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第十七章 勾股定理 培优训练题
一．选择题（共18小题）
1．如图，将两个完全相同的Rt△ACB和Rt△A'C'B'拼在一起，其中点A′与点B重合，点C'在边AB上，连接B'C，若∠ABC＝∠A'B'C'＝30°，AC＝A'C′＝2，则B'C的长为（　　）
A．2? B．4? C．2? D．4?
2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，则四边形ABC'A'的面积是（　　）
A．15 B．18 C．20 D．22
3．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？“意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　）
A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
6．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
7．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（　　）
A．从点P向北偏西45°走3km到达l
B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏东45°
D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l
9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（　　）
A．1+ B．2+ C．5﹣ D．
10．如图，在正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，若将△ABC沿A﹣D的方向平移AD长，得△DEF（B、C的对应点分别为E、F），则BE长为（　　）
A．1 B．2 C． D．3
11．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（　　）
A． B．3 C． D．5
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（　　）
A．2 B．4 C．3 D．
13．下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．6，8，10 B．10，15，20 C．5，12，13 D．7，24，25
14．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图的方式放置在最大正三角形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　）
A．直角三角形的面积 B．最大正三角形的面积
C．较小两个正三角形重叠部分的面积 D．最大正三角形与直角三角形的面积和
15．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即A′C＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A′D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA长为（　　）
A．13.5尺 B．14尺 C．14.5尺 D．15尺
16．如图，某公园内的一块草坪是长方形ABCD，已知AB＝8m，BC＝6m，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一条近道，一个人从A到C走A﹣B﹣C比直接走AC多走了（　　）
A．2米 B．4米 C．6米 D．8米
17．下列条件中，不能判断△ABC（a、b、c为三边，∠A、∠B、∠C为三内角）为直角三角形的是（　　）
A．a2＝1，b2＝2，c2＝3 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
二．填空题（共10小题）
18．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为　 　．
19．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝　 　．
20．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则的值为　 　．
21．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面　 　尺高．
22．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝　 　．
23．如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为　 　．
24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是　 　．
25．如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连接BD．若BD的长为2，则m的值为　 　．
26．勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．
（1）A，B间的距离为　 　km；
（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为　 　km．
27．如图，AB与CD相交于点O，AB＝CD，∠AOC＝60°，∠ACD+∠ABD＝210°，则线段AB，AC，BD之间的等量关系式为　 　．
三．解答题（共5小题）
28．阅读与思考
如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日星期日 没有直角尺也能作出直角
今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？
办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm，然后分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°．
办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R．然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS＝90°．
我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……
任务：
（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是　 　；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS＝90°；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；
②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．
29．在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b．如图1，若∠C＝90°时，根据勾股定理有a2+b2＝c2．
（1）如图2，当△ABC为锐角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；
（2）如图3，当△ABC为钝角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；
（3）如图4，一块四边形的试验田ABCD，已知∠B＝90°，AB＝80米，BC＝60米，CD＝90米，AD＝110米，求这块试验田的面积．
30．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时拉紧的绳子BC的长为13米，此人把绳子收紧4米后船移动到点D的位置（即绳子CD的长为9米），问船向岸边移动了多少米？（结果保留根号）
31．如图所示，某住宅小区在相邻两楼之间修建一个上方是半圆，下方是长方形的仿古通道，已知长方形的长AB＝4米，宽BC＝2.6米．现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？（参考数据：≈1.7）
32．如图，把一块直角三角形（△ABC，∠ACB＝90°）土地划出一个三角形（△ADC）后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）求图中阴影部分土地的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共18小题）
1．如图，将两个完全相同的Rt△ACB和Rt△A'C'B'拼在一起，其中点A′与点B重合，点C'在边AB上，连接B'C，若∠ABC＝∠A'B'C'＝30°，AC＝A'C′＝2，则B'C的长为（　　）
A．2? B．4? C．2? D．4?
