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(共16张PPT)
第十七章　勾股定理
第1课时　勾股定理
17．1　勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么__a2＋b2＝c2__，即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
1．(4分)下列说法正确的是(　D　)
A．若a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B．若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2
D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2
2．(4分)利用如图(1)或(2)所示的两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为__勾股定理__，该定理的结论的数学表达式是__a2＋b2＝c2__．
勾股定理的认识
利用勾股定理进行计算
6．(4分)如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝5
cm，BC＝13
cm，BD是AC边上的中线，则△BCD的面积是__15cm2__．
8．(8分)如图，一艘帆船由于风向的原因，先向正东方航行了80千米，然后向正北方航行了60千米，这时它离出发点有多远？
解：由图知：AB＝80，BC＝60，△ABC构成直角三角形，其中∠B＝90°.根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2.∴AC2＝802＋602，∴AC＝100.答：这时它离出发点有100千米
一、选择题(每小题5分，共15分)
9．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好能与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为(　D　)
A．1
B．2
C．3
D．4
11．(宁波中考)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(　C　)
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【综合应用】
16．(16分)(2019·巴中)如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A，B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D.
(1)求证：EC＝BD；
(2)若设△AEC三边分别为a，b，c，利用此图证明勾股定理．(共15张PPT)
第十七章　勾股定理
第2课时　勾股定理的应用
17．1　勾股定理
勾股定理的前提是__直角__三角形，已知直角三角形的两边，求第三边的长，要弄清楚哪条边是直角边，哪条边是斜边，不能确定时，要__分类讨论__．
1．(4分)如图，是某校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少要走(　C　)
A．70米
B．60米
C．50米
D．45米
2．(4分)(教材P28练习T2变式)由于台风的影响，一棵树在离地面6
m处折断(如图)，树顶落在离树干底部8
m处，则这棵树在折断前(不包括树根)的长度是(　C　)
A．8
m
B．10
m
C．16
m
D．18
m
3．(4分)(南京中考)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20
cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__5__cm.
勾股定理的实际应用
4．(8分)如图，要制作底边BC的长为44
cm，顶点A到BC的距离与BC长的比为1∶4的等腰三角形木衣架，则腰AB至少需要多长？(结果保留根号形式)
5．(8分)小军发现学校旗杆上端的绳子垂直到地面还多了1
m，他把绳子斜着拉直，使下端刚好触地．此时绳子下端距旗杆底部5
m，那么旗杆的高度为多少米？
解：设旗杆的高AB为x
m，则绳子AC的长为(x＋1)m.在△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，∴x2＋52＝(x＋1)2，解得x＝12.答：旗杆的高度为12
m
6．(12分)(教材P25例2变式)如图①，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，如图②，测得梯子底端外移的长BD为0.5米，梯子顶端下滑的高度也是0.5米吗？用你所学的知识解释你的结论．
一、选择题(每小题6分，共12分)
7．“折竹抵地”问题源自《九章算术》，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈(1丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断处离地面的高度为(　B　)
A．5.8尺
B．4.2尺
C．3尺
D．7尺
二、填空题(每小题6分，共12分)
9．一个长、宽、高分别为4
cm、3
cm、12
cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为__13__cm.
10．(河北中考)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km)．笔直铁路经过A，B两地．
(1)A，B间的距离为__20__km；
(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为__13__km.
12．(12分)如图，某地方政府决定在相距50
km的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C，D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA＝30
km，CB＝20
km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？
解：设基地E应建在离A站x千米的地方，则BE＝(50－x)千米，在Rt△ADE中，根据勾股定理得：DA2＋AE2＝302＋x2＝DE2，在Rt△CBE中，根据勾股定理得：CB2＋BE2＝202＋(50－x)2＝CE2，由题意可得：DE＝EC，则302＋x2＝202＋(50－x)2，解得x＝20，∴基地E应建在离A站20千米的地方
【综合应用】
13．(14分)某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6
m，8
m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8
m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．(共15张PPT)
第十七章　勾股定理
第3课时　利用勾股定理作图与计算
17．1　勾股定理
作长为无理数
的线段，需要构造一个直角三角形，利用__勾股定理__，通过作两直角边，作出斜边长是无理数的线段．
勾股定理与实数
4．(4分)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长为(　A　)
A．5
B．6
C．7
D．25
勾股定理与网格
勾股定理与图形的计算
13．(黑龙江中考)如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形，连接A2A4，得到△A2A3A4……记△AA1A2、△A1A2A3、△A2A3A4的面积分别为S1、S2、S3，如此下去，则S2019＝__22017__.
