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2020-2021学年北师大版七年级数学下册期末复习大题压轴题梳理卷
【题型1
平行线的判定与性质综合】
【例1】（2020春?石泉县期末）已知直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点A、C，CM是∠ACD的平分线，CM交AB于点H，过点A作AG⊥AC交CM于点G．
（1）如图1，点G在CH的延长线上时，若∠GAB＝36°，求∠MCD的度数；
（2）如图2，点G在CH上时，试说明2∠MCD+∠GAB＝90°．
【变式1-1】（2020春?中山市期末）如图，已知AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点EF，点P是射线EB上一点（与点E不重合）．FM、FN分别平分∠PFE和∠PFD，FM、FN交直线AB于点M、N，过点N作NH⊥FM于点H．
（1）若∠BEF＝64°，求∠FNH的度数；
（2）猜想∠BEF和∠FNH之间有怎样的数量关系，并加以证明．
【变式1-2】（2020春?邳州市期末）已知：点A在射线CE上，∠C＝∠D．
（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC．
（2）如图2，若BD⊥BC，BD与CE交于点G，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠DFE＝8∠DAE，∠BAC＝∠BAD时，直接写出∠BAD的度数为　
　°．
【变式1-3】（2020秋?福州期末）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM交CD于点M，AB∥CD，且∠FEM＝∠FME．
（1）当∠AEF＝70°时，∠FME＝　
　°；
（2）判断EM是否平分∠AEF，并说明理由；
（3）如图2，点G是射线FD上一动点（不与点F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EGF＝α．探究当点G在运动过程中，∠MHN﹣∠FEH和α之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【题型2
平行线的判定与性质综合（作平行线）】
【例2】（2020秋?朝阳区期末）【感知】如图①，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．（提示：过点P作直线PQ∥AB）
【探究】如图②，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，
（1）当点P在线段AB上运动时，∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为　
　．
（2）当点P在线段A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为　
　．
【变式2-1】（2020秋?内江期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决下．
（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；
（3）将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若∠FAD＝α°，∠ABC＝β°，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．
【变式2-2】（2020春?武昌区期末）如图1，AB∥CD，点E在AB上，点H在CD上，点F在直线AB，CD之间，连接EF，FH，∠AEF+∠CHF∠EFH．
（1）直接写出∠EFH的度数为　
　；
（2）如图2，HM平分∠CHF，交FE的延长线于点M，证明：∠FHD﹣2∠FMH＝36°；
（3）如图3，点P在FE的延长线上，点K在AB上，点N在∠PEB内，连NE，NK，NK∥FH，∠PEN＝2∠NEB，则2∠FHD﹣3∠ENK的值为　
　．
【变式2-3】（2020秋?道里区期末）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．
（1）如图1，求证：HG⊥HE；
（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；
（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．
【题型3
平行线的判定与性质综合（含旋转）】
【例3】（2020秋?金川区校级期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）．
（1）如图1，①若∠DCE＝40°，求∠ACB的度数；
②若∠ACB＝150°，直接写出∠DCE的度数是　
　度．
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE满足的数量关系是　
　．
（3）若固定△ACD，将△BCE绕点C旋转，
①当旋转至BE∥AC（如图2）时，直接写出∠ACE的度数是　
　度．
②继续旋转至BC∥DA（如图3）时，求∠ACE的度数．
【变式3-1】（2020秋?郑州期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．
如图2：当角∠CAE＝60°时，BC∥DE．
求其它所有可能符合条件的角∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）的度数，画出对应的图形并证明．
【变式3-2】（2020秋?苏州期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板AOB的直角顶点O放在直尺EF的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转．
（1）若三角板AOB在EF的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现∠AOE、∠BOF的大小发生了变化，但它们的和不变，即∠AOE+∠BOF＝　
　°．
（2）若OA、OB分别位于EF的上方和下方，如图2所示，则∠AOE、∠BOF之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由；
（3）射线OM、ON分别是∠AOE、∠BOE的角平分线，若三角板AOB始终在EF的上方，则旋转过程中，∠MON的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【变式3-3】（2020春?义乌市期末）如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠FPE＝120°．
（1）求∠AEP的度数；
（2）如图2，射线PN从PF出发，以每秒40°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒15°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动．若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当∠MEP＝20°时，求∠EPN的度数；
②当EM∥PN时，求t的值．
【题型4
完全平方公式的几何背景及应用】
【例4】（2020秋?无棣县期末）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的正方形的周长等于　
　．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为　
　．
（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．
（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．
【变式4-1】（2020秋?梁园区期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：　
　；方法2：　
　；
（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系　
　；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值；
②已知（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝5，求（2020﹣a）（a﹣2019）的值；
【变式4-2】（2020秋?广水市期末）[知识生成]
通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）图②中阴影部分的正方形的边长是　
　；
（2）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1：　
　；方法2：　
　；
（3）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　
　；
（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，，则（x﹣y）2＝　
　；
[知识迁移]
类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（5）根据图③，写出一个代数恒等式：　
　；
（6）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的规律求的值．
【变式4-3】（2020春?东海县期末）[阅读理解]我们常将一些公式变形，以简化运算过程．
如，可以把公式“（a+b）2＝a2+2ab+b2”变形成a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）等形式，运用于下面这个问题的解答：
问题：若x满足（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）2+（x﹣30）2的值．
我们可以作如下解答：设a＝20﹣x，b＝x﹣30，则（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝20﹣30＝﹣10．所以（20﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣10）2﹣2×10＝80．
请根据你对上述内容的理解，解答下列问题：
（1）若x满足（80﹣x）（x﹣70）＝﹣10，则（80﹣x）2+（x﹣70）2的值为　
　．
（2）若x满足（2020﹣x）2+（2017﹣x）2＝4051，则（2020﹣x）（2017﹣x）的值为　
　．
（3）如图，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝8，CK＝12．沿着LD、KD所在直线将正方形EFGH分割成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形NDMH的面积．
【题型5
平方差公式的几何背景及应用】
【例5】（2020春?昌平区期末）乘法公式的探究及应用．
（1）如图1可以求出阴影部分的面积是　
　；
（2）如图2若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是　
　，长是　
　，面积是　
　；
（3）比较图1、图2的阴影部分面积，则可以得到乘法公式　
　；（用式子表达）