【分析】根据直角三角形的性质求出AB＝4，A′B′＝4，根据勾股定理求出BC，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：∵∠ACB＝∠AC′B′＝90°，∠ABC＝∠A'B'C'＝30°，AC＝A′C′＝4，
∴AB＝4，A′B′＝4，
∴BC＝＝2，
∵Rt△ACB≌Rt△A'C'B'，
∴∠B′A′C′＝∠A，
∴∠CBB′＝90°，
∴B'C＝＝2，
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理、全等三角形的性质、含30°的直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，则四边形ABC'A'的面积是（　　）
A．15 B．18 C．20 D．22
【分析】根据平移的性质得到A′A＝CC′＝3，AA′∥BC′，由勾股定理得到B′C′＝＝4，根据梯形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，
∴A′A＝CC′＝3，AA′∥BC′，
在Rt△ABC中，
∵AB＝5，AC＝3，
∴BC＝＝4，
∵AA′∥BC′，
∴四边形ABC′A′是梯形，
∴四边形ABC'A'的面积＝（AA′+BC′）?AC＝（3+4+3）×3＝15，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，梯形的面积，平移的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，题目比较典型，但难度不大．
3．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？“意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　）
A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．
【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2
解得：x＝4.55．
答：原处还有4.55尺高的竹子．
故选：B．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】过E作EM⊥BC，交FD于点N，可得EN⊥GD，得到EN与GH平行，再由E为HD中点，得到HG＝2EN，同时得到四边形NMCD为矩形，再由角平分线定理得到AE＝ME，进而求出EN的长，得到HG的长．
【解答】解：过E作EM⊥BC，交FD于点N，
∵DF∥BC，
∴EN⊥DF，
∴EN∥HG，
∴∠DEN＝∠DHG，∠END＝∠HGD，
∴△END∽△HGD，
∴＝，
∵E为HD中点，
∴＝，
∴＝，即HG＝2EN，
∴∠DNM＝∠NMC＝∠C＝90°，
∴四边形NMCD为矩形，
∴MN＝DC＝2，
∵BE平分∠ABC，EA⊥AB，EM⊥BC，
∴EM＝AE＝3，
∴EN＝EM﹣MN＝3﹣2＝1，
则HG＝2EN＝2．
故选：B．
【点评】此题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，角平分线定理，以及平行线分线段成比例，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
5．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r，DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
6．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
【分析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据三角形的面积，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题．
【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝，
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，
∵，
∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
7．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣＝3.5，
∴，
∴，
∴BD＝，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
8．如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（　　）
A．从点P向北偏西45°走3km到达l
B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏东45°
D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l
【分析】先作出图形，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：如图，
由题意可得△PAB是腰长6km的等腰直角三角形，
则AB＝6km，
如图所示，过P点作AB的垂线PC，
则PC＝3km，
则从点P向北偏西45°走3km到达l，选项A错误；
则公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°，选项B，C正确；
则从点P向北走3km后到达BP中点D，此时CD为△PAB的中位线，故CD＝AP＝3，故再向西走3km到达l，选项D正确．
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（　　）
A．1+ B．2+ C．5﹣ D．
【分析】证明△BPG≌△BCG（ASA），得出PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，则EG＝2x，FG＝x，由勾股定理得出BC2＝（4+2）x2，则可得出答案．
【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，
∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，
∵OG＝GP，
∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，
∴∠PBG＝22.5°，
又∵∠DBC＝45°，
∴∠GBC＝22.5°，
∴∠PBG＝∠GBC，
∵∠BGP＝∠BGC＝90°，BG＝BG，
∴△BPG≌△BCG（ASA），
∴PG＝CG．
设OG＝PG＝CG＝x，
∵O为EG，BD的交点，
∴EG＝2x，FG＝x，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
∴BF＝CG＝x，
∴BG＝x+x，
∴BC2＝BG2+CG2＝＝，
∴＝．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．
10．如图，在正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，若将△ABC沿A﹣D的方向平移AD长，得△DEF（B、C的对应点分别为E、F），则BE长为（　　）
A．1 B．2 C． D．3
【分析】直接根据题意画出平移后的三角形进而利用勾股定理得出BE的长．
【解答】解：如图所示：BE＝＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及坐标与图形的变化，正确得出对应点位置是解题关键．
