资源简介

2017年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（理科）
一、选择题：
1．（2017·宜宾模拟）已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B=（　　）
A．{8，10} B．{8，12}
C．{8，14} D．{8，10，14}
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合A={x|x=3n+2，n∈N}={2，5，8，11，14，…}，
B={6，8，10，12，14}，
则集合A∩B={8，14}．
故选：C．
【分析】用列举法写出集合A，根据交集的定义写出A∩B．
2．（2017·宜宾模拟）已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z的共轭复数为（　　）
A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由（z﹣1）i=1+i，得z﹣1= ，
∴z=2﹣i，则 ．
故选：D．
【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
3．（2017·宜宾模拟）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，则公差d等于（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，
∴ ，
解得a1=7，d=﹣2，
∴公差d等于﹣2．
故选：B．
【分析】利用等差数列通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出公差d．
4．（2017·宜宾模拟）若非零向量 ， ，满足| |=| |，（ ﹣2 ） =0，则 与 的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设 ，则：
；
∵m≠0；
∴ ；
∴ 的夹角为 ．
故选B．
【分析】据题意可设 ，并且m≠0，进行数量积的运算，由 便可求出 的值，进而得出 的夹角．
5．（2017·宜宾模拟）某厂家为了解广告宣传费与销售轿车台数之间的关系，得到如下统计数据表：
广告费用x（万元） 2 3 4 5 6
销售轿车y（台数） 3 4 6 10 12
根据数据表可得回归直线方程 = x+ ，其中 =2.4， = ﹣ ，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（　　）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意， =4， =7， =2.4，∴ = ﹣ =7﹣2.4×4=﹣2.6，
∴x=9， = x+ =2.4×9﹣2.6=19，
故选C．
【分析】根据表中数据，求出 ， ，利用回归方程过样本中心点（ ， ）求出 的值，再利用回归方程预测广告费用为9万元时的销售额．
6．（2017·宜宾模拟）将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．函数g（x）的一条对称轴是
B．函数g（x）的一个对称中心是
C．函数g（x）的一条对称轴是
D．函数g（x）的一个对称中心是
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，
可得y=2sin（2x+ ）的图象，
然后纵坐标不变，再向右平移 个单位长度，
得到函数y=g（x）=2sin（2x﹣ + ）=2cos2x的图象，
令x= ，求得g（x）=0，
可得（ ，0）是g（x）的一个对称中心，故排除A；
令x= ，求得g（x）=﹣1，
可得x= 是g（x）的图象的一条对称轴，故排除B，故C正确；
令x= ，求得g（x）= ，可得x= 不是g（x）的图象的对称中心，故排除D，
故选：C．
【分析】利用诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
7．（2017·宜宾模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）
A．10 B．15 C．18 D．20
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，
其底面面积S= （3+6）×2﹣ ×3×1= ，
高h=6，
故体积V= =15，
故选：B．
【分析】根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，可得答案．
8．（2017·宜宾模拟）执行如图的程序框图，若输入的n为6，则输出的p为（　　）
A．8 B．13 C．29 D．35
【答案】A
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：模拟程序的运行，可得
n=6，s=0，t=1，k=1，p=1
满足条件k＜6，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1
k=2，满足条件k＜6，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2
k=3，满足条件k＜6，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3
k=4，满足条件k＜6，则执行循环体，p=2+3=5，s=3，t=5
k=5，满足条件k＜6，则执行循环体，p=3+5=8，s=5，t=8
k=6，不满足条件k＜6，退出执行循环体，此时p=8
故选：A．
【分析】根据输入的n是6，然后判定k=1，满足条件k＜6，则执行循环体，依此类推，当k=6，不满足条件k＜6，则退出执行循环体，求出此时p的值即可．
9．（2017·宜宾模拟）三棱锥A﹣BCD内接于半径为2的球O，BC过球心O，当三棱锥A﹣BCD体积取得最大值时，三棱锥A﹣BCD的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】解：由题意，BC为直径，△BCD的最大面积为 =4，
三棱锥A﹣BCD体积最大时，AO⊥平面BCD，三棱锥的高为2，
∴三棱锥A﹣BCD的表面积为4×2+2× =8+4 ，
故选D．
【分析】由题意，BC为直径，△BCD的最大面积为 =4，三棱锥A﹣BCD体积最大时，AO⊥平面BCD，三棱锥的高为2，即可求出三棱锥A﹣BCD的表面积．
10．（2017·宜宾模拟）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）是周期为4的周期函数，
f（6）=f（2）=f（0）=0，f（ ）=f（ ）=﹣f（﹣ ）=f（ ）= ﹣1，f（﹣7）=f（1）=1，
∴ ，
故选B．
【分析】由题意可得函数的周期为4，结合奇偶性和题意可得答案．
