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备考2020年中考数学二轮复习拔高训练卷
专题6 三角形
一、单选题（共12题；共36分）
1.如图是用8块A型瓷砖（白色四边形）和8块B型瓷砖（黑色三角形）不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为（?? ）

A.?：1???????????????????????B.?3：2?????????????????????????C.? ：1???????????????????????D.? ：2
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（?? ）
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
3.如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC=1∶2 ，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC =（??? ）
A.?1：2??????????????????????B.?1：3?????????????????????C.?1：4???????????????????????D.?2：3
4.如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC绕点A逆时针旋转α(0<α<120°)得到△AB′C′，B′C′与BC，AC分别交于点D，E.设CD+DE=x，△AE′C′的面积为y，则y与x的函数图象大致为(?? )
A.??????B.????????C.????D.?
5.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E ，D是线段BE上的一个动点，则 CD+BD的最小值是(???? )
A.????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?10
6.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE=，AD=，则两个三角形重叠部分的面积为（???? ）
A.???????????????????????B.?3-?????????????????????C.?-1???????????????????????D.?3-
7.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（?? ）
A.?30°???????????????????????????????????????B.?35°???????????????????????????????????????C.?45°???????????????????????????????????????D.?60°
8.如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（??? ）
A.??a+c??????????????B.???b+c??????????????????C.?a-b+c?????????????????????D.?a+b-c
9.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交 AB于E，则下列结论一定成立的是（?? ）
A.?BC=EC????????????B.?EC=BE ???C.?BC=BE?????????????D.?AE=EC
10.如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E，将△BDE沿直线DE折叠，得到△B'DE，若B'D，B'E分别交AC于点 F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（?? ）
A.△ADF≌△CGE?????????????????????????????????????????????B.?△B'FG的周长是一个定值C.?四边形FOEC的面积是一个定值??????????????????????D.?四边形OGB'F的面积是一个定值
11.如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（?? ）
A.?????????????????????B.??????????????????????????C.?6???????????????????????D.?3
12.如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG=120°.绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△ BDE周长的最小值为6，上述结论中正确的个数是(??? )
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
二、填空题（共7题；共24分）
13.如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BD=DC=2，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE=BC，连接AE，AG.若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为________.
14.图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为________分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为________分米．
15.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，点D在边BC上，CD=5，BD=13.点P是线段AD上一动点，当半径为6的OP与△ABC的一边相切时，AP的长为________.

16.如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在同一直线上，AD与 BE、 BC分别交于点F、M ，BE与CD交于点N ． 下列结论正确的是________（写出所有正确结论的序号）．
①AM=BN ；②△ABF≌△DNF ；③∠FMC+∠FNC=180° ；④
17.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________cm.
18.把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B、C、D在同一直线上．若AB=2，则CD= ________．
19.如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若AP=6，BP=8，CP=10 ．则S△ABP+S△BPC＝________．
三、解答题（共2题；共12分）
20.如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．
21.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．
求证：△ABC是等边三角形．
四、综合题（共4题；共28分）
22.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内一点，连接AD，BD.在BD左侧作Rt△BDE，使∠BDE＝90°，以AD和DE为邻边作□ADEF，连接CD，DF.
（1）若AC＝BC，BD＝DE.
①如图1，当B，D，F三点共线时，CD与DF之间的数量关系为________.
②如图2，当B，D，F三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由.________
（2）若BC＝2AC，BD＝2DE，，且E，C，F三点共线，求的值.
23.（1）【思维启迪】
如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是________米.
（2）【思维探索】在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE.
①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是________；
②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；________
③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝1，请直接写出PC2的值.________.
24.如图1，△ABC（AC（1）∠AFD与∠BCE 的关系是________；
（2）如图2，当旋转角为60°时，点D，点B与线段AC的中点O恰好在同一直线上，延长DO至点 G，使OG=OD，连接GC．
①写出∠AFD与∠GCD的关系，请说明理由；
②如图3，连接AE，BE，若∠ACB=45°，CE=4，求线段AE的长度.