11．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（　　）
A． B．3 C． D．5
【分析】先根据正方形的性质得出∠B＝90°，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理得出BC2，即可得出正方形的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，
∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．也考查了正方形的性质．
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（　　）
A．2 B．4 C．3 D．
【分析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF＝FC．再根据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF＝BC＝3，等量代换得到FC＝AF＝3，利用线段的和差关系求出FD＝AD﹣AF＝1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的长．
【解答】解：如图，连接FC，则AF＝FC．
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠BCO．
在△FOA与△BOC中，
，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF＝BC＝3，
∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．
在△FDC中，∵∠D＝90°，
∴CD2+DF2＝FC2，
∴CD2+12＝32，
∴CD＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键．
13．下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．6，8，10 B．10，15，20 C．5，12，13 D．7，24，25
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：A．∵62+82＝102，
∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵102+152≠202，
∴以10，15，20为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C．∵52+122＝132，
∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵72+242＝252，
∴以7，24，25为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
14．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图的方式放置在最大正三角形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　）
A．直角三角形的面积
B．最大正三角形的面积
C．较小两个正三角形重叠部分的面积
D．最大正三角形与直角三角形的面积和
【分析】设三个正三角形面积分别为S1，S2，S3，（不妨设S1＞S2＞S3），由勾股定理可得S1＝S2+S3，由面积和差关系可求解．
【解答】解：设三个正三角形面积分别为S1，S2，S3，（不妨设S1＞S2＞S3），两个小正三角形的重叠部分的面积为S4，
∵S1＝S2+S3，
∴S阴影＝S1﹣（S2+S3﹣S4）＝S1﹣S2﹣S3+S4＝S4，
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
15．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即A′C＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A′D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA长为（　　）
A．13.5尺 B．14尺 C．14.5尺 D．15尺
【分析】设绳索有x尺长，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：设绳索有x尺长，则
102+（x+1﹣5）2＝x2，
解得：x＝14.5．
故绳索长14.5尺．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．
16．如图，某公园内的一块草坪是长方形ABCD，已知AB＝8m，BC＝6m，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一条近道，一个人从A到C走A﹣B﹣C比直接走AC多走了（　　）
A．2米 B．4米 C．6米 D．8米
【分析】根据勾股定理可得答案．
【解答】解：由勾股定理，得
捷径AC＝＝10（m），
多走了8+6﹣10＝4（m）．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，利用勾股定理得出捷径的长是解题关键．
17．下列条件中，不能判断△ABC（a、b、c为三边，∠A、∠B、∠C为三内角）为直角三角形的是（　　）
A．a2＝1，b2＝2，c2＝3 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和，可以判断各个选项中的条件是否可以构成直角三角形，从而可以解答本题．
【解答】解：当a2＝1，b2＝2，c2＝3时，
则a2+b2＝c2，
即△ABC是直角三角形，故选项A不符合题意；
当a：b：c＝3：4：5时，设a＝3x，b＝4x，c＝5x，
则a2+b2＝（3x）2+（4x）2＝（5x）2＝c2，
即△ABC是直角三角形，故选项B不符合题意；
当∠A+∠B＝∠C时，则∠C＝90°，
即△ABC是直角三角形，故选项C不符合题意；
当∠A：∠B：∠C＝3：4：5时，则最大的∠C＝180°×＝75°，
即△ABC不是直角三角形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
二．填空题（共10小题）
18．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为　3﹣2　．
【分析】取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解决问题．
【解答】解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．
∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，
∴OM＝AD＝2，
∵AB∥CD，
∴∠GCF＝∠B＝60°，
∴∠DGO＝∠CGF＝30°，
∵AD＝BC，
∴∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠ADC＝∠BCD＝120°，
∴∠DOG＝30°＝∠DGO，
∴DG＝DO＝2，
∵CD＝4，
∴CG＝2，
∴OG＝2，GF＝，OF＝3，
∴ME≥OF﹣OM＝3﹣2，
∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为3﹣2．
【点评】本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