11．（2017·宜宾模拟）已知点F1，F2分别是双曲线 的左右两焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于P，Q两点，若△PQF2是以∠PQF2为顶角的等腰三角形，其中 ，则双曲线离心率e
的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：△PQF2是以∠PQF2为顶角的等腰三角形，
其中设θ= ，
可得∠F1PF2= ，
设|QP|=|QF2|=x，
则由双曲线的定义可得|QF1|﹣|QF2|=2a，即|PF1|=2a，
即有|PF2|=4a，
在△PF1F2中，由余弦定理可得，cos∠F1PF2=
= ﹣ e2=﹣sin ∈（﹣1，﹣ ]，
解得 ≤e＜3．
故选：A．
【分析】由题意设θ= ，可得∠F1PF2= ，设|QP|=|QF2|=x，则由双曲线的定义可得|PF1|=2a，即有|PF2|=4a，在△PF1F2中，运用余弦定理和诱导公式，以及离心率公式，解不等式即可得到e的范围．
12．（2017·宜宾模拟）已知函数 有且仅有四个不同的点关于直线y=1的对称点在直线kx+y﹣1=0上，则实数k的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：直线kx+y﹣1=0关于直线y=1的对称直线为﹣kx+y﹣1=0，
则直线﹣kx+y﹣1=0与y=f（x）的函数图象有4个交点，
当x＞0时，f′（x）=1﹣lnx，
∴当0＜x＜e时，f′（x）＞0，当x＞e时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
作出y=f（x）与直线﹣kx+y﹣1=0的函数图象，如图所示：
设直线y=kx+1与y=2x﹣xlnx相切，切点为（x1，y1），
则 ，解得：x1=1，k=1，
设直线y=kx+1与y=﹣x2﹣ （x＜0）相切，切点为（x2，y2），
则 ，解得x2=﹣1，k= ．
∵直线y=kx+1与y=f（x）有4个交点，
∴直线y=kx+1与y=f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上各有2个交点，
∴ ＜k＜1．
故选A．
【分析】将问题转化为直线y=kx+1与f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上各有两个交点，借助函数图象与导数的几何意义求出y=kx+1分别与f（x）的两段图象相切时的斜率即可得出k的范围．
二、二.填空题：
13．（2017·宜宾模拟） 的展开式中常数项是　 　．（用数字作答）
【答案】-10.5
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：∵ 的通项是 = ，
∵要求展开式中常数项，
∴9﹣3r=0，
∴r=3，
∴ =﹣ =﹣10.5，
故答案为：﹣10.5．
【分析】写出二项式的通项 ，进行整理变形为 ，因为要求展开式的常数项，只要使得变量x的指数为零就可以求出r，把r的值代入得到常数项．
14．（2017·宜宾模拟）从1，2，3，4，5，6，7这七个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是　 　．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从1，2，3，4，5，6，7这七个数中，随机抽取3个不同的数，
基本事件总数n= =35，
这3个数的和为偶数包含的基本事件个数m= =19，
则这3个数的和为偶数的概率p= ．
故答案为： ．
【分析】基本事件总数n= =35，这3个数的和为偶数包含的基本事件个数m= =19，由此能求出这3个数的和为偶数的概率．
15．（2017·宜宾模拟）设直线l：3x+4y+4=0，圆C：（x﹣2）2+y2=r2（r＞0），若圆C上存在两点P，Q，直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，则r的取值范围是　 　．
【答案】[ ，+∞）
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2=r2，圆心为：（2，0），半径为r，
∵在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，
∴在直线l上存在一点M，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于90，
∴只需MC⊥l时，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于900即可
∵C到直线l：3x+4y+4=0的距离2，则r ．
个答案为：[ ，+∞）．
【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为MC⊥l时，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于900即可．
16．（2017·宜宾模拟）在△ABC中， ，其面积为 ，则tan2A sin2B的最大值是　 　．
【答案】3﹣2
【知识点】平面向量的数量积运算；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：△ABC中， ，
∴bacos（π﹣C）=﹣bacosC=2 ，
∴abcosC=﹣2 ；
又三角形的面积为 absinC= ，
∴absinC=2 ；
∴sinC=﹣cosC，
∴C= ，
∴A+B= ；
∴tan2A sin2B=tan2A sin2（ ﹣A）
=tan2A cos2A
=tan2A （cos2A﹣sin2A）
=tan2A
=tan2A ；
设tan2A=t，则t∈（0，1）；
上式化为t =
=
=﹣（t+1）﹣ +3≤﹣2 +3=3﹣2 ，
当且仅当t+1= ，即t= ﹣1时取“=”；
∴所求的最大值是3﹣2 ．
【分析】根据数量积运算与三角形的面积公式求出C的值，从而求出A+B的值；利用三角恒等变换化tan2A sin2B为tan2A ，设tan2A=t，t∈（0，1）；上式化为t = ，利用基本不等式求出它的最大值．
三、三.解答题：
17．（2017·宜宾模拟）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a，b，c成等比数列，且a2﹣c2=ac﹣bc．
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）若a= ，且sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，求△ABC的面积．
【答案】解：（Ⅰ）由a，b，c是一个等比数列，
得：b2=ac，
∵a2﹣c2=ac﹣bc，
∴bc=b2+c2﹣a2
那么：cosA= = = ，
∵0＜A＜π
∴A=
（Ⅱ）∵sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，
