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上海市上海中学2020届高三下学期数学高考模拟（4月)试卷
一、单选题
1．（2020·上海模拟）若复数 为纯虚数，则 （　　）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 .
复数 为纯虚数,得 解得 .
故答案为：D.
【分析】结合复数的四则运算及纯虚数的概念，可求出答案.
2．（2020·上海模拟）“ ”是“ ”的（　　）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由于 ，且 ，得到 ，故充分性不成立；当 时， ，故必要性成立.
故答案为：B.
【分析】判断两个命题： 和 的真假即可得．
3．（2020·上海模拟）如图所示的程序框图中，输出的 为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】循环结构
【解析】【解答】执行循环得：
,
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合程序框图的顺序结构、条件结构、循环结构，从而求出输出的的值。
4．（2020·上海模拟）如图，已知 为抛物线 的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， （其中O为坐标原点），则 与 面积之差的最小值是（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】设直线 的方程为 ，
由 消去x整理得 ，
显然 ，
设 ，
则 ，
∴ ，
由题意得 ，即 ，
解得 或 （舍去）．
∴直线 与x轴的交点为
∴
，当且仅当 ，即 时等号成立，
故 与 面积之差的最小值是 。
故答案为：C．
【分析】利用直线与抛物线的位置关系，联立二者方程结合韦达定理，再利用数量积坐标表示结合已知条件，从而求出直线 与x轴的交点，最后利用三角形面积公式结合均值不等式求最值的方法，从而求出 与 面积之差的最小值。
二、填空题
5．（2020·上海模拟）已知实数集合 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则 　 　．
【答案】-3
【知识点】集合中元素的个数问题
【解析】【解答】解：因为实数集合 的最大元素等于该集合的所有元素之和，
所以 （无解）或者 ，
解得： ．
故答案为：-3．
【分析】根据题意求元素的关系．
6．（2020·上海模拟）　 　．
【答案】0
【知识点】极限及其运算
【解析】【解答】解：因为 ，
而 时， ，
∴ ．
故答案为：0．
【分析】根据分子的有界性，分母的极限性即可求解．
7．（2020·上海模拟）已知向量 ， ，若 ，则实数 　 　．
【答案】2
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：根据题意，向量 ， ，
则 ，
则 ， ， ，
若 ，则有 ，
解可得： ；
故答案为：2．
【分析】根据题意，求出向量 的坐标，进而可得向量 与 、 的模，分析可得 ，解可得 的值，即可得答案．
8．（2020·上海模拟） 的展开式中 的系数为　 　．
【答案】-120
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解： 的展开式的通项公式为 ，
令 ，求得 ，
故展开式中 的系数为 .
故答案为：-120．
【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令 的幂指数等于4，求得 的值，即可求得含 的项的系数．
9．（2020·上海模拟）设 是等差数列 的前n项和，若m为大于1的正整数，且 ， ，则 　 　．
【答案】6
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：依题意， ，
由 ，可得
，
整理，得 ，
解得： ．
，
∵ ，∴ ，
解得： ．
故答案为：6
【分析】本题先根据等差中项的性质有 ，代入题干表达式可得到关于 的方程，解出 的值，然后根据等差数列的求和公式转化计算 ，再次利用等差中项的性质，代入 的值，即可计算出 的值．
10．（2020·上海模拟）若A、B、C、D、E五位同学站成一排照相，则A、B两位同学不相邻的概率为　 　．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：A、B、C、D、E五位同学站成一排照相，
基本事件总数 ，
A、B两位同学不相邻包含的基本事件个数 ，
∴A、B两位同学不相邻的概率为 ．
故答案为： ．
【分析】基本事件总数 ，A、B两位同学不相邻包含的基本事件个数 ，由此能求出A、B两位同学不相邻的概率．
11．（2020·上海模拟）不等式 的解集为　 　．
【答案】 ，
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，可得 ， ，
