资源简介


 密码作弊



题型切片（两个）
对应题目
题型目标
与方程（组）、不等式的综合
例1，例2，练习1，练习2，练习3；例6；
一次函数的实际应用
例3；例4，练习4；例5，练习5．






⑴ 方程的解为________，自变量时，函数的值为0.
⑵ 直线和的位置关系是 ，由此可知方程组解的情
况为_____.
⑶ 方程组的解为_____，由此可知直线与的交点坐标为_____.
在同一直角坐标系中画出⑶中与的图象，通过观察图象，填空：
① 当 时，，当 时，
② 当 时，，当 时，
⑴ ，； ⑵平行，无解； ⑶ ， ；
图象如下：
①当时， ；当时，；
②当，；当时，

在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度与燃烧时间之间的关系如图（实线为甲，虚线为乙），请根据图上信息，回答下列问题：
⑴ 甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是多少？从点燃到燃尽所用的时间分别是多少？
⑵ 分别求出甲、乙两根蜡烛燃烧时与的函数关系式；
⑶ 燃烧多久后，甲、乙两根蜡烛的高度相等？在什么时间范围内，甲蜡烛比乙蜡烛高？什么时间范围内，甲蜡烛比乙蜡烛低？
⑴ 如图，直线与坐标轴交于A（，0），B（0，5）两点，
则不等式的解集为_________.
⑵如图，已知直线与直线的交点的横坐标为1，
根据图象有下列四个结论：
①； ②；
③对于直线上任意两点、，若
，则； ④是不等式的解集．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
（实验中学期末）
⑶如图，直线经过两点，则不等式
的解集为_________________．

一次函数实际应用题的命题形式多样，可以大致归为以下几类：⑴方案设计问题（物资调运、方案比较）；⑵分段函数问题（分段价格、几何动点）；⑶解读图象（单个函数图象、多个函数图象）。⑷一次函数多种变量及其最值问题。这些问题都渗透着函数的方法和思想，其中一次函数多种变量及其最值是一个重难点，解决此问题的窍门是——列表，详见例题．

密码学与数学是有关系的．某校初二一班数学兴趣小组经过研究实验，用所学的一次函数知识制作了一种密钥的编制程序．他们首先设计了一个“字母——明码对照表”：
字母
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
明码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
字母
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
明码
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
例如，以为密钥，将“努力”二字进行加密转换后得到下表：
汉字
努
力
拼音
N
U
L
I
明码：
14
21
12
9
密钥：
密码：
53
74
因此，“努”字加密转换后的结果是“5374”．
问题：
⑴请你求出当密钥为时，“力”字经加密转换后的结果；
⑵为了提高密码的保密程度，需要频繁地更换密钥．若“努力”二字用新的密钥加密转换后得到下表：
汉字
努
力
拼音
N
U
L
I
明码：
14
21
12
9
密钥：
密码：
91
73
请求出这个新的密钥，并直接写出“努”字用新的密钥加密转换后的结果．
⑴ 当，；当，
∴“力”字转换后为“4738”
⑵ 由“力”字的转换可知，当，；当，，代入中，得
解得，
∴
当时，；当，，
∴“努”转换后为“103145”

王鹏和李明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米．王鹏骑自行车，李明步行．当王鹏从原路回到学校时，李明刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
⑴王鹏在图书馆查阅资料的时间为 分钟，王鹏返回学校的速度为 千米/分钟；
⑵请求出李明离开学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系式；
⑶当王鹏与李明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？
如图，某公司专销A产品，第一批A产品上市40天内全部售完．该公司对第一批A产品上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中甲图中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；乙图中的折线表示的是每件A产品的销售利润与上市时间的关系．
⑴试写出第一批A产品的市场日销售量y与上市时间t的关系式；
⑵第一批A产品上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？（说明理由）
在某次抗震救灾中得知，甲、乙两个重灾区急需一种大型挖掘机，甲地需要25台，乙地需要23台．、两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠该型号挖掘机26台和22台并将其全部调往灾区．如果从省调运一台挖掘机到甲地要耗资0.4万元，到乙地要耗资0.3万元；从省调运一台挖掘机到甲地要耗资0.5万元，到乙地要耗资0.2万元．设从省调往甲地台挖掘机，、两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资万元．
⑴ 请直接写出与之间的函数关系式及自变量的取值范围．
⑵ 若要使总耗资不超过15万元，有哪几种调运方案？
⑶ 怎样设计调运方案能使总耗资最少？最少耗资多少万元？

