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陕西省榆林市2021届高三下学期文数第四次模拟考试试卷
一、单选题
1．（2021·榆林模拟）已知集合 ， ，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2021·榆林模拟）若函数 的最小正周期为 ，则 （　　）
A．1 B．±1 C．2 D．±2
3．（2021·榆林模拟）在 中，若 ，则 （　　）
A． B．
C． D．
4．（2021·榆林模拟）若 、 满足约束条件 ，则 的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2021·榆林模拟）设函数 是定义在R上的偶函数，当 时， ，则不等式 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2021·榆林模拟）某盒子里有若干个蓝色球、紫色球和黑色球，已知从盒中一次性取出3个球都是蓝色球的概率是 ，取出3个球都是紫色球的概率是 ，取出3个球都是黑色球的概率是 ，若从盒中任意取出3个球，则这3个球的颜色不全相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2021·榆林模拟）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： .它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，若带宽W增大到原来的1.1倍，信噪比 从1000提升到16000，则C大约增加了(附： )（　　）
A．21% B．32% C．43% D．54%
8．（2021·广西模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的 （　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
9．（2021·榆林模拟）在三棱柱 中， 为该棱柱的九条棱中某条棱的中点，若 平面 ，则 为（　　）．
A．棱 的中点 B．棱 的中点
C．棱 的中点 D．棱 的中点
10．（2021·榆林模拟）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们研究过图1中的1，3，6，10，…，这样的数称为三角形数；类似地，图2中的1，4，9，16，…，这样的数称为正方形数；图3中的1，5，15，30，…，这样的数称为正五边形数.那么正五边形数的第2021项小石子数是（　　）
A．5×1010×2021 B．5×1010×1011
C．5×1011×2021 D．5×1011×2020
11．（2021·榆林模拟）设函数 的一个极值点为 ，则 （　　）
A． B． C． D．
12．（2021·榆林模拟）过抛物线 的焦点 作直线与抛物线交于 ， 两点，与抛物线的准线交于点 ，且 ， ，则 （　　）
A．3 B．2 C．4 D．6
二、填空题
13．（2021·广西模拟）复数 的实部为　 　.
14．（2021·榆林模拟）双曲线 的离心率为　 　.
15．（2021·榆林模拟）在数列 中， ， ，则 　 　.
16．（2021·榆林模拟）如图，一个有盖圆柱形铁桶的底面直径为 ，高为8，铁桶盖的最大张角为 ，往铁桶内塞入一个木球，则该木球的最大表面积为　 　.
三、解答题
17．（2021·榆林模拟）为了解小学生的体能情况，现抽取某小学六年级100名学生进行跳绳测试，观察记录学生们一分钟内的跳绳个数，将所得的数据整理后画出如图所示的频率分布直方图，跳绳个数落在区间 ， ， 内的频数之比为 .若规定某学生一分钟内的跳绳个数大于或等于105个，则成绩优秀；否则，成绩为非优秀.
附： ， .
0.050 0.025 0.010 0.001
3.841 5.024 6.635 10.828
（1）求这些学生中成绩优秀的人数；
（2）已知这 名小学生中女生占 ，且成绩优秀的女生有10人，请根据以上调查结果将下面的 列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为成绩“优秀”与性别有关.
　 成绩“优秀” 成绩“非优秀” 总计
男生 　 　 　
女生 　 　 　
总计 　 　 　
18．（2021·广西模拟） 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 .
（1）若 ，求 ；
（2）当A取得最大值时，求 的面积.
19．（2021·榆林模拟）如图，在四棱锥 中，四边形 为平行四边形，以 为直径的圆 （ 为圆心）过点 ，且 ， 底面 ， 为 的中点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求四棱锥 的侧面积．
20．（2021·榆林模拟）已知函数 的定义域为 ．
（1）求 的单调区间；
（2）讨论函数 在 上的零点个数
21．（2021·榆林模拟）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，左、右顶点分别为 ， ， ， .
（1）求椭圆 的方程.
（2）过 的直线与椭圆 交于 ， 两点（均不与 ， 重合），直线 与直线 交于 点，证明： ， ， 三点共线.
22．（2021·榆林模拟）在直角坐标系 中，曲线 的方程为 ．
（1）写出曲线 的一个参数方程；
（2）若 ， ，点 为曲线 上的动点，求 的取值范围．
23．（2021·广西模拟）已知函数 .
（1）若 ，证明： .
（2）若关于x的不等式 的解集为 ，求a，b的一组值，并说明你的理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】因为 ， ，所以 .
