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2019-2020学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一．选择题（共10小题）
1．若sinA＝，则锐角∠A＝（　　）
A．30° B．15° C．45° D．60°
2．若点（﹣2，﹣6）在反比例函数y＝上，则k的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．12 D．﹣12
3．如图，已知∠CAB是⊙O的圆周角，∠CAB＝50°，则圆心角∠BOC是（　　）

A．40° B．50° C．80° D．100°
4．已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l与⊙O有交点，则下列结论正确的是（　　）
A．d＝r B．d≤r C．d≥r D．d＜r
5．在Rt△ABC中，各边都扩大3倍，则角A的正弦值（　　）
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．不能确定
6．正三角形的内切圆与外接圆的面积的比为（　　）
A．.1：3 B．1：4 C．1：2 D．3：4
7．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（　　）

A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米
8．如图，这是交警部门为缓解市区内交通拥挤在学府路某处设立的路况显示牌．立杆AB高度是m，从D点测得显示牌顶端C和底端B的仰角分别是60°和45°，则显示牌BC的高度（　　）

A．米 B．（3﹣）米 C．9米 D．（2﹣3）米
9．下列语句正确的是（　　）
A．三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．
B．相等的圆心角所对的弧相等．
C．圆有且只有一个内接三角形．
D．平分弦的直径垂直于弦．
10．如图，过圆外一点P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B，连接AB，在AB、PB、PA上分别取一点D、E、F，使AD＝BE，BD＝AF，连接DE、DF、EF，则∠EDF等于（　　）

A．90°﹣∠P B．90°﹣∠P C．180°﹣∠P D．45°﹣∠P
二．填空题（共10小题）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么cosB的值是　 　．
12．在数轴上，A所表示的数为3，点B所表示的数为4，若⊙A的半径为2，则点B与⊙A的位置关系是　 　
13．若A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且0＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系是y1　 　y2．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，OD∥BC，∠ABC＝40°，则∠BCD的度数为　 　

15．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若AC＝8cm．AB＝10cm，OD⊥BC于点D，则BD的长为　 　．

16．若弧长为4πcm的扇形的面积为8πcm2，则该扇形的半径为　 　cm．
17．三边长分别是5cm，12cm，13cm的三角形的内切圆半径为　 　cm．
18．等腰三角形的腰长为1cm，底边长为cm，则它的底角的正切值为　 　．
19．点P是半径为4的⊙O外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，且PA＝4，在⊙O内作长为4的弦AB，连接PB，则PB的长为　 　．
20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，tan∠CAB＝，AD＝AB，AH⊥BD于点H，连接CD交AH于点E，连接BE，BE＝，则BD的长为　 　．

三．解答题（共4小题）
21．先化简，再求代数式的值，其中a＝tan60°﹣6sin30°．
22．如图，在正方形网格纸中每一个小正方形的边长为1，线段AB的两个端点都在小正方形的顶点上，请按下面的要求画图．
（1）在图1中，画等腰△ABC，点C落在小正方形顶点上，使△ABC的面积为6；
（2）在图2中，画钝角△ABD，点D落在小正方形顶点上，其中△ABD有一个内角为135°，△ABD的面积为4，并直接写出∠ADB的正切值．

23．如图，⊙O的直径AB＝6，C为圆周上的一点，BC＝3．过C点作⊙O的切线GE，作AD⊥GE于点D，交⊙O于点F．
（1）求证：∠ACG＝∠B．
（2）计算线段AF的长．

24．正比例函数y＝x的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，求：
（1）x＝﹣3时反比例函数的值；
（2）当﹣3＜x＜﹣1时反比例函数y的取值范围．

25.如图，射线MN表示一艘轮船的航行路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，A处到M处为100海里．
（1）求点A到航线MN的距离；
（2）在航线MN上有一点B，且∠MAB＝15°，若轮船的速度为50海里/时，求轮船从M处到B处所用时间为多少小时？（结果保留根号）