25.在 △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC， AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且 ∠BMN=90° ，当 ∠AMN=30° ， AB=2时，求线段AM的长；
（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF=90°，求证：BE=AF；
（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且 ∠BMN=90° ，求证：AB+AN=AM．
备考2020年中考数学二轮复习拔高训练卷
专题6 三角形
一、单选题（共12题；共36分）
1.如图是用8块A型瓷砖（白色四边形）和8块B型瓷砖（黑色三角形）不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为（?? ）

A.?：1???????????????????????B.?3：2?????????????????????????C.? ：1???????????????????????D.? ：2
解：根据题意标好字母，如图，
依题可得：
∵∠EGK+∠HGM+∠KGM=180°，∠EGK+∠GEK+∠EKG=180°，
∴∠EKG=∠KGM=∠FKE，
∴△EFK≌△EGK，
设AE=AF=x，EG=GH=y，
∴EF=y，
∴2x2=y2 ，
即x=y，
连结KMNP，易知四边形KMNP是平行四边形，
∴可得SA=SB+2S四边形KNMP ，
∵SB=8S△EGK=8×y× y=2（）y2 ，
又∵AB=QR，
∴h=y，
∴SA=2（）y2+2y2=（2）y2=2（）y2 ，
∴ = ：1.
故答案为：A.
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（?? ）
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
解：如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5
∵∠OPB＝90°，
∴OP∥AC
∵点O是AB的三等分点，
∴OB＝×5＝，＝＝，
∴OP＝，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴＝＝，
∴OD＝1，
∴MN最小值为OP﹣OF＝﹣1＝，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值＝+1＝，
∴MN长的最大值与最小值的和是6．
故答案为：B．
3.如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC=1∶2 ，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC =（??? ）
A.?1：2??????????????????????B.?1：3?????????????????????C.?1：4???????????????????????D.?2：3
解：如图，过O作OG∥BC，交AC于G，
∵O是BD的中点，
∴G是DC的中点．
又 AD∶DC=1∶2 ，
∴AD=DG=GC，
∴AG∶GC=2∶1，AO∶OE=2∶1，
∴S△AOB∶S△BOE=2.
设S△BOE=S，S△AOB=2S ，又BO=OD，
∴S△AOD=2S ，S△ABD=4S ，
∵AD∶DC=1∶2 ，
∴S△BDC=2S△ABD=8S ，S四边形CDOE=7S，
∴S△AEC=9S ，S△ABE=3S ，
∴.
故答案为：B．
4.如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC绕点A逆时针旋转α(0<α<120°)得到△AB′C′，B′C′与BC，AC分别交于点D，E.设CD+DE=x，△AE′C′的面积为y，则y与x的函数图象大致为(?? )
A.??????B.????????C.????D.?
解：连接B′C，作AH⊥B′C′，垂足为H，
∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，
∵△ABC绕点A逆时针旋转α(0<α<120°)得到△AB′C′，
∴AB′=AB=AC=AC′=2，∠AB′C′=∠C′=30°，
∴AH=AC′=1，
∴C′H==，
∴B′C′=2C′H=2，
∵AB′=AC，
∴∠AB′C=∠ACB′，
∵∠AB′D=∠ACD=30°，
∴∠AB′C-∠AB′D=∠ACB′-∠ACD，
即∠DB′C=∠DCB′，
∴B′D=CD，
∵CD+DE=x，
∴B′D+DE=x，即B′E=x，
∴C′E=B′C′-B′E=2-x，
∴y=C'E·AH=×(2-x)×1= ，
观察只有B选项的图象符合题意．
故答案为：B．
5.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E ，D是线段BE上的一个动点，则 CD+BD的最小值是(???? )
A.????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?10
解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∵tanA==2，设AE=a，BE=2a，
则有：100=a2+4a2 ，
∴a2=20，
∴a=或（舍弃），
∴BE=2a=，
∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，
∴CM=BE=（等腰三角形两腰上的高相等））
∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，
∴sin∠DBH=，
∴DH=BD，
∴CD+BD=CD+DH，
∴CD+DH≥CM，
∴CD+BD≥，
∴CD+BD的最小值为．
故答案为：B．
6.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE=，AD=，则两个三角形重叠部分的面积为（???? ）
A.???????????????????????B.?3-?????????????????????C.?-1???????????????????????D.?3-
解：连接BD，作CH⊥DE，
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ECD=90°，∠ADC=∠CAB=45°，
即∠ACD+∠DCB=∠ACD+∠ACE=90°，
∴∠DCB=∠ACE，
在△DCB和△ECA中，
，
∴△DCB≌△ECA，
∴DB=EA=，∠CDB=∠E=45°，
∴∠CDB+∠ADC=∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，
∴AB==2，
在Rt△ABC中，
∴2AC2=AB2=8，
∴AC=BC=2，
在Rt△ECD中，
∴2CD2=DE2=(+)2，
∴CD=CE=+1，
∵∠ACO=∠DCA，∠CAO=∠CDA，
∴△CAO∽△CDA，
∴ S△CAO ：S△ACD = =(-1)2=4-2，
又∵S△ECD =CE2=DE·CH，
∴CH==，
∴ S△ACD =AD·CH=××= ，
∴S△CAO=（4-2）×S△ACD =3-.