故答案为：A.
【分析】 分别求出集合A，B，然后结合集合交集运算即可求解.
2．【答案】D
【知识点】正弦函数的周期性
【解析】【解答】∵ 的最小正周期为 ，
∴ ，得 .
故答案为：D.
【分析】 直接利用正弦型函数的周期的运算公式求出结果．
3．【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】如图所示：
因为 ，
所以 ，
，
.
故答案为：C
【分析】 利用三角形法则即可求解.
4．【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】作出不等式组 所表示的可行域如下图所示：
联立 ，解得 ，即点 ，
平移直线 ，当该直线经过可行域的顶点 时，直线 在 轴上的截距最大，此时 取最大值，即 .
故答案为：B.
【分析】 画出约束条件表示的平面区域，将目标函数在不等式组表示的平面区域内平移，找出最优解，计算z的最大值.
5．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：当 时，由 ，得 .
又因为函数 为偶函数，所以不等式 的解集为 .
故答案为：D.
【分析】 根据题意，由函数的解析式可得f（x）在区间[0，+∞）上为增函数，由，结合函数的奇偶性可解可得x的取值范围，即可得答案．
6．【答案】B
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】∵“3个球的颜色不全相同”的对立事件为“3个球恰好是同一颜色”，而任意取出3个球恰好是同一颜色的概率 ，
∴所求概率为 .
故答案为：B.
【分析】由所求事件的对立事件为“3个球恰好是同一颜色”，利用对立事件概率公式求概率即可。
7．【答案】D
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】解：由题意 ，所以C大约增加了54%.
故答案为：D.
【分析】 利用香农公式分别计算出信噪比为1000和16000时的C的值，再利用对数的运算性质求出C的比值即可得到结果．
8．【答案】C
【知识点】程序框图
【解析】【解答】第一次执行程序 ， ；
第二次执行程序 ， ；
第三次执行程序 ， ；
第四次执行程序 ， ，跳出循环输出 ，
故输出的 .
故答案为：C
【分析】根据题意由程序框图的循环，代入数值验证即可得出满足题意的输出值.
9．【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】如图，
当 为棱 的中点时，取 的中点 ，
,
平面 平面 ，又 平面
则 平面 .
故答案为：B
【分析】根据棱柱的结构特征，即可得出答案。
10．【答案】A
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】设正五边形数构成数列 ，则 ， ，且当 时， ，
于是 ，
故 .
故答案为：A.
【分析】根据图中的结构特征得出 ， ，即可求出正五边形数的第2021项小石子数。
11．【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由 ，得 ，所以 ，
故 .
故答案为：B.
【分析】由 ，得 ， ，再根据两角和的正切公式即可得出答案。
12．【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：如图，设准线为 ， 与 轴交点为H，过 作 于 ，过 作 于 .
，
是 的中点，所以 .
在 中，
，
，即 .
在 中，
， ，
，且 ，
，即 ，解得 .
故答案为：A.
【分析】 画出图形，利用已知条件，结合抛物线的性质，通过比例关系，转化求解p即可.
13．【答案】-9
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ，因此，复数 的实部为-9.
故答案为：-9.
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的概念即可得出答案。
14．【答案】6
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线 可得 ， ，所以 ，
所以离心率 .
故答案为：6
【分析】 根据已知求出双曲线 的标准方程，进而得到a，c的值，代入可得双曲线的离心率
15．【答案】
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】依题意可得数列 是首项为2，公比为2的等比数列，则 ，所以 .
故答案为： .
【分析】依题意可得数列 是首项为2，公比为2的等比数列，即可得出an
16．【答案】36π
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】如图，球 与铁桶盖的切点为铁桶盖所在圆的圆心 ，
设球 与铁桶上底面圆的切点为 ，连接 ，则 为球 的一条直径，且 ，
点 到铁盖中心 的距离恰好是球最大的直径，
因为 ， ，则 ，即球最大的半径为 ，
此时木球的表面积为 .
故答案为：36π.
【分析】 点B到铁盖中心O1的距离恰好是最大球的直径，求出最大球的半径，由此能求出该木球的表面积。
17．【答案】（1）解：设区间 内的频率为 ，则 ， 内的频率分别为 和 ，
，解得： .
区间 和 内的频率为 和 ，
这些学生中成绩优秀的人数为 .
（2）解：由题意知：女生有 人，男生有 人，
可得 列联表如下：
　 成绩“优秀” 成绩“非优秀” 总计
男生 5 35 40
女生 10 50 60
总计 15 85 100
，
没有95%的把握认为成绩“优秀”与性别有关.