【综合应用】
16．(13分)如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得△EB′F，连接B′D，求B′D长的最小值．
解：如图，当∠BEF＝∠DEF，点B′在DE上时，B′D的长有最小值．根据折叠的性质，得△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥FB′，EB′＝EB.∵E是AB边的中点，AB＝4，∴AE＝EB′＝2.又∵在Rt△ADE中，AD＝6，(共19张PPT)
第十七章　勾股定理
第1课时　勾股定理的逆定理
17.2　勾股定理的逆定理
1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足__a2＋b2＝c2__，那么这个三角形是直角三角形．
2．满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．
3．如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做__互逆命题__．如果把其中一个命题叫做__原命题__，那么另一个命题叫做__逆命题__．
4．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，则称这两个定理互为__逆定理__．
勾股定理的逆定理
3．(4分)若△ABC的三边a，b，c满足(a－b)2＋|a2＋b2－c2|＝0，则△ABC是(　C　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
5．(6分)将一根长为30米的细绳折成三段围成一个三角形，其中一边长度比最短的边长7米，比最长的边短1米，判断这个三角形的形状，并说明理由．
解：设此三角形最短边长为x米，则一边长为(x＋7)米，最长边为(x＋8)米，由题意得x＋x＋7＋x＋8＝30，解得x＝5，所以三角形三边长为5米，12米，13米，因为52＋122＝132，所以此三角形为直角三角形
6．(4分)满足条件a2＋b2＝c2的一组正整数a，b，c称为勾股数，下列各组数中，不是勾股数的是(　D　)
A．3，4，5
B．5，12，13
C．8，15，17
D．7，25，26
勾股数
7．(4分)下列命题的逆命题是真命题的是(　D　)
A．若a的倒数为
，则a是整数
B．若三个数满足a2＋b2＝c2，则a，b，c一定是三角形的三条边
C．若△ABC与△A′B′C′关于某直线对称，则△ABC与△A′B′C′一定全等
D．两直线平行，同位角相等
8．(4分)下列定理：①同角的余角相等；②线段垂直平分线上的点，到这条线段两端的距离相等；③同位角相等，两直线平行；④同角的补角相等．其中有逆定理的有(　B　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
互逆命题与互逆定理的认识
9．(4分)已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：__如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等__，该逆命题是__假__命题．(填“真”或“假”)
一、选择题(每小题4分，共12分)
10．如图，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于(
D
)
A．10
B．11
C．12
D．13
11．(益阳中考)已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(　B　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
12．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列说法中，不能推出△ABC是直角三角形的是(　C　)
A．a2－c2＝b2
B．(a－b)(a＋b)＋c2＝0
C．∠A＝∠B＝∠C
D．∠A＝2∠B＝2∠C
二、填空题(每小题4分，共16分)
13．木工师傅做一个长方形桌面，量得它的长为80分米，宽为60分米，对角线为100分米，则这个桌面__合格__．(填“合格”或“不合格”)
14．一个三角形三边的长分别是15
cm，20
cm，25
cm.则这个三角形最长边上的高是__12cm__．
15．(北京中考)如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB＋∠PBA＝__45__°(点A，B，P是网格线交点)．
16．学校操场边上一块空地(阴影部分)需要绿化，测出CD＝6
m，AD＝8
m，BC＝24
m，AB＝26
m，AD⊥CD，那么需要绿化部分的面积为__96m2__．
三、解答题(共32分)
17．(10分)下列命题是否成立，说出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)若x＝1，则x2－1＝0.