即两个三角形重叠部分的面积为3-.
故答案为：D.
7.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（?? ）
A.?30°???????????????????????????????????????B.?35°???????????????????????????????????????C.?45°???????????????????????????????????????D.?60°
解：过点M作ME⊥AD交于点E，∵∠ADC+∠C+∠B+∠BAD=360°，
∴∠BAD=360°-（∠ADC+∠C+∠B）=360°-（110°+90°+90°）=70°，
∵DM平分∠ADC，且ME⊥AD，∠C=90°，M是BC的中点，
∴ME=MC=BM，
在Rt△AME和Rt△AMB中，
?，
∴Rt△AME?Rt△AMB，
∴∠MAB=∠MAE=∠BAD=35°
故答案为：B．
8.如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（??? ）
A.??a+c??????????????B.???b+c??????????????????C.?a-b+c?????????????????????D.?a+b-c
解：如图，
∵AB⊥CD，CE⊥AD，
∴∠1=∠2，
又∵∠3=∠4，
∴180°-∠1-∠4=180°-∠2-∠3，
即∠A=∠C.
∵BF⊥AD，
∴∠CED=∠BFD=90°，
∵AB=CD，
∴△ABF≌△CDE，
∴AF=CE=a，ED=BF=b，
又∵EF=c，
∴AD=a+b-c.
故答案为：D.
9.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交 AB于E，则下列结论一定成立的是（?? ）
A.?BC=EC????????????B.?EC=BE ???C.?BC=BE?????????????D.?AE=EC
解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE．
又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BC=BE．
故答案为：C．
10.如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E，将△BDE沿直线DE折叠，得到△B'DE，若B'D，B'E分别交AC于点 F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（?? ）
A.△ADF≌△CGE?????????????????????????????????????????????B.?△B'FG的周长是一个定值C.?四边形FOEC的面积是一个定值??????????????????????D.?四边形OGB'F的面积是一个定值
解：A、连结OA、OC，∵点O是等边三角形ABC的外心，∴AO平分∠BAC，∴点O到AB、AC的距离相等，由折叠得：DO平分∠BDB'，∴点O到AB、DB'的距离相等，∴点O到DB'、AC的距离相等，∴FO平分∠DFG，∠DFO=∠OFG=（∠FAD+∠ADF），由折叠得：∠BDE=∠ODF=（∠DAF+∠AFD），∴∠OFD+∠ODF=（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°，∴∠DOF=60°，同理可得∠EOG=60°，∴∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG，∴△DOF≌△GOF≌△GOE∴OD=OG，OE=OF，∠OGF=∠ODF=∠ODB，∠OFG=∠OEG=∠OEB，∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，∴AD=CG，AF=CE，∴△ADF≌△CGE.故A不符合题意；B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF=GF=GE，∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，∴B'G=AD，∴△B'FG的周长-FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值），故B不符合题意；C、S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC=S△ABC（定值），故C不符合题意；D、S四边形OGB'F=S△OFG+S△B'GF=S△OFD+S△ADF=S四边形OFAD=S△OAD+S△OAF=S△OCG+S△OAF=S△OAC-S△OFG，过点O作OH⊥AC于H，∴S△OFG=·FG·OH，由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化．故D符合题意．故答案为：D
