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第二章检测题
（时间：40分钟 分值：100分）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1.下列图形中的轴对称图形是（ ）
2.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动.若∠BDE＝75°，贝∠CDE的度数是（ ）
60° B. 65° C. 75° D. 80°
3.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 （ ）
30° B. 45°
C. 60° D. 90°
4.把一张长方形纸片按如图1、图2的方式从右向左连续对折两次后得到图3，再在图3中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（ ）
5.如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（ ）
2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
6.如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA.以下结论:
①BD垂直平分AC；②AC平分∠BAD；③AC＝BD；④四边形ABCD是轴对称图形.其中正确的有（ ）
①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④
7.如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3…在射线ON上，点B1，B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4均为等边三角形，若OA1＝，则△A6B6A7的边长为（ ）
6 B. 12 C. 16 D. 32
8.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换。在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）.结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（ ）
A.对应点连线与对称轴垂直 B.对应点连线互相平行
C.对应点连线被对称轴垂直平分 D.对应点连线被对称轴平分
二、填空题（每小题4分，共24分）
9.如图，AB＝AC，BD⊥AC，∠CBD＝a，则∠A＝_____________（用含a的式子表示）。
10.如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB的角平分线上的点，PM⊥OB于点M，PN∥OB交OA于点N.若PM＝1，则PN＝_____________。
11.等腰三角形的一个内角是50°，则它的底角是_____________。
12.如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D.若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝___________。
13.如图，等腰直角△BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC＝90°，连接AD，过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是_____________。
14.如图，△ABC为等边三角形，D是BC边上一点，在AC边上取一点F，使CF＝BD，在AB上取一点E，使BE＝DC，则∠EDF＝_____________。
三、解答题（15~18题每题10分，19题12分，共52分）
15.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D.求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP＝AQ.（要求:尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
16.如图，在等边△ABC中，D是线段BC上一点.作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E.连接CE并延长，交射线AD于点F。
（1）设∠BAF＝a，用a表示∠BCF的度数；
（2）用等式表示线段AF，CF，EF之间的数量关系，并证明。
17.在△ABC中，AC＜AB＜BC.
（1）如图1，已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证:∠APC＝2∠B；
（2）如图2，以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ.若∠AQC＝
3∠B，求∠B的度数。
18.如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE.
（1）求证:AC＝CD；
（2）若AC＝AE，求∠DEC的度数。
19.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，且BG＝DG。F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG。
求证:（1）AF＝CG；（2）CF＝2DE.
参考答案
一、选择题
1. B 2. D 3. C 4. C 5. B 6. C 7. C 8. D
二、填空题
9. 2a 10. 2 11. 50?或65? 12. 40 13. 120?，150? 14. 60?
三、解答题
15.解:如图，BQ就是所求作的∠ABC的平分线，P，Q就是所求作的点。
证明如下:
因为AD⊥BC，所以∠ADB＝90°，所以∠BPD＋∠PBD＝90°。
因为∠BAC＝90°，所以∠AQP＋∠ABQ＝90°。
因为∠ABQ＝∠PBD，所以∠BPD＝∠AQP。
因为∠BD＝∠APQ，所以∠APQ＝∠AQP。
所以AP＝AQ。
16.解:（1）如图，连接AE。
因为点B关于射线AD的对称点为E，所以AE＝AB，∠BAF＝∠EAF＝a。
因为△ABC是等边三角形，所以AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°。
所以∠EAC＝60°－2a，AE＝AC。
所以∠ACE＝×［180°－（60°－2a）］＝60°＋a 。
所以∠BCF＝∠ACE－∠ACB＝60°＋a－60°＝a。
（2）结论:AF＝EF＋CF。
证明:如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF。
因为∠BAF＝∠BCF＝a，∠ADB＝∠CDF，所以∠ABC＝∠AFC＝60?。
所以△FCG是等边三角形，所以GF＝CF。
因为△ABC是等边三角形，所以BC＝AC，∠ACB＝60°。
所以∠ACG＝∠BCF＝a。
在△ACG和△BCF中，因为所以△ACG≌△BCF.
所以AG＝BF。因为点B关于射线AD的对称点为E，所以BF＝EF。
所以AF－AG＝GF。所以AF＝EF＋CF.
17.（1）证明:因为线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，所以PA＝PB。
所以∠B＝∠BAP。因为∠APC＝∠B＋∠BAP，所以∠APC＝2∠B。
（2）解:根据题意可知BA＝BQ，所以∠BAQ＝∠BQA.
因为∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B＋∠BAQ，所以∠BAQ＝2∠B。
因为∠BAQ＋∠BQA＋∠B＝180°，所以5∠B＝180°，所以∠B＝36°。
18.（1）证明:因为∠BCE＝∠ACD＝90°，所以∠BCA＝∠ECD。
在△BCA和△ECD中，因为所以△BCA≌△ECD（AAS）.所以AC＝CD.
（2）解:因为AC＝AE，所以∠AEC＝∠ACE。
又因为∠ACD＝90°，AC＝CD，
所以△ACD是等腰直角三角形.所以∠DAC＝45°。
所以∠AEC＝×（180°－∠DAC）＝×（180°－45°）＝67.5°，
所以∠DEC＝180°－∠AEC＝112.5°。
19.证明:（1）因为∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC，所以∠BCG＝∠ACG＝45°。
又因为∠ACB＝90°，AC＝BC，所以∠CAF＝∠CBF＝45°，所以∠CAF＝∠BCG.
又因为∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，所以△ACF≌△CBG（ASA）.所以AF＝CG.
（2）如图，延长CG交AB于点H.因为AC＝BC，G平分∠ACB，所以CH⊥AB.
又因为AD⊥AB，所以CH∥AD.所以∠D＝∠EGC.
又因为AE＝CE，∠AED＝∠CEG，所以△AED≌△CEG（AAS）.
所以DE＝GE.所以DG＝2DE.因为BG＝DG，所以BG＝2DE.
由（1）得CF＝BG，所以CF＝2DE.
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