26.已知锐角△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，连接AO．
（1）如图1，求证：∠BAO＝∠CAD；
（2）如图2，CE⊥AB于点E，交AD于点F，过点O作OH⊥BC于点H，求证：AF＝2OH；
（3）如图3，在（2）的条件下，若AF＝AO，tan∠BAO＝，BC＝，求AC的长．

27.已知如图，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B，AB＝，tan∠BAO＝3．
（1）求：直线AB的解析式；
（2）直线y＝kx+b经过点B交x轴交于点C，且∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D．动点P从点C出发，沿CB方向以每秒个单位长度的速度向终点B运动，运动时间为t，设△ADP的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．
（3）在（2）的条件下，点P在线段BD上，点F在线段AB上，∠APC＝∠FPB，连接AP，过点F作FG⊥AP于点G，交AD于点H，若DP＝DH，求点P的坐标．




参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若sinA＝，则锐角∠A＝（　　）
A．30° B．15° C．45° D．60°
【分析】根据特殊角的三角函数进行计算即可．
【解答】解：∵sin30°＝，
∴锐角∠A＝30°，
故选：A．
2．若点（﹣2，﹣6）在反比例函数y＝上，则k的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．12 D．﹣12
【分析】把已知点的坐标代入y＝中即可得到k的值．
【解答】解：把点（﹣2，﹣6）代入y＝得k＝﹣2×（﹣6）＝12．
故选：C．
3．如图，已知∠CAB是⊙O的圆周角，∠CAB＝50°，则圆心角∠BOC是（　　）

A．40° B．50° C．80° D．100°
【分析】根据同弧所对圆心角是圆周角2倍，可得∠BOC＝2∠CAB＝100°．
【解答】解：∵∠CAB＝50°，
∴∠BOC＝2∠CAB＝100°．
故选：D．
4．已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l与⊙O有交点，则下列结论正确的是（　　）
A．d＝r B．d≤r C．d≥r D．d＜r
【分析】根据直线l与⊙O有交点，则可知直线和圆相切或相交．
【解答】解：∵直线l与⊙O有交点，
∴直线与圆相交或相切，
∴d≤r．
故选：B．
5．在Rt△ABC中，各边都扩大3倍，则角A的正弦值（　　）
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．不能确定
【分析】根据锐角三角函数的定义，可得答案．
【解答】解：由题意，得
Rt△ABC中，各边都扩大3倍，则角A的正弦值不变，
故选：C．
6．正三角形的内切圆与外接圆的面积的比为（　　）
A．.1：3 B．1：4 C．1：2 D．3：4
【分析】根据等边三角形的性质可得到等边三角形的内切圆半径与外接圆的半径之比为1：2，从而得到它的内切圆与外接圆的面积的比．
【解答】解：等边三角形的内切圆半径与外接圆的半径之比为1：2，
所以等边三角形的内切圆与外接圆的面积的比为1：4．
故选：B．
7．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（　　）

A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米
【分析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O．
连接OA．根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O
连接OA．根据垂径定理，得AD＝6
设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2＝36+（r﹣4）2，解得r＝6.5
故选：A．

8．如图，这是交警部门为缓解市区内交通拥挤在学府路某处设立的路况显示牌．立杆AB高度是m，从D点测得显示牌顶端C和底端B的仰角分别是60°和45°，则显示牌BC的高度（　　）

A．米 B．（3﹣）米 C．9米 D．（2﹣3）米
【分析】先根据等腰直角三角形两直角边相等可得AD＝AB，在Rt△ACD中，利用60°角的正切值求出AC，然后根据BC＝AC﹣AB计算即可．
【解答】解：∵AB＝m，∠ADB＝45°，
∴AD＝AB＝m，
∴tan∠ADC＝tan60°＝，
即＝，
解得AC＝3，
∴BC＝AC﹣AB＝（3﹣）米．
故选：B．
9．下列语句正确的是（　　）
A．三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．
B．相等的圆心角所对的弧相等．
C．圆有且只有一个内接三角形．
D．平分弦的直径垂直于弦．
【分析】根据三角形内心的定义对A进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对B进行判断；根据圆的外接三角形的定义对C进行判断；根据垂径定理对D进行判断．
【解答】解：A、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以A选项正确；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以B选项错误；
C、圆有无数个内接三角形，所以C选项错误；
D、平分（非直径）弦的直径垂直于弦．所以D选项错误．
故选：A．
10．如图，过圆外一点P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B，连接AB，在AB、PB、PA上分别取一点D、E、F，使AD＝BE，BD＝AF，连接DE、DF、EF，则∠EDF等于（　　）