阅读：我们知道，在数轴上，表示一个点，而在平面直角坐标系中，表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线（如图1）．观察图1可以得出：直线与直线的交点的坐标就是方程组的解，所以方程组的解为．
在直角坐标系中，表示一个平面区域，即直线以及它左侧的部分（如图2）；也表示一个平面区域，即直线以及它下方的部分（如图3）．
回答下列问题：
⑴ 在直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组的解；
⑵ 用阴影表示所围成的区域；
⑶ 求在直角坐标平面中不等式围成的面积．

题型一 一次函数与方程（组）和不等式 巩固练习
已知：直线.
⑴求直线与x轴的交点B的坐标，并画图；
⑵若过y轴上一点A（0，3）作与x轴平行的直线l，求它与直线的交点M的坐标；
⑶若过x轴上一点C（3，0）作与x轴垂直的直线m，求它与直线的交点N的坐标．
⑴ 用图象法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象，如图所示，则所解的二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
⑵ 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如右图，则关于的不等式的解集为（ ）．
A. B. C. D.
⑶ 如图，直线经过和两点，则不等式组
的解集为 ．
用画图象的方法解不等式．
题型二 一次函数的实际应用 巩固练习
我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民
用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水吨以内（包括吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过吨的用户，吨水仍按每吨元收费，超过吨的部分，按每吨元收费．设一户居民月用水吨，应收水费元，与之间的函数关系如图所示．
⑴ 求的值；某户居民上月用水吨，应收水费多少元？
⑵ 求的值，并写出当时，与之间的函数关系式；
⑶ 已知居民甲上月比居民乙多用水吨，两家共收水费元，
求他们上月分别用水多少吨？
某服装厂现有A种布料，B种布料52．现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装80套，已知做一套M型号的时装需要A种布料，B种布料，可获利45元；做一套N型号的时装需要A种布料，B种布料，可获利50元．若设生产N型号的时装套数为，用这批布料生产这两种型号的时装所获的总利润为元．
⑴ 求与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
⑵ 该服装厂在生产这批时装中，当生产N型号的时装多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？


 密码作弊



题型切片（两个）
对应题目
题型目标
与方程（组）、不等式的综合
例1，例2，练习1，练习2，练习3；例6；
一次函数的实际应用
例3；例4，练习4；例5，练习5．

本讲内容主要分为两个题型，题型一主要是在上讲的基础上引导学生通过动手操作，从形与数两个角度体会一次函数与方程及不等式之间的联系，并可以根据一次函数的图象求二元一次方程组中的近似值，通过例题使学生逐步明确两条直线交点与二元一次方程组的关系．题型二的一次函数应用题版块通过综合一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内容，实现数与形有机地结合，能体现分类讨论、对应、极端值等数学思想与方法，并且容易与现实生活中的事件联系起来以体现数学的应用价值．一次函数应用题考查的最主要考点集中在三个方面：⑴学生对数形结合的认识和理解；⑵将实际问题转化为一次函数的能力，即数学建模能力；⑶分类讨论、极端值、对应关系、有序性的数学思想方法的考查；⑷对一次函数与方程、不等式关系的理解与转化能力．
本讲的最后一道例题是一道经典数形结合题目，将一次函数与方程及不等式的关系通过画图的形式进行展现，能够让学生更好地理解及使用函数的图象．






