资源简介

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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2019-2020学年秋季人教版八年级数学第13章轴对称单元检测
姓名：__________ 班级：__________考号：__________成绩：___________

题号 一 二 三 四 五 总分
评分 ? ? ? ? ? ?

一、单选题（共10题；共30分）
1.下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(?? )
A. B. C. D.
2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90 ，AD⊥BC于D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C=（?? ）

A.30 B.45° C.60 D.75
3如图，在ABC 中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D， 则图中有等腰三
角形（ ）

A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
4.已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE=∠C，② AQ=BQ，③BP=2PQ, ④AE+BD=AB，其正确的个数有（??? ）个．

A.1 B.2 C.3 D.4
5.如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AC=6cm. △ADC的周长为14cm，则BC的长是（???? ）

A.7cm B.8cm C.9cm D.10cm
6.甲、乙两名同学下棋，甲执圆子，乙执方子.如图，棋盘中心方子的位置用（－1，0）表示，右下角方子的位置用（0，－1）表示，甲将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形，甲放的位置是（?? ）

A.（－2，1） B.（－1，1） C.（－1，0） D.（－1，2）
7.如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E=30°，且AB=CE，则∠BAE的度数是（?????? ）

A.80° B.85° C.90° D.105°
8.如果等腰三角形两边长是6cm和3 cm，那么它的周长是(??? )
A.9 cm B.12 cm C.12cm或15cm D.15cm
9.下列说法中，说法正确的个数有（?? ）
①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②等腰三角形的两底角相等；③钝角三角形不可能使等腰三角形；④有一高与一中线重合的三角形是等腰三角形；⑤在三角形中，相等的边所对的角也相等
A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
10.如图，在等腰 ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是（ ??）

A.60° B.55° C.50° D.45°
二、填空题（共6题；共24分）
11.已知，a，b，c是△ABC三边，且满|a﹣c|+|b﹣c|=0，则△ABC是________ 三角形．
12.如图，在△ABC中，AB=AC，CD=CB，若∠ACD=42°，则∠BAC=________．

13.若等腰三角形有一个内角为80°，则该等腰三角形顶角的度数为________
14.如图，△ABC的AC边的垂直平分线DE交BC于点E，若BC=4，AB=3，则△ABE的周长为________

15.点 P（3，﹣4）关于 y 轴对称点的坐标是________．
16.在三角形ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，则底角的度数________．
三、解答题（共9题；共66分）
17.（6分）如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．

18.（6分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．

求证：AD=AE．

19.（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．

（1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹．
（2）连接CD，若△ABC的底边长为5，周长为21，求△BCD的周长．
20.（7分）如图，△ACB和△ADE均为等边三角形，点C、E、D在同一直线上，在△ACD中，线段AE是CD边上的中线，连接BD．求证：CD=2BD．

21.（7分）△ABC的三边长分别为a，b，c，且2a+ab=2c+bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形，还是直角三角形？并说明理由

22.（7分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D 为 BC 的中点，DE⊥AC 于点 E，AE＝8，求 CE 的长．


23.（9分）如图，△ABC中,∠A＝60°,P为AB上一点， Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于D, PD=DQ,证明：△ABC为等边三角形.


24.（9分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．

（1）①请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
②请作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点B1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
23.（9分）如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为（0，1），∠BAO=30°．

（1）求AB的长度；
（2）以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D．求证：BD=OE；
（3）在（2）的条件下，连接DE交AB于F．求证：F为DE的中点．
