A．90°﹣∠P B．90°﹣∠P C．180°﹣∠P D．45°﹣∠P
【分析】由条件可得∠PAB＝∠PBA，结合条件可证明△ADF≌△BED，可得到∠AFD＝∠EDB，再利用三角形内角和和平角的定义可得∠EDF＝∠PAB，在△PAB中可求得∠PAB，则可得出∠EDF的度数．
【解答】解：∵PA、PB都是⊙O的切线，
∴PA＝PB，即有∠PAB＝∠PBA，
在△ADF和△BED中，
，
∴△ADF≌△BED（SAS），
∴∠AFD＝∠EDB，
∵∠FAD+∠FDA+∠AFD＝180°，∠FDA+∠FDE+∠EDB＝180°，
∴∠EDF＝∠PAB，
∵∠PAB+∠PBA+∠P＝180°，且∠PBA＝∠PAB，
∴∠EDF＝∠PAB＝．
故选：B．
二．填空题（共10小题）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么cosB的值是　　．
【分析】在直角△ABC中利用勾股定理求得AB的长，然后利用三角函数的定义求解．
【解答】解：在直角△ABC中，AB＝＝＝5，
则cosB＝＝．
故答案是：．

12．在数轴上，A所表示的数为3，点B所表示的数为4，若⊙A的半径为2，则点B与⊙A的位置关系是　点在圆内．　
【分析】由已知条件得出AB＝1，即d＜r，即可得出点B在⊙A的内部．
【解答】解：∵点A所表示的实数为3，点B所表示的数为4，
∴AB＝4﹣3＝1＜⊙A的半径2，
即d＜r，
∴点B在⊙A的内部；
故答案为：点在圆内．
13．若A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且0＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系是y1　＞　y2．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据0＜x1＜x2，判断出A、B两点所在的象限，根据该函数在此象限内的增减性即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数中，k＝2＞0，
∴此函数图象的两个分支在一、三象限，
∵0＜x1＜x2，
∴A、B两点在第一象限，
∵在第一象限内y的值随x的增大而减小，
∴y1＞y2．
故答案为：y1＞y2．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，OD∥BC，∠ABC＝40°，则∠BCD的度数为　110°　

【分析】根据平行线的性质求出∠AOD，根据等腰三角形的性质求出∠OAD，根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】解：∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠ABC＝40°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD＝180°﹣∠OAD＝110°，
故答案为：110°．
15．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若AC＝8cm．AB＝10cm，OD⊥BC于点D，则BD的长为　3cm　．

【分析】由AB是⊙O的直径，得到∠ACB＝90°，利用勾股定理可求出BC＝6，由OD⊥BC，得到BD＝DC，于是可得到BD的长度．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，而AC＝8cm．AB＝10cm，
∴BC＝＝6（cm），
又∵OD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴BD＝×6＝3（cm）．
故答案为3cm．
16．若弧长为4πcm的扇形的面积为8πcm2，则该扇形的半径为　4　cm．
【分析】由一个扇形的弧长是4πcm，扇形的面积为8πcm2，根据扇形的面积等于弧长与半径积的一半，即可求得答案．
【解答】解：设半径是rcm，
∵一个扇形的弧长是4πcm，扇形的面积为8πcm2，
∴8π＝×4π×r，
解得r＝4．
故答案为：4．
17．三边长分别是5cm，12cm，13cm的三角形的内切圆半径为　2　cm．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明此三角形为直角三角形，然后利用直角三角形内切圆的半径r＝（其中a、b为直角边，c为斜边）进行计算．
【解答】解：∵52+122＝132，
∴此三角形为直角三角形，
∴这个三角形的内切圆半径＝＝2（cm）．
故答案为2．
18．等腰三角形的腰长为1cm，底边长为cm，则它的底角的正切值为　　．
【分析】作等腰三角形底边上的高，将问题转化到直角三角形中，求底角的正切值即可．
【解答】解：设AB＝AC＝1，BC＝，
过A点作AD⊥BC，垂足为D，如图所示：
则BD＝BC＝，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD＝＝＝，
∴tanB＝＝＝，
故答案为：．

