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2020年高考模拟卷（4）
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
选择题部分（共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
因为集合，，
所以或，或，
所以，
所以或，故选A.
2．双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为，
所以，渐近线方程为，
即为，故选C.
3．已知实数满足，则（ ）
A．有最小值，无最大值 B．有最大值，无最小值
C．有最小值，也有最大值 D．无最小值，也无最大值
【答案】A
【解析】
作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.设，则，表示直线在轴上的截距的相反数.平移直线，可得当直线过点时取得最小值，没有最大值.故选A.

4．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
观察三视图可知，几何体是一个圆锥的与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为，高为．三棱锥的底面是两直角边分别为、的直角三角形，高为．
则几何体的体积，故选：C.
5．关于x的不等式的解集是
A． B． C．∪ D．[-1，2]
【答案】C
【解析】
当时，，解得：
当时，，不成立，
当时，，解得：,
综上，不等式的解集是， 故选：C．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为，所以，所以是减函数，
又因为，所以，，
所以，，所以A,B两项均错；
又，所以，所以C错；
对于D，，所以，故选D.
7．随机变量 X 的分布列如下表所示，
X 0 2 4
P a

则 D X ( )＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
由题意，，∴a＝，∴E(x)= 0×+2×+4×=2,
∴D(X)＝（0﹣2）2×+（2﹣2）2×+（4﹣2）2×＝2,
故选B.
8．正四面体中，在平面内，点在线段上，，是平面的垂线，在该四面体绕旋转的过程中，直线与所成角为，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意可知，根据相对运动，让正四面体保持静止，平面绕着旋转，
故其垂直线也绕着旋转，取上的点，使得 ，
连接，则，等价于平面绕着旋转，
在中，，
；
如下图所示，

将问题抽象为几何模型，平面的垂线可以看做圆锥底面半径，绕着圆锥的轴旋转，显然 ，
故选:A.
9．设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
：直线的方程为，与双曲线渐近线的交点为，与双曲线在第一象限的交点为，所以，，由得，解之得，所以，，故选A.
10．已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以,



令是增函数.

综上所述，故选C.

非选择题部分（共110分）
二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方高），则由此可推得圆周率的取值为___________.
【答案】3
【解析】
由题意圆柱体的体积（底面圆的周长的平方高）
，解得
故答案为
12．一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是，则袋中的白球个数为_____，若从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ＝_____．
【答案】5
【解析】
依题意，设白球个数为，至少得到一个白球的概率是，则不含白球的概率为，
可得，即，解得，
依题意，随机变量，所以．
故答案为：5，．
13．若，则_________，_________.
【答案】-27 -940
【解析】
令得，所以，
令得，
令得，
两式相加得
14．已知在中，，，延长BC至D，使，则_______．
【答案】
【解析】
如图所示：

在中，，，延长BC至D，使，
则：，
所以：．
所以：，
整理得：，
解得：．
在中，利用正弦定理：，
由于：，
所以：．
故：．
故答案为：
15．过坐标原点O在圆内作两条互相垂直的弦AB，CD，则的最大值______．
【答案】
【解析】
化圆为，如图，

可知，，
当所在直线斜率不存在时，
当AB斜率存在时，设AB方程为，则CD方程为．
联立，得．
设，，
则，．
则
，
同理求得．
．
则．
设，，
则，令．

由图可知，当直线过时，t有最大值为．
故答案为：．
16．已知函数有三个零点且均为有理数，则的值等于________.
【答案】
【解析】
由，可得是函数的一个零点．
令．
，，即．
方程有两个根，且均为有理数．
，可得，且为完全平方数．
设，．
，
经过验证只有：，，
，时满足题意．
方程即，
解得，，均为有理数．
因此．
故答案为：．
17．若圆关于直线对称，则的最小值为__________．由点向圆所作两条切线，切点记为，当取最小值时，外接圆的半径为__________．
【答案】
【解析】
由可得，
因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，
即，化简得，
则有，所以有的最小值为；
根据图形的特征，可知PC最短时，对应的最小，
而PC最短时，即为C到直线的距离，
即，此时A,B,P,C四点共圆，
此时PC即为外接圆的直径，所以其半径就是.
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．已知分别为三个内角的对边，且满足，.
（1）求；
（2）若是中点，，求面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1） ，