⑴ 方程的解为________，自变量时，函数的值为0.
⑵ 直线和的位置关系是 ，由此可知方程组解的情
况为_____.
⑶ 方程组的解为_____，由此可知直线与的交点坐标为_____.
在同一直角坐标系中画出⑶中与的图象，通过观察图象，填空：
① 当 时，，当 时，
② 当 时，，当 时，
⑴ ，； ⑵平行，无解； ⑶ ， ；
图象如下：
①当时， ；当时，；
②当，；当时，

在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度与燃烧时间之间的关系如图（实线为甲，虚线为乙），请根据图上信息，回答下列问题：
⑴ 甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是多少？从点燃到燃尽所用的时间分别是多少？
⑵ 分别求出甲、乙两根蜡烛燃烧时与的函数关系式；
⑶ 燃烧多久后，甲、乙两根蜡烛的高度相等？在什么时间范围内，甲蜡烛比乙蜡烛高？什么时间范围内，甲蜡烛比乙蜡烛低？
⑴ 甲乙的高度分别为；时间分别为.
⑵ 甲：
乙：
⑶ 联立甲乙的解析式，求得方程组的解为
∴燃烧1小时的时候，甲乙高度相等；1小时之后，甲比乙高；1小时之前，甲比乙低.
⑴ 如图，直线与坐标轴交于A（，0），B（0，5）两点，
则不等式的解集为_________. （海淀期末试题）
⑵如图，已知直线与直线的交点的横坐标为1，
根据图象有下列四个结论：
①； ②；
③对于直线上任意两点、，若
，则； ④是不等式的解集．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
（实验中学期末）
⑶如图，直线经过两点，则不等式
的解集为_________________．
⑴ ⑵ C
⑶ ，此题要求学生补上的图象，然后利用图象法来解不等式，这样才能体现一种函数思想. 当然，也可以用待定系数法求解析式，然后解不等式组，但是较为麻烦.

一次函数实际应用题的命题形式多样，可以大致归为以下几类：⑴方案设计问题（物资调运、方案比较）；⑵分段函数问题（分段价格、几何动点）；⑶解读图象（单个函数图象、多个函数图象）。⑷一次函数多种变量及其最值问题。这些问题都渗透着函数的方法和思想，其中一次函数多种变量及其最值是一个重难点，解决此问题的窍门是——列表，详见例题．

密码学与数学是有关系的．某校初二一班数学兴趣小组经过研究实验，用所学的一次函数知识制作了一种密钥的编制程序．他们首先设计了一个“字母——明码对照表”：
字母
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
明码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
字母
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
明码
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
例如，以为密钥，将“努力”二字进行加密转换后得到下表：
汉字
努
力
拼音
N
U
L
I
明码：
14
21
12
9
密钥：
密码：
53
74
因此，“努”字加密转换后的结果是“5374”．
问题：
⑴请你求出当密钥为时，“力”字经加密转换后的结果；
⑵为了提高密码的保密程度，需要频繁地更换密钥．若“努力”二字用新的密钥加密转换后得到下表：
汉字
努
力
拼音
N
U
L
I
明码：
14
21
12
9
密钥：
密码：
91
73
请求出这个新的密钥，并直接写出“努”字用新的密钥加密转换后的结果． （东城期末）
⑴ 当，；当，
∴“力”字转换后为“4738”
⑵ 由“力”字的转换可知，当，；当，，代入中，得
解得，
∴
当时，；当，，
∴“努”转换后为“103145”