（4）小明展示了以下例题：计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1．
解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）+1＝（28﹣1）（28+1）（216+1）+1＝（216﹣1）（216+1）+1＝232﹣1+1＝232．
在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，这样才能学会数学．请计算：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1．
【变式5-1】（2020春?肃州区期末）如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是　
　（写成平方差的形式）．
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是　
　，长是　
　，面积是　
　．（写成多项式乘法形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式　
　．
（4）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n＝　
　．
②计算：20202﹣2018×2022．
③计算：．
【变式5-2】（2020春?河口区期末）【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式　
　．（用含a，b的等式表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为　
　．
（2）计算：20192﹣2020×2018．
【拓展】
计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
【变式5-3】（2020春?东城区期末）如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．
比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在虚框中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）＝　
　；
（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．根据你画的长方形，可得到恒等式　
　；
（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y表示四个相同形状的长方形的两条邻边长（x＞y），观察图案，指出以下正确的关系式　
　（填写选项）．
A．xy
B．x+y＝m
C．x2﹣y2＝mn
D．x2+y2
【题型6
函数图象的应用】
【例6】（2020春?彭州市期末）一个周末上午8：00，小张自驾小汽车从家出发，带全家人去一个4A级景区游玩，小张驾驶的小汽车离家的距离y（千米）与时间t（时）之间的关系如图所示，请结合图象解决下列问题：
（1）小张家距离景区　
　千米，全家人在景区游玩了　
　小时；
（2）在去景区的路上，汽车进行了一次加油，之后平均速度比原来增加了20千米/时，试求他加油共用了多少小时？
（3）如果汽车油箱中原来有油25升，平均每小时耗油10升，问小张在加油站至少加多少油才能开回家？
【变式6-1】（2020春?竞秀区期末）某地举行龙舟赛，甲、乙两队在比赛时，路程y（米）与时间x（分钟）的函数图象如图所示，根据函数图象填空和解答问题：
（1）最先到达终点的是　
　队，比另一队领先　
　分钟到达；
（2）在比赛过程中，甲队的速度始终保持为　
　米/分；而乙队在第　
　分钟后第一次加速，速度变为　
　米/分，在第　
　分钟后第二次加速；
（3）假设乙队在第一次加速后，始终保持这个速度继续前进，那么甲、乙两队谁先到达终点？请说明理由．
【变式6-2】（2020春?宁德期末）李大爷在如图1所示扇形湖畔的栈道上散步，他从圆心O出发，沿O→A→B→O匀速运动，最后回到点O，其中路径AB是一段长180米的圆弧．李大爷离出发点O的直线距离S（米）与运动时间t（分）之间的关系如图2所示．
（1）在　
　时间段内，李大爷离出发点O的距离在增大；在4～10分这个时间段内，李大爷在　
路段上运动（填OA，AB或OB）；李大爷从点O出发到回到点O一共用了　
　分钟；
（2）扇形栈道的半径是　
　米，李大爷的速度为　
　米/分；
（3）在与出发点O距离75米处有一个报刊亭，李大爷在该处买报纸时逗留了一会儿．已知李大爷在买报纸前后始终保持运动速度不变，则李大爷是在第　
　分到达报刊亭，他在报刊亭停留了　
　分钟．
【变式6-3】（2020春?竞秀区期末）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为s（km）与甲行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示．
（1）以下是点M、点N、点P所代表的实际意义，请将M、N、P填入对应的横线上．
①甲到达终点　
　．
②甲乙两人相遇　
　．
③乙到达终点　
　．
（2）AB两地之间的路程为　
　千米；
（3）求甲、乙各自的速度；
（4）甲出发
　h后甲、乙两人相距180千米；
【题型7
全等三角形的判定与性质综合】
【例7】（2020春?青川县期末）以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．
（1）说明BD＝CE；
（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；
（3）若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．
【变式7-1】（2020秋?西湖区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ACE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）当D在线段BC上时，
①求证：△BAD≌△CAE．
②请判断点D在何处时，AC⊥DE，并说明理由．
（2）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为28°，求∠ADB的度数．
【变式7-2】（2020春?凌海市期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）如图1所示位置时判断△ADC与△CEB是否全等，并说明理由；
（2）如图2所示位置时判断△ADC与△CEB是否全等，并说明理由．
【变式7-3】（2020春?商河县期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），以AD为边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE，设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
（1）线段BD、CE的数量关系是　
　；并说明理由；
（2）探究：当点D在BC边上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）如图2，若∠BAC＝90°，CE与BA的延长线交于点F．求证：EF＝DC．
【题型8
构造全等三角形】
【例8】（2020?锦州期末）问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．
方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；
小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；
问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．
【变式8-1】（2020春?章丘区期末）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
①∠AEB的度数为　
　
②猜想线段AD，BE之间的数量关系为：　
　，并证明你的猜想．
（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM
为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE
之间的数量关系．
【变式8-2】（2020春?济南期末）已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，AD＝DE．
（1）如图1，当E在AC的延长线上且CE＝CD时，AD是△ABC的中线吗？请说明理由；
（2）如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；
（3）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系．
【变式8-3】（2020春?锦江区期末）在△ABC中，∠B＝60°，D是BC上一点，且AD＝AC．
（1）如图1，延长BC至E，使CE＝BD，连接AE．求证：AB＝AE；
（2）如图2，在AB边上取一点F，使DF＝DB，求证：AF＝BC；
（3）如图3，在（2）的条件下，P为BC延长线上一点，连接PA，PF，若PA＝PF，猜想PC与BD的数量关系并证明．2020-2021学年北师大版七年级数学下册期末复习大题压轴题梳理卷
【题型1
平行线的判定与性质综合】
【例1】（2020春?石泉县期末）已知直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点A、C，CM是∠ACD的平分线，CM交AB于点H，过点A作AG⊥AC交CM于点G．
（1）如图1，点G在CH的延长线上时，若∠GAB＝36°，求∠MCD的度数；
（2）如图2，点G在CH上时，试说明2∠MCD+∠GAB＝90°．
【分析】（1）依据AG⊥AC，∠GAB＝36°，可得∠CAH的度数，依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠MCD的度数；
（2）结合（1）得ACD+∠CAH＝180°，再依据角平分线的定义，即可得2∠MCD+∠GAB＝90°．
【解答】解：（1）∵AG⊥AC，∠GAB＝36°，
∴∠CAH＝90°﹣36°＝54°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAH＝180°，
∴∠ACD＝126°，
∵CM是∠ACD的平分线，
∴∠ACH＝∠DCM＝63°．
（2）∵∠ACH＝∠DCM，
∴∠ACD＝2∠MCD，
由（1）得∠ACD+∠CAH＝180°，
∵AG⊥AC，
∴∠CAG＝90°，
∴2∠MCD+90°+∠GAB＝180°，
∴2∠MCD+∠GAB＝90°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质是解决问题的关键．
【变式1-1】（2020春?中山市期末）如图，已知AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点EF，点P是射线EB上一点（与点E不重合）．FM、FN分别平分∠PFE和∠PFD，FM、FN交直线AB于点M、N，过点N作NH⊥FM于点H．
（1）若∠BEF＝64°，求∠FNH的度数；