解得 ， ，
∴不等式 的解集为
， ，
故答案为： ， ．
【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简可得 ，进而根据余弦函数的图象和性质即可求解．
12．（2020·上海模拟）对于任意满足不等式 的实数x、y，都能使得不等式组 成立，则m的最大值是　 　．
【答案】
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由题意可知，不等式组 表示的可行域如图：
以 为圆心的圆在不等式组 所表示的区域内，
半径最大的圆 应与直线相切，
圆心到 的距离为： ，
圆心到 的距离为： ，
由于 ，
∴符合题意的最大的圆为： ，
∴ 的最大值是： ．
故答案为： ．
【分析】根据题意，再结合半径最大的圆 应与直线相切，求出半径的最大值，即可求出结论．
13．（2020·上海模拟）半径为2的球面上有 四点，且 两两垂直，则 ， 与 面积之和的最大值为　 　．
【答案】8
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】如图所示，将四面体 置于一个长方体模型中，则该长方体外接球的半径为2．
不妨设 ， ， ，则有 ，即 ．
记 ．
从而有 ，即 ，从而 ．
当且仅当 ，即该长方体为正方体时等号成立．从而最大值为8．
【分析】AB，AC，AD为球的内接长方体的一个角，故 ，计算三个三角形的面积之和，利用基本不等式求最大值．
14．（2020·上海模拟） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ， ，则 的面积为　 　．
【答案】
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】 ， ， ，
由正弦定理 ，可得： ，可得： ，
可得： ，可得： ，
可得： ， ，
，
．
故答案为： ．
【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求 的值，根据同角三角函数基本关系式可求 的值，利用二倍角公式可求 ， 的值，根据两角和的正弦函数公式可求 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解．
15．（2020·上海模拟）已知x、y都是正数，则 的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：令 ，那么
当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 ．
故答案为： ．
【分析】利用换元法结合二次函数，基本不等式即可求解最小值.
16．（2020·上海模拟）设 ，方程 有四个不相等的实根 ，则 的取值范围为　 　．
【答案】(20,20.5)
【知识点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：∵ 时， ，
∴ 在 与 上的图象关于 对称，
作出图象如下：不防令 ，
可得 ， ，∴ ．
∴ ， ， ，
∴
， ，
令 ，
则原式化为： ， ，
其对称轴 ，开口向上，故 在 递增，
∴ ，
∴ 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【分析】不防令 ，由题意 的图象是关于 对称的，可得 ．助于 的图象可以得到 ， 之间的关系，最终将 表示成 的函数，再借助于换元法最终将问题转化为二次函数的最值问题．
三、解答题
17．（2018·天津）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD= ，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
【答案】解：（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．（Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．∴∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM=1，故DM= ．∵AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．在Rt△DAN中，AN=1，故DN= ．等腰 中，MN=1，∴ ．∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为 ．（Ⅲ）连接CM∵ 为等边三角形，M为边AB中点，∴CM⊥ABCM= 又面ABC⊥面ABD，而CM 面ABC，故CM⊥面ABD，∴ 为直线CD与面ABD所成角 中 中， 所以CD与平面所成角正弦值为
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由面面垂直，得到线线垂直，从而得到线面垂直最后线线垂直；（2）平移直线BC解 ；（3）找到线面垂直，得到线面角.