11.如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（?? ）
A.?????????????????????B.??????????????????????????C.?6???????????????????????D.?3
解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，
则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，
∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，
∴此时△PMN周长最小，
作OH⊥CD于H，则CH=DH，CD=2CH
∵∠OCH=30°，
∴OH=OC=，
CH=OH=，
∴CD=2CH=3．
故答案为：D．
12.如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG=120°.绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△ BDE周长的最小值为6，上述结论中正确的个数是(??? )
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
解：连接BO，CO，
∵O为△ABC的中心，∴BO=CO，∠DBO=∠OBC=∠OCB=30°，∠BOC=120°．
∵∠DOE=120°，∴∠DOB=∠COE．在△OBD和△OCE中，∵∠DOB=∠COE，OB=OC，∠DBO=∠ECO，∴△OBD≌△OCE，∴BD=CE，OD=OE，故①正确；
当D与B重合时，E与C重合，此时△BDE的面积=0，△ODE的面积＞0，两者不相等，故②错误；
∵O为中心，OH⊥BC，∴BH=HC=2．
∵∠OBH=30°，∴OH=BH=，∴△OBC的面积=×4×=．
∵△OBD≌△OCE，∴四边形ODBE的面积=△OBC的面积=，故③正确；
过D作DI⊥BC于I．设BD=x，则BI=x，DI=x．
∵BD=EC，BC=4，∴BE=4－x，IE=BE-BI=4-x．
在Rt△DIE中，DE==?=?=，当x=2时，DE的值最小为2，△BDE的周长=BD+BE+DE=BE+EC+DE=BC+DE=4+DE，当DE最小时，△BDE的周长最小，∴△BDE的周长的最小值=4+2=6．故④正确．
故答案为：C．
二、填空题（共7题；共24分）
13.如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BD=DC=2，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE=BC，连接AE，AG.若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为________.
解：过点A作AM⊥BC于M，
∵ BD=DC=2，
∴ DC=4，
∴BC=BD+DC=2+4=6，
∵△ABC是等边三角形，
∴ AB=AC=BC=6，
∵ AM⊥BC ，
∴ BM=BC=×6=3，
∴ DM=BM-BD=3-2=1，
在Rt△ABM中，AM=== ，
当正方形DEFG绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，AD+AE=DE，
即此时AE取最小值，
在Rt△ADM中，AD=== ，
∴在Rt△ADG中，AG===8；
故答案为：8.
14.图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为________分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为________分米．
解：（1）作OP⊥CD，OQ⊥AM，∵∠AOQ+∠QOC=∠POC+QOC=90°，得∠AOQ=∠COP，又OA=OC，故△AOQ≌△COP，所以AQ=CP，AM=AQ+QM=OP+CP=5+5?．（2）在OE上取一点M，使 OM=OE'，
∵OE∥CD，∴ ∠E'OM=∠OCD=60°，故△ E'OM是等边三角形，得E'M=E'O ，根据旋转图形的特点，∠BOB'=∠EFE'=60°，FE=FE' ，故△E'FE是等边三角形，得FE=EE'，又 ∠FOE=∠EME'，由上可知：△FOE'≌△EME'，得ME=OF=4． ∵OB=OB'OE'+B'E'=OE+BEB'E'-BE=OE-OE'=EM=4 ．
15.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，点D在边BC上，CD=5，BD=13.点P是线段AD上一动点，当半径为6的OP与△ABC的一边相切时，AP的长为________.