（2）猜想∠BEF和∠FNH之间有怎样的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠BEF+∠EFD＝180°，代入求出∠EFD的度数，根据角平分线的定义得出∠MFPEFP，∠NFP，求出∠MFNEFD，根据垂直的定义得出∠NHF＝90°，根据三角形的内角和定理求出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠BEF+∠EFD＝180°，代入求出∠EFD的度数，根据角平分线的定义得出∠MFPEFP，∠NFP，求出∠MFNEFD，根据垂直的定义得出∠NHF＝90°，根据三角形的内角和定理求出即可．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∵∠BEF＝64°，
∴∠EFD＝180°﹣64°＝116°，
∵FM、FN分别平分∠PFE和∠PFD，
∴∠MFPEFP，∠NFP，
∴∠MFN（∠EFP+∠PFD）EFD58°，
∵NH⊥FM，
∴∠NHF＝90°，
∴∠FNH＝180°﹣∠NHF﹣∠HFN＝180°﹣90°﹣58°＝32°；
（2）∠BEF＝2∠FNH，
证明：设∠BEF＝x°，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∵∠BEF＝x°，
∴∠EFD＝180°﹣x°，
∵FM、FN分别平分∠PFE和∠PFD，
∴∠MFPEFP，∠NFP，
∴∠MFN（∠EFP+∠PFD）EFD（180°﹣x°）＝90°x°，
∵NH⊥FM，
∴∠NHF＝90°，
∴∠FNH＝180°﹣∠NHF﹣∠HFN＝180°﹣90°﹣（90x°）x°，
即∠BEF＝2∠FNH．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，垂直的定义等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，求解过程类似．
【变式1-2】（2020春?邳州市期末）已知：点A在射线CE上，∠C＝∠D．
（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC．
（2）如图2，若BD⊥BC，BD与CE交于点G，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠DFE＝8∠DAE，∠BAC＝∠BAD时，直接写出∠BAD的度数为　
　°．
【分析】（1）根据AC∥BD，可得∠DAE＝∠D，再根据∠C＝∠D，即可得到∠DAE＝∠C，进而判定AD∥BC；
（2）根据三角形内角和定理，即可得到∠CGB＝∠D+∠DAE，再根据△BCG中，∠CGB+∠C＝90°，即可得到∠D+∠DAE+∠C＝90°，进而得出2∠C+∠DAE＝90°；
（3）设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，∠AFD＝180°﹣8α，根据DF∥BC，即可得到∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，再根据2∠C+∠DAE＝90°，即可得到2（180°﹣8α）+α＝90°，求得α的值，即可运用三角形内角和定理得到∠BAD的度数．
【解答】解：（1）如图1，
∵AC∥BD，
∴∠DAE＝∠D，
又∵∠C＝∠D，
∴∠DAE＝∠C，
∴AD∥BC；
（2）∠EAD+2∠C＝90°．
证明：如图2，设CE与BD交点为G，
因为∠D+∠DAE+∠DGA＝180°（三角形内角和为180°），∠DGA+∠AGB＝180°（邻补角性质），
所以∠AGB＝∠D+∠DAE（等量代换），
∴∠CGB＝∠D+∠DAG，
∵BD⊥BC，
∴∠CBD＝90°，
∴△BCG中，∠CGB+∠C＝90°，
∴∠D+∠DAG+∠C＝90°，
又∵∠D＝∠C，
∴2∠C+∠DAE＝90°；
（3）如图3，设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，
∵∠DFE+∠AFD＝180°，
∴∠AFD＝180°﹣8α，
∵DF∥BC，
∴∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，
又∵2∠C+∠DAE＝90°，
∴2（180°﹣8α）+α＝90°，
∴α＝18°，
∴∠C＝180°﹣8α＝36°＝∠ADB，
又∵∠C＝∠BDA，∠BAC＝∠BAD，
∴∠ABC＝∠ABD∠CBD＝45°，
∴△ABD中，∠BAD＝180°﹣45°﹣36°＝99°．
故答案为：99°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理的运用，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
【变式1-3】（2020秋?福州期末）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM交CD于点M，AB∥CD，且∠FEM＝∠FME．
（1）当∠AEF＝70°时，∠FME＝　
　°；
（2）判断EM是否平分∠AEF，并说明理由；
（3）如图2，点G是射线FD上一动点（不与点F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EGF＝α．探究当点G在运动过程中，∠MHN﹣∠FEH和α之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【分析】（1）依据平行线的性质线，可得∠AEM＝∠FME，根据∠FEM＝∠FME，可得∠AEM＝∠FEM，进而得出∠FME的度数；
（2）由（1）得∠AEM＝∠FEM，根据角平分线的定义即可得出结论；
（3）依据平行线的性质可得∠BEG＝∠EGF＝α，再根据EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，即可得到∠MEH∠AEG＝90°α，再根据HN⊥EM，即可得到Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEHα，由∠BEH＝∠EHF即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠AEM＝∠FME，
又∵∠FEM＝∠FME，
∴∠AEM＝∠FEM，
∵∠AEF＝70°，
∴∠FME＝∠AEM∠AEF＝35°；
故答案为：35；
（2）由（1）得∠AEM＝∠FEM，
∴EM平分∠AEF；
（3）∠MHN﹣∠FEHα．
证明：∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠EGF＝α，
∵EH平分∠FEG，
∴∠FEH＝∠HEG∠FEG，
∴∠FEH+α＝∠BEG+∠GEH＝∠BEH，
∵EM平分∠AEF，EH平分∠FEG，
∴∠MEH∠AEG（180°﹣α）＝90°，
在Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH＝90°﹣（90°α）α，
∵AB∥CD，
∴∠BEH＝∠EHF，即α+∠GEH＝∠EHN+∠NHM，
∴α+∠FEHα+∠NHM，
∴∠MHN﹣∠FEHα．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；利用角的和差关系进行推算．
【题型2
平行线的判定与性质综合（作平行线）】
【例2】（2020秋?朝阳区期末）【感知】如图①，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．（提示：过点P作直线PQ∥AB）
【探究】如图②，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，
（1）当点P在线段AB上运动时，∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为　
　．
（2）当点P在线段A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为　
　．
【分析】过P作PQ∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC＝45°+55°＝100°．
（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（2）分两种情况：点P在A、M两点之间；点P在B、O两点之间；分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出结论．
【解答】解：过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠APQ＝180°﹣∠PAB＝50°，∠CPQ＝180°﹣∠PCD＝60°，
∴∠APC＝50°+60°＝110°；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图②，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图③，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如图④，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
【变式2-1】（2020秋?内江期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决下．
（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；
（3）将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若∠FAD＝α°，∠ABC＝β°，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．
【分析】（1）如图1中，作EF∥AB，则有EF∥CD，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）先过点E作EH∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论；
（3）过E作EG∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论．
【解答】解：（1）成立，
理由：如图1中，作EF∥AB，则有EF∥CD，
∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE．
（2）如图2，过点E作EH∥AB，
∵AB∥CD，∠FAD＝60°，
∴∠FAD＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝60°，
∴∠EDC∠ADC＝30°，
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴∠ABE∠ABC＝20°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，
∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°，
∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝50°．
（3）∠BED的度数改变．
如图3，过点E作EG∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝∠FAD＝m°，
∴∠ABE∠ABCn°，∠CDE∠ADCm°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠BEG＝180°﹣∠ABE＝180°n°，∠CDE＝∠DEGm°，
