∠PAB＋∠BAC，
即∠QAB＝∠PAC.
在△ABQ和△ACP中，
∴△ABQ≌△ACP(SAS).
∴BQ＝CP.
类型4　一线三等角模型
　
6.(1)已知，如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E，求证：DE＝BD＋CE.
(2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问结论DE＝BD＋CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
解：(1)证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°.∴∠BAD＋∠ABD＝90°.
∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°.
∴∠ABD＝∠CAE.
在△ADB和△CEA中，
∴△ADB≌△CEA(AAS).
∴BD＝AE，AD＝CE.
∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
(2)结论DE＝BD＋CE成立.
证明：∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α.
∴∠ABD＝∠CAE.
在△ADB和△CEA中，
∴△ADB≌△CEA(AAS).
∴BD＝AE，AD＝CE.
∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
类型5　综合模型
　
平移＋旋转模型：
平移＋对称模型：
7.如图1，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF.
(1)求证：△AFC≌△DEB；
(2)如果将BD沿着AD边的方向平行移动至图2，3的位置时，其余条件不变，(1)中的结论是否依然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.
解：(1)证明：∵AB＝CD，
∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD.
∵DE∥AF，∴∠A＝∠D.
在△AFC和△DEB中，
∴△AFC≌△DEB(SAS).
(2)在图2，3中结论依然成立.
证明：在图2中，∵DE∥AF，
∴∠A＝∠D.
在△AFC和△DEB中，
∴△AFC≌△DEB(SAS).
在图3中，∵AB＝CD，
∴AB－BC＝CD－BC，即AC＝BD.
∵AF∥DE，∴∠A＝∠D.
在△AFC和△DEB中，
∴△AFC≌△DEB(SAS).
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精品试卷·第
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八上数学同步课时训练12章小专题(五)
等三角形的基本模型
类型1　平移模型
　
此模型的特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，需要在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等.
1.(南充中考)如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC.
(1)求证：△AOD≌△OBC；
(2)若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数.
解：(1)证明：∵点O是线段AB的中点，
∴AO＝OB.
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠OBC.
在△AOD和△OBC中，
∴△AOD≌△OBC(SAS).
(2)∵△AOD≌△OBC，
∴∠ADO＝∠OCB＝35°.
∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠OCB＝35°.
类型2　对称模型
　
所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等.
2.(桂林中考)如图，AB＝AD，BC＝DC，点E在AC上.求证：
(1)AC平分∠BAD；
(2)BE＝DE.
证明：(1)在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠BAC＝∠DAC，
即AC平分∠BAD.
(2)由(1)知∠BAE＝∠DAE，
在△BAE和△DAE中，
∴△BAE≌△DAE(SAS).
∴BE＝DE.
3.某产品的商标如图所示，O是线段AC，DB的交点，且AC＝BD，AB＝CD，小华认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是：∵AC＝DB，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，∴△ABO≌△DCO.
你认为小华的思考过程正确吗？如果正确，指出他用的是判别三角形全等的哪个条件；如果不正确，写出你的思考过程.
解：小华的思考过程不正确，因为AC和BD不是这两个三角形的边.
正确的解答是：连接BC，
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB(SSS).
∴∠A＝∠D.
在△AOB和△DOC中，
∴△AOB≌△DOC(AAS).
【思考】　你还能用其他解法解决此题吗？试试看.
类型3　旋转模型
　
4.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AB∥CD，O是BD的中点.
(1)求证：△ABO≌△CDO；
(2)若BC＝AC＝4，BD＝6，求△BOC的周长.
解：(1)证明：∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO.
∵O是DB的中点，∴BO＝DO.
在△ABO和△CDO中，
∴△ABO≌△CDO(AAS).
(2)∵△ABO≌△CDO，∴AO＝CO＝AC＝2.
∵BO＝BD＝3，
∴△BOC的周长为BC＋BO＋OC＝4＋3＋2＝9.
5.复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图1，已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ，CP，则BQ＝CP.”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图1的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ＝CP.之后，他将点P移到等腰△ABC外，原题中其他条件不变，发现“BQ＝CP”仍然成立，请你就图2给出证明.