参考答案
第 1题:
【答案】 C
【解析】【解答】观察图形，结合轴对称图形和中心对称图形的定义可知：是轴对称图形但不是中心对称图形的是A和D；既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是B；既是轴对称图形又是中心对称图形的是C。
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可。
第 2 题:
【答案】 A
【解析】【解答】解：由折叠的性质，得∠B=∠AEB，
∵E点在AC的垂直平分线上，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C，
由外角的性质，可知
∠B=∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，即2∠C+∠C=90°，
解得∠C=30°，
故答案为：A.
【分析】根据折叠的性质得出∠B=∠AEB，根据线段垂直平分线上的点到线段两边的距离相等得出EA=EC，根据等边对等角得出∠EAC=∠C，再根据三角形的外角性质得出∠B=∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，最后根据直角三角形的两锐角互余建立方程，求解即可。
第 3 题:
【答案】D
第 4 题:
【答案】 C
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
AB＝AC，∠BAE＝∠C，AE＝CD，
∴△ABE≌△CAD（SAS）.
∴∠ABE =∠CAD，
∴∠APE=∠ABE +∠BAP=∠CAD +∠BAP =∠BAC=60°，
∴∠APE=∠C.
故①结论正确；
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-60°=30°，
∴BP=2PQ．
故③结论正确；
∵△ABE≌△CAD，
∴AE=CD，
∴AE+BD=CD+BD=BC=AB.
故④结论正确；
无法证明AQ=BQ成立，故②结论错误.
故答案为：C．
【分析】根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAE=∠C=60°，然后利用SAS判断出△ABE≌△CAD，根据全等三角形的对应角相等得出∠ABE =∠CAD，根据三角形外角定理得出∠APE=60°=∠C，故①结论正确；根据直角三角形的两锐角互余得出∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-60°=30°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出BP=2PQ，故③结论正确；根据全等三角形的对应边相等，由△ABE≌△CAD，得出AE=CD，根据线段的和差、等量代换及等边三角形的性质得出AE+BD=CD+BD=BC=AB，故④结论正确；无法证明AQ=BQ成立，故②结论错误，综上所述即可得出答案。
第 5 题:
【答案】 B
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分，
∴BD=AD；
∵△ADC的周长为14cm，
∴AC+CD+AD=14cm，
即AC+CD+BD=AC+BC=14cm.
∵AC=6cm，
∴BC =8cm.
故答案为：B．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出BD=AD；根据三角形周长的计算方法奖励方程，再由等量代换、线段的和差即可算出答案。
第 6 题:
【答案】 B
【解析】【解答】解：根据题目中给出的两个棋子的坐标可知，原图中最右侧的圆子位于坐标原点O，并且可以确定如图①所示的平面直角坐标系.

在画出上述平面直角坐标系的棋盘上依次标注各选项所描述的第4枚圆子的位置(如图②至图⑤；该圆子所在位置用相应的选项名称在图中标注).
观察图②至图⑤可以看出，在四个选项中，只有按照B选项给出的坐标放置第4枚圆子才能使整个图形成为轴对称图形(图③中的虚线表示该图形的对称轴).
故本题应选B.
【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，这个图形的两部分能完全重合，那么这个图形是轴对称图形。由方子所在的位置可知对称轴是过点（-1,0）和（0，-1）的直线，所以根据轴对称图形的定义可知甲放的第四枚棋子应为（-1,1）。
第 7 题:
【答案】 C
【解析】【解答】∵点C在AE的垂直平分线MN上
∴AC=CE
∴∠EAC=∠E=30°
又∵AB=CE
∴AB=AC
∴∠B=∠ACB
又∵∠ACB是△ACE的外角
∴∠ACB=∠EAC+∠E=60°
∴∠B=∠ACB=60°
在△ABE中，∠BAE+∠E+∠B=180°
∴∠BAE=180°-∠E-∠B=180°-30°-60°=90°。
故答案为：C.
【分析】先根据线段的垂直平分线的性质证得线段AC=CE，然后用等腰三角形的性质得∠EAC=∠E=30°和∠B=∠ACB；再用 三角形外角的性质求得∠ACB=60°，易得∠B=∠ACB=60°；最后用三角形内角和定理求出∠BAE=90°。
第 8 题:
【答案】 D
【解析】【解答】根据题意可知，等腰三角形的三边长为6、6、3或6、3、3，根据三角形任意两边之和大于第三边，可知等腰三角形的边长为6,6,3
∴三角形的周长=6+6+3=15cm
故答案为：D。
【分析】根据等腰三角形的性质，可得出三角形边长的两种情况；根据三角形的三边关系进行判断，得出符合题意的一组等腰三角形的边，求出其周长即可。
第 9 题:
【答案】 D
【解析】【解答】①有两个角相等的三角形是等腰三角形，正确， ②等腰三角形的两底角相等，正确，
③钝角三角形不可能使等腰三角形，错误，
④有一高与一中线重合的三角形是等腰三角形，正确，
⑤在三角形中，相等的边所对的角也相等，正确，
综上，一共有4个正确的，
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的性质和判定定理分别进行判断即可。
第 10 题:
【答案】 C
【解析】【解答】如图，连接OB，

∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC=12×50°=25°.
又∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=65°.
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC?∠ABO=65°?25°=40°.
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE.
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°?∠COE?∠OCB=180°?40°?40°=100°
∴∠CEF= ∠CEO=50°.
故答案为：C.
【分析】根据题目中的垂直平分线以及角平分线可以求得∠OBA=∠BAO=25°，根据等腰三角形的性质以及折叠的性质，可以求得∠CEF的度数。
第 11 题:
【答案】 等边
【解析】【解答】解：根据非负数的性质， ??
解得 ?
?
是等边三角形．
故答案为：等边.
【分析】根据绝对值的非负性，由几个非负数的和为0，则这几个数都为0即可得出 解得故a=b=c，根据三边相等的三角形是等边三角形得出结论： △ABC是 等边三角形。
第 12 题:
【答案】 32°
【解析】【解答】解：设∠BAC=x，则∠BDC=42°+x．
∵CD=CB，
∴∠B=∠BDC=42°+x．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=42°+x，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=x，
∴∠ADC=∠B+∠BCD=42°+x+x=42°+2x．