∴∠BED＝∠BEG+∠DEG＝180°n°m°．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是正确的作出辅助线．
【变式2-2】（2020春?武昌区期末）如图1，AB∥CD，点E在AB上，点H在CD上，点F在直线AB，CD之间，连接EF，FH，∠AEF+∠CHF∠EFH．
（1）直接写出∠EFH的度数为　
　；
（2）如图2，HM平分∠CHF，交FE的延长线于点M，证明：∠FHD﹣2∠FMH＝36°；
（3）如图3，点P在FE的延长线上，点K在AB上，点N在∠PEB内，连NE，NK，NK∥FH，∠PEN＝2∠NEB，则2∠FHD﹣3∠ENK的值为　
　．
【分析】（1）证明∠DHF＝∠HFM，则∠AEF+∠CHF+∠EFH＝360°，而∠AEF+∠CHF∠EFH，即可求解；
（2）∠3＝∠EFH﹣∠F′FH＝108°﹣∠FHD，则∠M′MF＝∠3＝108°﹣∠FHD，而∠1＝∠2，则∠1，进而求解；
（3）证明∠1+∠2＝252°，则3α﹣∠4＝72°，即可求解．
【解答】解：（1）过点F作MN∥AB，如图1所示：
则∠BEF＝∠EFM，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠DHF＝∠HFM，
∴∠AEF+∠CHF+∠EFH＝360°，
∵∠AEF+∠CHF∠EFH，
故∠EFH＝108°，
故答案为108°；
（2）过点F作FF′∥AB，过点M作MM′∥AB．
∵AB∥CD，
∴FF′∥MM′∥AB∥CD，
∴∠F′FH＝∠FHD，
∴∠3＝∠EFH﹣∠F′FH＝108°﹣∠FHD，
∴∠M′MF＝∠3＝108°﹣∠FHD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1，
∵MM′∥CD，
∴∠M′MH＝∠1，
∴∠FMH+108°﹣∠FHD，
∴∠FHD﹣2∠FMH＝36°；
（3）延长NK交CD于点R，
∵∠AEF+∠CHF∠EFH，即∠1+∠2∠3，
而∠1+∠2+∠3＝360°，
故∠1+∠2＝252°，
设∠NEB＝α，则∠PEN＝2∠NEB＝2α，
则∠1＝∠PEB＝3α，
而∠2＝180°﹣∠4，
故3α﹣∠4＝72°，
则2∠FHD﹣3∠ENK＝2∠4﹣3（∠NKB﹣∠NEB）＝2∠4﹣3（∠4﹣α）＝3α﹣∠4＝72°，
故答案为72°．
【点睛】本题考查平行线的判定定理以及平行线的性质．注意如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行的运用．
【变式2-3】（2020秋?道里区期末）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．
（1）如图1，求证：HG⊥HE；
（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；
（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可；
（3）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠FED，
∵∠AGH＝∠FED，
∴∠AFE＝∠AGH，
∴EF∥GH，
∴∠FEH+∠H＝180°，
∵FE⊥HE，
∴∠FEH＝90°，
∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，
∴HG⊥HE；
（2）过点M作MQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD，
过点H作HP∥AB，
∵AB∥CD，
∴HP∥CD，
∵GM平分∠HGB，
∴∠BGM＝∠HGM∠BGH，
∵EM平分∠HED，
∴∠HEM＝∠DEM∠HED，
∵MQ∥AB，
∴∠BGM＝∠GMQ，
∵MQ∥CD，
∴∠QME＝∠MED，
∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，
∵HP∥AB，
∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，
∵HP∥CD，
∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，
∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），
∴∠GHE＝∠2GME；
（3）过点M作MQ∥AB，过点H作HP∥AB，
由∠KFE：∠MGH＝13：5，设∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，
由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣10x，
∵FK平分∠AFE，
∴∠AFK＝∠KFE∠AFE，
即，
解得：x＝5°，
∴∠BGH＝10x＝50°，
∵HP∥AB，HP∥CD，
∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，
∵∠GHE＝90°，
∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，
∴∠HED＝40°．
【点睛】此题考查了平行线的性质．解题的关键是掌握平行线的性质．
【题型3
平行线的判定与性质综合（含旋转）】
【例3】（2020秋?金川区校级期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）．
（1）如图1，①若∠DCE＝40°，求∠ACB的度数；
②若∠ACB＝150°，直接写出∠DCE的度数是　
　度．
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE满足的数量关系是　
　．
（3）若固定△ACD，将△BCE绕点C旋转，
①当旋转至BE∥AC（如图2）时，直接写出∠ACE的度数是　
　度．
②继续旋转至BC∥DA（如图3）时，求∠ACE的度数．
【分析】（1）根据三角板中的特殊角，以及互余的意义可求答案；
（2）利用直角的意义以及角的和差关系得出结论；
（3）①由平行线的性质，得出两直线平行，内错角相等可得答案；
②利用平行线的性质和三角板的特殊角以及角的和差关系得出答案．
【解答】解：（1）
①∵∠DCE＝40°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝50°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝50°+90°＝140°；
②∵∠ACB＝150°，∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝150°﹣90°＝60°，
∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30；
（2）∵∠ACB＝∠ACD+∠BCE﹣∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE＝180°，
故答案为：∠ACB+∠DCE＝180°；
（3）①∵BE∥AC，
∴∠ACE＝∠E＝45°，
故答案为：45°；
②∵BC∥DA，
∴∠A+∠ACB＝180°，
又∵∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠BCE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ECB＝120°﹣90°＝30°．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角板的特殊内角，掌握平行线的性质和三角板的内角度数是解决问题的关键．
【变式3-1】（2020秋?郑州期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．
如图2：当角∠CAE＝60°时，BC∥DE．
求其它所有可能符合条件的角∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）的度数，画出对应的图形并证明．
【分析】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．
【解答】解：当AC∥DE时，如图所示：
则∠CAE＝∠E＝90°；
当BC∥AD时，如图所示：
则∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠DAE＝180°﹣30°﹣45°＝105°；
当BC∥AE时，
∵∠EAB＝∠B＝60°，
∴∠CAE＝∠CAB+∠EAB＝90°+60°＝150°；
综上所述：∠CAE的度数为90°或105°或150°．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质以及直角三角形的性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．
【变式3-2】（2020秋?苏州期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板AOB的直角顶点O放在直尺EF的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转．
（1）若三角板AOB在EF的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现∠AOE、∠BOF的大小发生了变化，但它们的和不变，即∠AOE+∠BOF＝　
　°．
（2）若OA、OB分别位于EF的上方和下方，如图2所示，则∠AOE、∠BOF之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由；
（3）射线OM、ON分别是∠AOE、∠BOE的角平分线，若三角板AOB始终在EF的上方，则旋转过程中，∠MON的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）由平角的性质可求解；
（2）由补角和余角的性质可求解；
（3）由角平分线的性质和平角的性质可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOE+∠AOB+∠BOF＝180°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°；
故答案为90；
（2）∠AOE﹣∠BOF＝90°，
理由如下：∵∠AOE+∠AOF＝180°，∠AOF+∠BOF＝90°，
∴∠AOE﹣∠BOF＝90°；
（3）∠MON的度数是一个定值，
理由如下：∵射线OM、ON分别是∠AOE、∠BOE的角平分线，
∴∠EOM∠AOE，∠EON∠BOF（∠AOE+∠AOB）∠AOE+45°，
∴∠MON＝∠EON+∠EOM＝45°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，余角和补角，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
【变式3-3】（2020春?义乌市期末）如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠FPE＝120°．
（1）求∠AEP的度数；
（2）如图2，射线PN从PF出发，以每秒40°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒15°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动．若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当∠MEP＝20°时，求∠EPN的度数；