证明：∵∠QAP＝∠BAC，
∴∠QAP＋∠PAB＝∠PAB＋∠BAC，
即∠QAB＝∠PAC.
在△ABQ和△ACP中，
∴△ABQ≌△ACP(SAS).
∴BQ＝CP.
类型4　一线三等角模型
　
6.(1)已知，如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E，求证：DE＝BD＋CE.
(2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问结论DE＝BD＋CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
解：(1)证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°.∴∠BAD＋∠ABD＝90°.
∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°.
∴∠ABD＝∠CAE.
在△ADB和△CEA中，
∴△ADB≌△CEA(AAS).
∴BD＝AE，AD＝CE.
∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
(2)结论DE＝BD＋CE成立.
证明：∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α.
∴∠ABD＝∠CAE.
在△ADB和△CEA中，
∴△ADB≌△CEA(AAS).
∴BD＝AE，AD＝CE.
∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
类型5　综合模型
　
平移＋旋转模型：
平移＋对称模型：
7.如图1，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF.
(1)求证：△AFC≌△DEB；
(2)如果将BD沿着AD边的方向平行移动至图2，3的位置时，其余条件不变，(1)中的结论是否依然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.
解：(1)证明：∵AB＝CD，
∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD.
∵DE∥AF，∴∠A＝∠D.
在△AFC和△DEB中，
∴△AFC≌△DEB(SAS).
(2)在图2，3中结论依然成立.
证明：在图2中，∵DE∥AF，
∴∠A＝∠D.
在△AFC和△DEB中，
∴△AFC≌△DEB(SAS).
在图3中，∵AB＝CD，
∴AB－BC＝CD－BC，即AC＝BD.
∵AF∥DE，∴∠A＝∠D.
在△AFC和△DEB中，
∴△AFC≌△DEB(SAS).
八上数学同步课时训练12章阶段测试(12.1～12.2)
(时间：40分钟　满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1.下列各组的两个图形属于全等形的是(D)
2.根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是(D)
A.AB＝3，BC＝4，∠C＝40°
B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C.∠C＝90°，AB＝6
D.∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
3.如图，OD⊥AB于点D，OP⊥AC于点P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是(D)
A.SSS
B.ASA
C.SSA
D.HL
4.如图，给出下列四组条件：
①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；
②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；
③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；
④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E.
其中能使△ABC≌△DEF的条件共有(C)
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
5.如图，点A在DE上，AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则AB与DE的数量关系为(B)
A.AB>DE
B.AB＝DE
C.ABD.无法确定
　　　
6.如图，在△PAB中，∠A＝∠B，M，N，K分别在PA，PB，AB上，且AM＝BK，BN＝AK.若∠MKN＝40°，则∠P的度数为(C)
A.140°
B.90°
C.100°
D.110°
7.三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1＋∠2＋∠3的度数是(D)
A.90°
B.120°
C.135°
D.180°
8.如图所示，AB⊥BC且AB＝BC，CD⊥DE且CD＝DE，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是(D)
A.64
B.50
C.48
D.32
二、填空题(每小题5分，共25分)
9.如图，点B在AE上，∠CAB＝∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是：AC＝AD(答案不唯一).(写出一个正确的即可)
10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足分别为D，E.若BD＝3，CE＝2，则DE＝5.
11.如图，在△ABC中，BF⊥AC于F，AD⊥BC于D，BF与AD相交于E.若AD＝BD，BC＝8
cm，DC＝3
cm，则AE＝2cm.
　　
12.如图，在3×3的正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝225°.
13.已知在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2，0)，(2，4)，O是原点，以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，点P与点O不重合，写出所有符合条件的点P的坐标：(4，0)，(0，4)和(4，4).
三、解答题(共43分)
14.(8分)如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D，使CD＝CA.连接BC并延长到点E，使CE＝CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离.为什么？
解：在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC(SAS).
∴AB＝DE.
故量出DE的长就是A，B的距离.
15.(10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：AB＝FC.
证明：∵FE⊥AC，∠ACB＝90°，
∴∠FEC＝∠ACB＝90°.
∴∠F＋∠ECF＝90°.
∵CD⊥AB，
∴∠A＋∠ECF＝90°.
∴∠A＝∠F.