【知识点】频率分布直方图；独立性检验的基本思想
【解析】【分析】（1） 设区间 内的频率为 ，根据频率和为1可构造方程求得x，由此确定区间 和 内的频率，由此计算得到成绩优秀的人数；
（2）计算可得男女生的人数，由此可得列联表，根据列联表计算可得 ，由此可得结论。
18．【答案】（1）解：由正弦定理 ，得 ，解得
所以 .
（2）解：由余弦定理得 .
因为 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，则 ，则A的最大值为 .
此时， 的面积 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意由正弦定理整理得出sinB的值，再由二倍角的余弦公式计算出答案即可。
(2)根据题意由余弦定理代入数据得到关于c的等式，再由基本不等式求出cosA的最大值，从而求出三角形的面积值即可。
19．【答案】（1）证明：由题意知点 为圆 上一点，则 .
由 底面 ，知 .又 ，因此 平面 ，
则 ，又 ，则 .
因为 ， 为 的中点，所以 .
又 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）解：由（1）知 平面 ，所以 ，
， ，
因此， .
因为 ， ， 分别为 ， 的中点，所以 .
设 边的高为 ，则 ， .
又因为 ， ，所以 .
由 ，可得 ，
得 .
故四棱锥 的侧面积 .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1） 由题意知点 为圆 上一点，则 ，由 底面 得 ，进而得 平面 ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；
（2） 由（1）知 平面 ，所以 ， 设 边的高为 ，则 ， 根据等体积法即可得出四棱锥 的侧面积 。
20．【答案】（1）解： ，
因为 ，所以 的零点为0和1.
令 ，得 ；令 ，得 或 .
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， .
（2）解：由（1）知， 在 上的极大值为 ，
极小值为 ，
因为 ， ，所以 .
，由 ，得 .
当 或 时， 的零点个数为0；
当 或 时， 的零点个数为1；
当 或 时， 的零点个数为2；
当 时， 的零点个数为3.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点
【解析】【分析】（1）对函数求导即可得出 的单调区间；
（2） 由（1）知， 在 上的极大值为 ，极小值为 ， 由 ，得 ，分 或 ， 或 ， ， 或 ， ，五种情况讨论 的零点个数。
21．【答案】（1）解：由 ，即 ，又 ，即 .
∴ ，故椭圆 的方程为 .
（2）解：可设直线 的方程为 ， ， ，
联立方程 ，得 且 ，
∴ ， ，而直线 的方程为 ，
∴令 ，得 ，则有 ， ，
又∵ ，
∴ ，而 ，
∴ ， ， 三点共线.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）据已知条件可得a，c的值，再根据 ，即可求出椭圆C的方程；
（2） 可设直线 的方程为 ， ， ，直线与椭圆方程联立，根据根与系数的关系可得 ， ，可得直线 的方程为 ， 令 ，得 ，则有 ， ， 根据向量的共线定理可得 ，进而得出 ， ， 三点共线.
22．【答案】（1）解：由 ，得 ，
整理得 ， ，
所以曲线 的一个参数方程为 ( 为参数，且 )；
（2）解：由（1）可设点P的坐标为 ， .
因为 ， ，所以 ，
， ,
所以 ， ，
所以 .
因为 ，即 ，
所以当 时， 最大为 ，当 时， 最小为 ，
即 ，故 ，
故 的取值范围是 .
【知识点】平面向量的坐标运算；正弦函数的单调性；圆的参数方程
【解析】【分析】（1）由已知可得 ， ， 根据曲线的参数方程可得；
（2） 由（1）可设点P的坐标为 ， ，可得
， ，，根据向量的坐标运算可得 ，根据正弦函数的性质求出 的取值范围 。
23．【答案】（1）解： .
因为 ，
所以 ，
当 时， 取得最小值1，
故 ， ， .
（2）解：依题意可得 ，
即 ，
不妨取 ，则 .
下面证明 的解集为 .
证明：当 时， ，则 ，又 ，
所以 .
当 时， 显然成立，所以 .
当 时， ，则 ，又 ，所以 .
所以 的解集为 ，
A，b的一组值为0，5.