∴sin（B+C）+sin（B﹣C）=2sin2C，
得：2sinBcosC=4sinCcosC．
即4sinCcosC﹣2sinBcosC=0，
可得：cosC=0或sinB=2sinC．
∵0＜C＜π
∴C= 或b=2c．
①当C= ，由题意，A= ，a= ，
由正弦定理得： ，
∴c=2．
故由勾股定理得：b=1．
故得△ABC的面积S= absinC= = ．
②当b=2c时，由题意，A= ，a= ，
所以由余弦定理得：那么：cosA= ，
可得：c=1，b=2．
故得△ABC的面积S= bcsinA= =
综上①②得：△ABC的面积S=
【知识点】余弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）由a，b，c成等比数列，可得b2=ac，且a2﹣c2=ac﹣bc，利用余弦定理可得∠A的大小．（Ⅱ）利用三角形内角和定理sinA=sin（B+C），根据和与差的公式和二倍角公式化简，利用正余弦定理求解b，c即可求△ABC的面积．
18．（2017·宜宾模拟）在某单位的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示．食堂某天购进了90个面包，以x（单位：个，60≤x≤110）表示面包的需求量，T（单位：元）表示利润．
（Ⅰ）求T关于x的函数解析式；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于100元的概率；
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中间值的概率（例如：若需求量x∈[60，70），则取x=65，且x=65的概率等于需求量落入[60，70）的频率），求T的分布列和数学期望．
【答案】解：（Ⅰ）由题意，当60≤X≤90时，利润T=5X+1×（90﹣X）﹣3×90=4X﹣180，
当90＜X≤110时，利润T=5×90﹣3×90=180，
即T关于x的函数解析式T= ．
（Ⅱ）由题意，设利润T不少于100元为事件A，
由（Ⅰ）知，利润T不少于100元时，即4X﹣180≥100，
∴X≥70，即70≤X≤110，
由直方图可知，当70≤X≤110时，
所求概率为：
P（A）=1﹣P（ ）=1﹣0.025×（70﹣60）=0.75．
（Ⅲ）由题意，由于4×65﹣180=80，4×75﹣180=120，
4×85﹣180=160，
故利润T的取值可为：80，120，160，180，
且P（T=80）=0.25，P（T=120）=0.15，P（T=160）=0.2，P（T=180）=0.4，…（9分）
故T的分布列为：
T 80 120 160 180
P 0.25 0.15 0.2 0.4
∴利润的数学期望：
E（T）=80×0.25+120×0.15+160×0.20+180×0.40=142
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，当60≤X≤90时，求出利润T，当90＜X≤110时，求出利润T，由此能求出T关于x的函数解析式．（Ⅱ）由题意，设利润T不少于100元为事件A，利润T不少于100元时，即70≤X≤110，由此利用对立事件概率计算公式能求出T的分布列和数学期望．（III）由题意，利润T的取值可为：80，120，160，180，分别求出相应的概率，由此能求出利润的数学期望E（T）．
19．（2017·宜宾模拟）如甲图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起到△D1AE位置，使平面D1AE⊥平面ABCE，得到乙图所示的四棱锥D1﹣ABCE．
（Ⅰ）求证：BE⊥平面D1AE；
（Ⅱ）求二面角A﹣D1E﹣C的余弦值．
【答案】证明：（Ⅰ）如图，取AE中点F，连D1F，
在△AD1E中，∵D1A=D1E=2，∴D1F⊥AE，
又∵平面D1AE⊥平面ABCE，∴D1F⊥平面ABCE，
∵BE 平面ABCE，∴D1F⊥BE．
在△ABE中，可得 ，BE=2 ，AB=4，
∴BE⊥AE，又∵D1F∩AE=F，
∴BE⊥平面D1AE；
（Ⅱ）解：由题意，取AB中点G，以E为坐标原点，分别以EG，EC为x，y轴正方向建立空间直角坐标系E﹣xyz．
如图所示，则E（0，0，0），C（0，2，0）D1（1，﹣1， ），B（2，2，0），
由（Ⅰ）知： 是平面AD1E的法向量，
设平面CED1的法向量为 ，则
，令z=1，则x=﹣ ，y=0，
∴ ，
设二面角A﹣D1E﹣C的平面角为θ，
则|cosθ|=|cos＜ ＞|=| |= ．
由图可知，二面角A﹣D1E﹣C的平面角为钝角，
∴cos ，
即二面角A﹣D1E﹣C的余弦值为 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（Ⅰ）取AE中点F，连D1F，求解三角形可得D1F⊥AE，又平面D1AE⊥平面ABCE，利用面面垂直的性质可得D1F⊥平面ABCE，从而得到D1F⊥BE．在△ABE中，可得BE⊥AE，再利用线面垂直的判定可得BE⊥平面D1AE；（Ⅱ）由题意，取AB中点G，以E为坐标原点，分别以EG，EC为x，y轴正方向建立空间直角坐标系E﹣xyz．求出所用点的坐标，得到平面AD1E与平面CED1的法向量．利用两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣D1E﹣C的余弦值．
20．（2017·宜宾模拟）在平面直角坐标系xOy中，过椭圆 右焦点的直线 交椭圆C于M，N两点，P为M，N的中点，且直线OP的斜率为 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设另一直线l与椭圆C交于A，B两点，原点O到直线l的距离为 ，求△AOB面积的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）由题意，直线 与x轴交点F（ ，0），则c= ，
设M（x1，y1）、N（x2，y2），P（xP，yP），2xP=x1+x2，2yP=y1+y2，
直线OP的斜率k= ，
则： ，
整理得： + =0，
则 =﹣ =﹣ ，
由直线MN的斜率k= =﹣ ×3=﹣1，整理得：a2=3b2=3（a2﹣c2），
又c= ，解得：a2=3，b2=1，
∴椭圆C的方程为： ；
（Ⅱ）由题意，①当直线l的斜率不存在时，O到直线l的距离为 ，
将x=± 代入椭圆方程，解得：y=± ，则丨AB丨=2丨y丨= ；
当直线斜率为O时，将y=± ，代入椭圆方程，解得：x=± ，
则丨AB丨=2丨x丨= ；
②当直线l的斜率存在时且不为0时，
设直线l的方程为：y=kx+m（k，m∈R且k≠0），
由题意，原点0到直线l的距离为 ，
故 ，则m2= （k2+1）．
设A（x1，y1）、B（x2，y2），
则： ，（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣1）=，
由题意△＞0，x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