在△ABC和△FCE中，
∴△ABC≌△FCE(AAS).
∴AB＝FC.
16.(12分)如图，点B在AE上，点D在AC上，AB＝AD，请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE(只能添加一个).
(1)你添加的条件：答案不唯一，如：∠C＝∠E或∠ABC＝∠ADE或AC＝AE或∠EBC＝∠CDE或BE＝DC；
(2)添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由.
解：选∠C＝∠E为条件，理由：
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(AAS).
17.(13分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想.
解：BE＝EC，BE⊥EC.
证明：∵AC＝2AB，点D是AC的中点，
∴AB＝AD＝CD.
∵∠EAD＝∠EDA＝45°，
∴∠EAB＝∠EDC＝135°.
在△EAB和△EDC中，
∴△EAB≌△EDC(SAS).
∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC.
∴∠AEB＋∠BED＝∠DEC＋∠BED，
即∠AED＝∠BEC＝90°.
∴BE⊥EC.
八上数学同步课时训练12.3.1　角的平分线的性质
基础题
知识点1　角的平分线的作法
1.如果要作已知角∠AOB的平分线OC，合理的顺序是(C)
①作射线OC；②在OA，OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；③分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部相交于点C.
A.①②③
B.②①③
C.②③①
D.③②①
2.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(A)
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角的平分线上的点到角的两边的距离相等
3.如图，已知△ABC，用尺规作图作出∠ABC的平分线，保留作图痕迹，不写作法.
解：如图所示.
知识点2　角的平分线的性质
4.(梧州中考)如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是(D)
A.2
B.3
C.4
D.6
　　
5.(枣庄中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积为(B)
A.15
B.30
C.45
D.60
知识点3　文字命题的证明
6.命题“全等三角形对应边上的高相等”的已知是两条线段是两个全等三角形对应边上的高，求证是这两条线段相等.
7.(咸宁中考)证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程.下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证.
已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD＝PE.
请你补全已知和求证，并写出证明过程.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
在△PDO和△PEO中，
∴△PDO≌△PEO(AAS).
∴PD＝PE.
中档题
8.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(A)
A.M点
B.N点
C.P点
D.Q点
9.(教材P52习题T7变式)(湖州中考)如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.若AD＝8，则点P到BC的距离是(C)
A.8
B.6
C.4
D.2
10.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝5，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C，若P是边BC上一动点，则DP长的最小值为5.
11.如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于点F，PA＝PC.求证：∠PCB＋∠BAP＝180°.
证明：过点P作PE⊥AB于点E，
∵∠1＝∠2，PE⊥AB，PF⊥BC，
∴PE＝PF.
在Rt△APE和Rt△CPF中，
∴Rt△APE≌Rt△CPF(HL).
∴∠PAE＝∠PCB.
∵∠PAE＋∠PAB＝180°，
∴∠PCB＋∠BAP＝180°.
12.(教材P51习题T1变式)如图，已知∠MON，点A，C在射线OM上，请按要求完成下列作图(保留画图痕迹)及证明.
(1)在射线ON上分别截取OD＝OA，OE＝OC；
(2)连接AE，DC，交于点P；
(3)作射线OP；
(4)求证：OP平分∠MON.
解：(1)(2)(3)如图所示.
(4)证明：在△DOC和△AOE中，
∴△DOC≌△AOE(SAS).
∴∠OCD＝∠OEA.
∵OD＝OA，OE＝OC，
∴OE－OD＝OC－OA，即DE＝AC.
在△APC和△DPE中，
∴△APC≌△DPE(AAS).
∴CP＝EP.
在△POC和△POE中，
∴△POC≌△POE(SSS).
∴∠COP＝∠EOP，即OP平分∠MON.
13.求证：有两个角及其中一个角的平分线对应相等的两个三角形全等.
解：已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′，AD，A′D′分别是∠BAC，∠B′A′C′的平分线，且AD＝A′D′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
　　
证明：∵∠BAC＝∠B′A′C′，AD，A′D′分别是∠BAC，∠B′A′C′的平分线，
∴∠BAD＝∠B′A′D′.
在△ABD和△A′B′D′中，
∴△ABD≌△A′B′D′(AAS).
