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开封市2019届高三第三次模拟考试
数学（文科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）－（23）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上
的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式：
样本数据x1，x2，…xn的标准差 锥体体积公式

其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高
柱体体积公式 球的表面积，体积公式

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x｜x＝3n＋2，n∈N}，B＝{2，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为
A．5 B．4 C．3 D．2
2．设复数z＝1＋i，则＝
A．－i B．i C．－2i D．2i
3．空气质量指数AQI是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差．某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数AQI，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法错误的是
A．该地区在该月2日空气质量最好
B．该地区在该月24日空气质量最差
C．该地区从该月7日到12日AQI持续增大
D．该地区的空气质量指数AQI与这段日期
成负相关
4．“a＞b＞0”是“a2＋a＞b2＋b”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知函数（a∈R）为奇函数，则f（1）＝
A． B． C． D．
6．设为等差数列{}的前项和，若3＝＋，＝－10，则＝
A．－3 B．－2 C．2 D．3
7．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面
垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视
图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶
点都在同一个球面上，则该球的表面积为
A． B．6
C．9 D．24
8．如图所示的程序框图是为了求出满足1＋＋＋…＋＜100的最
大正整数n的值，那么在两个空白框中，可以分
别填入
A．“S＜100?”和“输出i－1”
B．“S＜100?”和“输出i－2”
C．“S≥100?”和“输出i－1”
D．“S≥100?”和“输出i－2”
9．若实数x，y满足2x＋2y＝1，则x＋y的最大值是
A．－4 B．－2 C．2 D．4
10．如图，在正方形ABCD中分别以A，B为圆心、正方形的边长为半
径画，，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的
概率是
A． B．
C． D．
11．已知a＝21n3，b＝31n2， ，则a，b，c的大小关系为
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a
12．已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0，｜｜≤），x＝－为f（x）的零点，x＝为y＝f（x）图象的对称轴，且x∈（，），｜f（x）｜＜1，则ω的最大值为
A．5 B．4 C．3 D．2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设向量a＝（x，x＋1），b＝（1，2），且a∥b，则x＝__________．
14．若实数x，y满足约束条件则z＝x＋y的取值范围是__________．
15．在△ABC中，AB＝5，AC＝7，∠ABC＝，则该三角形的面积是__________．
16．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若｜MN｜＝b，则C的离心率为__________．






三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
为等比数列{}的前项和，已知＝2，＝－6．
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）设数列＝，求{}的前项和．

18．（本小题满分12分）
如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，D在平面ABEF上的射影为EF的中点，△ADF是边长为的正三角形，直线AD与平面ABEF所成角为．
（Ⅰ）求证：EF⊥AD；
（Ⅱ）若EF＝2CD＝2AB，且AB∥EF，求该五面体的体积．

19．（本小题满分12分）
为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：

经计算，样本的平均值＝65，标准差s＝2．2，以频率值作为概率的估计值．
（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，
并根据以下不等式进行判定（P表示相应事件的概率）：
①P（－s＜X≤＋s）≥0．6826；
②P（－2s＜X≤＋2s）≥0．9544；
③P（－3s＜X≤＋3s）≥0．9974．
判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．
（Ⅱ）将直径尺寸在（－2s，＋2s）之外的零件认定为是“次品”，将直径尺寸在（
－3s，＋3s）之外的零件认定为“突变品”．从样本的“次品”中随意抽取两件，求至
少有一件“突变品”的概率．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C：（a＞b＞0）的上顶点与左、右焦点的连线构成面积为的等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过C的右焦点F作斜率为k的直线l1与C交于A，B两点，直线l：x＝4与x轴交于点E，M为线段EF的中点，过点B作直线BN⊥l于点N．证明：A，M，N三点共线．

21．（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝ex－a，g（x）＝a（x－1），（常数a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）当g（x）与f（x）的图象相切时，求a的值；
（Ⅱ）设h（x）＝f（x）·g（x），若h（x）存在极值，求a的取值范围．

22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝asinθ（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）求直线l的极坐标方程及曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知A（ρ1，θ）是直线l上的一点，B（ρ2，θ＋）是曲线C上的一点，
ρ1∈R，ρ2∈R，若的最大值为2，求a的值．

23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数f（x）＝｜x－1｜．
（Ⅰ）求函数y＝f（x）－f（x＋1）的最大值；
（Ⅱ）若f（｜a－2｜＋3）＞f（（a－2）2＋1），求实数a的取值范围．











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