解：(1)命题成立　逆命题：同旁内角互补，两直线平行　逆命题成立
(2)命题成立　逆命题：若x2－1＝0，则x＝1　逆命题不成立
18．(10分)如图所示，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以30海里/时的速度向北偏东35°的方向航行，乙船以40海里/时的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，则乙船航行的角度是南偏东多少度？
解：由题意可知：AC＝60，AB＝80，BC＝100，∵AC2＋AB2＝BC2，∴∠CAB＝90°，∴∠DAB＝90°－∠CAE＝90°－35°＝55°，∴乙船航行的角度为南偏东55°
【综合应用】
19．(12分)张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
(1)请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并且用含n(n>1)的式子表示：
a＝__n2－1__，b＝__2n__，c＝__n2＋1__．
(2)猜想以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想．
解：(2)是直角三角形，证明：∵a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，∴a2＋b2＝c2，∴以a，b，c为边长的三角形是直角三角形
n
2
3
4
5
…
a
22－1
32－1
42－1
52－1
…
b
4
6
8
10
…
c
22＋1
32＋1
42＋1
52＋1
…(共18张PPT)
第十七章　勾股定理
第2课时　勾股定理及其逆定理的综合应用
17.2　勾股定理的逆定理
根据问题背景，建立数学模型，应用__勾股定理及其逆定理__解决简单的实际问题，体会“数”“形”转化思想，培养转化、推理的能力．
1．(4分)为了求出湖两岸的A，B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形，如图，通过测量，得到AC长160
m，BC长128
m，则从点A穿过湖到点B的距离是(　C　)
A．48
m
B．90
m
C．96
m
D．69
m
2．(4分)如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是(　A　)
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．以上答案都不对
勾股定理及其逆定理的综合应用
3．(4分)五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是(　C　)
4．(4分)在△ABC中，D是BC上一点，且BD＝5，AB＝13，AD＝12，AC＝15，则△ABC的面积为(　C　)
A．30
B．42
C．84
D．100
5．(4分)一辆汽车从点A出发沿正东方向行驶30
km到达点B，然后转向行驶40
km到达点C，最后从点C沿CA方向直接回到出发点A.如果汽车从出发到返回共行驶了120
km，那么BC的方向是(　D　)
A．正东或正西
B．正南
C．正北
D．正南或正北
6．(3分)如图，小林想检验自己刚加工的门框中每个角是否都为直角，他用直尺量得BE＝30
cm，BF＝40
cm，EF＝50
cm，他认为∠B是直角，其他三个角的检验方法同上，小林验证的根据是__勾股定理逆定理__．
7．(3分)如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积和为__81__．
8．(3分)一根电线杆高12
m，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离5
m处加一拉线．拉线工人发现所用线长为13.2米(不计捆缚部分)，则电线杆与地面__不垂直__．(填“垂直”或“不垂直”)
10．(8分)如图，已知在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13.求四边形ABCD的面积．
二、填空题(每小题5分，共15分)
13．如图，在△ABC中，CA＝CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB＝5，AD＝4，则AE＝__3__．
14．如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为的
线段__8__条．
17．(12分)如图，A，B，C，D是四个小城镇，它们之间(除B，C外)都有笔直的公路连接(如图)，公共汽车行驶于各城镇之间，其票价与路程成正比，已知城镇公共汽车的票价如下：A?B：10元；A?C：12.5元；A?D：8元；B?D：6元；C?D：4.5元，为了B，C之间交通方便，在B，C之间建成笔直的公路，请按上述标准计算出B，C之间公共汽车的票价．
解：∵AD＝8，AC＝12.5，BD＝6，AB＝10，DC＝4.5，∴在△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，连接BC，在Rt△DBC中，BC2＝BD2＋DC2＝62＋4.52＝7.52，∴B，C之间公共汽车的票价为7.5元
【综合应用】
18．(13分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，M，N是BC上两点，且∠MAN＝45°.
(1)画出△AMN关于直线AN对称的△AM′N；
(2)试探究：以线段BM，MN，CN的长度为三边长的三角形是何种三角形？
(3)若BM＝3，CN＝4，求AM的长．
解：(1)作AM′⊥AM，且AM′＝AM，连接M′N，则△AMN与△AM′N关于AN对称
(2)易证△ABM≌△ACM′(SAS)，∴CM′＝BM，∠ACM′＝∠B＝45°，
∴∠NCM′＝90°，∴BM2＋CN2＝CM′2
＋CN2＝M′N2＝MN2，
∴以BM，MN，CN为边长的三角形是直角三角形(共14张PPT)
第十七章　勾股定理
章末复习(二)　勾股定理
知识点一　勾股定理的验证
1．小明利用如图①所示的图形(三个正方形和一个直角三角形)验证勾股定理，他的方法如下：过点D作直线FG∥AC，过点E作直线GH∥BC，直线FG与直线GH交于点G，与直线BC交于点F，直线GH与直线AC交于点H，如图②所示．请你回答：
(1)△ABC与△BDF，△DEG，△EAH有什么关系？为什么？
(2)用含a，b的代数式表示正方形CFGH的面积；
(3)你能否根据图形面积之间的关系找到a，b，c之间的数量关系？
(4)你能得到什么结论？
(1)△ABC≌△BDF≌△DEG≌△EAH.理由如下：因为∠BAC＋∠ABC＝90°，而∠ABC＋∠DBF＝90°，所以∠BAC＝∠DBF.因为FG∥AC，所以BC⊥FG，即∠BFD＝∠ACB＝90°.又因为AB＝BD，所以△ABC≌△BDF.同理，可得△ABC≌△DEG≌△EAH　
(2)(a＋b)2　
(3)能，a2＋b2＝c2　
(4)在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方
2.