∴AB＝A′B′.
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
综合题
14.(长春中考)已知：如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°.易知：DB＝DC.
探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°.求证：DB＝DC.
证明：过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠DFC＝∠DEB＝90°.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD.
在△DFC和△DEB中，
∴△DFC≌△DEB(AAS).
∴DB＝DC.
八上数学同步课时训练12.3.2　角的平分线的判定
基础题
知识点1　角的平分线的判定
1.如图，PC⊥OA，PD⊥OB，当PC＝PD时，Rt△OPC≌Rt△OPD(HL)，∴∠POC＝∠POD.
2.如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件：①∠AOC＝∠BOC；②PD＝PE；③OD＝OE；④∠DPO＝∠EPO，其中能判定OC是∠AOB的平分线的有①②③④.
3.如图，BE＝CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠DFC＝90°.
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL).
∴DE＝DF.
∴AD是∠BAC的平分线.
4.(教材P51习题T3变式)如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.求证：
(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；
(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.
证明：(1)∵∠1＝∠2，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OE＝OD，∠ODB＝∠OEC＝90°.
在△BOD和△COE中，
∴△BOD≌△COE(ASA).
∴OB＝OC.
(2)在△BOD和△COE中，
∴△BOD≌△COE(AAS).
∴OD＝OE.
又∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AO平分∠BAC，即∠1＝∠2.
知识点2　三角形的角平分线
5.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的(B)
A.三条中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高的交点
D.以上均不对
6.如图，点O到△ABC三边的距离相等，∠ABC＝84°，则∠AOC＝132°.
知识点3　角的平分线的实际应用
7.如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处.若在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置.
解：图略.提示：∠AOB的平分线与AB的交点即为点M的位置.
中档题
8.(永州中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线相交于点E，若存在点P使得S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点P(D)
A.有且只有1个
B.有且只有2个
C.组成∠E的平分线
D.组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)
9.如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD距离都相等，则∠P＝90°.
10.【关注社会生活】如图所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，请用尺规作图找出符合实际要求的点.
解：在A，B，C，D四个区域各有一个点，图略.
11.(教材P50练习T2变式)如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线.
证明：过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，G，F.
又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，
∴DE＝DF，DG＝DF.
∴DE＝DG.
∴AD平分∠EAC，即AD是∠BAC的外角平分线.
综合题
12.(教材P52习题T7变式)如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：
(1)CO平分∠ACD；
(2)OA⊥OC；
(3)AB＋CD＝AC.
证明：(1)过点O作OE⊥AC于点E，
∵∠B＝90°，AO平分∠BAC，
∴OB＝OE.
∵点O为BD的中点，
∴OB＝OD.
∴OE＝OD.
又∵∠D＝90°，∠OEC＝90°，
∴CO平分∠ACD.
(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL).
∴∠AOB＝∠AOE＝∠BOE.
同理，∠COD＝∠COE＝∠DOE.
∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE
＝∠BOE＋∠DOE＝×180°
＝90°.
∴OA⊥OC.
(3)∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB＝AE.同理可得CD＝CE.
∵AC＝AE＋CE，∴AB＋CD＝AC.
微专题3
与角平分线有关的面积问题
【结论1】如图1，在△ABC中，AD是它的角平分线，则S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC.
【结论2】如图2，当点E在角平分线AD上的任何位置(不与点A重合)，都有S△ABE∶S△ACE＝AB∶AC.
1.如图，△ABC的三边AB，AC，BC的长分别为4，6，8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB∶S△OAC∶S△OBC＝2∶3∶4.
2.如图，△ABC的角平分线AD交BC于点D，BD∶DC＝2∶1.若AC＝3
cm，则AB＝6_cm.
3.如图，AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE，BD相交于点E，EF⊥AB于点F.若AB＝14，AC＝12，S△BDC＝20，则EF的长为2.)
八上数学同步课时训练12章小专题(六)
构造全等三角形的常用方法　　　　　　　　　　　　　　
方法1　利用“角平分线”构造全等三角形
　
因角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)，故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形：
(1)在角的两边截取两条相等的线段；
(2)过角平分线上一点作角两边的垂线段.
