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§3　函数的单调性(一)
一、选择题
1．函数y＝的单调区间是(　　)
A．(－∞，1)，(1，＋∞)
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．{x∈R|x≠1}
D．R
2．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是(　　)
A.>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．若x1D.>0
3．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图像上的两点，那么－1A．(－3,0)
B．(0,3)
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
4．已知函数f(x)在R上是增函数，则下列说法正确的是(　　)
A．y＝－f(x)在R上是减函数
B．y＝在R上是减函数
C．y＝[f(x)]2在R上是增函数
D．y＝af(x)(a为实数)在R上是增函数
5．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，若a，b∈R且a＋b>0，则有(　　)
A．f(a)＋f(b)>－f(a)－f(b)
B．f(a)＋f(b)<－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
D．f(a)＋f(b)6．已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)
D．(－2，＋∞)
7．已知四个函数的图像如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(　　)
二、填空题
8．已知一次函数y＝(k＋1)x＋k在R上是增函数，且其图像与x轴的正半轴相交，则k的取值范围是________．
9．已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________．
10．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)11．函数f(x＋1)＝x2－2x＋1的定义域是[－2,0]，则f(x)的递减区间是________．
三、解答题
12．求函数y＝－x2＋2|x|＋3的递增区间．
13．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内递减，求a的取值范围．
四、探究与拓展
14．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是____________．
15．设函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且对任意正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立，已知f(2)＝1，且当x>1时，f(x)>0.
(1)求f的值；
(2)判断y＝f(x)在(0，＋∞)上的单调性并给出证明；
(3)解不等式f(2x)>f(8x－6)－1.
答案
1．
考点　求函数的单调区间
题点　求函数的单调区间
答案　A
解析　单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表达不当．故选A.
2．
考点　函数单调性的概念
题点　函数单调性概念的理解
答案　C
解析　因为f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x13．
考点　函数单调性的应用
题点　利用单调性解抽象函数不等式
答案　B
解析　由已知f(0)＝－1，f(3)＝1，
∴－1∵f(x)在R上递增，
∴0∴－14．
考点　函数单调性的判定与证明
题点　判断函数的单调性
答案　A
解析　设x1所以－f(x1)>－f(x2)，A选项一定成立．
其余三项不一定成立，如当f(x)＝x时，B、C不成立，当a<0时，D不成立．
5．
考点　函数单调性的应用
题点　利用单调性比较函数值大小
答案　C
解析　∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a，
∵f(x)在R上是增函数，
∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，
∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．
6．
考点　函数单调性的应用
题点　已知分段函数单调性求参数范围
答案　A
解析　画出f(x)的图像(图略)可判断f(x)在R上递增，
故f(4－a)>f(a) 4－a>a，解得a<2.
7．
考点　函数的单调性的概念
题点　函数单调性概念的理解
答案　B
解析　对于A，存在x1∈(0,1)，f(x1)>f(1)，A不对；
对于C，存在x1>1，f(x1)对于D，存在x1＝－1，x2＝1，f(x1)只有B完全符合单调性定义．
8．
考点　函数单调性的应用
题点　已知一次函数单调性求参数范围
答案　(－1,0)
解析　依题意解得－19．
考点　函数单调性的应用
题点　已知分段函数单调性求参数范围
答案　
解析　当x<0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是减函数，解得a≥0，当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤，∴0≤a≤.
10．
考点　函数单调性的应用
题点　利用单调性解抽象函数不等式
答案　
解析　由题意，得解得1≤x<，
故满足条件的x的取值范围是1≤x<.
11．
考点　求函数的单调区间
题点　求函数的单调区间
答案　[－1,1]
解析　f(x＋1)＝x2－2x＋1＝(x－1)2＝(x＋1－2)2，
∴f(x)＝(x－2)2，x∈[－1,1]，
∴f(x)在定义域[－1,1]上递减．
12．
考点　求函数的单调区间
题点　求函数的单调区间
解　∵y＝－x2＋2|x|＋3＝
函数图像如图所示：
∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的递增区间是(－∞，－1]和[0,1]．
13．
考点　函数单调性的应用
题点　已知一次函数、分式函数单调性求参数范围
(1)证明　设任意x1，x2∈(－∞，－2)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
∴f(x1)(2)解　设任意x1，x2∈(1，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.
综上所述014．
考点　
题点　
答案　(0,1]
解析　由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数可得a≤1，由g(x)＝在[1,2]上是减函数可得a>0.
∴015．
考点　函数单调性的应用
题点　函数单调性的综合应用
解　(1)对于任意正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，
∴当x＝y＝1时，有f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.
当x＝2，y＝时，有f＝f(2)＋f，
即f(2)＋f＝0，
又f(2)＝1，∴f＝－1.
(2)y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，证明如下：
设任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x1)＋f＝f(x2)，
即f(x2)－f(x1)＝f.
∵>1，故f>0，
即f(x2)>f(x1)，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
(3)由(1)知，f＝－1，
∴f(8x－6)－1＝f(8x－6)＋f
＝f＝f(4x－3)
∴f(2x)>f(4x－3)，
∵f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，
∴
解得解集为.
2

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