【知识点】函数的最大（小）值；绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法
【解析】【分析】(1)首先由绝对值的几何意义整理得到再结合二次函数的性质即可求出最小值，从而得证出结论成立。
(2)首先由绝对值的几何意义整理求出a与b的值，由此得出不等式 结合已知条件由绝对值不等式的解法求解出答案，由此即可得证出结论成立。
1 / 1陕西省榆林市2021届高三下学期文数第四次模拟考试试卷
一、单选题
1．（2021·榆林模拟）已知集合 ， ，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】因为 ， ，所以 .
故答案为：A.
【分析】 分别求出集合A，B，然后结合集合交集运算即可求解.
2．（2021·榆林模拟）若函数 的最小正周期为 ，则 （　　）
A．1 B．±1 C．2 D．±2
【答案】D
【知识点】正弦函数的周期性
【解析】【解答】∵ 的最小正周期为 ，
∴ ，得 .
故答案为：D.
【分析】 直接利用正弦型函数的周期的运算公式求出结果．
3．（2021·榆林模拟）在 中，若 ，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】如图所示：
因为 ，
所以 ，
，
.
故答案为：C
【分析】 利用三角形法则即可求解.
4．（2021·榆林模拟）若 、 满足约束条件 ，则 的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】作出不等式组 所表示的可行域如下图所示：
联立 ，解得 ，即点 ，
平移直线 ，当该直线经过可行域的顶点 时，直线 在 轴上的截距最大，此时 取最大值，即 .
故答案为：B.
【分析】 画出约束条件表示的平面区域，将目标函数在不等式组表示的平面区域内平移，找出最优解，计算z的最大值.
5．（2021·榆林模拟）设函数 是定义在R上的偶函数，当 时， ，则不等式 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：当 时，由 ，得 .
又因为函数 为偶函数，所以不等式 的解集为 .
故答案为：D.
【分析】 根据题意，由函数的解析式可得f（x）在区间[0，+∞）上为增函数，由，结合函数的奇偶性可解可得x的取值范围，即可得答案．
6．（2021·榆林模拟）某盒子里有若干个蓝色球、紫色球和黑色球，已知从盒中一次性取出3个球都是蓝色球的概率是 ，取出3个球都是紫色球的概率是 ，取出3个球都是黑色球的概率是 ，若从盒中任意取出3个球，则这3个球的颜色不全相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】∵“3个球的颜色不全相同”的对立事件为“3个球恰好是同一颜色”，而任意取出3个球恰好是同一颜色的概率 ，
∴所求概率为 .
故答案为：B.
【分析】由所求事件的对立事件为“3个球恰好是同一颜色”，利用对立事件概率公式求概率即可。
7．（2021·榆林模拟）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： .它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，若带宽W增大到原来的1.1倍，信噪比 从1000提升到16000，则C大约增加了(附： )（　　）
A．21% B．32% C．43% D．54%
【答案】D
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】解：由题意 ，所以C大约增加了54%.
故答案为：D.
【分析】 利用香农公式分别计算出信噪比为1000和16000时的C的值，再利用对数的运算性质求出C的比值即可得到结果．
8．（2021·广西模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的 （　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【知识点】程序框图
【解析】【解答】第一次执行程序 ， ；
第二次执行程序 ， ；
第三次执行程序 ， ；
第四次执行程序 ， ，跳出循环输出 ，
故输出的 .
故答案为：C
【分析】根据题意由程序框图的循环，代入数值验证即可得出满足题意的输出值.
9．（2021·榆林模拟）在三棱柱 中， 为该棱柱的九条棱中某条棱的中点，若 平面 ，则 为（　　）．
A．棱 的中点 B．棱 的中点
C．棱 的中点 D．棱 的中点
【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】如图，
当 为棱 的中点时，取 的中点 ，
,
平面 平面 ，又 平面
则 平面 .
故答案为：B
【分析】根据棱柱的结构特征，即可得出答案。
10．（2021·榆林模拟）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们研究过图1中的1，3，6，10，…，这样的数称为三角形数；类似地，图2中的1，4，9，16，…，这样的数称为正方形数；图3中的1，5，15，30，…，这样的数称为正五边形数.那么正五边形数的第2021项小石子数是（　　）
A．5×1010×2021 B．5×1010×1011
C．5×1011×2021 D．5×1011×2020
【答案】A
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】设正五边形数构成数列 ，则 ， ，且当 时， ，
于是 ，
故 .
故答案为：A.
【分析】根据图中的结构特征得出 ， ，即可求出正五边形数的第2021项小石子数。
11．（2021·榆林模拟）设函数 的一个极值点为 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由 ，得 ，所以 ，
故 .
故答案为：B.