②当EM∥PN时，求t的值．
【分析】（1）通过延长PG作辅助线，根据平行线的性质，得到∠PGE＝90°，再根据外角的性质可计算得到结果；
（2）①当∠MEP＝20°时，分两种情况，Ⅰ当ME在AE和EP之间，Ⅱ当ME在EP和EB之间，由∠MEP＝20°，计算出EM的运动时间t，根据运动时间可计算出∠FPN，由已知∠FPE＝120°可计算出∠EPN的度数；
②根据题意可知，当EM∥PN时，分三种情况，
Ⅰ射线PN由PF逆时针转动，EM∥PN，根据题意可知∠AEM＝15t°，∠FPN＝40t°，再平行线的性质可得∠AEM＝∠AHP，再根据三角形外角和定理可列等量关系，求解即可得出结论；
Ⅱ射线PN垂直AB时，再顺时针向PF运动时，EM∥PN，根据题意可知，∠AEM＝15t°，ME∥PN，∠GHP＝15t°，可计算射线PN的转动度数180°+90°﹣15t°，再根据PN转动可列等量关系，即可求出答案；
Ⅲ射线PN垂直AB时，再顺时针向PF运动时，EM∥PN，根据题意可知，∠AEM＝15t°，∠GPN＝40（t）°，根据（1）中结论，∠PEG＝30°，∠PGE＝60，可计算出∠PEM与∠EPN代数式，再根据平行线的性质，可列等量关系，求解可得出结论．
【解答】解：（1）延长FP与AB相交于点G，
如图1，
∵PF⊥CD，
∴∠PFD＝∠PGE＝90°，
∵∠EPF＝∠PGE+∠AEP，
∴∠AEP＝∠EPF﹣∠PGE＝120°﹣90°＝30°；
（2）①Ⅰ如图2，
∵∠AEP＝30°，∠MEP＝20°，
∴∠AEM＝10°，
∴射线ME运动的时间t（秒），
∴射线PN旋转的角度∠FPN，
又∵∠EPF＝120°，
∴∠EPN＝∠EPF﹣∠EPN＝120°；
Ⅱ如图3所示，
∵∠AEP＝30°，∠MEP＝20°，
∴∠AEM＝50°，
∴射线ME运动的时间t（秒），
∴射线PN旋转的角度∠FPN，
又∵∠EPF＝120°，
∴∠EPN＝∠FPN﹣∠EPF120°；
∴∠EPN的度数为或；
②Ⅰ当PN由PF运动如图4时EM∥PN，
PN与AB相交于点H，
根据题意可知，经过t秒，
∠AEM＝15t°，∠FPN＝40t°，
∵EM∥PN，
∴∠AEM＝∠AHP＝15t°，
又∵∠EPN＝∠EPF﹣∠FPN，
∴40t°＝90°+15t°，
解得t（秒）；
Ⅱ当PN运动到PG，再由PG运动到如图5时EM∥PN，
PN与AB相交于点H，
根据题意可知，经过t秒，
∠AEM＝15t°，
∵EM∥PN，
∴∠GHP＝15t°，∠GPH＝90°﹣15t°，
∴PN运动的度数可得，180°+∠GPH＝40t°，
解得t；
Ⅲ当PN由PG运动如图6时，EM∥PN，
根据题意可知，经过t秒，
∠AEM＝15t°，∠GPN＝40（t）°，
∵∠AEP＝30°，∠EPG＝60°，
∴∠PEM＝15t°﹣30°，∠EPN＝40（t）°﹣60°，
又∵EM∥PN，
∴∠PEM+∠EPN＝180°，
∴15t°﹣30°+40（t）°﹣60°＝180°，
解得t（秒），
当t的值为秒或或秒时，EM∥PN．
【点睛】本题主要考查平行线性质，合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形时解决本题的关键．
【题型4
完全平方公式的几何背景及应用】
【例4】（2020秋?无棣县期末）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的正方形的周长等于　
　．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为　
　．
（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．
（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．
【分析】（1）用代数式表示阴影部分正方形的边长即可求周长；
（2）结合图2表示大正方形面积，利用等面积法可得答案；
（3）利用（2）结论，先计算（m+n）2即可得到答案；
（4）设AC＝a，BC＝b，根据已知求出ab即可得到结果．
【解答】解：（1）阴影部分的正方形边长为a﹣b，故周长为4（a﹣b）＝4a﹣4b；
故答案为：4a﹣4b；
（2）大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：4ab+（a﹣b）2，
大正方形边长为a+b，故面积也可表达为：（a+b）2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（3）由（2）知：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
∵m﹣n＝4，mn＝﹣3；
∴（m+n）2＝42+4×（﹣3）＝16﹣12＝4；
∴m+n＝2或﹣2；
（4）设AC＝a，BC＝b；
∵AB＝8，S1+S2＝26；
∴a+b＝8，a2+b2＝26；
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴64＝26+2ab，解得ab＝19，
由题意：∠ACF＝90°，
∴．
【点睛】本题考查完全平方公式及应用，解题的关键是用不同方法表达同一图形面积．
【变式4-1】（2020秋?梁园区期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：　
　；方法2：　
　；
（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系　
　；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值；
②已知（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝5，求（2020﹣a）（a﹣2019）的值；
【分析】（1）方法1：图2是边长为（a+b）的正方形，利用正方形的面积公式可得出S正方形＝（a+b）2；
方法2：图2可看成1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形以及2个长为b宽为a的长方形的组合体，根据正方形及长方形的面积公式可得出S正方形＝a2+2ab+b2；
（2）由图2中的图形面积不变，可得出（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（3）①由a+b＝5可得出（a+b）2＝25，将其与a2+b2＝13代入（a+b）2＝a2+2ab+b2中即可求出ab的值；
②设2020﹣a＝x，a﹣2019＝y，则x+y＝1，由（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝5可得出x2+y2＝5，将其和（x+y）2＝1代入（x+y）2＝x2+2xy+y2中即可求出xy的值，也即（2020﹣a）（a﹣2019）的值；
【解答】解：（1）方法1：图2是边长为（a+b）的正方形，
∴S正方形＝（a+b）2；
方法2：图2可看成1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形以及2个长为b宽为a的长方形的组合体，
∴S正方形＝a2+b2+2ab．
故答案为：（a+b）2；a2+b2+2ab；
（2）由（1）可得：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2
（3）①∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+b2+2ab＝25，
又∵a2+b2＝13，
∴ab＝6；
②设2020﹣a＝x，a﹣2019＝y，则x+y＝1，
∵（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝5，
∴x2+y2＝5，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴xy2，
即（2020﹣a）（a﹣2019）＝xy＝﹣2；
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景、正方形的面积以及长方形的面积，解题的关键是：
（1）利用长方形、正方形的面积公式，找出结论；
（2）由图2的面积不变，找出（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（3）利用（2）的公式求值．
【变式4-2】（2020秋?广水市期末）[知识生成]
通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）图②中阴影部分的正方形的边长是　
　；
（2）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1：　
　；方法2：　
　；
（3）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　
　；
（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，，则（x﹣y）2＝　
　；
[知识迁移]
类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（5）根据图③，写出一个代数恒等式：　
　；
（6）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的规律求的值．
【分析】（1）由拼图直接得出答案；
（2）用不同方法表示小正方形的面积；
（3）由（2）可直接得出答案；
（4）直接根据（3）的结论代入求值即可；
（5）根据体积的不同计算方法得出等式；
（6）根据（5）中的结论，直接代入计算即可．
【解答】解：（1）由拼图可得，中间小正方形的边长为a﹣b，
故答案为：a﹣b；
（2）方法1，直接根据正方形的面积公式得，（a﹣b）2，
方法2，大正方形面积减去四种四个长方形的面积，即（a+b）2﹣4ab，
故答案为：（a﹣b）2，（a+b）2﹣4ab；
（3）故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（4）由（3）得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝36﹣22＝14；
故答案为：14；
（5）根据体积的不同计算方法可得；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
（6）a+b＝3，ab＝1，
∴9．
【点睛】本题考查用面积法解释完全平方公式，用不同的方法表示一个图形的面积是得出恒等式的关键．
【变式4-3】（2020春?东海县期末）[阅读理解]我们常将一些公式变形，以简化运算过程．
如，可以把公式“（a+b）2＝a2+2ab+b2”变形成a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）等形式，运用于下面这个问题的解答：
问题：若x满足（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）2+（x﹣30）2的值．
我们可以作如下解答：设a＝20﹣x，b＝x﹣30，则（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝20﹣30＝﹣10．所以（20﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣10）2﹣2×10＝80．
请根据你对上述内容的理解，解答下列问题：
（1）若x满足（80﹣x）（x﹣70）＝﹣10，则（80﹣x）2+（x﹣70）2的值为　
　．
