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人教版八下第十七章勾股定理
综合测试（一）
考试时间：120
分钟；满分：150
分
学校:___________姓名：___________班级：___________
一、单选题(共40分)
1．(4分)如图，在中，，，点在上，，，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
2．(4分)如图，在中，，，点D，E为BC上两点．，F为外一点，且，，则下列结论：
①；②；③；④，其中正确的是
A．①②③④
B．①②④
C．①③④
D．②③
3．(4分)古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的道理是（
）
A．直角三角形两个锐角互余
B．三角形内角和等于180°
C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
4．(4分)如图，为等腰内一点，过点分别作三条边、、的垂线，垂足分别为、、，已知，，且，则的长为（
）
A．
B．
C．7
D．8
5．(4分)如图，在中，平分，平分，且交于，若，则的值为　　
A．36
B．9
C．6
D．18
6．(4分)ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是（
）
A．∠A+∠B=∠C
B．∠A：∠B：∠C=1：2：3
C．a2=c2﹣b2
D．a：b：c=3：4：6
7．(4分)已知的三个顶点，，，则的形状是（
）．
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
8．(4分)一个三角形三边之比为，它的周长为60，则它的面积是（
）．
A．144
B．120
C．196
D．60
9．(4分)《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
10．(4分)在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（　　）
A．18
B．9
C．6
D．无法计算
二、填空题(共20分)
11．(4分)如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设步为米），却踩伤了花草．
12．(4分)如图所示，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为______．
13．(4分)如图，一只蚂蚁从长、宽都是2，高是5的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是________.
14．(4分)如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，BC＝5，将△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移2个单位长度，到达△DEF，AC与DE交于点G，则EG的长为__．
15．(4分)如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转60°到的位置，连接，则的长为______．
三、解答题(共90分)
16．(8分)如图，在四边形ABCD中，已知AB=5，BC=3，CD=6，AD=2，若AC⊥BC，求证：AD∥BC．
17．(8分)如图，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D，求证：.
18．(8分)某学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知，，，，，求这块地的面积．
19．(8分)印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”，该问题是：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；“渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题.
20．(14分)细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
OA1=1；　　
OA2=；　　
S1=×1×1=；
OA3=；　　　　S2=××1=；
OA4=；　　　　S3=××1=；
（1）推算出OA10=　
　．
（2）若一个三角形的面积是．则它是第
　个三角形．
（3）用含n（n是正整数）的等式表示上述面积变化规律；
（4）求出S12+S22+S23+…+S2100的值．
21．(12分)在等腰中，，点为平面内一点，连、、．
（1）如图1，若点是内一点，且，求证：；
（2）如图2，若点是外一点，且，，求证：；
（3）如图3，若点在的延长线上，过点作交于点，若，，求证：．
22．(8分)铁路上A,B两站（视为直线上的两点）相距50km，C,D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E,使得C,D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.
23．(8分)如图，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米（D处）时，求滑杆顶端A下滑多少米（E处）.
24．(16分)如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4；
(1)试说明△ABC是等腰三角形；
(2)已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t(秒)．
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形?若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
参考答案
1．D
【详解】
∵∠C＝90°，AC＝3，
∴CD＝，
∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B＋∠BAD，
∴∠B＝∠BAD，
∴DB＝，
∴BC＝BD＋CD＝
故选：D．
2．A
【详解】
解：如图：
对于①，因为，
所以，
，
因此．
又因为，
所以．
又因为，所以．
因此≌，所以．
故①正确．
对于②，由①知≌，所以．
又因为，
所以，连接FD，
因此≌．
所以．
在中，因为，
所以．
故②正确．
对于③，设EF与AD交于G．
因为，
所以．
因此．
故③正确．
对于④，因为，
又在中，
又是以EF为斜边的等腰直角三角形，
所以
因此，
故④正确．
故选A．
3．D
【详解】
设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，
∵
∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）
故选D．
4．B
【详解】
解：连接AP，
∵PF⊥AB，PE⊥AC，PD⊥BC，
∴∠PFA＝∠FEA＝90°，
∵
∴PF＝PE
在Rt△PAF和Rt△PAE中，
∴Rt△PAF≌Rt△PAE（HL）
∴∠PAF＝∠PAE
∴PA是∠A的平分线。
∴点P在∠A的就平分线上，
∵AB=AC，PD⊥BC，
∴AD⊥BC，BD=DC=6，
根据勾股定理可得：
，
设PD、PE、PF分别为x、3x、3x，
则：、
解得：
即PD=
，
∴AP=,
故选；B
5．A
【详解】
平分，平分，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故选：A．
6．D
【详解】
解：A、∠A＋∠B＝∠C，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；
B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；
C、由a2＝c2?b2，得a2＋b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、32＋42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故选：D．
7．C
【详解】
解：∵，，，
∴，
∴，
∴△ABC是直角三角形．
故选：C．
8．B
【详解】
解：，
，
，
三角形的三个边是10，24，26，
∵，
∴这是个直角三角形，
∴．
故选：B．
9．D
【详解】
解：如图，根据题意，，，
设折断处离地面的高度是x尺，即，
根据勾股定理，，即．
故选：D．
10．A
【解析】
试题分析：∵Rt△ABC中，BC为斜边，
∴AB2＋AC2＝BC2，
∴AB2＋AC2＋BC2＝2BC2＝2×32＝18．
故选A．
点睛：本题考查了勾股定理．正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用勾股定理得出等式是解题的关键．
11．
【详解】
解：如图，
∵在中，，
∴
，
则少走的距离为：，
∵步为米，
∴少走了步．
故答案为：．
12．45°
【详解】
如图，连接AC．
根据勾股定理可以得到：
AC=BC=，AB=，
∵，即，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故答案为：45°．
13．
【解析】
如图(1)所示：
AB=；
如图(2)所示：
AB=，
∵>，
∴最短路径为.