19．点P是半径为4的⊙O外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，且PA＝4，在⊙O内作长为4的弦AB，连接PB，则PB的长为　4或4　．
【分析】分两种情况进行讨论：（1）弦AB在⊙O的同旁，可以根据已知条件证明△POA≌△POB，然后即可求出PA；（2）弦AB在⊙O的两旁，此时可以根据已知条件证明PABO是平行四边形，然后利用平行四边形的性质和勾股定理即可求出PA．
【解答】解：连接OA，
（1）如图1，当弦AB与PA在O的同旁时，

∵PA＝AO＝4，PA是⊙的切线，
∴∠AOP＝45°，
∵OA＝OB，
∴∠BOP＝∠AOP＝45°，
而OP＝OP，
∴△POA≌△POB（SAS），
∴PB＝PA＝4；

（2）如图2，当弦AB与PA在O的两旁，连接OA，OB，

∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
而PA＝AO＝4，
∴OP＝4；
∵AB＝4，
而OA＝OB＝4，
∴AO⊥BO，
∴PABO是平行四边形，
∴PB，AO互相平分；
设AO交PB与点C，
即OC＝2，
∴BC＝＝＝2，
∴PB＝4．
故答案为：4或4．
20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，tan∠CAB＝，AD＝AB，AH⊥BD于点H，连接CD交AH于点E，连接BE，BE＝，则BD的长为　4　．

【分析】过点C作CF⊥AB于F，由三角函数得出tan∠CAB＝＝，设CF＝4a，AF＝3a，由勾股定理得出AC＝5a，得出BF＝AB﹣AF＝2a，由勾股定理得出BC＝＝2a，得出sin∠CBF＝＝＝，证出点BD关于AH对称，AC＝AD，DH＝BH，得出∠ABD＝∠ADB，∠ABE＝∠ADE，∠DEH＝∠BEH，∠ADC＝∠ACD，得出∠ACD＝∠ABE，证出A、E、B、C四点共圆，由圆周角定理得出∠ABC＝∠AEC，证出∠CBF＝∠BEH，得出sin∠BEH＝＝，即可得出答案．
【解答】解：过点C作CF⊥AB于F，如图所示：
∴tan∠CAB＝＝，
设CF＝4a，AF＝3a，
AC＝＝＝5a，
∵AB＝AC，
∴BF＝AB﹣AF＝5a﹣3a＝2a，
在Rt△BDF中，
BC＝＝＝2a，
∴sin∠CBF＝＝＝，
∵AB＝AD，AH⊥BD，
∴点BD关于AH对称，AC＝AD，DH＝BH，
∴∠ABD＝∠ADB，∠ABE＝∠ADE，∠DEH＝∠BEH，∠ADC＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠ABE，
∴A、E、B、C四点共圆，
∴∠ABC＝∠AEC，
∵∠AEC＝∠DEH，∠DEH＝∠BEH，
∴∠ABC＝∠BEH，即∠CBF＝∠BEH，
∴sin∠BEH＝＝，
∵BE＝，
∴＝，
∴BH＝2，
∴BD＝2BH＝4，
故答案为：4．