丨AB丨2=（1+k2）[（x1+x2）﹣4x1x2]=（1+k2）[（﹣ ）2﹣4× ]，
=（1+k2） ，
= ，
= =3+ ，
=3+ ≤3+ =4，
当且仅当9k2= ，即k=± 时等号成立，丨AB丨max=2，
综上所述，当直线l的斜率k=± 时，
即丨AB丨max=2时，△AOB面积的最大值，
最大值为S= ×丨AB丨max× = ，
△AOB面积的最大值 ．
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【分析】（Ⅰ）当y=0时，求得焦点F坐标，M，N代入椭圆方程，作差，利用中点坐标公式，化简求得MN的直线方程，即可求得a和b的关系，求得椭圆方程；（Ⅱ）由题意可知：当丨AB丨最大时，△AOB面积的最大值，将直线AB代入椭圆方程，利用韦达定理弦长公式及基本不等式的性质，即可求得丨AB丨的最大值．
21．（2017·宜宾模拟）设函数f（x）=x2+aln（x+1），a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（x2）≥（ ﹣1）x2．
【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），
f′（x）=2x+ = ，
令g（x）=2x2+2x+a，则△=4﹣8a，
①当a≥ 时，△≤0，g（x）≥0，从而f′（x）≥0，
故函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；
②当a＜ 时，△＞0，g（x）=0的两个根为
x1= ，x2= ，
当a≤0时，x1≤﹣1＜x2，此时，当x∈（﹣1， ），函数f（x）单调递减；
当x∈（ ，+∞），函数f（x）单调递增．
当0＜a＜ 时，﹣1＜x1＜x2，此时函数f（x）在区间（﹣1， ），（ ，+∞）单调递增；
当x∈（ ， ）函数f（x）单调递减．
综上：当a≥ 时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；
当0＜a＜ 时，函数f（x）在区间（﹣1， ），（ ，+∞）单调递增；
在区间（ ， ），函数f（x）单调递减；
当a≤0时，x∈（﹣1， ）函数f（x）单调递减，
x∈（ ，+∞）函数f（x）单调递增…（6分）
（Ⅱ）证明：当函数f（x）有两个极值点时，0＜a＜ ，x2= ∈（﹣ ，0），
且g（x2）=2 +2x2+a=0，即a=﹣2 ﹣2x2，
f（x2）= +（﹣2 ﹣2x2）ln（x2+1），x2∈（﹣ ，0），
=x2﹣2（x2+1）ln（x2+1），x2∈（﹣ ，0），
令h（x）=x﹣2（x+1）ln（x+1），x∈（﹣ ，0），
h′（x）=﹣2ln（x+1）﹣1，令h′（x）＞0，x∈（﹣ ， ﹣1），函数单调递增；
令h′（x）＜0，x∈（ ﹣1，0），函数单调递减；
∴h（x）max=h（ ﹣1）= ﹣1，∴ ≤ ﹣1，
∵x2∈（﹣ ，0），
∴f（x2）≥（ ﹣1）x2．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）得到a=﹣2 ﹣2x2，根据f（x2）= +（﹣2 ﹣2x2）ln（x2+1），x2∈（﹣ ，0），得到 =x2﹣2（x2+1）ln（x2+1），x2∈（﹣ ，0），令h（x）=x﹣2（x+1）ln（x+1），x∈（﹣ ，0），根据函数的单调性求出h（x）的最大值，从而证明结论．
22．（2017·宜宾模拟）在直角坐标系xOy中，已知点P（0， ），曲线C的参数方程为 （φ为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ= ．
（Ⅰ）判断点P与直线l的位置关系并说明理由；
（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点分别为A，B，求 的值．
【答案】解：（Ⅰ）点P在直线l上，理由如下：
直线l：ρ= ，即 = ，亦即 = ，
∴直线l的直角坐标方程为： x+y= ，易知点P在直线l上．
（Ⅱ）由题意，可得直线l的参数方程为 （t为参数），曲线C的普通方程为 ．
将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得5t2+12t﹣4=0，
设两根为t1，t2，
∴t1+t2=﹣ ，t1 t2=﹣ ，
∴|PA|+|PB|=|t1﹣t2|= = ，
∴ = = =
【知识点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（Ⅰ）点P在直线l上，理由如下：直线l：ρ= ，展开可得 = ，可得直线l的直角坐标方程即可验证．（Ⅱ）由题意，可得直线l的参数方程为 （t为参数），曲线C的普通方程为 ．将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得5t2+12t﹣4=0，可得|PA|+|PB|=|t1﹣t2|= ，即可得出．
23．（2017·宜宾模拟）已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣3，3]．
（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x+2）＞0；
（Ⅱ）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证： ≥3．
【答案】解：（Ⅰ）因为f（x+2）=m﹣|x|，f（x+2）≥0等价于|x|≤m，
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|﹣m≤x≤m}．
又f（x+2）≥0的解集为[﹣3，3]，故m=3．
所以f（x）+f（x+2）＞0可化为：3﹣|x﹣2|+3﹣|x|＞0，∴|x|+|x+2|＜6．
①当x≤﹣2时，﹣x﹣x﹣2＜6，∴x＞﹣4，又x≤﹣2，∴﹣4＜x≤﹣2；
②当﹣2＜x≤0时，﹣x+x+2＜6，∴2＜6，成立；
③当x＞0时，x+x+2＜6，∴x＜2，又x＞0，∴0＜x＜2．
综上①、②、③得不等式f（x）+f（x+2）＞0的解集为：{x|﹣4＜x＜2}
（Ⅱ）证明：a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=3，
因为（ ）（a+b+c）≥（b+c+a）2，所以 ≥3
【知识点】不等式的证明
【解析】【分析】（Ⅰ）利用已知条件，转化不等式为绝对值不等式，求m的值，分类讨论，即可解不等式：f（x）+f（x+2）＞0；（Ⅱ）直接利用柯西不等式，即可证明结论．
1 / 12017年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（理科）
一、选择题：
1．（2017·宜宾模拟）已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B=（　　）
A．{8，10} B．{8，12}
C．{8，14} D．{8，10，14}