【分析】由 ，得 ， ，再根据两角和的正切公式即可得出答案。
12．（2021·榆林模拟）过抛物线 的焦点 作直线与抛物线交于 ， 两点，与抛物线的准线交于点 ，且 ， ，则 （　　）
A．3 B．2 C．4 D．6
【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：如图，设准线为 ， 与 轴交点为H，过 作 于 ，过 作 于 .
，
是 的中点，所以 .
在 中，
，
，即 .
在 中，
， ，
，且 ，
，即 ，解得 .
故答案为：A.
【分析】 画出图形，利用已知条件，结合抛物线的性质，通过比例关系，转化求解p即可.
二、填空题
13．（2021·广西模拟）复数 的实部为　 　.
【答案】-9
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ，因此，复数 的实部为-9.
故答案为：-9.
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的概念即可得出答案。
14．（2021·榆林模拟）双曲线 的离心率为　 　.
【答案】6
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线 可得 ， ，所以 ，
所以离心率 .
故答案为：6
【分析】 根据已知求出双曲线 的标准方程，进而得到a，c的值，代入可得双曲线的离心率
15．（2021·榆林模拟）在数列 中， ， ，则 　 　.
【答案】
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】依题意可得数列 是首项为2，公比为2的等比数列，则 ，所以 .
故答案为： .
【分析】依题意可得数列 是首项为2，公比为2的等比数列，即可得出an
16．（2021·榆林模拟）如图，一个有盖圆柱形铁桶的底面直径为 ，高为8，铁桶盖的最大张角为 ，往铁桶内塞入一个木球，则该木球的最大表面积为　 　.
【答案】36π
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】如图，球 与铁桶盖的切点为铁桶盖所在圆的圆心 ，
设球 与铁桶上底面圆的切点为 ，连接 ，则 为球 的一条直径，且 ，
点 到铁盖中心 的距离恰好是球最大的直径，
因为 ， ，则 ，即球最大的半径为 ，
此时木球的表面积为 .
故答案为：36π.
【分析】 点B到铁盖中心O1的距离恰好是最大球的直径，求出最大球的半径，由此能求出该木球的表面积。
三、解答题
17．（2021·榆林模拟）为了解小学生的体能情况，现抽取某小学六年级100名学生进行跳绳测试，观察记录学生们一分钟内的跳绳个数，将所得的数据整理后画出如图所示的频率分布直方图，跳绳个数落在区间 ， ， 内的频数之比为 .若规定某学生一分钟内的跳绳个数大于或等于105个，则成绩优秀；否则，成绩为非优秀.
附： ， .
0.050 0.025 0.010 0.001
3.841 5.024 6.635 10.828
（1）求这些学生中成绩优秀的人数；
（2）已知这 名小学生中女生占 ，且成绩优秀的女生有10人，请根据以上调查结果将下面的 列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为成绩“优秀”与性别有关.
　 成绩“优秀” 成绩“非优秀” 总计
男生 　 　 　
女生 　 　 　
总计 　 　 　
【答案】（1）解：设区间 内的频率为 ，则 ， 内的频率分别为 和 ，
，解得： .
区间 和 内的频率为 和 ，
这些学生中成绩优秀的人数为 .
（2）解：由题意知：女生有 人，男生有 人，
可得 列联表如下：
　 成绩“优秀” 成绩“非优秀” 总计
男生 5 35 40
女生 10 50 60
总计 15 85 100
，
没有95%的把握认为成绩“优秀”与性别有关.
【知识点】频率分布直方图；独立性检验的基本思想
【解析】【分析】（1） 设区间 内的频率为 ，根据频率和为1可构造方程求得x，由此确定区间 和 内的频率，由此计算得到成绩优秀的人数；
（2）计算可得男女生的人数，由此可得列联表，根据列联表计算可得 ，由此可得结论。
18．（2021·广西模拟） 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 .
（1）若 ，求 ；
（2）当A取得最大值时，求 的面积.
【答案】（1）解：由正弦定理 ，得 ，解得
所以 .
（2）解：由余弦定理得 .
因为 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，则 ，则A的最大值为 .
此时， 的面积 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意由正弦定理整理得出sinB的值，再由二倍角的余弦公式计算出答案即可。
(2)根据题意由余弦定理代入数据得到关于c的等式，再由基本不等式求出cosA的最大值，从而求出三角形的面积值即可。
19．（2021·榆林模拟）如图，在四棱锥 中，四边形 为平行四边形，以 为直径的圆 （ 为圆心）过点 ，且 ， 底面 ， 为 的中点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求四棱锥 的侧面积．
【答案】（1）证明：由题意知点 为圆 上一点，则 .