三．解答题（共4小题）
21．先化简，再求代数式的值，其中a＝tan60°﹣6sin30°．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据特殊角的三角函数值求出a的值，把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣×
＝﹣
＝，
∵a＝tan60°﹣6sin30°＝﹣6×＝﹣3，
∴原式＝＝＝1﹣2．
22．如图，在正方形网格纸中每一个小正方形的边长为1，线段AB的两个端点都在小正方形的顶点上，请按下面的要求画图．
（1）在图1中，画等腰△ABC，点C落在小正方形顶点上，使△ABC的面积为6；
（2）在图2中，画钝角△ABD，点D落在小正方形顶点上，其中△ABD有一个内角为135°，△ABD的面积为4，并直接写出∠ADB的正切值．

【分析】（1）以AB为底，构造高为3的等腰三角形即可．
（2）利用数形结合的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．
（2）△ABD即为所求．tan∠ADB＝＝．

23．如图，⊙O的直径AB＝6，C为圆周上的一点，BC＝3．过C点作⊙O的切线GE，作AD⊥GE于点D，交⊙O于点F．
（1）求证：∠ACG＝∠B．
（2）计算线段AF的长．

【分析】（1）连接OC，BF．根据切线的性质得到OC⊥GE，即∠ACG+∠OCA＝90°，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB＝90°，则∠B+∠CAB＝90°，而∠BAC＝∠OCA，得到∠B＝∠ACG．
（2）Rt△ACB中，AB＝6，BC＝3，得到∠CAB＝30°，而∠B＝∠ACG＝60°，AD⊥GE，则∠CAD＝30°，则∠DAB＝∠CAD+∠CAB＝60°，根据直径所对的圆周角为直角得到∠AFB＝90°，所以AF＝AB＝3．
【解答】（1）证明：连接OC，BF．
∵GE是过点C的⊙O的切线，
∴OC⊥GE，即∠ACG+∠OCA＝90°．
∵AB是⊙O的直径，AO＝OC，
∴∠ACB＝90°，∠BAC＝∠OCA．
∵∠B+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACG；

（2）解：∵Rt△ACB中，AB＝6，BC＝3，
∴∠CAB＝30°．
∵∠B＝∠ACG＝60°，AD⊥GE，
∴∠CAD＝30°．
∴∠DAB＝∠CAD+∠CAB＝60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵AB＝6，
∴AF＝AB＝3．

24．正比例函数y＝x的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，求：
（1）x＝﹣3时反比例函数的值；
（2）当﹣3＜x＜﹣1时反比例函数y的取值范围．
【分析】（1）把一个交点的纵坐标是2代入y＝x求出横坐标为2，把（2，2）代入求出k，把x＝﹣3代入即可求值．
（2）令﹣3＜x＜﹣1，先求出的取值范围，即可求出y的取值范围．
【解答】解：（1）把一个交点的纵坐标是2代入y＝x求出横坐标为2，把（2，2）代入，
解得：k＝4，故反比例函数为y＝，
当x＝﹣3时，代入得：y＝﹣，
故x＝﹣3时反比例函数的值为：﹣；

（2）当x＝﹣3时，y＝﹣，当x＝﹣1时，y＝﹣4，
又知反比例函数y＝在﹣3＜x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
即当﹣3＜x＜﹣1时反比例函数y的取值范围为：﹣4＜y＜﹣．
25.如图，射线MN表示一艘轮船的航行路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，A处到M处为100海里．
（1）求点A到航线MN的距离；
（2）在航线MN上有一点B，且∠MAB＝15°，若轮船的速度为50海里/时，求轮船从M处到B处所用时间为多少小时？（结果保留根号）