解：在Rt△ACD中，∠C=90°，AC=12，CD=5， ∴AD=13；
在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=12，BC=CD+DB=18， ∴AB=6；
过点D作DM⊥AB于点M，∵AD=BD=13， ∴AM=AB=3;
在Rt△ADM中，∵AD=13，AM=3，∴DM=2；
∵当点P运动到点D时，点P到AC的距离最大为CD=5＜6，
∴半径为6的⊙P不可能与AC相切；
当半径为6的⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE，
∴PE⊥BC，且PE=6，
∵PE⊥BC，AC⊥BC，
?∴PE∥AC，
∴△ACD∽△PED，
∴PE∶AC=PD∶AD，
即6∶12=PD∶13，
∴PD=6.5，
∴AP=AD-PD=6.5;
当半径为6的⊙P与BA相切时，设切点为F，连接PF，
∴PF⊥AB，且PF=6，
∵PF⊥BA，DM⊥AB，
∴DM∥PF，
∴△APF∽△ADM，
∴AP∶AD=PF∶DM即AP∶13=6∶2，
∴AP=3 ，
综上所述即可得出AP的长度为：或3.
故答案为：或3.
16.如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在同一直线上，AD与 BE、 BC分别交于点F、M ，BE与CD交于点N ． 下列结论正确的是________（写出所有正确结论的序号）．
①AM=BN ；②△ABF≌△DNF ；③∠FMC+∠FNC=180° ；④
解：①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴ AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴ ∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，∠CAD=∠CBE，
在△DMC 和△ENC中，
，
∴ △DMC≌△ENC(ASA)，
∴DM=EN，CM=CN，
∴ AD-DM=BE-EN ，即AM=BN ；
②∵∠ABC=60°=∠BCD ，
∴ AB∥CD，
∴∠BAF=∠CDF，
∵∠AFB=∠DFN，
∴△ABF≌△DNF，找不出全等的条件；
③∵ ∠AFB+∠ABF+∠BAF=180° ，∠FBC=∠CAF ，
∴ ∠AFB+∠ABC+∠BAC=180° ，
∴ ∠AFB=60°，
∴ ∠MFN=120°，
∵ ∠MCN=60°，
∴ ∠FMC+∠FNC=180°；
④∵ CM=CN，∠MCN=60°，
∴ △MCN是等边三角形，
∴ ∠MNC=60°，
∵ ∠DCE=60°，
∴ MN∥AE，
∴，
∵ CD=CE，MN=CN，
∴ ，
∴ ，
两边同时除以MN得 ，
∴．
故答案为①③④
17.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________cm.
解：过点A作AH⊥DE，垂足为H，
∵∠BAC=90°，AB=AC，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，
∴AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°，
∴DE==，∠HAE=∠DAE=45°，
∴AH=DE=3，∠HAF=∠HAE-∠CAE=30°，
∴AF=，
∴CF=AC-AF=，
故答案为： .
18.把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B、C、D在同一直线上．若AB=2，则CD= ________．
解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B=45°，
∴BC=AB=2，BF=AF=AB=，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD=BC=2，
在Rt△ADF 中，根据勾股定理得，DF==，
∴CD=BF+DF-BC=+-2=-，
故答案为：-．
19.如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若AP=6，BP=8，CP=10 ．则S△ABP+S△BPC＝________．
解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，
根据旋转的性质可知，
旋转角∠PBP'=∠CAB=60°，BP=BP'，
∴△BPP′为等边三角形，
∴BP' =BP=8=PP'；
由旋转的性质可知，AP' =PC=10，
在△BPP′中，PP' =8，AP=6，
由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，
∴S△ABP+S△BPC=S四边形AP' BP=S△BP' B+S△AP' P=BP2+·PP' ·AP=24+16 ，
故答案为：24+16.
三、解答题（共2题；共12分）
20.如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．
证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE，在△ABF和△DCE中∴△ABF≌△DCE（SAS），∴∠GEF=∠GFE，∴EG=FG
21.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵DE⊥AB，DF⊥BC
∴∠DEA=∠DFC=90°
∴D为AC的中点，
∴DA=DC
又∴DF=DF
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）
∴∠A=∠C．
∴∠A=∠B=∠C．
∴△ABC是等边三角形．
四、综合题（共4题；共28分）
22.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内一点，连接AD，BD.在BD左侧作Rt△BDE，使∠BDE＝90°，以AD和DE为邻边作□ADEF，连接CD，DF.