则 ，

（2）方法一：在中，
即 .
在中，
同理中，
而，有，
即.
联立得，
.
方法二：又①


②
②①得

方法三：（极化式）


19．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，为线段上的中点．

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）取的中点，连接，．∵，是，的中点，∴，，
又，，∴，，
∴四边形是平行四边形，∴，
又平面，平面，∴平面．
（2）取的中点，连接，过作的平行线，
以为原点，以，和平面过点的垂线为坐标轴建立空间坐标系，
∵，∴，设二面角的大小为，
则，，，，∴，
∴，，∵，
∴，
∴，.∴，，
∴，，
设平面的法向量为，则，即，
令可得，∴，
设直线与平面所成角为，则，∴.
∴直线与平面所成角的余弦值为．

20．数列的前项和为，，对任意，有.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）由知
两式相减得：
又，
所以也成立，故
即数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）因为，
所以

两式相减得：，
所以.
21．已知椭圆的中心在坐标原点，其右焦点为，以坐标原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）经过点的直线，分别交椭圆于，及，四点，且，探究：是否存在常数，使得.
【答案】（1）（2），使得恒成立.
【解析】
（Ⅰ）设所求椭圆的方程为，
由点到直线的距离为，故，
又，所以，
故所求椭圆的方程为；
（Ⅱ） 假设存在常数，使得恒成立，则，
（ⅰ）当与其中一条直线的斜率不存在时，易知，其中一个为长轴，另一个为通径，长轴长为，通径为，
此时，
（ⅱ）当与斜率存在且不为零时，不妨设的方程为，
则的方程，联立方程，消去可得
，设，，
则 ，所以
，
将代入，化简可得，
在的表达式中用“”代“”可得，
所以 .
综合（ⅰ）（ⅱ）可知存在常数，使得恒成立.
22．已知函数.
（1）求的单调区间（用表示）；
（2）若，求的取值范围.
【答案】(1)答案不唯一，见解析；(2)
【解析】
（1）已知，，
①当时，，此时单调递减，单调减区间为；
②当，令，解得，
所以当时，的递增区间为，，递减区间为；
（2）由条件得，当时，恒成立即恒成立，
当时，由时，得显然不成立，所以，
令，解得，
当时，所以，
所以，即恒成立，
所以，当时，在上恒成立，
又当时，，在上为减函数，在，上为增函数，
所以，不满足题意，
综上，所求的取值范围是．


2020年高考模拟卷（4）
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
选择题部分（共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知实数满足，则（ ）
A．有最小值，无最大值 B．有最大值，无最小值
C．有最小值，也有最大值 D．无最小值，也无最大值
4．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
5．关于x的不等式的解集是
A． B． C．∪ D．[-1，2]
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．随机变量 X 的分布列如下表所示，
X 0 2 4
P a

则 D X ( )＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．正四面体中，在平面内，点在线段上，，是平面的垂线，在该四面体绕旋转的过程中，直线与所成角为，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．
9．设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
10．已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方高），则由此可推得圆周率的取值为___________.
12．一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是，则袋中的白球个数为_____，若从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ＝_____．
13．若，则_________，_________.
14．已知在中，，，延长BC至D，使，则_______．
15．过坐标原点O在圆内作两条互相垂直的弦AB，CD，则的最大值______．
16．已知函数有三个零点且均为有理数，则的值等于________.
17．若圆关于直线对称，则的最小值为__________．由点向圆所作两条切线，切点记为，当取最小值时，外接圆的半径为__________．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．已知分别为三个内角的对边，且满足，.
（1）求；
（2）若是中点，，求面积.
19．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，为线段上的中点．

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
20．数列的前项和为，，对任意，有.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
21．已知椭圆的中心在坐标原点，其右焦点为，以坐标原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）经过点的直线，分别交椭圆于，及，四点，且，探究：是否存在常数，使得.
22．已知函数.
（1）求的单调区间（用表示）；
（2）若，求的取值范围.

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