∵∠ADC+∠BDC=180°，
∴42°+2x+42°+x=180°，
解得x=32°，
所以∠BAC=32°．
【分析】设∠BAC=x，根据三角形外角的性质得出∠BDC=42°+x．根据等边对等角得出∠B=∠BDC=42°+x．∠ACB=∠B=42°+x，根据角的和差得出∠BCD=∠ACB-∠ACD=x，根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BCD=42°+x+x=42°+2x．根据邻补角的定义得出∠ADC+∠BDC=180°，从而整体代换求解即可。
第 13 题:
【答案】 80°或20°
【解析】【解答】解：当该内角为顶角时，等腰三角形的顶角度数为80°；当该内角为底角时，顶角度数为20°
故答案为：20°或80°
【分析】根据题意可知，80°的内角可能为顶角，也可能为底角，分情况进行讨论即可。
第 14 题:
【答案】 7
【解析】【解答】解：∵ED为线段AC的垂直平分线
∴AE=EC
∵△ABE的周长=AB+BE+AE
即周长=AB+BE+EC=AB+BC=7。
故答案为：7。
【分析】根据线段垂直平分线的性质，到线段两个端点的距离相等，即可将△ABE的周长转化为AB和BC两条边的边长。
第 15 题:
【答案】 （-3，﹣4）
【解析】【解答】解：∵关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数. ∴P（3，﹣4）关于 y 轴对称点的坐标是（-3，﹣4）
故答案为：（-3，﹣4）.
【分析】关于y轴对称的点的坐标特征为：横坐标互为相反数，纵坐标不变，根据条件，得出P点关于y轴的对称点即可。
第 16 题:
【答案】 65°或25°
【解析】【解答】解：若△ABC为锐角等腰三角形，如下图，∠1=40°， 由题可知∠A=90°-40°=50°，
∴∠B=∠C=（180°-50°）÷2=65°，

若△ABC为钝角等腰三角形，如下图，∠1=40°，

∴∠A=90°+40°=130°，
∴∠B=∠C=（180°-130°）÷2=25°，
综上，底角的度数为65°或25°.
故答案为：65°或25°。
【分析】根据题意可知，三角形共有两种不同的形态，分别根据两种形态下的三角形，做出图形，求得底角的度数即可。
第 17 题:
【答案】 证明：∵BM=CN，BC=AC，∴CM=AN，
又∵AB=AC，∠BAN=∠ACM，
∴△AMC≌△BNA，则∠BNA=∠AMC，
∵∠MAN+∠ANB+∠AQN=180°
∠MAN+∠AMC+∠ACB=180°，
∴∠AQN=∠ACB，
∵∠BQM=∠AQN，
∴∠BQM=∠AQN=∠ACB=60°
【解析】【分析】根据BM=CN可得CM=AN，易证△AMC≌△BNA，得∠BNA=∠AMC，根据内角和为180°即可求得∠BQM=∠ACB=60°，即可解题．
第 18 题:
【答案】 证明：过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC，
∴BF=CF，
∵BD=CE，
∴DF=EF，
∴AD=AE．
【解析】【分析】过点A作AF⊥BC于点F，根据等腰三角形的三线合一得出BF=CF，然后根据等式的性质得出DF=EF，根据中垂线定理得出AD=AE.
第 19 题:
【答案】 （1）解：∴点D如图所示；


（2）解：∵BC=5，C△ABC=21
∴ AB=AC=(21-5)÷2=8
∵ AD=CD
∴ C△BCD=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=5+8=13
【解析】【分析】（1）直接利用尺规作出线段AC的中垂线即可；
（2）由条件可知腰AB的长，根据线段中垂线的性质可得DA=DC，从而BD+DC可转化为AB，据此即可解答。