勾股定理是初中数学学习的重要定理之一，这个定理的验证方法有很多，你能验证它吗？请你根据所给图形选择一种方法画出验证勾股定理的方法并写出验证过程．
解：则由图形可知小正方形的面积：
(a＋b)2－4×
ab＝a2＋b2＋2ab－4×
ab＝c2，
整理得：a2＋b2＝c2.答案不唯一
知识点二　勾股定理及其应用
3．在平面直角坐标系中有一点P(5，－12)，则点P到原点O的距离是__13__．
4．将一副三角尺如图所示叠放在一起，如果AB＝10
cm，那么AF＝__5
__cm.
5．如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH＝__6__．
7.在△ABC中，AB＝15，AC＝20，D是直线BC上的一个动点，连接AD，如果线段AD的长度最短是12，请你求△ABC的面积．
解：150或42
知识点三　勾股定理的逆定理及其应用
8．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，
，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的有(　D　)
A．②
B．①②
C．①③
D．②③
9．如果△ABC的三边长分别是m2－1，m2＋1，2m(m>1)，那么下列说法中正确的是(　A　)
A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2＋1
B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m
C．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2－1
D．△ABC不是直角三角形
10．若a，b，c为△ABC的三边长，且a，b，c满足等式(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0.
(1)求a，b，c的值；
(2)△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
解：(1)由题意得a－5＝0，b－12＝0，c－13＝0，∴a＝5，b＝12，c＝13
(2)△ABC是直角三角形．理由如下：∵a2＋b2＝52＋122＝25＋144＝169，c2＝132＝169，即a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形
知识点四　勾股定理及其逆定理的综合应用
11．如图，E是正方形ABCD内的一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝__135__°.
12．已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2－AE2＝AC2.
(1)求∠A的度数；
(2)若DE＝3，BD＝4，求AE的长．
解：(1)连接CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴CE＝BE.
∵BE2－AE2＝AC2，∴AE2＋AC2＝CE2.∴△AEC是直角三角形，∠A＝90°
(2)在Rt△BDE中，BE＝
＝5.所以CE＝BE＝5.
设AE＝x，则在Rt△AEC中，AC2＝CE2－AE2，所以AC2＝25－x2.
∵BD＝4，∴BC＝2BD＝8.在Rt△ABC中，根据BC2＝AB2＋AC2，
即64＝(5＋x)2＋25－x2，解得x＝1.4.即AE＝1.4
(2)设AC＝x.在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x－1.8，CH＝2.4，由勾股定理得AC2＝AH2＋CH2，∴x2＝(x－1.8)2＋(2.4)2，解这个方程，得x＝2.5，答：原来的路线AC的长为2.5千米(共12张PPT)
第十七章　勾股定理
专题训练(二)　利用勾股定理解决问题
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，求BE的长．
类型之三　利用勾股定理解决最短路线问题
8．如图，长方体的底面边长分别为2
cm和4
cm，高为5
cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为__13__cm.
9．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是__25__尺．
11．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12
cm，底面周长为10
cm，在容器内壁离容器底部3
cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3
cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是__13__cm.
12．一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒．长方体高6
cm，底面是边长为4
cm的正方形，从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？
解：把长方形的面DCC′D′沿棱CD展开至面ABCD上，如图．构成矩形ABC′D′，则A到C′的最短距离为AC′的长度，连接AC′交DC于O，易证△AOD≌△C′OC.∴OD＝OC.即O为DC的中点，由勾股定理得AC′2＝AD′2＋D′C′2＝82＋62＝100，∴AC′＝10
cm.即从顶点A沿直线到DC中点O，再沿直线到顶点C′，贴的彩带最短，最短长度为10
cm
13．(台湾中考)嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在5×5的方格棋盘上从A点行走至B点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条行走路径R1，R2，R3，其行经位置如图与表所示：
已知A，B，C，D，E，F，G七点皆落在格线的交点上，且两点之间的路径皆为直线，在无法使用任何工具测量的条件下，请判断R1，R2，R3这三条路径中，最长与最短的路径分别为何？请写出你的答案，并完整说明理由．
路径
编号
图例
行径位置
第一条路径
R1
—
A→C→D→B
第二条路径
R2
…
A→E→D→F→B
第三条路径
R3
A→G→B

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