18．（2020·上海模拟）王老师在做折纸游戏，现有一张边长为1的正三角形纸片ABC，将点A翻折后恰好落在边BC上的点F处，折痕为DE，设 ， ．
（1）求x、y满足的关系式；
（2）求x的取值范围．
【答案】（1）解：如图连接 ，
由点 翻折后恰好落在边 上的点 处，
折痕为 ，可得 垂直平分 ，则 ，
由等边三角形 的边长为1，且 ，
可得 ， ，
在 中， ，
由余弦定理可得：
即 ，
化简可得： ，
即x、y满足的关系式为： ；
（2）解：由（1）可得 ，
解得： ，
设 ，由 ，可得： ，
则 ，
，
当且仅当 ，即 ，等号成立，
则x的取值范围是： ．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理
【解析】【分析】（1）连接 ，由翻折的特点可得 垂直平分 ，则 ，在 中，运用余弦定理可得x，y的关系式；（2）由（1）的关系式，解得x关于y的式子，换元后，运用基本不等式可得所求范围，注意等号成立的条件．
19．（2020·上海模拟）已知 是等差数列， ， ，数列 满足 ， ，且 是等比数列．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】（1）解：∵ 是等差数列， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等比数列，
且 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解： ，
①当 为奇数时，
，
②当 为偶数时，
．
综上所述，
．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由已知可求得等差数列的公差，得到数列 的通项公式，再由 是等比数列，求得公比 ，从而求数列 和 的通项公式；（2）化简 ，分类讨论后利用数列的分组求和以确定数列 的前n项和 ．
20．（2020·上海模拟）已知椭圆 的长轴长是焦距的2倍，且过点 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设 为椭圆C上的动点，F为椭圆C的右焦点，A、B分别为椭圆C的左、右顶点，点 满足 ．
①证明： 为定值；
②设Q是直线 上的动点，直线AQ、BQ分别另交椭圆C于M、N两点，求 的最小值．
【答案】（1）解：由题意可得 ， ， ，
解得： ， ，
所以椭圆的方程为： ；
（2）解：由（1）可得 ， ， ，
①因为 为椭圆C上的动点，
点 满足 ，所以 ；
所以
，
所以： ，
所以可证 为定值2．
②由题意设 ，所以 ，
所以直线 的方程为： ，
联立直线 与椭圆的方程：
整理可得： ，
所以 ，所以 ，
同理 ，所以直线 的方程： ，
整理可得： ，
所以 ，所以 ，
因为 为右准线，
所以由到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率 ，
可得：
，
当且仅当 ，即 时取等号．
所以 的最小值为3．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得 又过一点，及 ， ， 之间的关系求出 ， ，进而求出椭圆的方程；（2）①由（1）可得右焦点 ， ， 的坐标，求出向量 的模，及向量 的模可证得 为定值；②由题意方程可得 为右准线，设Q的坐标，求出直线 ， 的直线与椭圆联立求出M，N的横坐标，再由椭圆的性质到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率可得 用M，N的横坐标表示，由均值不等式可得其最小值.
21．（2020·上海模拟）若函数 对任意的 ，均有 ，则称函数 具有性质P．
（1）判断下面两个函数是否具有性质 ，并说明理由．① ；② ．
（2）若函数 具有性质 ，且 ，求证：对任意 有 ；
（3）在（2）的条件下，是否对任意 均有 ．若成立给出证明，若不成立给出反例．
【答案】（1）证明：①函数 具有性质 ，
，
因为 ， ，
即 ，
此函数为具有性质 ；
②函数 不具有性质 ，
例如，当 时，
， ，
所以， ，
此函数不具有性质 ．
（2）证明：假设 为 中第一个大于0的值，
则 ，
因为函数 具有性质 ，
所以，对于任意 ，
均有 ，
所以 ，
所以 ，
与 矛盾，
所以，对任意的 有 ．
（3）证明：不成立．
例如，
证明：当x为有理数时， ， 均为有理数，
，
当x为无理数时， ， 均为无理数，
所以，函数 对任意的 ，
均有 ，
即函数 具有性质 ．
而当 且当x为无理数时， ．
所以，在（2）的条件下，
“对任意 均有 ”不成立．
如 ， ，
等．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；反证法
【解析】【分析】（1）①根据已知中函数的解析式，结合指数的运算性质，计算出 的表达式，进而根据基本不等式，判断其符号即可得到结论；②由 ，举出当 时，不满足 ，即可得到结论；（2）由于本题是任意性的证明，从下面证明比较困难，故可以采用反证法进行证明，即假设 为 中第一个大于0的值，由此推理得到矛盾，进而假设不成立，原命题为真；（3）由（2）中的结论，我们可以举出反例，如 ，证明对任意 均有 不成立．
1 / 1上海市上海中学2020届高三下学期数学高考模拟（4月)试卷
一、单选题
1．（2020·上海模拟）若复数 为纯虚数，则 （　　）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
2．（2020·上海模拟）“ ”是“ ”的（　　）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2020·上海模拟）如图所示的程序框图中，输出的 为（　　）