第 20 题:
【答案】 解：∵△ACB和△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，
即∠CAE=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
AB=AC，∠CAE=∠BAD，AD=AE，
∴△ACE≌△ABD（SAS），?
∴BD=CE，
又∵AE是CD边上的中线，
∴CD=2CE，
∴CD=2BD.
【解析】【分析】根据等边三角形的性质得出 AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， 根据等式的性质得出 ∠CAE=∠BAD， 然后利用SAS判断出 △ACE≌△ABD ，根据全等三角形对应边相等得出 BD=CE， 又 CD=2CE， 故 CD=2BD.
第 21 题:
【答案】 解：由原式得a(2+b)=c(2+b)
a(2+b)-c(2+b)=0
（2+b)(a-c)=0
∵2+b≠0
∴a-c=0
∴a=c
∴△ABC是等腰三角形.
【解析】【分析】通过对已知式的变形整理可得三角形中边的关系，即由2a+ab=2c+bc变形可得（2+b）（a-c）=0能得到a=c，故可判断是等腰三角形。
第 22 题:
【答案】 解：连接 AD，

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，D 为 BC 的中点，
∴AD⊥BC，AD 平分∠BAC，∠B＝∠C＝30°
∴∠DAC＝ ∠BAC＝60°，
∵DE⊥AC于E，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝30°，
在 Rt△ADE 中，AE＝8，∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE＝16，
在 Rt△ADC 中，AD＝16，∠C＝30°，
∴AC＝2AD＝32，
则CE＝AC﹣AE＝32﹣8＝24．
【解析】【分析】连接AD，利用等边对等角即可得到∠B和∠C的度数，在直角三角形ADE中，可以求得AD的长度，在直角三角形ADC中，可以求得AC的长度，继而得到CE的长度。
第 23 题:
【答案】 解：如图，过P作PE∥BQ交AC于E，

∴∠EPD=∠Q，
在△EPD和△CQD中，
∵
∴△EPD≌△CQD（ASA），
∴PE=CQ，∵PA=CQ，∴PE=PA，∴∠PEA=∠A=60°，
∵PE∥BQ，∴∠PEA=∠ACB=60°∴∠A=∠ACB=∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形.
【解析】【分析】 如图，过P作PE∥BQ交AC于E， 根据二直线平行，内错角相等得出 ∠EPD=∠Q， 然后利用ASA判断出 △EPD≌△CQD ，根据全等三角形对应边相等得出 PE=CQ ，又 PA=CQ，故PE=PA ，根据等边对等角得出 ∠PEA=∠A=60°， 根据二直线平行，同位角相等得出 ∠PEA=∠ACB=60°，根据三角形的内角和得出∠A=∠ACB=∠B=60°， 根据三个角是60°的三角形是等边三角形得出结论： △ABC为等边三角形.
第 24 题:
【答案】 （1）解：如图，△A1B1C1即为所求


（2）解：由图可知，B1（2，1）
（3）解：S△ABC=3×4﹣ ×2×4﹣ ×2×1﹣ ×2×3=12﹣4﹣1﹣3=4
【解析】【分析】（1）①由A、C两点的坐标可知，点A、C都在第二象限，根据平面直角坐标系的定义即可画图；
②根据关于y轴对称的点的特点“纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数”可求得点A、B、C的对应点的坐标，由新的坐标即可画出图形；
（2）把三角形ABC放在矩形中，用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可求解。
第 25 题:
【答案】 （1）解：∵在Rt△ABO中，∠BAO=30°，
∴AB=2BO=2.

（2）证明：连接OD，

∵△ABE为等边三角形，
∴AB=AE，∠EAB=60°，
∵∠BAO=30°，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D，
∴∠DAO=60°．
∴∠EAO=∠NAB
又∵DO=DA，
∴△ADO为等边三角形．
∴DA=AO．
在△ABD与△AEO中，
∵ ，
∴△ABD≌△AEO（SAS）．
∴BD=OE．

（3）证明：作EH⊥AB于H．

∵AE=BE，∴AH= AB，
∵BO= AB，∴AH=BO，
在Rt△AEH与Rt△BAO中，
，
∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL），
∴EH=AO=AD．
又∵∠EHF=∠DAF=90°，
在△HFE与△AFD中，
，
∴△HFE≌△AFD（AAS），
∴EF=DF．
∴F为DE的中点．
【解析】【分析】（1）在直角三角形ABO中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得AB的长度。
（2）连接OE，根据线段垂直平分线上的点，到线段两个段点的距离相同，即可求得OD=AD，证明三角形ADO为等边三角形，根据两个三角形的对应边及其夹角相同，即可证明两个三角形全等，即 △ABD≌△AEO ，根据三角形全等的性质，即可得出BD=OE。
（3） 作EH⊥AB于H，根据两个直角三角形的一条直角边以及斜边对应相等，即可证明 Rt△AEH≌Rt△BAO，根据三角形全等的性质，得出AO=EH，继而根据三角形的两个角及其一角的对边对应相等，即可证明三角形全等 △HFE≌△AFD?，最后进行中点的证明即可。

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