由 底面 ，知 .又 ，因此 平面 ，
则 ，又 ，则 .
因为 ， 为 的中点，所以 .
又 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）解：由（1）知 平面 ，所以 ，
， ，
因此， .
因为 ， ， 分别为 ， 的中点，所以 .
设 边的高为 ，则 ， .
又因为 ， ，所以 .
由 ，可得 ，
得 .
故四棱锥 的侧面积 .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1） 由题意知点 为圆 上一点，则 ，由 底面 得 ，进而得 平面 ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；
（2） 由（1）知 平面 ，所以 ， 设 边的高为 ，则 ， 根据等体积法即可得出四棱锥 的侧面积 。
20．（2021·榆林模拟）已知函数 的定义域为 ．
（1）求 的单调区间；
（2）讨论函数 在 上的零点个数
【答案】（1）解： ，
因为 ，所以 的零点为0和1.
令 ，得 ；令 ，得 或 .
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， .
（2）解：由（1）知， 在 上的极大值为 ，
极小值为 ，
因为 ， ，所以 .
，由 ，得 .
当 或 时， 的零点个数为0；
当 或 时， 的零点个数为1；
当 或 时， 的零点个数为2；
当 时， 的零点个数为3.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点
【解析】【分析】（1）对函数求导即可得出 的单调区间；
（2） 由（1）知， 在 上的极大值为 ，极小值为 ， 由 ，得 ，分 或 ， 或 ， ， 或 ， ，五种情况讨论 的零点个数。
21．（2021·榆林模拟）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，左、右顶点分别为 ， ， ， .
（1）求椭圆 的方程.
（2）过 的直线与椭圆 交于 ， 两点（均不与 ， 重合），直线 与直线 交于 点，证明： ， ， 三点共线.
【答案】（1）解：由 ，即 ，又 ，即 .
∴ ，故椭圆 的方程为 .
（2）解：可设直线 的方程为 ， ， ，
联立方程 ，得 且 ，
∴ ， ，而直线 的方程为 ，
∴令 ，得 ，则有 ， ，
又∵ ，
∴ ，而 ，
∴ ， ， 三点共线.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）据已知条件可得a，c的值，再根据 ，即可求出椭圆C的方程；
（2） 可设直线 的方程为 ， ， ，直线与椭圆方程联立，根据根与系数的关系可得 ， ，可得直线 的方程为 ， 令 ，得 ，则有 ， ， 根据向量的共线定理可得 ，进而得出 ， ， 三点共线.
22．（2021·榆林模拟）在直角坐标系 中，曲线 的方程为 ．
（1）写出曲线 的一个参数方程；
（2）若 ， ，点 为曲线 上的动点，求 的取值范围．
【答案】（1）解：由 ，得 ，
整理得 ， ，
所以曲线 的一个参数方程为 ( 为参数，且 )；
（2）解：由（1）可设点P的坐标为 ， .
因为 ， ，所以 ，
， ,
所以 ， ，
所以 .
因为 ，即 ，
所以当 时， 最大为 ，当 时， 最小为 ，
即 ，故 ，
故 的取值范围是 .
【知识点】平面向量的坐标运算；正弦函数的单调性；圆的参数方程
【解析】【分析】（1）由已知可得 ， ， 根据曲线的参数方程可得；
（2） 由（1）可设点P的坐标为 ， ，可得
， ，，根据向量的坐标运算可得 ，根据正弦函数的性质求出 的取值范围 。
23．（2021·广西模拟）已知函数 .
（1）若 ，证明： .
（2）若关于x的不等式 的解集为 ，求a，b的一组值，并说明你的理由.
【答案】（1）解： .
因为 ，
所以 ，
当 时， 取得最小值1，
故 ， ， .
（2）解：依题意可得 ，
即 ，
不妨取 ，则 .
下面证明 的解集为 .
证明：当 时， ，则 ，又 ，
所以 .
当 时， 显然成立，所以 .
当 时， ，则 ，又 ，所以 .
所以 的解集为 ，
A，b的一组值为0，5.
【知识点】函数的最大（小）值；绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法
【解析】【分析】(1)首先由绝对值的几何意义整理得到再结合二次函数的性质即可求出最小值，从而得证出结论成立。
(2)首先由绝对值的几何意义整理求出a与b的值，由此得出不等式 结合已知条件由绝对值不等式的解法求解出答案，由此即可得证出结论成立。
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