A． B． C． D．
4．（2020·上海模拟）如图，已知 为抛物线 的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， （其中O为坐标原点），则 与 面积之差的最小值是（　　）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题
5．（2020·上海模拟）已知实数集合 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则 　 　．
6．（2020·上海模拟）　 　．
7．（2020·上海模拟）已知向量 ， ，若 ，则实数 　 　．
8．（2020·上海模拟） 的展开式中 的系数为　 　．
9．（2020·上海模拟）设 是等差数列 的前n项和，若m为大于1的正整数，且 ， ，则 　 　．
10．（2020·上海模拟）若A、B、C、D、E五位同学站成一排照相，则A、B两位同学不相邻的概率为　 　．
11．（2020·上海模拟）不等式 的解集为　 　．
12．（2020·上海模拟）对于任意满足不等式 的实数x、y，都能使得不等式组 成立，则m的最大值是　 　．
13．（2020·上海模拟）半径为2的球面上有 四点，且 两两垂直，则 ， 与 面积之和的最大值为　 　．
14．（2020·上海模拟） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ， ，则 的面积为　 　．
15．（2020·上海模拟）已知x、y都是正数，则 的最小值为　 　．
16．（2020·上海模拟）设 ，方程 有四个不相等的实根 ，则 的取值范围为　 　．
三、解答题
17．（2018·天津）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD= ，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
18．（2020·上海模拟）王老师在做折纸游戏，现有一张边长为1的正三角形纸片ABC，将点A翻折后恰好落在边BC上的点F处，折痕为DE，设 ， ．
（1）求x、y满足的关系式；
（2）求x的取值范围．
19．（2020·上海模拟）已知 是等差数列， ， ，数列 满足 ， ，且 是等比数列．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 ．
20．（2020·上海模拟）已知椭圆 的长轴长是焦距的2倍，且过点 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设 为椭圆C上的动点，F为椭圆C的右焦点，A、B分别为椭圆C的左、右顶点，点 满足 ．
①证明： 为定值；
②设Q是直线 上的动点，直线AQ、BQ分别另交椭圆C于M、N两点，求 的最小值．
21．（2020·上海模拟）若函数 对任意的 ，均有 ，则称函数 具有性质P．
（1）判断下面两个函数是否具有性质 ，并说明理由．① ；② ．
（2）若函数 具有性质 ，且 ，求证：对任意 有 ；
（3）在（2）的条件下，是否对任意 均有 ．若成立给出证明，若不成立给出反例．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 .
复数 为纯虚数,得 解得 .
故答案为：D.
【分析】结合复数的四则运算及纯虚数的概念，可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由于 ，且 ，得到 ，故充分性不成立；当 时， ，故必要性成立.
故答案为：B.
【分析】判断两个命题： 和 的真假即可得．
3．【答案】C
【知识点】循环结构
【解析】【解答】执行循环得：
,
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合程序框图的顺序结构、条件结构、循环结构，从而求出输出的的值。
4．【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】设直线 的方程为 ，
由 消去x整理得 ，
显然 ，
设 ，
则 ，
∴ ，
由题意得 ，即 ，
解得 或 （舍去）．
∴直线 与x轴的交点为
∴
，当且仅当 ，即 时等号成立，
故 与 面积之差的最小值是 。
故答案为：C．
【分析】利用直线与抛物线的位置关系，联立二者方程结合韦达定理，再利用数量积坐标表示结合已知条件，从而求出直线 与x轴的交点，最后利用三角形面积公式结合均值不等式求最值的方法，从而求出 与 面积之差的最小值。
5．【答案】-3
【知识点】集合中元素的个数问题
【解析】【解答】解：因为实数集合 的最大元素等于该集合的所有元素之和，
所以 （无解）或者 ，
解得： ．
故答案为：-3．
【分析】根据题意求元素的关系．
6．【答案】0
【知识点】极限及其运算
【解析】【解答】解：因为 ，
而 时， ，
∴ ．
故答案为：0．
【分析】根据分子的有界性，分母的极限性即可求解．
7．【答案】2
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：根据题意，向量 ， ，
则 ，
则 ， ， ，
若 ，则有 ，
解可得： ；
故答案为：2．
【分析】根据题意，求出向量 的坐标，进而可得向量 与 、 的模，分析可得 ，解可得 的值，即可得答案．
8．【答案】-120
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解： 的展开式的通项公式为 ，
令 ，求得 ，
故展开式中 的系数为 .