答：它所行的最短路线的长是，
故答案为
点睛：本题考查了平面展开---最短路径问题，解题的关键是将长方体展开，构造直角三角形，然后利用勾股定理解答.
14．．
【详解】
解：由平移得：BE＝2，∠DEF＝∠B＝90°，
∵BC＝5，∴CE＝5﹣2＝3，
∵∠A＝60°，∴∠ACB＝30°，∴CG＝2EG，
设EG＝x，则CG＝2x，
由勾股定理得：x2+32＝(2x)2，x或（舍），
∴EG，
故答案为：．
15．2-2
【详解】
解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点M，
由题意得：∠BAB′=60°，BA=B′A，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠ABB′=60°，AB=B′B；
在△ABC′与△B′BC′中，
，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠MBB′=∠MBA=30°，
∴BM⊥AB′，且AM=B′M；
由题意得：，AB2=AC2+BC2=16，
∴AB′=AB=4，AM=2，
∴C′M=AB′=2；由勾股定理可求：BM=2，
∴C′B=2-2．
故答案为：2-2．
16．证明见解析.
【解析】
试题分析：在中，根据勾股定理求出的值，再在中根据勾股定理的逆定理，判断出AC⊥CD，再根据平行线的判定即可求解．
试题解析：证明：在中
根据勾股定理：
∵在中，
∴根据勾股定理的逆定理，为直角三角形，
∴AD∥BC．
17．见解析
【详解】
证明：连接MA，
∵MD⊥AB，
∴AD2=AM2-MD2，BM2=BD2+MD2，
∵∠C=90°，
∴AM2=AC2+CM2
∵M为BC中点，
∴BM=MC．
∴AD2=AC2+BD2
18．．
【详解】
解：连接AC
∵
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，根据勾股定理，得
AC=
=5，
在△ABC中，
∴，
△ABC
是直角三角形，
∴
=
=24．
19．水深3.75尺．
【详解】
解：设水深x尺，则荷花茎的长度为x+0.5，
根据勾股定理得：（x+0.5）2=x2+4
解得：x=3.75．
答：湖水深3.75尺．
20．（1）；（2）20；（3）；(4)．
【详解】
解：（1））∵OAn2=n，∴OA10=．
故答案为；
（2）若一个三角形的面积是，
∵Sn===2=，∴它是第20个三角形．
故答案为20；
（3）结合已知数据，可得：OAn2=n，
Sn=；
（4）S12+S22+S23+…+S2100
=++++…+
=
=．
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【详解】
（1）证明：如图1，延长AD交BC于点G，
AB=AC，
（2）证明：如图2，延长CD至点H，使DH=BD,连接AH，
在和中
为等边三角形
又
(3)证明：如图3，延长EA至点F，使AF=AE,连接CF，
，
在和中
在中，
即
22．收购站E到A站的距离为22km
【详解】
分析：连接CD,并作线段CD的垂直平分线,垂直平分线到端点距离相等，再利用勾股定理求EA长.
点睛：
如图,连接CD,并作线段CD的垂直平分线,与AB相交于点E,点E即为所建土特产收购站的地点.
连接DE,CE
，设AE=x
km,
则BE=(50-x)
km
,
在Rt△ADE中,,
∴
,
在Rt△BCE中,
,
∴,
又DE=CE,
∴
,
解得x=22
.
∴收购站E到A站的距离为22km.
点睛：
勾股定理：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方.
23．梯子下滑0.5米.
【详解】
解：设AE的长为x米，依题意得CE=AC-x，
∵米，米，，
∴，
∴米，
∵米，
∴在中，，
∴，，即米，
答：梯子下滑0.5米.
24．（1）见解析；（2）①5或6；②9或10或
【详解】
解：（1）证明：设，，，
则，
在中，，
，
是等腰三角形；
（2），而，
，
则，，，．
①当时，，
即，
；
当时，，
得：；
若的边与平行时，值为5或6．
②点是边的中点，，
，
当点在上，即时，为钝角三角形，但；
当时，点运动到点，不构成三角形
当点在上，即时，为等腰三角形，有3种可能．
如果，则，
；
如果，则点运动到点，
；
如果，
过点作于，如图3所示：
，
，
在中，；
，，
则在中，，
．
综上所述，符合要求的值为9或10或．
．
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精品试卷·第
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