2．（2017·宜宾模拟）已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z的共轭复数为（　　）
A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i
3．（2017·宜宾模拟）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，则公差d等于（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2
4．（2017·宜宾模拟）若非零向量 ， ，满足| |=| |，（ ﹣2 ） =0，则 与 的夹角为（　　）
A． B． C． D．
5．（2017·宜宾模拟）某厂家为了解广告宣传费与销售轿车台数之间的关系，得到如下统计数据表：
广告费用x（万元） 2 3 4 5 6
销售轿车y（台数） 3 4 6 10 12
根据数据表可得回归直线方程 = x+ ，其中 =2.4， = ﹣ ，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（　　）
A．17 B．18 C．19 D．20
6．（2017·宜宾模拟）将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．函数g（x）的一条对称轴是
B．函数g（x）的一个对称中心是
C．函数g（x）的一条对称轴是
D．函数g（x）的一个对称中心是
7．（2017·宜宾模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）
A．10 B．15 C．18 D．20
8．（2017·宜宾模拟）执行如图的程序框图，若输入的n为6，则输出的p为（　　）
A．8 B．13 C．29 D．35
9．（2017·宜宾模拟）三棱锥A﹣BCD内接于半径为2的球O，BC过球心O，当三棱锥A﹣BCD体积取得最大值时，三棱锥A﹣BCD的表面积为（　　）
A． B． C． D．
10．（2017·宜宾模拟）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则（　　）
A． B．
C． D．
11．（2017·宜宾模拟）已知点F1，F2分别是双曲线 的左右两焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于P，Q两点，若△PQF2是以∠PQF2为顶角的等腰三角形，其中 ，则双曲线离心率e
的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
12．（2017·宜宾模拟）已知函数 有且仅有四个不同的点关于直线y=1的对称点在直线kx+y﹣1=0上，则实数k的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、二.填空题：
13．（2017·宜宾模拟） 的展开式中常数项是　 　．（用数字作答）
14．（2017·宜宾模拟）从1，2，3，4，5，6，7这七个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是　 　．
15．（2017·宜宾模拟）设直线l：3x+4y+4=0，圆C：（x﹣2）2+y2=r2（r＞0），若圆C上存在两点P，Q，直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，则r的取值范围是　 　．
16．（2017·宜宾模拟）在△ABC中， ，其面积为 ，则tan2A sin2B的最大值是　 　．
三、三.解答题：
17．（2017·宜宾模拟）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a，b，c成等比数列，且a2﹣c2=ac﹣bc．
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）若a= ，且sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，求△ABC的面积．
18．（2017·宜宾模拟）在某单位的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示．食堂某天购进了90个面包，以x（单位：个，60≤x≤110）表示面包的需求量，T（单位：元）表示利润．
（Ⅰ）求T关于x的函数解析式；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于100元的概率；
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中间值的概率（例如：若需求量x∈[60，70），则取x=65，且x=65的概率等于需求量落入[60，70）的频率），求T的分布列和数学期望．
19．（2017·宜宾模拟）如甲图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起到△D1AE位置，使平面D1AE⊥平面ABCE，得到乙图所示的四棱锥D1﹣ABCE．
（Ⅰ）求证：BE⊥平面D1AE；
（Ⅱ）求二面角A﹣D1E﹣C的余弦值．
20．（2017·宜宾模拟）在平面直角坐标系xOy中，过椭圆 右焦点的直线 交椭圆C于M，N两点，P为M，N的中点，且直线OP的斜率为 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设另一直线l与椭圆C交于A，B两点，原点O到直线l的距离为 ，求△AOB面积的最大值．
21．（2017·宜宾模拟）设函数f（x）=x2+aln（x+1），a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（x2）≥（ ﹣1）x2．
22．（2017·宜宾模拟）在直角坐标系xOy中，已知点P（0， ），曲线C的参数方程为 （φ为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ= ．
（Ⅰ）判断点P与直线l的位置关系并说明理由；
（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点分别为A，B，求 的值．
23．（2017·宜宾模拟）已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣3，3]．
（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x+2）＞0；
（Ⅱ）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证： ≥3．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合A={x|x=3n+2，n∈N}={2，5，8，11，14，…}，
B={6，8，10，12，14}，
则集合A∩B={8，14}．
故选：C．