（1）若AC＝BC，BD＝DE.
①如图1，当B，D，F三点共线时，CD与DF之间的数量关系为________.
②如图2，当B，D，F三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由.________
（2）若BC＝2AC，BD＝2DE，，且E，C，F三点共线，求的值.
解：（1）①如图1中，连接CF.设AC交BF于G.
∵四边形AFED是平行四边形，
∴AF＝DE，DE∥AF，
∵BD＝DE，
∴AF＝BD，
∵∠BDE＝90°，
∴∠EDF＝∠DFA＝90°＝∠BCG，
∵∠CGB＝∠AGF，
∴∠CBD＝∠CAF，
∵BC＝AC，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴∠BCD＝∠ACF，CD＝CF，
∴∠BCA＝∠DCF＝90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴DF＝CD.
故答案为DF＝CD.
②当B，D，F三点不共线时，①中的结论仍然成立．
理由：如图2中，连接CF.延长BD交AF的延长线于H，设AC交BH于G.
∵四边形AFED是平行四边形，
∴AF＝DE，DE∥AF，
∵BD＝DE，
∴AF＝BD，
∵∠BDE＝90°，
∴∠DEH＝∠DHA＝90°＝∠BCG，
∵∠CGB＝∠AGH，
∴∠CBD＝∠CAF，
∵BC＝AC，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴∠BCD＝∠ACF，CD＝CF，
∴∠BCA＝∠DCF＝90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴DF＝CD（2）如图3中，延长BD交AF于H.设BH交AC于G.
∵四边形AFED是平行四边形，
∴AF＝DE，DE∥AF，
∵∠BDE＝90°，
∴∠DEH＝∠DHA＝90°＝∠BCG，
∵∠CGB＝∠AGH，
∴∠CBD＝∠CAF，
∵=2，
∴，
∴△CBD∽△CAF，
∴=2，∠BCD＝∠ACF，
∴∠BCA＝∠DCF＝90°，
∵AD∥EF，
∴∠ADC+∠DCF＝180°，
∴∠ADC＝90°，
∵CD：AC＝4：5，设CD＝4k，AC＝5k，则AD＝EF＝3k，
∴CF＝CD＝2k，
∴EC＝EF﹣CF＝k，
∴DE＝AF＝= =k，
∴.
23.（1）【思维启迪】
如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是________米.
（2）【思维探索】在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE.
①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是________；
②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；________
③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝1，请直接写出PC2的值.________.
解：（1）∵CD∥AB，∴∠C＝∠B，
在△ABP和△DCP中，
，
∴△ABP≌△DCP（SAS），
∴DC＝AB.
∵AB＝200米.
∴CD＝200米，
故答案为：200.
（2）①PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE.
理由如下：如解图1，延长EP交BC于F，
同（1）理，可知∴△FBP≌△EDP（SAS），
∴PF＝PE，BF＝DE，
又∵AC＝BC，AE＝DE，
∴FC＝EC，
又∵∠ACB＝90°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∵EP＝FP，
∴PC＝PE，PC⊥PE.
②PC＝PE，PC⊥PE；PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE.
理由如下：如解图2，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，
同①理，可知△FBP≌△EDP（SAS），
∴BF＝DE，PE＝PF＝EF，
∵DE＝AE，
∴BF＝AE，
∵当α＝90°时，∠EAC＝90°，
∴ED∥AC，EA∥BC
∵FB∥AC，∠FBC＝90，
∴∠CBF＝∠CAE，
在△FBC和△EAC中，
，
∴△FBC≌△EAC（SAS），
∴CF＝CE，∠FCB＝∠ECA，
∵∠ACB＝90°，
∴∠FCE＝90°，
∴△FCE是等腰直角三角形，
∵EP＝FP，
∴CP⊥EP，CP＝EP＝EF.