故答案为：-120．
【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令 的幂指数等于4，求得 的值，即可求得含 的项的系数．
9．【答案】6
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：依题意， ，
由 ，可得
，
整理，得 ，
解得： ．
，
∵ ，∴ ，
解得： ．
故答案为：6
【分析】本题先根据等差中项的性质有 ，代入题干表达式可得到关于 的方程，解出 的值，然后根据等差数列的求和公式转化计算 ，再次利用等差中项的性质，代入 的值，即可计算出 的值．
10．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：A、B、C、D、E五位同学站成一排照相，
基本事件总数 ，
A、B两位同学不相邻包含的基本事件个数 ，
∴A、B两位同学不相邻的概率为 ．
故答案为： ．
【分析】基本事件总数 ，A、B两位同学不相邻包含的基本事件个数 ，由此能求出A、B两位同学不相邻的概率．
11．【答案】 ，
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，可得 ， ，
解得 ， ，
∴不等式 的解集为
， ，
故答案为： ， ．
【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简可得 ，进而根据余弦函数的图象和性质即可求解．
12．【答案】
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由题意可知，不等式组 表示的可行域如图：
以 为圆心的圆在不等式组 所表示的区域内，
半径最大的圆 应与直线相切，
圆心到 的距离为： ，
圆心到 的距离为： ，
由于 ，
∴符合题意的最大的圆为： ，
∴ 的最大值是： ．
故答案为： ．
【分析】根据题意，再结合半径最大的圆 应与直线相切，求出半径的最大值，即可求出结论．
13．【答案】8
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】如图所示，将四面体 置于一个长方体模型中，则该长方体外接球的半径为2．
不妨设 ， ， ，则有 ，即 ．
记 ．
从而有 ，即 ，从而 ．
当且仅当 ，即该长方体为正方体时等号成立．从而最大值为8．
【分析】AB，AC，AD为球的内接长方体的一个角，故 ，计算三个三角形的面积之和，利用基本不等式求最大值．
14．【答案】
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】 ， ， ，
由正弦定理 ，可得： ，可得： ，
可得： ，可得： ，
可得： ， ，
，
．
故答案为： ．
【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求 的值，根据同角三角函数基本关系式可求 的值，利用二倍角公式可求 ， 的值，根据两角和的正弦函数公式可求 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解．
15．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：令 ，那么
当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 ．
故答案为： ．
【分析】利用换元法结合二次函数，基本不等式即可求解最小值.
16．【答案】(20,20.5)
【知识点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：∵ 时， ，
∴ 在 与 上的图象关于 对称，
作出图象如下：不防令 ，
可得 ， ，∴ ．
∴ ， ， ，
∴
， ，
令 ，
则原式化为： ， ，
其对称轴 ，开口向上，故 在 递增，
∴ ，
∴ 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【分析】不防令 ，由题意 的图象是关于 对称的，可得 ．助于 的图象可以得到 ， 之间的关系，最终将 表示成 的函数，再借助于换元法最终将问题转化为二次函数的最值问题．
17．【答案】解：（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．（Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．∴∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM=1，故DM= ．∵AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．在Rt△DAN中，AN=1，故DN= ．等腰 中，MN=1，∴ ．∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为 ．（Ⅲ）连接CM∵ 为等边三角形，M为边AB中点，∴CM⊥ABCM= 又面ABC⊥面ABD，而CM 面ABC，故CM⊥面ABD，∴ 为直线CD与面ABD所成角 中 中， 所以CD与平面所成角正弦值为
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由面面垂直，得到线线垂直，从而得到线面垂直最后线线垂直；（2）平移直线BC解 ；（3）找到线面垂直，得到线面角.