（2）若x满足（2020﹣x）2+（2017﹣x）2＝4051，则（2020﹣x）（2017﹣x）的值为　
　．
（3）如图，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝8，CK＝12．沿着LD、KD所在直线将正方形EFGH分割成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形NDMH的面积．
【分析】（1）根据题中提供方法进行计算即可；
（2）设a＝2020﹣x，b＝2017﹣x，计算出a﹣b的值，利用2ab＝a2+b2﹣（a﹣b）2，进行计算即可；
（3）由题意知，a2+b2＝400，a﹣b＝4．利用（a﹣b）2+2ab＝a2+b2计算ab的值即可；
【解答】解：（1）设a＝80﹣x，b＝x﹣70，则ab＝﹣10，a+b＝80﹣x+x﹣70＝10，
∴（80﹣x）2+（x﹣70）2的值＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100+20＝120，
故答案为：120；
（2）设a＝2020﹣x，b＝2017﹣x，则a﹣b＝2020﹣x﹣2017+x＝3，
∴（2020﹣x）（2017﹣x）＝ab[a2+b2﹣（a﹣b）2]（4051﹣9）＝2021，
故答案为：2021；
（3）设LD＝a，DK＝b，则AD＝8+a，DC＝b+12．
由题意知，8+a＝b+12，a2+b2＝400，
∴a﹣b＝4．
∴（a﹣b）2+2ab＝a2+b2
∴42+2ab＝400，
所以ab＝192．
所以长方形NDMH的面积为ab＝192．
即：S矩形NDMH＝ab＝192．
【点睛】考查完全平方公式的意义和应用，理解公式的变形和结构特征是正确应用的前提．
【题型5
平方差公式的几何背景及应用】
【例5】（2020春?昌平区期末）乘法公式的探究及应用．
（1）如图1可以求出阴影部分的面积是　
　；
（2）如图2若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是　
　，长是　
　，面积是　
　；
（3）比较图1、图2的阴影部分面积，则可以得到乘法公式　
　；（用式子表达）
（4）小明展示了以下例题：计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1．
解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）+1＝（28﹣1）（28+1）（216+1）+1＝（216﹣1）（216+1）+1＝232﹣1+1＝232．
在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，这样才能学会数学．请计算：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1．
【分析】（1）阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，即可得出答案；
（2）根据长方形的面积＝长×宽即可得出答案；
（3）根据图1与图2面积相等，则列出等式即可得出答案；
（4）参考例题，应用平方差公式找出规律即可得出答案．
【解答】解：（1）大的正方形边长为a，面积为a2，小正方形边长为b，面积为b2，
因为阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，
所以阴影部分面积＝a2﹣b2，
故答案为：a2﹣b2；
（2）拼成矩形的长是a+b，宽是a﹣b，面积是（a+b）（a﹣b），
故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；
（3）因为图1的阴影部分与图2面积相等，
所以（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（4）原式＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（38﹣1）（38+1）（316+1）+1
＝（316﹣1）（316+1）+1
＝332﹣1+1
＝332．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，把2写成3﹣1，变成平方差公式的形式是本题的关键．
【变式5-1】（2020春?肃州区期末）如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是　
　（写成平方差的形式）．
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是　
　，长是　
　，面积是　
　．（写成多项式乘法形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式　
　．
（4）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n＝　
　．
②计算：20202﹣2018×2022．
③计算：．
【分析】（1）由面积公式可得到答案；
（2）根据图形可知长方形的长是a+b，宽是a﹣b，由长方形面积公式可得到答案；
（3）根据图1和图2阴影部分面积相等可得到答案；
（4）①根据平方差公式，4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n），已知2m+n＝4代入即可求出答案；
②可先把2018×2022化为（2020﹣2）（2020+2），再利用平方差公式计算即可得出答案；
③先利用平方差公式变形，再约分即可得到答案．
【解答】解：（1）大正方形面积＝a2，小正方形面积＝b2，
阴影部分面积＝大正方形面积﹣小正方形面积＝a2﹣b2，
故答案为：a2﹣b2；
（2）由图可知，长方形的宽＝a﹣b，长方形的长＝a+b，
∴长方形的面积＝（a+b）（a﹣b），
故答案为，a﹣b；a+b；（a+b）（a﹣b）；
（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2或a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（4）①∵4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）＝12，2m+n＝4，
∴2m﹣n＝3，
故答案为：3；
②
＝20202﹣（20202﹣4）
＝20202﹣20202+4
＝4；
③
．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题．
【变式5-2】（2020春?河口区期末）【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式　
　．（用含a，b的等式表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为　
　．
（2）计算：20192﹣2020×2018．
【拓展】
计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
【分析】【探究】将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
【应用】
（1）利用平方差公式得出（2m+n）?（2m+n）＝4m2﹣n2，代入求值即可；
（2）可将2020×2018写成（2019+1）×（2019﹣1），再利用平方差公式求值；
【拓展】利用平方差公式将1002﹣992写成（100+99）×（100﹣99），以此类推，然后化简求值．
【解答】解：
【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），
所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【应用】
（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12
∵（2m+n）?（2m+n）＝4m2﹣n2
∴2m﹣n＝3
故答案为3．
（2）20192﹣2020×2018
＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1）
＝20192﹣（20192﹣1）
＝20192﹣20192+1
＝1
【拓展】
1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）
＝199+195+…+7+3
＝5050
【点睛】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【变式5-3】（2020春?东城区期末）如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．
比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在虚框中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）＝　
　；
（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．根据你画的长方形，可得到恒等式　
　；
（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y表示四个相同形状的长方形的两条邻边长（x＞y），观察图案，指出以下正确的关系式　
　（填写选项）．
A．xy
B．x+y＝m
C．x2﹣y2＝mn
D．x2+y2
【分析】（1）计算（2a+b）（a+2b）的结果，可知需要A、B、C型的纸片的张数，进而画出拼图；
（2）a2+5ab+6b2即用A型的1张，B型的5张，C型的6张，可以拼图，得出等式；
（3）根据m、n与x、y之间的关系，利用恒等变形，可得结论．
【解答】解：（1）（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，
故答案为：2a2+5ab+2b2；拼图如图所示：
（2）a2+5ab+6b2即用A型的1张，B型的5张，C型的6张，可以拼成如图所示的图形，
因此可得等式：a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b），
故答案为：a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b）；
（3）由图③可知，m＝x+y，n＝x﹣y，因此有m+n＝2x，m﹣n＝2y，mn＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2；
xy；
x2+y2；
故答案为：A、B、C、D．
【点睛】考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，理解拼图原理是得出关系式的前提．
【题型6
函数图象的应用】
【例6】（2020春?彭州市期末）一个周末上午8：00，小张自驾小汽车从家出发，带全家人去一个4A级景区游玩，小张驾驶的小汽车离家的距离y（千米）与时间t（时）之间的关系如图所示，请结合图象解决下列问题：
（1）小张家距离景区　
　千米，全家人在景区游玩了　
　小时；
（2）在去景区的路上，汽车进行了一次加油，之后平均速度比原来增加了20千米/时，试求他加油共用了多少小时？
（3）如果汽车油箱中原来有油25升，平均每小时耗油10升，问小张在加油站至少加多少油才能开回家？
【分析】（1）根据图示，由纵轴可得小张家距离景区的距离，在旅游景点停留的时间可以知道游玩的时间．
（2）根据图象信息，先求出加油后行驶时间，进一步可以得出他加油共用了多少小时．
（3）从图中信息可知，根据回来时的函数可得到家的时间，进一步得到行驶时间，从而得到小张在加油站至少加多少油才能开回家．