王鹏和李明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米．王鹏骑自行车，李明步行．当王鹏从原路回到学校时，李明刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
⑴王鹏在图书馆查阅资料的时间为 分钟，王鹏返回学校的速度为 千米/分钟；
⑵请求出李明离开学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系式；
⑶当王鹏与李明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？ （西城期末）
⑴ 15，．
⑵ 设线段OD所在直线为
∵点D（45，4）在此直线上，则4= 45k，
∴．
∴当时，
⑶ 设线段BC所在直线为．
∵点B（30，4）和点C（45，0）在此直线上．
则，解得
∴
∴当时，
由⑵知线段OD所在直线为，
由，解得
∴直线OD与BC的交点坐标为．
答：当王鹏与李明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米.
如图，某公司专销A产品，第一批A产品上市40天内全部售完．该公司对第一批A产品上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中甲图中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；乙图中的折线表示的是每件A产品的销售利润与上市时间的关系．
⑴试写出第一批A产品的市场日销售量y与上市时间t的关系式；
⑵第一批A产品上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？（说明理由）
⑴由图甲可知，
当0≤t≤30时，设市场的日销售量为y=kt．
∵点(30，60)在图象上，∴60＝30k，k=2． ∴y=2t．
当30≤t≤40时，设市场的日销售量为
∵点(30，60)和(40，0)在图象上，∴ 解得k1=-6，b=240.
∴ .
综合可知
⑵由图乙知
①当0≤t≤20时，每件产品的日销售利润为y＝3t，产品的日销售利润为 y=3t×2t=6t2．
∴t＝20时，y最大＝6×202＝2400(万元)．
②当20∴t=30时，y最大＝120×30＝3600(万元)．
③当30y=60(－6t＋240)＝－360t＋14400，
∴t＝30时，y最大＝－360×30＋14400＝3600(万元)．
综上可知，第30天这家公司市场的日销售利润最大为3600万元．
在某次抗震救灾中得知，甲、乙两个重灾区急需一种大型挖掘机，甲地需要25台，乙地需要23台．、两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠该型号挖掘机26台和22台并将其全部调往灾区．如果从省调运一台挖掘机到甲地要耗资0.4万元，到乙地要耗资0.3万元；从省调运一台挖掘机到甲地要耗资0.5万元，到乙地要耗资0.2万元．设从省调往甲地台挖掘机，、两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资万元．
⑴ 请直接写出与之间的函数关系式及自变量的取值范围．
⑵ 若要使总耗资不超过15万元，有哪几种调运方案？
⑶ 怎样设计调运方案能使总耗资最少？最少耗资多少万元？
此类调运分配问题是一个难点，数量关系非常复杂，最简单的方法是列一个表格，把所有相关的量填写清楚，这样所有问题都将一目了然．
A省
B省
台数（台）
耗资（万元）
台数（台）
耗资（万元）
甲区
乙区
或
⑴ 由上表可知
化简得
又∵，，
∴自变量的取值范围为
⑵ ，得
∵为整数且，∴
∴调运方案有两种，如下列：
方案一：
A
B
甲
24
1
乙
2
21
方案二：
A
B
甲
25
0
乙
1
22
⑶ 由可知随的增大而减小
∴当时，
∴⑵问中的方案二可使总耗资最少为14.7万元．

阅读：我们知道，在数轴上，表示一个点，而在平面直角坐标系中，表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线（如图1）．观察图1可以得出：直线与直线的交点的坐标就是方程组的解，所以方程组的解为．
在直角坐标系中，表示一个平面区域，即直线以及它左侧的部分（如图2）；也表示一个平面区域，即直线以及它下方的部分（如图3）．
回答下列问题：
⑴ 在直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组的解；
⑵ 用阴影表示所围成的区域；
⑶ 求在直角坐标平面中不等式围成的面积．
⑴ 由右上图象可知，直线和直线交于点，
∴方程组的解是．
⑵ 如右图所示；
⑶ 根据绝对值的意义，不等式可围成多边形，
即4条直线，，，
所围成的四边形（如右图），其面积为．

取何值时，直线的交点在第三象限内.
解方程组，得，由得．
在直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设为整数，当直线与的交点为整点时，求此时的值.
解方程组得 将的值分离常数得
∵为整数，∴
对于三个数、、，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如，，那么观察图象，可得到的最大值为 ．
（西城期末试题）