1.(滨州中考改编)如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，求证：PM＝PN.
证明：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠PEO＝∠PFO＝90°.
∴∠EPF＋∠AOB＝180°.
∵∠MPN＋∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN.
∴∠EPM＝∠FPN.
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF.
在△PEM和△PFN中，
∴△PEM≌△PFN(ASA).∴PM＝PN.
【拓展1】　OM＋ON的值是否发生变化？请说明理由.
解：OM＋ON的值不变.
理由：∵△PEM≌△PFN，∴ME＝NF.
易证△EPO≌△FPO，∴OE＝OF.
∴OM＋ON＝OE＋EM＋ON＝OE＋NF＋ON＝OE＋OF＝2OE＝定值.
【拓展2】　四边形PMON的面积是否发生变化？请说明理由.
解：四边形PMON的面积不变.
理由：∵△PEM≌△PFN，
∴S△PEM＝S△PFN.∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值.
方法2　利用“截长补短法”构造全等三角形
　
截长补短法的具体做法：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种方法适用于证明线段的和、差、倍、分等题目.
2.如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.
证明：在BC上截取BF＝AB，连接EF.
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠FBE，∠FCE＝∠DCE.
在△ABE和△FBE中，
∴△ABE≌△FBE(SAS).
∴∠A＝∠BFE.
∵AB∥CD，
∴∠A＋∠D＝180°.
∴∠BFE＋∠D＝180°.
∵∠BFE＋∠CFE＝180°，
∴∠CFE＝∠D.
在△FCE和△DCE中，
∴△FCE≌△DCE(AAS).
∴CF＝CD.
∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.
3.(德州中考)问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.
(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG.先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF＝BE＋DF；
(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？并说明理由.
解：EF＝BE＋DF仍然成立.
理由：延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，
∴∠B＝∠ADG.
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG(SAS).
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF.
在△AEF和△AGF中，
∴△AEF≌△AGF(SAS).∴EF＝FG.
∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF.
方法3　利用“倍长中线法”构造全等三角形
　
将中线延长一倍，然后利用“SAS”判定三角形全等.
4.如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM.
证明：延长AM至N，使MN＝AM，连接BN.
∵点M为BC的中点，
∴BM＝CM.
在△AMC和△NMB中，
∴△AMC≌△NMB(SAS).
∴AC＝BN＝AD，∠C＝∠NBM，∠ABN＝∠ABC＋∠NBM＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD.
在△ABN和△EAD中，
∴△ABN≌△EAD(SAS).
∴DE＝NA＝2AM.
方法4　利用“三垂直”构造全等三角形
　
如图，若AB＝AC，AB⊥AC，则可过斜边的两端点B，C向过A点的直线作垂线构造△ABD≌△CAE.在平面直角坐标系中，过顶点A的直线常为x轴或y轴.
5.已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将△ABC放在平面直角坐标系中，如图所示.
(1)如图1，若A(1，0)，B(0，3)，求C点坐标；
(2)如图2，若A(1，3)，B(－1，0)，求C点坐标；
(3)如图3，若B(－4，0)，C(0，－1)，求A点坐标.
解：(1)过点C作CD⊥x轴，垂足为D.
则∠CAD＋∠ACD＝90°.
∵∠BAC＝90°，∴∠BAO＋∠CAD＝90°.
∴∠BAO＝∠ACD.
在△ABO和△CAD中，
∴△ABO≌△CAD(AAS).∴BO＝AD，OA＝CD.
∵A(1，0)，B(0，3)，∴OA＝1，OB＝3.
∴AD＝3，CD＝1.∴OD＝OA＋AD＝4.
∴C(4，1).
(2)过点A作AD⊥x轴，垂足为D，过点C作CE⊥AD，垂足为E.同(1)可证△ACE≌△BAD，
∴AE＝BD，CE＝AD.
∵A(1，3)，B(－1，0)，
∴BD＝2，AD＝3.
∴CE＝3，DE＝AD－AE＝1.
∴C(4，1).
(3)过点A作AD⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为D，E.
同(1)可证△BAD≌△CAE，
∴CE＝BD，AE＝AD.
∵B(－4，0)，C(0，－1)，
∴OB＝4，OC＝1.