③PC2＝EC2=；
如解图3，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过E点作EH⊥AC交CA延长线于H点，
当α＝150°时，由旋转旋转可知，∠CAE＝150°，DE与BC所成夹角的锐角为30°，
∴∠FBC＝∠EAC＝α＝150°
同②可得△FBP≌△EDP（SAS），
同②△FCE是等腰直角三角形，CP⊥EP，CP＝EP＝CE，
在Rt△AHE中，∠EAH＝30°，AE＝DE＝1，
∴HE＝，AH＝，
又∵AC＝AB＝3，
∴CH＝3+，
∴EC2＝CH2+HE2＝10+3
∴PC2＝EC2=
24.如图1，△ABC（AC（1）∠AFD与∠BCE 的关系是________；
（2）如图2，当旋转角为60°时，点D，点B与线段AC的中点O恰好在同一直线上，延长DO至点 G，使OG=OD，连接GC．
①写出∠AFD与∠GCD的关系，请说明理由；
②如图3，连接AE，BE，若∠ACB=45°，CE=4，求线段AE的长度.
解：（1）如图1，
AF与BD的交点记作点N，由旋转知，∠ACB=∠DCE，∠A=∠D，
∴∠BCE=∠ACD，
∵∠ACD=180°-∠A-∠ANC，∠AFD=180°-∠D-∠DNF，∠ANC=∠DNF，
∴∠ACD=∠AFD，
∴∠AFD=∠BCE，
故答案为：∠AFD=∠BCE；（2）①∠AFD=∠GCD或∠AFD+∠GCD=180°，
理由如下：如图2，连接AD，
由旋转知，∠CAB=∠CDE，CA=CD，∠ACD=60°，
∴△ACD是等边三角形，∴ AD=CD，
∵∠AMC=∠DMF，
∴△ACM∽ △DFM，
∴∠ACD=∠AFD ，
∵ O是AC的中点，
∴AO=CO，
∵OD=OG，∠AOD=∠COG，
∴ △AOD≌ △COG （SAS），
∴AD=CG，
∴CG=CD，
∴∠GCD=2ACD=120° ，
∴∠AFD=∠GCD或∠AFD+∠GCD=180°，
故答案为：∠AFD=∠GCD或∠AFD+∠GCD=180°；
②由①知，∠GCD=120° ，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠GCA=∠GCD-∠ACD=60° ，
∴∠GCB=∠BCE，
∵∠GCB=∠GCA+∠ACB ，∠ACE=∠BCE+∠ACB ，
∴∠GCB=∠ACE，
由①知，CG=CD，CD=CA ，
∴CG=CA，
∵BC=EC=4，
∴△GCB≌△ACE(SAS)，
∴BC=CE=4，
∴GB=AE ，
∵CG=CD，OG=OD，
∴CO⊥GD，
∴∠COG=∠COB=90°
在Rt△BOC中， BO=BC·sin∠ACB=2， CO=BC·cos∠ACB=2，
在Rt△GOC中，GO=CO·tan∠GCA=2，
∴GB=CO+BO=2+2，
∴AE=2+2.
25.在 △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC， AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且 ∠BMN=90° ，当 ∠AMN=30° ， AB=2时，求线段AM的长；
（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF=90°，求证：BE=AF；
（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且 ∠BMN=90° ，求证：AB+AN=AM．
解：（1）∵∠BAC=90° ，AB=AC，AD⊥BC ，
∴AD=BD=DC， ∠ABC=∠ACB=45° ， ∠ BAD=∠CAD=45°，
∵AB=2，
∴AD=BD=DC=，
∵∠AMN=30°，
∴∠BMD=180°-90°-30°=60°，
∴∠BMD=30° ，
∴BM=2DM，
由勾股定理得，BM2-DM2=BD2 ，即(2DM)2-DM2=()2 ，
解得，DM= ，
∴AM=AD-DM=-
（2）∵AD⊥BC，∠EDF=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
在 △BDE和△ADF 中，
，
∴△BDE≌△ADF (SAS)
∴BE=AF
（3）过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，
∴∠AME=90°，
则AE=AB，∠E=45°，
∴ME=MA ，
∵∠AME=90°，∠BMN=90° ，
∴∠BME=∠AMN，
在△BME和△AMN 中，
，
△BME≌△AMN (ASA)，
∴BE=AN，
∴AB+AN=AB+BE=AE=AM．

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