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北京课改版九年级数学上册
第18章相似形
综合测试卷
（时间90分钟，满分120分）
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列四条线段成比例的是( )
A．a＝2，b＝，c＝，d＝2
B．a＝，b＝3，c＝2，d＝
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
D．a＝2，b＝8，c＝15，d＝11
2．已知 ＝，则＝( )
A. B. C. D.
3．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：
(1)＝；(2)＝；(3)∠A＝∠A′；(4)∠C＝∠C′.
如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为( )
A．2∶3 B．2∶5 C．∶ D. 4∶9
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论中错误的有( )
A．∠ADE＝∠CDE B．DE⊥EC
C．AD·BC＝BE·DE D．CD＝AD＋BC
6. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论中错误的有( )A．∠ADE＝∠CDE B．DE⊥ECC．AD·BC＝BE·DE D．CD＝AD＋BC
7．如图，ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中不能判定△ABP∽△ACB的是( )
A.＝ B.＝ C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC
9．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中较小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为( )
A．48 cm B．54 cm C．56 cm D．64 cm
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在BC边上运动，连结DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP＝x，AE＝y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是( )
二．填空题（共8小题，3*8=24）
11．如图，△ABC中，D，E分别为AC，BC边上的点，AB∥DE，CF为AB边上的中线．若AD＝5，CD＝3，DE＝4，则BF的长为________.
12．如图，小明在早上10时测得某树的影长为3 m，下午16时又测得该树的影长为9 m．若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为____m.
13．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD边于点E，交对角线AC于点F.若 ＝ ，则 ＝____．
14．如图所示，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°，BD＝3，CE＝2，则△ABC的边长为( )
15．如图所示，DE与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E两点，且DE∥BC.若DE＝2 cm，BC＝3 cm，EC＝cm，则AC＝____cm.
16．如图，小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12 m，则旗杆AB的高为____m.
17．将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是______________．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC.点D是AB的中点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF.给出以下四个结论：①＝；②FG＝FB；③AF＝AB；④S△ABC＝5S△BDF，其中正确结论的序号是__________．
三．解答题（共9小题，66分）
19．(6分) 如图，△ACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接AE，过C作CO⊥AB于O.求证：△ACE∽△OCD.
20．(6分) 如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．
21．(6分) 如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2 m，那么这棵树的高度是多少？
22．(6分) 如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，
求证：AE·CF＝BF·EC.
23．(6分) 如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.
求证：＝.
24．(8分) 如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.
(1)求证：AE·BC＝BD·AC；
(2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．
25．(8分) 在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，EF∥BC，DF∥AB，连接CE和AD，分别交DF，EF于点N，M.
(1)如图①，若E为AB的中点，图中与MN平行的直线有哪几条？请证明你的结论；
(2)如图②，若E不为AB的中点，写出与MN平行的直线，并证明．
26．(10分) 如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q.
(1)求∠PAQ的度数；
(2)若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM·BM.
27．(10分) 如图，已知矩形ABCD，AD＝AB，点E，F把AB三等分，DF交AC于点G，求证：EG⊥DF.
参考答案：
1-5AACDC 6-10CBBAC
11.
12. 3
13.
14. 9
15. 2
16. 9
17. 或2
18. ①②③
19. 证明：∵△ACB为等腰直角三角形，AB为斜边，
∴∠CAB＝45°.
∵CO⊥AB.∴∠AOC＝90°.
又∵DE⊥CD，DE＝CD，∴∠CED＝45°，∠CDE＝90°.
∴∠CAO＝∠CED，∠AOC＝∠EDC.
∴△ACO∽△ECD.∴∠ACO＝∠ECD，＝.
∴∠ACE＝∠OCD.∴△ACE∽△OCD.
20. 解：如图，过点A作AF⊥DE，垂足为F，并延长交BC于点G.
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.
∵AF⊥DE，DE∥BC，∴AG⊥BC，∴＝，∴＝.
解得AG＝75，∴FG＝AG－AF＝75－30＝45，
即河的宽度为45 m.
21. 解：(方法一：作延长线)延长AD，与地面交于点M，如图①.
由AM∥FH知∠AMB＝∠FHG.
又因为AB⊥BG，FG⊥BG，DC⊥BG，
所以△ABM∽△DCM∽△FGH，所以＝＝.