18．【答案】（1）解：如图连接 ，
由点 翻折后恰好落在边 上的点 处，
折痕为 ，可得 垂直平分 ，则 ，
由等边三角形 的边长为1，且 ，
可得 ， ，
在 中， ，
由余弦定理可得：
即 ，
化简可得： ，
即x、y满足的关系式为： ；
（2）解：由（1）可得 ，
解得： ，
设 ，由 ，可得： ，
则 ，
，
当且仅当 ，即 ，等号成立，
则x的取值范围是： ．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理
【解析】【分析】（1）连接 ，由翻折的特点可得 垂直平分 ，则 ，在 中，运用余弦定理可得x，y的关系式；（2）由（1）的关系式，解得x关于y的式子，换元后，运用基本不等式可得所求范围，注意等号成立的条件．
19．【答案】（1）解：∵ 是等差数列， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等比数列，
且 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解： ，
①当 为奇数时，
，
②当 为偶数时，
．
综上所述，
．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由已知可求得等差数列的公差，得到数列 的通项公式，再由 是等比数列，求得公比 ，从而求数列 和 的通项公式；（2）化简 ，分类讨论后利用数列的分组求和以确定数列 的前n项和 ．
20．【答案】（1）解：由题意可得 ， ， ，
解得： ， ，
所以椭圆的方程为： ；
（2）解：由（1）可得 ， ， ，
①因为 为椭圆C上的动点，
点 满足 ，所以 ；
所以
，
所以： ，
所以可证 为定值2．
②由题意设 ，所以 ，
所以直线 的方程为： ，
联立直线 与椭圆的方程：
整理可得： ，
所以 ，所以 ，
同理 ，所以直线 的方程： ，
整理可得： ，
所以 ，所以 ，
因为 为右准线，
所以由到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率 ，
可得：
，
当且仅当 ，即 时取等号．
所以 的最小值为3．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得 又过一点，及 ， ， 之间的关系求出 ， ，进而求出椭圆的方程；（2）①由（1）可得右焦点 ， ， 的坐标，求出向量 的模，及向量 的模可证得 为定值；②由题意方程可得 为右准线，设Q的坐标，求出直线 ， 的直线与椭圆联立求出M，N的横坐标，再由椭圆的性质到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率可得 用M，N的横坐标表示，由均值不等式可得其最小值.
21．【答案】（1）证明：①函数 具有性质 ，
，
因为 ， ，
即 ，
此函数为具有性质 ；
②函数 不具有性质 ，
例如，当 时，
， ，
所以， ，
此函数不具有性质 ．
（2）证明：假设 为 中第一个大于0的值，
则 ，
因为函数 具有性质 ，
所以，对于任意 ，
均有 ，
所以 ，
所以 ，
与 矛盾，
所以，对任意的 有 ．
（3）证明：不成立．
例如，
证明：当x为有理数时， ， 均为有理数，
，
当x为无理数时， ， 均为无理数，
所以，函数 对任意的 ，
均有 ，
即函数 具有性质 ．
而当 且当x为无理数时， ．
所以，在（2）的条件下，
“对任意 均有 ”不成立．
如 ， ，
等．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；反证法
【解析】【分析】（1）①根据已知中函数的解析式，结合指数的运算性质，计算出 的表达式，进而根据基本不等式，判断其符号即可得到结论；②由 ，举出当 时，不满足 ，即可得到结论；（2）由于本题是任意性的证明，从下面证明比较困难，故可以采用反证法进行证明，即假设 为 中第一个大于0的值，由此推理得到矛盾，进而假设不成立，原命题为真；（3）由（2）中的结论，我们可以举出反例，如 ，证明对任意 均有 不成立．
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