【分析】用列举法写出集合A，根据交集的定义写出A∩B．
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由（z﹣1）i=1+i，得z﹣1= ，
∴z=2﹣i，则 ．
故选：D．
【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
3．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，
∴ ，
解得a1=7，d=﹣2，
∴公差d等于﹣2．
故选：B．
【分析】利用等差数列通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出公差d．
4．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设 ，则：
；
∵m≠0；
∴ ；
∴ 的夹角为 ．
故选B．
【分析】据题意可设 ，并且m≠0，进行数量积的运算，由 便可求出 的值，进而得出 的夹角．
5．【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意， =4， =7， =2.4，∴ = ﹣ =7﹣2.4×4=﹣2.6，
∴x=9， = x+ =2.4×9﹣2.6=19，
故选C．
【分析】根据表中数据，求出 ， ，利用回归方程过样本中心点（ ， ）求出 的值，再利用回归方程预测广告费用为9万元时的销售额．
6．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，
可得y=2sin（2x+ ）的图象，
然后纵坐标不变，再向右平移 个单位长度，
得到函数y=g（x）=2sin（2x﹣ + ）=2cos2x的图象，
令x= ，求得g（x）=0，
可得（ ，0）是g（x）的一个对称中心，故排除A；
令x= ，求得g（x）=﹣1，
可得x= 是g（x）的图象的一条对称轴，故排除B，故C正确；
令x= ，求得g（x）= ，可得x= 不是g（x）的图象的对称中心，故排除D，
故选：C．
【分析】利用诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
7．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，
其底面面积S= （3+6）×2﹣ ×3×1= ，
高h=6，
故体积V= =15，
故选：B．
【分析】根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，可得答案．
8．【答案】A
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：模拟程序的运行，可得
n=6，s=0，t=1，k=1，p=1
满足条件k＜6，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1
k=2，满足条件k＜6，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2
k=3，满足条件k＜6，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3
k=4，满足条件k＜6，则执行循环体，p=2+3=5，s=3，t=5
k=5，满足条件k＜6，则执行循环体，p=3+5=8，s=5，t=8
k=6，不满足条件k＜6，退出执行循环体，此时p=8
故选：A．
【分析】根据输入的n是6，然后判定k=1，满足条件k＜6，则执行循环体，依此类推，当k=6，不满足条件k＜6，则退出执行循环体，求出此时p的值即可．
9．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】解：由题意，BC为直径，△BCD的最大面积为 =4，
三棱锥A﹣BCD体积最大时，AO⊥平面BCD，三棱锥的高为2，
∴三棱锥A﹣BCD的表面积为4×2+2× =8+4 ，
故选D．
【分析】由题意，BC为直径，△BCD的最大面积为 =4，三棱锥A﹣BCD体积最大时，AO⊥平面BCD，三棱锥的高为2，即可求出三棱锥A﹣BCD的表面积．
10．【答案】B
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）是周期为4的周期函数，
f（6）=f（2）=f（0）=0，f（ ）=f（ ）=﹣f（﹣ ）=f（ ）= ﹣1，f（﹣7）=f（1）=1，
∴ ，
故选B．
【分析】由题意可得函数的周期为4，结合奇偶性和题意可得答案．
11．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：△PQF2是以∠PQF2为顶角的等腰三角形，
其中设θ= ，
可得∠F1PF2= ，
设|QP|=|QF2|=x，
则由双曲线的定义可得|QF1|﹣|QF2|=2a，即|PF1|=2a，
即有|PF2|=4a，
在△PF1F2中，由余弦定理可得，cos∠F1PF2=
= ﹣ e2=﹣sin ∈（﹣1，﹣ ]，
解得 ≤e＜3．
故选：A．
【分析】由题意设θ= ，可得∠F1PF2= ，设|QP|=|QF2|=x，则由双曲线的定义可得|PF1|=2a，即有|PF2|=4a，在△PF1F2中，运用余弦定理和诱导公式，以及离心率公式，解不等式即可得到e的范围．
12．【答案】A
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：直线kx+y﹣1=0关于直线y=1的对称直线为﹣kx+y﹣1=0，
则直线﹣kx+y﹣1=0与y=f（x）的函数图象有4个交点，
当x＞0时，f′（x）=1﹣lnx，
∴当0＜x＜e时，f′（x）＞0，当x＞e时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
作出y=f（x）与直线﹣kx+y﹣1=0的函数图象，如图所示：
设直线y=kx+1与y=2x﹣xlnx相切，切点为（x1，y1），
则 ，解得：x1=1，k=1，
设直线y=kx+1与y=﹣x2﹣ （x＜0）相切，切点为（x2，y2），
则 ，解得x2=﹣1，k= ．
∵直线y=kx+1与y=f（x）有4个交点，
∴直线y=kx+1与y=f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上各有2个交点，
∴ ＜k＜1．
故选A．
【分析】将问题转化为直线y=kx+1与f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上各有两个交点，借助函数图象与导数的几何意义求出y=kx+1分别与f（x）的两段图象相切时的斜率即可得出k的范围．
13．【答案】-10.5
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：∵ 的通项是 = ，
∵要求展开式中常数项，
∴9﹣3r=0，
∴r=3，
∴ =﹣ =﹣10.5，
故答案为：﹣10.5．