【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】12：应用题；66：运算能力；69：应用意识．
【分析】（1）过A作AH⊥MN于H．由方向角的定义可知∠QMB＝30°，∠QMA＝60°，那么∠NMA＝∠QMA﹣∠QMB＝30°．解直角△AMH中，得出AH＝AM，问题得解；
（2）先根据直角三角形两锐角互余求出∠HAM＝60°，由∠MAB＝15°，得出∠HAB＝∠HAM﹣∠MAB＝45°，那么△AHB是等腰直角三角形，求出BH＝AH距离，然后根据时间＝路程÷速度即可求解．
【解答】解：（1）如图，过A作AH⊥MN于H．
∵∠QMB＝30°，∠QMA＝60°，
∴∠NMA＝∠QMA﹣∠QMB＝30°．
在直角△AMH中，∵∠AHM＝90°，∠AMH＝30°，AM＝100海里，
∴AH＝AM＝50海里，
答：点A到航线MN的距离为50海里；
（2）在直角△AMH中，∵∠AHM＝90°，∠AMH＝30°，
∴∠HAM＝60°，
∵∠MAB＝15°，
∴∠HAB＝∠HAM﹣∠MAB＝45°，
∵∠AHB＝90°，
∴BH＝AH＝50海里，
∵MH＝AH＝50海里，
∴MB＝（50﹣50）海里，
∴轮船从M处到B处所用时间为：＝（﹣1）小时，
答：轮船从M处到B处所用时间约为（﹣1）小时．

26.已知锐角△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，连接AO．
（1）如图1，求证：∠BAO＝∠CAD；
（2）如图2，CE⊥AB于点E，交AD于点F，过点O作OH⊥BC于点H，求证：AF＝2OH；
（3）如图3，在（2）的条件下，若AF＝AO，tan∠BAO＝，BC＝，求AC的长．

【考点】MR：圆的综合题．
【专题】152：几何综合题；69：应用意识．
【分析】（1）延长AO交⊙O于K，连接BK．利用等角的余角相等证明即可．
（2）延长CO交⊙O于M，连接AM，BM，连接BF．证明四边形AMBF是平行四边形，BM＝2OH即可解决问题．
（3）延长CO交⊙O于M，连接AM，BM，连接BF．证明∠BAO＝∠DAC＝∠DBF，推出tan∠DBF＝tan∠BAP＝＝＝，设DF＝x，则BD＝3x，CD＝2﹣3x，AD＝6﹣9x，AF＝BM＝6﹣10x，构建方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：延长AO交⊙O于K，连接BK．

∵AK是直径，
∴∠ABK＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAO+∠K＝90°，∠DAC+∠C＝90°，∠K＝∠C，
∴∠BAO＝∠DAC．

（2）证明：延长CO交⊙O于M，连接AM，BM，连接BF．

∵CM是直径，
∴∠CBM＝∠MAC＝90°，
∵OH⊥BC，
∴BH＝CH，∠OHC＝∠CBM＝90°，
∴AD∥BM，
∵OC＝OM，
∴BM＝2OH，
∵AD⊥BC，CA⊥AB，
∴BF⊥AC，∵A⊥AC，
∴AM∥BF，
∴四边形AMBF是平行四边形，
∴AF＝BM，
∴AF＝2OH．

（3）解：延长CO交⊙O于M，连接AM，BM，连接BF．

由（2）可知，四边形AMBF是平行四边形，
∴AF＝BM，
∴OA＝AF，
∴BM＝OA，
∴CM＝2BM，
∵∠CBM＝90°，
∴∠BCM＝30°，
∵∠BAO＝∠DAC＝∠DBF，
∴tan∠DBF＝tan∠BAP＝＝＝，设DF＝x，则BD＝3x，CD＝2﹣3x，AD＝6﹣9x，AF＝BM＝6﹣10x，
∵BC＝2，
∴BM＝BC?tan30°＝2，
∴6﹣10x＝2，
∴x＝，
∴AC＝＝CD＝（2﹣）＝+3．
27.已知如图，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B，AB＝，tan∠BAO＝3．
（1）求：直线AB的解析式；
（2）直线y＝kx+b经过点B交x轴交于点C，且∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D．动点P从点C出发，沿CB方向以每秒个单位长度的速度向终点B运动，运动时间为t，设△ADP的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．
（3）在（2）的条件下，点P在线段BD上，点F在线段AB上，∠APC＝∠FPB，连接AP，过点F作FG⊥AP于点G，交AD于点H，若DP＝DH，求点P的坐标．