【解答】解：（1）由图示信息可知，小张家距离景区200千米，在景区停留了15﹣10.5＝4.5（小时），所以游玩了4.5小时．
故答案为：200；4.5；
（2）120÷（9.5﹣8）＝80（千米/时）
0.8（小时），
10.5﹣9.5﹣0.8＝0.2（小时）．
故他加油共用了0.2小时；
（3）2002.5（小时），
9.5﹣8+0.8+2.5＝4.8（小时），
10×4.8﹣25＝23（升）．
故小张在加油站至少加23升油才能开回家．
【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质．
【变式6-1】（2020春?竞秀区期末）某地举行龙舟赛，甲、乙两队在比赛时，路程y（米）与时间x（分钟）的函数图象如图所示，根据函数图象填空和解答问题：
（1）最先到达终点的是　
　队，比另一队领先　
　分钟到达；
（2）在比赛过程中，甲队的速度始终保持为　
　米/分；而乙队在第　
　分钟后第一次加速，速度变为　
　米/分，在第　
　分钟后第二次加速；
（3）假设乙队在第一次加速后，始终保持这个速度继续前进，那么甲、乙两队谁先到达终点？请说明理由．
【分析】（1）由函数图象时间与路程的关系就可以得出结论；
（2）由路程÷时间就可以求出甲的速度，由函数图象就可以得出变速的时间及速度；
（3）先求出乙第一次加速后的速度就可以求出乙行驶完全程的时间，与甲的时间比较就可以得出结论．
【解答】解：（1）由函数图象得：
最先到达终点的是乙队，比另一队领先6﹣5＝1分钟到达．
故答案为：乙，1；
（2）由函数图象得：
甲的速度为：900÷6＝150米/分，而乙队在第2分钟后第一次加速，其速度为（500﹣200）÷2＝150米/分，第4分钟后第二次加速．
故答案为：150，2，150，4；
（3）乙队在第一次加速后，始终保持这个速度继续前进走完余下路程需要的时间为
700÷150，
∴乙队走完全程的时间为分钟．
∵甲队行驶完全程需要的时间是6分钟．，
∴甲先到达终点．
【点评】本题考查了一次函数的运用，行程问题的数量关系速度＝路程÷时间的运用，解答时阅读理解函数图象是关键．
【变式6-2】（2020春?宁德期末）李大爷在如图1所示扇形湖畔的栈道上散步，他从圆心O出发，沿O→A→B→O匀速运动，最后回到点O，其中路径AB是一段长180米的圆弧．李大爷离出发点O的直线距离S（米）与运动时间t（分）之间的关系如图2所示．
（1）在　
　时间段内，李大爷离出发点O的距离在增大；在4～10分这个时间段内，李大爷在　
路段上运动（填OA，AB或OB）；李大爷从点O出发到回到点O一共用了　
　分钟；
（2）扇形栈道的半径是　
　米，李大爷的速度为　
　米/分；
（3）在与出发点O距离75米处有一个报刊亭，李大爷在该处买报纸时逗留了一会儿．已知李大爷在买报纸前后始终保持运动速度不变，则李大爷是在第　
　分到达报刊亭，他在报刊亭停留了　
　分钟．
【分析】（1）根据图象即可直接回答；
（2）根据时间为0时的函数值可得半径，同时用距离÷时间得到速度；
（3）根据函数图象推断出报刊亭的位置，得出BC的长，结合速度可得到达报刊亭的时间，再利用OC的长算出从报刊亭回到点O的时间，即可算出在报刊亭停留的时间．
【解答】解：（1）由图可知：
在0～4分钟内，李大爷离出发点O的距离在增大；
在4～10分这个时间段内，李大爷离出发点O的距离不变，即李大爷在AB路段上运动；
李大爷从点O出发到回到点O一共用了17分钟，
故答案为：0～4分钟；AB；17；
（2）∵在0～4分钟内，李大爷在OA段上运动，
则120÷4＝30米/分，
∴扇形栈道的半径是120米，李大爷的速度为30米/分，
故答案为：120；30；
（3）由图象可知：李大爷在BO段买的报纸，
∵在与出发点O距离75米处有一个报刊亭，如图，点C为报刊亭，
则OC＝75，BC＝120﹣75＝45，
45÷30＝1.5分，即李大爷从点B到C用时1.5分，
10+1.5＝11.5分，所以李大爷是在第11.5分到达报刊亭，
而OC＝75，75÷30＝2.5分，
则李大爷买完报纸后又用时2.5分回到圆心O，
17﹣11.5﹣2.5＝3分，
∴李大爷在报刊亭停留了3分钟，
故答案为：11.5；3．
【点评】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了通过函数图象探究图象代表的实际意义，运用数形结合的数学思想．
【变式6-3】（2020春?竞秀区期末）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为s（km）与甲行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示．
（1）以下是点M、点N、点P所代表的实际意义，请将M、N、P填入对应的横线上．
①甲到达终点　
　．
②甲乙两人相遇　
　．
③乙到达终点　
　．
（2）AB两地之间的路程为　
　千米；
（3）求甲、乙各自的速度；
（4）甲出发
　h后甲、乙两人相距180千米；
【分析】根据函数图象和图象中的数据可以解答本题．由图象可得，AB两地之间路程为240千米；出发2小时时，甲乙在途中相遇；出发3小时时乙到达A地；6小时时甲到达B地．
【解答】解：（1）分析函数图象知出发2小时时，甲乙在途中相遇；出发3小时时乙到达A地；6小时时甲到达B地．
故答案为：①P；②M；③N；
（2）根据函数图象和图象中的数据可以解答本题．由图象可得，AB两地之间路程为240千米
故答案为：240；
（3）甲的速度是：240÷6＝40（千米/时），则乙的速度是：240÷2﹣40＝80（千米/h）；
（4）①相遇之前：（240﹣180）÷（40+80）（小时）
②相遇之后：3+（180﹣120）÷40（小时），
故答案为：或．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和数形结合的思想解答．
【题型7
全等三角形的判定与性质综合】
【例7】（2020春?青川县期末）以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．
（1）说明BD＝CE；
（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；
（3）若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AC，∠BAD＝∠EAC＝90°，AD＝AE，利用“SAS”可证明△ADB≌△AEC，则BD＝CE；
（2）由△ADB≌△AEC得到∠ACE＝∠DBA，利用三角形内角和定理可得到∠BFC＝180°﹣∠ACE﹣∠CDF＝180°﹣∠DBA﹣∠BDA＝∠DAB＝90°；
（3）与（1）一样可证明△ADB≌△AEC，得到BD＝CE，∠ACE＝∠DBA，利用三角形内角和定理得到∠BFC＝∠CAB＝90°．
【解答】解：（1）∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠BAD＝∠EAC＝90°，AD＝AE，
∵在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD＝CE；
（2）∵△ADB≌△AEC，
∴∠ACE＝∠ABD，
而在△CDF中，∠BFC＝180°﹣∠ACE﹣∠CDF
又∵∠CDF＝∠BDA
∴∠BFC＝180°﹣∠DBA﹣∠BDA
＝∠DAB
＝90°；
（3）BD＝CE成立，且两线段所在直线互相垂直，即∠BFC＝90°．理由如下：
如图2，
△ABC、△ADE是等腰直角三角形
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∵∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD
∴∠BAD＝∠CAE，
∵在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS）
∴BD＝CE，∠ACE＝∠DBA，
∵∠1＝∠2，
∴∠FCA+∠BFC＝∠CAB+∠ABD
∴∠BFC＝∠CAB＝90°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等腰直角三角形的性质．
【变式7-1】（2020秋?西湖区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ACE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）当D在线段BC上时，
①求证：△BAD≌△CAE．
②请判断点D在何处时，AC⊥DE，并说明理由．
（2）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为28°，求∠ADB的度数．
【分析】（1）①根据SAS即可证明；
②D运动到BC中点时，AC⊥DE；利用等腰三角形的三线合一即可证明；
（2）分D在线段BC上、当点D在CB的延长线上、点D在BC的延长线上，画出四种图形，如图，根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】（1）①证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
②当AC⊥DE时，
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAB＝∠CAE＝∠CAD，
∴AD平分∠CAB，
∴BD＝CD，
∴当点D在BC中点时，或AD⊥BC时，AD⊥BC；
（2）解：当CE∥AB时，则有∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
①如图1：此时∠BAD＝28°，
∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣28°﹣60°＝92°．
②如图2，此时∠ADB＝28°，
③如图3，此时∠BAD＝28°，∠ADB＝60°﹣28°＝32°．
④如图4，此时∠ADB＝28°．
综上所述，满足条件的∠ADB的度数为28°或32°或92°．
【点评】本题是三角形综合题，考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会运用分类讨论思想．
【变式7-2】（2020春?凌海市期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）如图1所示位置时判断△ADC与△CEB是否全等，并说明理由；
（2）如图2所示位置时判断△ADC与△CEB是否全等，并说明理由．
【分析】（1）首先根据同角的余角证明∠DAC＝∠BCE，再利用AAS定理证明△DAC≌△ECB；
（2）首先根据同角的余角证明∠DAC＝∠BCE，进而利用AAS定理证明△ACD≌△CBE．
【解答】解：（1）如图1，全等，
理由：∵∠ACB＝90°，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠DAC+∠DCA＝∠BCE+∠DCA，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△DAC与△ECB中，
∵，
∴△DAC≌△ECB（AAS）；
（2）如图2，全等，
理由：
∵∠ACB＝90°，AD⊥MN，
∴∠DAC+∠ACD＝∠ACD+∠BCE，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ACD与△CBE中，
∵，
∴△ACD≌△CBE（AAS）．
【点评】本题考查全等三角形的判定及其性质定理的同时，还渗透了对旋转变换的考查；解题的关键是灵活运用全等三角形的判定定理解题．