19．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝　20　．
【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可．
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝22+42＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
20．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则的值为　　．
【分析】可设图2阴影直角三角形另一条直角边为x，根据S1＝S2，可得2x2＝m2，则x＝m，再根据勾股定理得到关于m，n的方程，可求的值．
【解答】解：设图2中阴影直角三角形另一条直角边为x，依题意有
4×x2＝m2，
解得x＝m，
由勾股定理得（m）2+（n+m）2＝m2，
m2﹣2mn﹣2n2＝0，
解得m1＝（1﹣）n（舍去），m2＝（1+）n，
则的值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，根据正方形的面积公式和三角形形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键．
21．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面　4.55　尺高．
【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的高度即可．
【解答】解：设折断处离地面x尺，
根据题意可得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55．
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
22．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝　1　．
【分析】设AE＝ED＝x，CD＝y，根据勾股定理即可求出答案．
【解答】解：设AE＝ED＝x，CD＝y，
∴BD＝2y，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，
∴AB2＝4x2+4y2，
∴x2+y2＝1，
在Rt△CDE中，
∴EC2＝x2+y2＝1
∵EC＞0
∴EC＝1．
另解：依据AD⊥BC，BD＝2CD，E是AD的中点，
即可得判定△CDE∽△BDA，
且相似比为1：2，
∴＝，
即CE＝1．
故答案为：1
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
23．如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为　4　．
【分析】延长BD到F，使得DF＝BD，根据等腰三角形的性质与判定，勾股定理即可求出答案．
【解答】解：延长BD到F，使得DF＝BD，
∵CD⊥BF，
∴△BCF是等腰三角形，
∴BC＝CF，
过点C作CH∥AB，交BF于点H
∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，
∴HF＝HC，
∵CH∥AB，
∴∠ABE＝∠CHE，∠BAE＝∠ECH，
∴EH＝CE，
∵EA＝EB，
∴AC＝BH，
∵BD＝8，AC＝11，
∴DH＝BH﹣BD＝AC﹣BD＝3，
∴HF＝HC＝8﹣3＝5，
在Rt△CDH，
∴由勾股定理可知：CD＝4，
在Rt△BCD中，
∴BC＝＝4，
故答案为：4
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是　17　．
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程即可求解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB﹣AC＝2，BC＝8，
∴AC2+BC2＝AB2，
即（AB﹣2）2+82＝AB2，
解得AB＝17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式．
25．如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连接BD．若BD的长为2，则m的值为　2或2　．
【分析】由作图知，点D在AC的垂直平分线上，得到点B在AC的垂直平分线上，求得BD垂直平分AC，设垂足为E，得到BE＝，当点D、B在AC的两侧时，如图，当点D、B在AC的同侧时，如图，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：由作图知，点D在AC的垂直平分线上，
∵△ABC是等边三角形，
∴点B在AC的垂直平分线上，
∴BD垂直平分AC，
设垂足为E，
∵AC＝AB＝2，
∴BE＝，
当点D、B在AC的两侧时，如图，
∵BD＝2，
∴BE＝DE，
∴AD＝AB＝2，
∴m＝2；
当点D、B在AC的同侧时，如图，
∵BD′＝2，
∴D′E＝3，
∴AD′＝＝2，
∴m＝2，
综上所述，m的值为2或2，
故答案为：2或2．
【点评】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质．正确的作出图形是解题的关键．
26．勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．
（1）A，B间的距离为　20　km；
（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为　13　km．
【分析】（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；
（2）根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD＝x，根据勾股定理即可求出x的值．
【解答】解：（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，
∴AB＝12﹣（﹣8）＝20；
（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，
由（1）可知：CE＝1﹣（﹣17）＝18，
AE＝12，
设CD＝x，
∴AD＝CD＝x，
由勾股定理可知：x2＝（18﹣x）2+122，
∴解得：x＝13，
∴CD＝13，
故答案为：（1）20；（2）13；
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是根据A、B、C三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型．
27．如图，AB与CD相交于点O，AB＝CD，∠AOC＝60°，∠ACD+∠ABD＝210°，则线段AB，AC，BD之间的等量关系式为　AB2＝AC2+BD2　．
【分析】过点A作AE∥CD，截取AE＝CD，连接BE、DE，则四边形ACDE是平行四边形，得出DE＝AC，∠ACD＝∠AED，证明△ABE为等边三角形得出BE＝AB，求得∠BDE＝360°﹣（∠AED+∠ABD）﹣∠EAB＝90°，由勾股定理得出BE2＝DE2+BD2，即可得出结果．
【解答】解：过点A作AE∥CD，截取AE＝CD，连接BE、DE，如图所示：
则四边形ACDE是平行四边形，
∴DE＝AC，∠ACD＝∠AED，
∵∠AOC＝60°，AB＝CD，
∴∠EAB＝60°，CD＝AE＝AB，
∴△ABE为等边三角形，
∴BE＝AB，
∵∠ACD+∠ABD＝210°，