此题可由三个交点分区间来观察，可看出，函数值较小的一部分图象是在与的交点点下方的折线，其最大值为1．
某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有分钟，于是立即步行回家取票.同时，他父亲从家里出发骑自行车以他倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆.下图中线段分别表示父、子俩送票、取票过程中离体育馆的路程（米）与所用时间（分钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）：
⑴ 求点的坐标和所在直线的函数关系式；
⑵ 小明能否在比赛开始前到达体育馆？
⑴ 解法一：
从图象可以看出：父子俩从出发到相遇时都花费了15分钟，
设小明步行的速度为米/分，则小明父亲骑车的速度为米/分，
依题意得：，解得：，
所以两人相遇处离体育馆的距离为米，
所以点的坐标为．
设直线的函数关系式为，
由题意，直线经过点得：
，解之得，
∴直线的函数关系式为：．
解法二：
从图象可以看出：父子俩从出发到相遇花费了分钟．
设父子俩相遇时，小明走过的路程为米．
依题意得：，解得，
所以点的坐标为，以下同解法一．
⑵ 解法一：小明取票后，赶往体育馆的时间为：分钟
小明取票花费的时间为：分钟．
∵，∴小明能在比赛开始前到达体育馆．
解法二：在中，令，得，解得：．
即小明的父亲从出发到体育馆花费的时间为分钟，因而小明取票的时间也为
分钟．
∵，∴小明能在比赛开始前到达体育馆．


题型一 一次函数与方程（组）和不等式 巩固练习
已知：直线.
⑴求直线与x轴的交点B的坐标，并画图；
⑵若过y轴上一点A（0，3）作与x轴平行的直线l，求它与直线的交点M的坐标；
⑶若过x轴上一点C（3，0）作与x轴垂直的直线m，求它与直线的交点N的坐标．
本题主要考察两种平行于坐标轴的直线x=a，y=b
⑴B 画图略
⑵直线l：y=3 ∴M（-10，3）
⑶直线m：x=3 ∴N（3，）
⑴ 用图象法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象，如图所示，则所解的二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
⑵ 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如右图，则关于的不等式的解集为（ ）．
A. B. C. D.
⑶ 如图，直线经过和两点，则不等式组
的解集为 ．
⑴ D ⑵ B
⑶画出直线的图象恰好过点，利用图象法解得.
用画图象的方法解不等式．
（海淀期末）
令，在同一坐标系中画出两个函数的图象（图略），观察交点横坐标为，当时，即.
题型二 一次函数的实际应用 巩固练习
我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民
用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水吨以内（包括吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过吨的用户，吨水仍按每吨元收费，超过吨的部分，按每吨元收费．设一户居民月用水吨，应收水费元，与之间的函数关系如图所示．
⑴ 求的值；某户居民上月用水吨，应收水费多少元？
⑵ 求的值，并写出当时，与之间的函数关系式；
⑶ 已知居民甲上月比居民乙多用水吨，两家共收水费元，
求他们上月分别用水多少吨？
⑴ 当时，有．将，代入，得． 用8吨水应收水费（元）．
⑵ 当时，有．
将，代入，得．．
故当时，．
⑶因，
所以甲、乙两家上月用水均超过10吨．
设甲、乙两家上月用水分别为吨，吨，
则
解之，得
故居民甲上月用水吨，居民乙上月用水吨
某服装厂现有A种布料，B种布料52．现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装80套，已知做一套M型号的时装需要A种布料，B种布料，可获利45元；做一套N型号的时装需要A种布料，B种布料，可获利50元．若设生产N型号的时装套数为，用这批布料生产这两种型号的时装所获的总利润为元．
⑴ 求与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
⑵ 该服装厂在生产这批时装中，当生产N型号的时装多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？
列表如下：
一套M型时装
一套N型时装
A种布料
0.6m
1.1m
B种布料
0.9m
0.4m
利润
45元
50元

M型
N型
套数
A种
B种
利润
⑴ 由题意得：，解得，
∴解析式为：
⑵ 当生产N型号的时装44套时，所获利润最大，最大利润是3820元．

展开更多......

收起↑