【变式7-3】（2020春?商河县期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），以AD为边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE，设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
（1）线段BD、CE的数量关系是　
　；并说明理由；
（2）探究：当点D在BC边上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）如图2，若∠BAC＝90°，CE与BA的延长线交于点F．求证：EF＝DC．
【分析】（1）结论：BD＝CE．只要证明△BAD≌△CAE（SAS），即可解决问题．
（2）结论：α+β＝180°．利用全等三角形的性质，三角形的内角和定理即可证明．
（3）想办法证明CB＝CF，再利用（1）中结论即可解决问题．
【解答】解：（1）结论：BD＝CE．
理由：如图1中，
∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE．
（2）结论：α+β＝180°．
理由：如图1中，
∵△BAD≌△CAE（已证），
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ABC＝∠ABC+∠ACE＝β，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∠BAC＝α，
∴α+β＝180°．
（3）如图2中，
由（1）可知△BAD≌△CAE，
∴BD＝EC，∠B＝∠ACE，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝∠ACF＝45°，
∴∠BCF＝90°，∠F＝45°，
∴∠B＝∠F，
∴CB＝CF，∵BD＝EC，
∴EF＝CD．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【题型8
构造全等三角形】
【例8】（2020?锦州期末）问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．
方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；
小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；
问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）在AC上截取CD＝AN，连接OD，证明△CDO≌△ANO，根据全等三角形的性质得到OD＝ON，∠COD＝∠AON，证明△DMO≌△NMO，得到DM＝MN，结合图形证明结论；
（2）在AC延长线上截取CD＝AN，连接OD，仿照（1）的方法解答．
【解答】解：（1）CM＝AN+MN，
理由如下：在AC上截取CD＝AN，连接OD，
∵△ABC为等边三角形，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴OA＝OC，
在△CDO和△ANO中，
，
∴△CDO≌△ANO（SAS）
∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，
∵∠MON＝60°，
∴∠COD+∠AOM＝60°，
∵∠AOC＝120°，
∴∠DOM＝60°，
在△DMO和△NMO中，
，
∴△DMO≌△NMO，
∴DM＝MN，
∴CM＝CD+DM＝AN+MN；
（2）补全图形如图2所示：
CM＝MN﹣AN，
理由如下：在AC延长线上截取CD＝AN，连接OD，
在△CDO和△ANO中，
，
∴△CDO≌△ANO（SAS）
∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，
∴∠DOM＝∠NOM，
在△DMO和△NMO中，
，
∴△DMO≌△NMO（SAS）
∴MN＝DM，
∴CM＝DM﹣CD＝MN﹣AN．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式8-1】（2020春?章丘区期末）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
①∠AEB的度数为　
　
②猜想线段AD，BE之间的数量关系为：　
　，并证明你的猜想．
（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM
为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE
之间的数量关系．
【分析】（1）①根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质计算即可；
②根据全等三角形的性质解答；
（2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质计算即可．
【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CEB＝∠CDA＝120°，
∴∠AEB＝60°，
故答案为：60°；
②AD＝BE，
证明：∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，
故答案为：AD＝BE；
（2）∠AEB＝90°，AE﹣BE＝2CM，
证明：∵△DCE是等腰直角三角形，CM是中线，
∴CM＝DM＝EMDE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CDA＝∠CEB，
∵∠CDA＝135°，
∴∠AEB＝135°﹣45°＝90°，
∴BE＝AD，
∴AE﹣AD＝DE＝2CM，
∴AE﹣BE＝2CM．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
【变式8-2】（2020春?济南期末）已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，AD＝DE．
（1）如图1，当E在AC的延长线上且CE＝CD时，AD是△ABC的中线吗？请说明理由；
（2）如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；
（3）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系．
【分析】（1）利用△ABC是等边三角形得出角，边关系，利用AD＝DE，得出△CDE是等腰三角形，证明∠CAD＝30°即可解决问题．
（2）在AB上取BH＝BD，连接DH，利用AHD≌△DCE得出DH＝CE，得出AE＝AB+BD，
（3）在AB上取AF＝AE，连接DF，利用△AFD≌△EFD得出角的关系，得出△BDF是等腰三角形，根据边的关系得出结论AB＝BD+AE．
【解答】（1）解：如图1，结论：AD是△ABC的中线．理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠E，
∵∠ACD＝∠CDE+∠E＝60°，
∴∠E＝30°，
∵DA＝DE，
∴∠DAC＝∠E＝30°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠DAB＝∠CAD，∵AB＝AC，
∴BD＝DC，
∴AD是△ABC的中线．
（2）结论：AB+BD＝AE，理由如下：
如图2，在AB上取BH＝BD，连接DH，
∵BH＝BD，∠B＝60°，
∴△BDH为等边三角形，
∴∠BHD＝60°，BD＝DH，
∵AD＝DE，
∴∠E＝∠CAD，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠ACB﹣∠E即∠BAD＝∠CDE，
∵∠BHD＝60°，∠ACB＝60°，
∴180°﹣∠BHD＝180°﹣∠ACB即∠AHD＝∠DCE，
∵∠BAD＝∠CDE，AD＝DE，∠AHD＝∠DCE，
在△AHD和△DCE，
，
∴△AHD≌△DCE（AAS），
∴DH＝CE，
∴BD＝CE，
∴AE＝AC+CE＝AB+BD．
（3）AB＝BD+AE，
如图3，在AB上取AF＝AE，连接DF，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴△AFE是等边三角形，
∴∠FAE＝∠FEA＝∠AFE＝60°，
∴EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DEF，
∵AD＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴∠DEF＝∠DAF，
∵DF＝DF，AF＝EF，
在△AFD和△EFD中，
，
∴△AFD≌△EFD（SSS）
∴∠ADF＝∠EDF，∠DAF＝∠DEF，
∴∠FDB＝∠EDF+∠EDB，∠DFB＝∠DAF+∠ADF，
∵∠EDB＝∠DEF，
∴∠FDB＝∠DFB，
∴DB＝BF，
∵AB＝AF+FB，
∴AB＝BD+AE．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形全等找出对应的线段．
【变式8-3】（2020春?锦江区期末）在△ABC中，∠B＝60°，D是BC上一点，且AD＝AC．
（1）如图1，延长BC至E，使CE＝BD，连接AE．求证：AB＝AE；
（2）如图2，在AB边上取一点F，使DF＝DB，求证：AF＝BC；
（3）如图3，在（2）的条件下，P为BC延长线上一点，连接PA，PF，若PA＝PF，猜想PC与BD的数量关系并证明．
【分析】（1）证明△ABD≌△AEC（SAS），由全等三角形的性质得出AB＝AE；
（2）延长BC到E，使CE＝BD，由（1）知，AB＝AE，证得△ABE是等边三角形，同理，△DBF是等边三角形，则可得出结论；
（3）在CP上取点E，使CE＝BD，连接AE，证明△APE≌△PFD（AAS），得出PE＝DF，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴180°﹣∠ADC＝180°﹣∠ACD，
即∠ADB＝∠ACE，
在△ABD和△AEC中，
，
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴AB＝AE；
（2）延长BC到E，使CE＝BD，由（1）知，AB＝AE，
∴∠E＝∠B＝60°，
∴∠EAB＝180°﹣∠E﹣∠B＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
同理，△DBF是等边三角形，
∴AB＝BE．BF＝BD＝CE，
∴AB﹣BF＝BE﹣CE，
即AF＝BC；
（3）猜想：PC＝2BD，
理由如下：在CP上取点E，使CE＝BD，连接AE，
由（1）可知：AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B＝60°，
∴∠AEP＝180°﹣∠AEB＝120°，
∵DF＝DB，∠DFB＝∠B＝60°，
∴∠PDF＝∠DFB+∠B＝120°，
∴∠AEP＝∠PDF，
又∵PA＝PF，
∴∠PAF＝∠PFA，
∵∠APE＝180°﹣∠B﹣∠PAF＝120°﹣∠PAF，
∠PFD＝180°﹣∠DFB﹣∠PFA＝120°﹣∠PFA，
∴∠APE＝∠PFD，
在△APE和△PFD中，
，
∴△APE≌△PFD（AAS），
∴PE＝DF，
又∵DF＝DB，
∴PE＝DB，
又∵PC＝PE+CE，
∴PC＝2BD．
【点评】本题是三角形综合题，考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．

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