∴∠AED+∠ABD＝210°，
∴∠BDE＝360°﹣（∠AED+∠ABD）﹣∠EAB＝360°﹣210°﹣60°＝90°，
∴BE2＝DE2+BD2，
∴AB2＝AC2+BD2；
故答案为：AB2＝AC2+BD2．
【点评】本题考查了勾股定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、四边形内角和等知识，熟练掌握平行四边形的性质、通过作辅助线构建等边三角形与直角三角形是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
28．阅读与思考
如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日星期日 没有直角尺也能作出直角
今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？
办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm，然后分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°．
办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R．然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS＝90°．
我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……
任务：
（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是　勾股定理的逆定理　；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS＝90°；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；
②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据直角三角形的性质即可得到结论；
（3）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵CD＝30，DE＝50，CE＝40，
∴CD2+CE2＝302+402＝502＝DE2，
∴∠DCE＝90°，
故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；
故答案为：勾股定理的逆定理；
（2）由作图方法可知，QR＝QC，QS＝QC，
∴∠QCR＝∠QRC，∠QCS＝∠QSC，
∵∠SRC+∠QCS+∠QCR+∠QSC＝180°，
∴2（∠QCR+∠QCS）＝180°，
∴∠QCR+∠QCS＝90°，
即∠RCS＝90°；
（3）①如图③所示，直线PC即为所求；
②答案不唯一，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，正确的理解题意是解题的关键．
29．在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b．如图1，若∠C＝90°时，根据勾股定理有a2+b2＝c2．
（1）如图2，当△ABC为锐角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；
（2）如图3，当△ABC为钝角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；
（3）如图4，一块四边形的试验田ABCD，已知∠B＝90°，AB＝80米，BC＝60米，CD＝90米，AD＝110米，求这块试验田的面积．
【分析】（1）过点A作AD⊥BC 于D，根据勾股定理列出算式，证明结论；
（2）作AE⊥BC交BC的延长线于E，根据勾股定理列出算式，证明结论；
（3）连接AC，作DF⊥AC于F，根据勾股定理求出DF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）a2+b2＞c2，
理由如下：过点A作AD⊥BC 于D，
设CD＝x，则BD＝a﹣x，
由勾股定理得，b2﹣x2＝AD2，c2﹣（a﹣x）2＝AD2，
∴b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2，
整理得：a2+b2＝c2+2ax，
∵2ax＞0，
∴a2+b2＞c2；
（2）a2+b2＜c2，
理由如下：作AE⊥BC交BC的延长线于E，
设CE＝x，
则c2﹣（b+x）2＝BD2＝a2﹣x2，
整理得：a2+b2＝c2﹣2bx，
∵2bx＞0，
∴a2+b2＜c2；
（3）连接AC，作DF⊥AC于F，
由勾股定理得，AC＝＝100，
由（1）可知，AD2﹣AF2＝DC2﹣CF2，即1102﹣（100﹣CF）2＝902﹣CF2，
解得，CF＝30，
则DF＝＝60，
∴这块试验田的面积＝×60×80+×100×60＝（2400+3000）米2
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、正确作出辅助线是解题的关键．
30．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时拉紧的绳子BC的长为13米，此人把绳子收紧4米后船移动到点D的位置（即绳子CD的长为9米），问船向岸边移动了多少米？（结果保留根号）
【分析】利用勾股定理计算出AB和AD长，再求差即可．
【解答】解：在Rt△ACB中，AB＝＝＝12（米），
在Rt△ADC中，AD＝＝＝2（米），
∴DB＝12﹣2（米），
答：船向岸边移动了（12﹣2）米．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理．
31．如图所示，某住宅小区在相邻两楼之间修建一个上方是半圆，下方是长方形的仿古通道，已知长方形的长AB＝4米，宽BC＝2.6米．现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？（参考数据：≈1.7）
【分析】卡车能否通过，关键是车高4米与ME的比较，EN为2.6米，只需求MN，在直角三角形OMN中，半径OM为2米，车宽的一半为EF＝ON＝1米，运用勾股定理求出MN即可．
【解答】解：如图，
过直径的中点O，作直径CD的垂线交下底边于点F，
如图所示，在Rt△AMNO中，由题意知OM＝2米，EF＝ON＝1米，
所以MN2＝22﹣12＝3．
因为4﹣＝2.3＜2.6，
所以卡车不可以通过．
答：卡车不可以通过．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出MN的长是解题关键．
32．如图，把一块直角三角形（△ABC，∠ACB＝90°）土地划出一个三角形（△ADC）后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）求图中阴影部分土地的面积．
【分析】（1）先由勾股定理求出AC＝5米，再由勾股定理的逆定理证出∠ADC＝90°即可；
（2）由三角形面积公式求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，BC＝12米，AB＝13米，
∴AC＝＝＝5（米），
∵CD＝3米，AD＝4米，
∴AD2+CD2＝AC2＝25，
∴∠ADC＝90°；
（2）解：图中阴影部分土地的面积＝A×BC﹣AD×CD＝×5×12﹣×4×3＝24（平方米）．
【点评】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．

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