【分析】写出二项式的通项 ，进行整理变形为 ，因为要求展开式的常数项，只要使得变量x的指数为零就可以求出r，把r的值代入得到常数项．
14．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从1，2，3，4，5，6，7这七个数中，随机抽取3个不同的数，
基本事件总数n= =35，
这3个数的和为偶数包含的基本事件个数m= =19，
则这3个数的和为偶数的概率p= ．
故答案为： ．
【分析】基本事件总数n= =35，这3个数的和为偶数包含的基本事件个数m= =19，由此能求出这3个数的和为偶数的概率．
15．【答案】[ ，+∞）
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2=r2，圆心为：（2，0），半径为r，
∵在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，
∴在直线l上存在一点M，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于90，
∴只需MC⊥l时，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于900即可
∵C到直线l：3x+4y+4=0的距离2，则r ．
个答案为：[ ，+∞）．
【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为MC⊥l时，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于900即可．
16．【答案】3﹣2
【知识点】平面向量的数量积运算；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：△ABC中， ，
∴bacos（π﹣C）=﹣bacosC=2 ，
∴abcosC=﹣2 ；
又三角形的面积为 absinC= ，
∴absinC=2 ；
∴sinC=﹣cosC，
∴C= ，
∴A+B= ；
∴tan2A sin2B=tan2A sin2（ ﹣A）
=tan2A cos2A
=tan2A （cos2A﹣sin2A）
=tan2A
=tan2A ；
设tan2A=t，则t∈（0，1）；
上式化为t =
=
=﹣（t+1）﹣ +3≤﹣2 +3=3﹣2 ，
当且仅当t+1= ，即t= ﹣1时取“=”；
∴所求的最大值是3﹣2 ．
【分析】根据数量积运算与三角形的面积公式求出C的值，从而求出A+B的值；利用三角恒等变换化tan2A sin2B为tan2A ，设tan2A=t，t∈（0，1）；上式化为t = ，利用基本不等式求出它的最大值．
17．【答案】解：（Ⅰ）由a，b，c是一个等比数列，
得：b2=ac，
∵a2﹣c2=ac﹣bc，
∴bc=b2+c2﹣a2
那么：cosA= = = ，
∵0＜A＜π
∴A=
（Ⅱ）∵sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，
∴sin（B+C）+sin（B﹣C）=2sin2C，
得：2sinBcosC=4sinCcosC．
即4sinCcosC﹣2sinBcosC=0，
可得：cosC=0或sinB=2sinC．
∵0＜C＜π
∴C= 或b=2c．
①当C= ，由题意，A= ，a= ，
由正弦定理得： ，
∴c=2．
故由勾股定理得：b=1．
故得△ABC的面积S= absinC= = ．
②当b=2c时，由题意，A= ，a= ，
所以由余弦定理得：那么：cosA= ，
可得：c=1，b=2．
故得△ABC的面积S= bcsinA= =
综上①②得：△ABC的面积S=
【知识点】余弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）由a，b，c成等比数列，可得b2=ac，且a2﹣c2=ac﹣bc，利用余弦定理可得∠A的大小．（Ⅱ）利用三角形内角和定理sinA=sin（B+C），根据和与差的公式和二倍角公式化简，利用正余弦定理求解b，c即可求△ABC的面积．
18．【答案】解：（Ⅰ）由题意，当60≤X≤90时，利润T=5X+1×（90﹣X）﹣3×90=4X﹣180，
当90＜X≤110时，利润T=5×90﹣3×90=180，
即T关于x的函数解析式T= ．
（Ⅱ）由题意，设利润T不少于100元为事件A，
由（Ⅰ）知，利润T不少于100元时，即4X﹣180≥100，
∴X≥70，即70≤X≤110，
由直方图可知，当70≤X≤110时，
所求概率为：
P（A）=1﹣P（ ）=1﹣0.025×（70﹣60）=0.75．
（Ⅲ）由题意，由于4×65﹣180=80，4×75﹣180=120，
4×85﹣180=160，
故利润T的取值可为：80，120，160，180，
且P（T=80）=0.25，P（T=120）=0.15，P（T=160）=0.2，P（T=180）=0.4，…（9分）
故T的分布列为：
T 80 120 160 180
P 0.25 0.15 0.2 0.4
∴利润的数学期望：
E（T）=80×0.25+120×0.15+160×0.20+180×0.40=142
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，当60≤X≤90时，求出利润T，当90＜X≤110时，求出利润T，由此能求出T关于x的函数解析式．（Ⅱ）由题意，设利润T不少于100元为事件A，利润T不少于100元时，即70≤X≤110，由此利用对立事件概率计算公式能求出T的分布列和数学期望．（III）由题意，利润T的取值可为：80，120，160，180，分别求出相应的概率，由此能求出利润的数学期望E（T）．
19．【答案】证明：（Ⅰ）如图，取AE中点F，连D1F，
在△AD1E中，∵D1A=D1E=2，∴D1F⊥AE，
又∵平面D1AE⊥平面ABCE，∴D1F⊥平面ABCE，
∵BE 平面ABCE，∴D1F⊥BE．
在△ABE中，可得 ，BE=2 ，AB=4，
∴BE⊥AE，又∵D1F∩AE=F，
∴BE⊥平面D1AE；
（Ⅱ）解：由题意，取AB中点G，以E为坐标原点，分别以EG，EC为x，y轴正方向建立空间直角坐标系E﹣xyz．
如图所示，则E（0，0，0），C（0，2，0）D1（1，﹣1， ），B（2，2，0），
由（Ⅰ）知： 是平面AD1E的法向量，
设平面CED1的法向量为 ，则
，令z=1，则x=﹣ ，y=0，
∴ ，
设二面角A﹣D1E﹣C的平面角为θ，
则|cosθ|=|cos＜ ＞|=| |= ．
由图可知，二面角A﹣D1E﹣C的平面角为钝角，
∴cos ，
即二面角A﹣D1E﹣C的余弦值为 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（Ⅰ）取AE中点F，连D1F，求解三角形可得D1F⊥AE，又平面D1AE⊥平面ABCE，利用面面垂直的性质可得D1F⊥平面ABCE，从而得到D1F⊥BE．在△ABE中，可得BE⊥AE，再利用线面垂直的判定可得BE⊥平面D1AE；（Ⅱ）由题意，取AB中点G，以E为坐标原点，分别以EG，EC为x，y轴正方向建立空间直角坐标系E﹣xyz．求出所用点的坐标，得到平面AD1E与平面CED1的法向量．利用两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣D1E﹣C的余弦值．