【考点】FI：一次函数综合题．
【专题】533：一次函数及其应用；553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形；55D：图形的相似；69：应用意识．
【分析】（1）由三角函数和勾股定理可求点A，点B坐标，用待定系数法可求解析式；
（2）如图1，过点D作EF⊥AC，交AC于点F，过点B作BE⊥EF，垂足为E，由“AAS”可证△BDE≌△DAF，可得DF＝BE，DE＝AF，可求点D坐标，可求BC解析式，由勾股定理可求BC的长，由面积公式可求解；
（3）如图2，过点B作BN⊥AB交AP延长线于N，由“ASA”可证△BPN≌△BPF，可得BN＝BF，PN＝PF，由“AAS”可证△AHF≌△BPN，可得AF＝BN，PN＝FH，可求点F坐标，由两点距离公式可求BF＝＝BN，通过证明△MNP∽△DAP，可得，可求PD的长，由两点距离公式可求点P坐标．
【解答】解：（1）∵tan∠BAO＝3＝，
∴BO＝3AO，
∵AB2＝AO2+BO2＝40，
∴AO＝2，BO＝6，
∴点A（﹣2，0），点B（0，6）
设直线AB解析式为：y＝kx+6，
∴0＝﹣2k+6，
∴k＝3，
∴直线AB解析式为：y＝3x+6；
（2）如图1，过点D作EF⊥AC，交AC于点F，过点B作BE⊥EF，垂足为E，

∴四边形BEFO是矩形，
∴BO＝EF＝6，OF＝BE，
∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠BAD＝45°，
∴AD＝BD，
∵∠ADB＝90°＝∠AFD，
∴∠BDE+∠ADF＝90°，∠ADF+∠DAF＝90°，
∴∠BDE＝∠DAF，且BD＝AD，∠E＝∠AFD＝90°，
∴△BDE≌△DAF（AAS）
∴DF＝BE，DE＝AF，
∵EF＝ED+DF＝AO+OF+OF＝2+2OF＝6
∴OF＝2，
∴点D坐标（2，2），
设BC解析式为：y＝ax+6，
∴2＝2a+6，
∴a＝﹣2，
∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6，
∴当y＝0时，x＝3，
∴点C（3，0），
∴OC＝3，
∴BC＝＝＝3，
∵AB＝，且∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴AD＝BD＝2，
∴CD＝，
当0≤t＜1时，S＝×2×（﹣x）＝5﹣5x，
当1＜t≤3时，S＝×2×（x﹣）＝5x﹣5；
（3）如图2，过点B作BN⊥AB交AP延长线于N，过点N作MN⊥BC于M，

∵AD＝BD，DH＝PD，
∴AH＝BP，
∵BN⊥AB，∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠NBP＝45°，且∠APC＝∠BPN＝∠BPF，BP＝BP，
∴△BPN≌△BPF（ASA）
∴BN＝BF，PN＝PF，
∵FH⊥AP，
∴∠AGF＝∠ABN＝90°，
∴∠FAG+∠AFG＝90°，∠FAG+∠N＝90°，
∴∠AFG＝∠N，且∠BAD＝∠PBN＝45°，AH＝BP，
∴△AHF≌△BPN（AAS）
∴AF＝BN，PN＝FH，
∴BF＝AF，FH＝FP，
∴点F是AB中点，
∴点F坐标（﹣1，3）
∴BF＝＝BN，
∵∠NBM＝45°，
∴BM＝MN＝，
∴MD＝BD﹣BM＝，
∵MN⊥BC，AD⊥BC，
∴AD∥MN，
∴△MNP∽△DAP，
∴
∴，且MP+PD＝
∴PD＝
设点P（x，﹣2x+6），
∴（x﹣2）2+（﹣2x+6﹣2）2＝，
∴x＝，x＝（不合题意舍去）
∴点P（，）

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