因为CD＝2 m，FG＝1.2 m，GH＝2 m，
所以＝，解得CM＝ m.
因为BC＝4 m，所以BM＝BC＋CM＝4＋＝(m)．
所以＝，解得AB＝4.4 m.
故这棵树的高度是4.4 m.
(方法二：作垂线)过点D作DM⊥AB于点M，如图②.
所以＝.
而DM＝BC＝4 m，AM＝AB－CD＝AB－2(m)，FG＝1.2 m，GH＝2 m，
所以＝，解得AB＝4.4 m.
故这棵树的高度是4.4 m.
22. 证明：如图，过点C作CM∥AB交DF于点M.
∵CM∥AB，∴△CMF∽△BDF.
∴＝.
又∵CM∥AD，∴△ADE∽△CME.∴＝.∵D为AB的中点，
∴＝.∴＝，即AE·CF＝BF·EC.
23. 证明：易得∠BAC＝∠BDF＝90°.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBF，
∴△BDF∽△BAE，得＝.
∵∠BAC＝∠BDA＝90°，∠ABC＝∠DBA.
∴△ABC∽△DBA，得＝，∴＝.
24. (1)证明：∵ED∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴＝.
∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC.
∵ED∥BC，∴∠DEB＝∠EBC.
∴∠DBE＝∠DEB.∴DE＝BD.∴＝，
即AE·BC＝BD·AC.
(2)解：设h△ADE表示△ADE中DE边上的高，
h△BDE表示△BDE中DE边上的高，
h△ABC表示△ABC中BC边上的高．
∵S△ADE＝3，S△BDE＝2，∴＝＝.
∴＝.
∵△ADE∽△ABC，∴＝＝.
∵DE＝6，∴BC＝10.
25. 解：(1)MN∥AC∥ED.证明如下：
∵EF∥BC，∴△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC，
∴＝＝.
∵E为AB的中点，EF∥BC，∴F为AC的中点．
又∵DF∥AB，∴D为BC的中点，∴EM＝MF.
∵F为AC的中点，FN∥AE，∴N为EC的中点，
从而MN∥AC.
又∵D为BC的中点，E为AB的中点，
∴ED∥AC，∴MN∥AC∥ED.
(2)MN∥AC.证明如下：∵EF∥BC，∴△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC，
∴＝＝，∴＝.
又∵DF∥AB，∴＝，∴＝，∴＝.
又∵∠MEN＝∠FEC，∴△MEN∽△FEC.
∴∠EMN＝∠EFC.∴MN∥AC.
26. (1)解：∵AP平分∠BAC，∴∠PAC＝∠BAC.
又∵AQ平分∠CAD，∴∠CAQ＝∠CAD.
∴∠PAC＋∠CAQ＝∠BAC＋∠CAD＝(∠BAC＋∠CAD)．
又∵∠BAC＋∠CAD＝180°，
∴∠PAC＋∠CAQ＝90°，即∠PAQ＝90°.
(2)证明：由(1)知∠PAQ＝90°，
又∵M是线段PQ的中点，
∴PM＝AM，∴∠APM＝∠PAM.
∵∠APM＝∠B＋∠BAP，∠PAM＝∠CAM＋∠PAC，
∠BAP＝∠PAC，
∴∠B＝∠CAM.
又∵∠AMC＝∠BMA，∴△ACM∽△BAM.
∴＝，∴AM2＝CM·BM，即PM2＝CM·BM.
27. 证明：∵AD＝AB，点E，F把AB三等分，
∴设AE＝EF＝FB＝AD＝k，则AB＝CD＝3k.
∵CD∥AB，∴∠DCG＝∠FAG，∠CDG＝∠AFG.
∴△AFG∽△CDG，∴＝＝.
设FG＝2m，则DG＝3m，∴DF＝FG＋DG＝2m＋3m＝5m.
在Rt△AFD中，DF2＝AD2＋AF2＝5k2，∴DF＝k.
∴5m＝k.∴m＝k.∴FG＝k.
∴＝＝，＝＝.∴＝.
又∠AFD＝∠GFE，∴△AFD∽△GFE.
∴∠EGF＝∠DAF＝90°.∴EG⊥DF.

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