∴AE＝OB－BD＝OB－CE＝OB－(OC＋OE)＝3－AE.
∴AE＝.
∴A(－，).
八上数学同步课时训练12章章末复习(二)
全等三角形
分点突破
知识点1　全等三角形的性质
1.如图，△ABC≌△DEC，∠A＝70°，∠ACB＝60°，则∠E的度数为(B)
A.70°
B.50°
C.60°
D.30°
　　
2.如图，已知△ABC≌△DAE，BC＝2，DE＝5，则CE的长为(C)
A.2
B.2.5
C.3
D.3.5
知识点2　全等三角形的判定
3.(襄阳中考)如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D；②AC＝DB；③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是②(只填序号).
4.如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，点C在DE上.求证：△ABD≌△ACE.
证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
知识点3　全等三角形的实际应用
5.小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带(C)
A.①
B.②
C.③
D.①和②
　
6.如图，高速公路上有A，B两点，C，D为两村庄.已知DA＝10
km，CB＝15
km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B.现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，且DE⊥EC，则AB的长是25km.
知识点4　角平分线的性质与判定
7.下列各图中，OP是∠MON的平分线，点E，F，G分别在射线OM，ON，OP上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是(D)
8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D.若BC＝15，且BD∶DC＝3∶2，则点D到边AB的距离是6.
9.如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N，求证：PM＝PN.
证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD.
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(SAS).
∴∠ADB＝∠CDB，即BD平分∠ADC.
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN.
易错题集训
10.下列命题是真命题的是(D)
A.等底等高的两个三角形全等
B.周长相等的直角三角形都全等
C.有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D.有一边对应相等的两个等边三角形全等
11.如图所示，在正方形网格中，△ABC的三个顶点及点D，E，F，G，H都在格点上，现以D，E，F，G，H中的三点为顶点画三角形，则下列与△ABC面积相等但不全等的三角形是(D)
A.△EHD
B.△EGF
C.△EFH
D.△HDF
12.如图所示，Q是△OAB的角平分线OP上的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，QE⊥OB于点E，FQ⊥OQ交OA于点F，则下列结论正确的是(B)
A.PA＝PB
B.PC＝PD
C.PC＝QE
D.QE＝QF
常考题型演练
13.如图所示，在△ABC和△BDE中，点C在BD上，边AC交边BE于点F.若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于(C)
A.∠EDB
B.∠BED
C.∠AFB
D.2∠ABF
　　　　
14.(P35T12变式)(大庆中考)如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝(B)
A.30°
B.35°
C.45°
D.60°
15.(东营中考)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D.若BD＝3，AC＝10，则△ACD的面积是15.
　　　
16.(南充中考)已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.求证：
(1)BD＝CE；
(2)∠M＝∠N.
证明：(1)在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD＝CE.
(2)∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠DAE＝∠2＋∠DAE，
即∠BAN＝∠CAM.
由(1)得，△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠C.
在△ACM和△ABN中，
∴△ACM≌△ABN(ASA).
∴∠M＝∠N.
核心素养专练
17.【注重阅读理解】(贵阳中考)(1)阅读理解：
如图1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围.
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中.利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是2＜AD＜8；
(2)问题解决：
如图2，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF.
证明：延长FD至点G，使DG＝DF，连接BG，EG.
∵点D是BC的中点，
∴DB＝DC.
在△BDG和△CDF中，
∴△BDG≌△CDF(SAS).∴BG＝CF.
∵ED⊥FD，
∴∠EDF＝∠EDG＝90°.
在△EDF和△EDG中，
∴△EDF≌△EDG(SAS).∴EF＝EG.
∵在△BEG中，BE＋BG＞EG，
∴BE＋CF＞EF.