20．【答案】解：（Ⅰ）由题意，直线 与x轴交点F（ ，0），则c= ，
设M（x1，y1）、N（x2，y2），P（xP，yP），2xP=x1+x2，2yP=y1+y2，
直线OP的斜率k= ，
则： ，
整理得： + =0，
则 =﹣ =﹣ ，
由直线MN的斜率k= =﹣ ×3=﹣1，整理得：a2=3b2=3（a2﹣c2），
又c= ，解得：a2=3，b2=1，
∴椭圆C的方程为： ；
（Ⅱ）由题意，①当直线l的斜率不存在时，O到直线l的距离为 ，
将x=± 代入椭圆方程，解得：y=± ，则丨AB丨=2丨y丨= ；
当直线斜率为O时，将y=± ，代入椭圆方程，解得：x=± ，
则丨AB丨=2丨x丨= ；
②当直线l的斜率存在时且不为0时，
设直线l的方程为：y=kx+m（k，m∈R且k≠0），
由题意，原点0到直线l的距离为 ，
故 ，则m2= （k2+1）．
设A（x1，y1）、B（x2，y2），
则： ，（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣1）=，
由题意△＞0，x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
丨AB丨2=（1+k2）[（x1+x2）﹣4x1x2]=（1+k2）[（﹣ ）2﹣4× ]，
=（1+k2） ，
= ，
= =3+ ，
=3+ ≤3+ =4，
当且仅当9k2= ，即k=± 时等号成立，丨AB丨max=2，
综上所述，当直线l的斜率k=± 时，
即丨AB丨max=2时，△AOB面积的最大值，
最大值为S= ×丨AB丨max× = ，
△AOB面积的最大值 ．
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【分析】（Ⅰ）当y=0时，求得焦点F坐标，M，N代入椭圆方程，作差，利用中点坐标公式，化简求得MN的直线方程，即可求得a和b的关系，求得椭圆方程；（Ⅱ）由题意可知：当丨AB丨最大时，△AOB面积的最大值，将直线AB代入椭圆方程，利用韦达定理弦长公式及基本不等式的性质，即可求得丨AB丨的最大值．
21．【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），
f′（x）=2x+ = ，
令g（x）=2x2+2x+a，则△=4﹣8a，
①当a≥ 时，△≤0，g（x）≥0，从而f′（x）≥0，
故函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；
②当a＜ 时，△＞0，g（x）=0的两个根为
x1= ，x2= ，
当a≤0时，x1≤﹣1＜x2，此时，当x∈（﹣1， ），函数f（x）单调递减；
当x∈（ ，+∞），函数f（x）单调递增．
当0＜a＜ 时，﹣1＜x1＜x2，此时函数f（x）在区间（﹣1， ），（ ，+∞）单调递增；
当x∈（ ， ）函数f（x）单调递减．
综上：当a≥ 时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；
当0＜a＜ 时，函数f（x）在区间（﹣1， ），（ ，+∞）单调递增；
在区间（ ， ），函数f（x）单调递减；
当a≤0时，x∈（﹣1， ）函数f（x）单调递减，
x∈（ ，+∞）函数f（x）单调递增…（6分）
（Ⅱ）证明：当函数f（x）有两个极值点时，0＜a＜ ，x2= ∈（﹣ ，0），
且g（x2）=2 +2x2+a=0，即a=﹣2 ﹣2x2，
f（x2）= +（﹣2 ﹣2x2）ln（x2+1），x2∈（﹣ ，0），
=x2﹣2（x2+1）ln（x2+1），x2∈（﹣ ，0），
令h（x）=x﹣2（x+1）ln（x+1），x∈（﹣ ，0），
h′（x）=﹣2ln（x+1）﹣1，令h′（x）＞0，x∈（﹣ ， ﹣1），函数单调递增；
令h′（x）＜0，x∈（ ﹣1，0），函数单调递减；
∴h（x）max=h（ ﹣1）= ﹣1，∴ ≤ ﹣1，
∵x2∈（﹣ ，0），
∴f（x2）≥（ ﹣1）x2．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）得到a=﹣2 ﹣2x2，根据f（x2）= +（﹣2 ﹣2x2）ln（x2+1），x2∈（﹣ ，0），得到 =x2﹣2（x2+1）ln（x2+1），x2∈（﹣ ，0），令h（x）=x﹣2（x+1）ln（x+1），x∈（﹣ ，0），根据函数的单调性求出h（x）的最大值，从而证明结论．
22．【答案】解：（Ⅰ）点P在直线l上，理由如下：
直线l：ρ= ，即 = ，亦即 = ，
∴直线l的直角坐标方程为： x+y= ，易知点P在直线l上．
（Ⅱ）由题意，可得直线l的参数方程为 （t为参数），曲线C的普通方程为 ．
将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得5t2+12t﹣4=0，
设两根为t1，t2，
∴t1+t2=﹣ ，t1 t2=﹣ ，
∴|PA|+|PB|=|t1﹣t2|= = ，
∴ = = =
【知识点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（Ⅰ）点P在直线l上，理由如下：直线l：ρ= ，展开可得 = ，可得直线l的直角坐标方程即可验证．（Ⅱ）由题意，可得直线l的参数方程为 （t为参数），曲线C的普通方程为 ．将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得5t2+12t﹣4=0，可得|PA|+|PB|=|t1﹣t2|= ，即可得出．
23．【答案】解：（Ⅰ）因为f（x+2）=m﹣|x|，f（x+2）≥0等价于|x|≤m，
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|﹣m≤x≤m}．
又f（x+2）≥0的解集为[﹣3，3]，故m=3．
所以f（x）+f（x+2）＞0可化为：3﹣|x﹣2|+3﹣|x|＞0，∴|x|+|x+2|＜6．
①当x≤﹣2时，﹣x﹣x﹣2＜6，∴x＞﹣4，又x≤﹣2，∴﹣4＜x≤﹣2；
②当﹣2＜x≤0时，﹣x+x+2＜6，∴2＜6，成立；
③当x＞0时，x+x+2＜6，∴x＜2，又x＞0，∴0＜x＜2．
综上①、②、③得不等式f（x）+f（x+2）＞0的解集为：{x|﹣4＜x＜2}
（Ⅱ）证明：a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=3，
因为（ ）（a+b+c）≥（b+c+a）2，所以 ≥3
【知识点】不等式的证明
【解析】【分析】（Ⅰ）利用已知条件，转化不等式为绝对值不等式，求m的值，分类讨论，即可解不等式：f（x）+f（x+2）＞0；（Ⅱ）直接利用柯西不等式，即可证明结论．
1 / 1

展开更多......

收起↑