八上数学同步课时训练12章单元测试(二)　全等三角形
(时间：40分钟　满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1.下列各组图形中不是全等形的是(B)
2.如图，△ABC≌△DCB，点A与点D，点B与点C对应，如果AC＝6
cm，AB＝3
cm，那么DC的长为(A)
A.3
cm
B.5
cm
C.6
cm
D.无法确定
3.下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是(B)
A.甲和乙
B.乙和丙
C.甲和丙
D.只有丙
4.如图所示，有一个简易平分角的仪器(四边形ABCD)，其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点处，AB和AD沿着角的两边张开，并分别与AQ，AP重合，沿对角线AC画射线AE，AE就是∠PAQ的平分线.这个平分角的仪器的制作原理是(C)
A.角平分线性质
B.AAS
C.SSS
D.SAS
　　　
5.把等腰直角三角板ABC按如图所示立在桌上，顶点A顶着桌面，另两个顶点B，C分别距离桌面5
cm和3
cm.若分别过顶点B，C向桌面作垂线，则垂足之间的距离DE的长为(C)
A.4
cm
B.6
cm
C.8
cm
D.求不出来
6.如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，BC＝DE，则下列结论中不正确的是(D)
A.△ABC≌△CDE
B.CE＝AC
C.AB⊥CD
D.E为BC中点
7.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CE，BE＝CF.若∠A＝50°，则∠DEF的度数是(C)
A.75°
B.70°
C.65°
D.60°
8.如图，点O是△ABC的两外角平分线的交点，下列结论：①OB＝OC；②点O到AB，AC的距离相等；③点O到△ABC的三边的距离相等；④点O在∠A的平分线上.其中结论正确的个数是(C)
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题(每小题4分，共24分)
9.已知△ABC≌△DEF，∠A＝60°，∠F＝50°，点B的对应顶点是点E，则∠B的度数是70°.
10.如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC.若∠B＝20°，则∠C＝20°.
11.如图，已知∠C＝∠D，∠ABC＝∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段：AC＝BD或BC＝AD或OD＝OC或OA＝OB.
12.如图，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点M，那么点M到△ABC三边所在直线的垂线段的长度相等的理由是角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
13.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，4)，且AO＝BO，∠AOB＝90°，则点B的坐标为(－4，3).
14.如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE.下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE.其中正确的有①②③④.(填写正确的序号)
三、解答题(共44分)
15.(8分)如图，A，C，D，B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF，求证：DE＝CF.
证明：∵AC＝BD，
∴AC＋CD＝BD＋CD，
即AD＝BC.
在△AED和△BFC中，
∴△AED≌△BFC(ASA).
∴DE＝CF.
16.(10分)如图所示，C，D分别位于路段A，B两点的正北处与正南处，现有两车分别从E，F两处出发，以相同的速度直线行驶，相同时间后分别到达C，D两地，休整一段时间后又以原来的速度直线行驶，最终同时到达A，B两点，那么CE与DF平行吗？为什么？
解：CE∥DF.理由：
由题意可得CE＝DF，AC＝BD，∠A＝∠B＝90°，
在Rt△ACE和Rt△BDF中，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL).
∴∠CEA＝∠DFB.
∴CE∥DF.
17.(12分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，F在AC上，BD＝DF.求证：
(1)CF＝EB；
(2)AB＝AF＋2EB.
证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC.
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).
∴CF＝EB.
(2)在Rt△ADC和Rt△ADE中，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL).
∴AC＝AE.
∴AB＝AE＋EB＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.
18.(14分)【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法(即“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF.
(1)如图1，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据HL，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF.
(2)如图2，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是钝角.求证：△ABC≌△DEF.
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角.请你用尺规在图3中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等.(不写作法，保留作图痕迹)
(4)对于(3)，∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接填写结论：在△ABC与△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角，若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF.
解：(2)证明：分别过点C，F作CG⊥AB交AB的延长线于点G，FH⊥DE交DE的延长线于点H.
∵∠ABC，∠DEF都是钝角，
∴点G，H分别在AB，DE的延长线上.
∵CG⊥AG，FH⊥DH，∴∠CGA＝∠FHD＝90°.
∵∠CBG＝180°－∠ABC，∠FEH＝180°－∠DEF，∠ABC＝∠DEF，∴∠CBG＝∠FEH.
在△BCG和△EFH中，
∴△BCG≌△EFH(AAS).∴CG＝FH.
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL).
∴∠A＝∠D.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(AAS).
(3)如图，△DEF就是所求的三角形，△DEF和△ABC不全等.
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12章　小专题(五)　
全等三角形的基本模型
第十二章　全等三角形
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