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初二数学期中复习专题一：动点问题
3、动点中的旋转问题
1、如图，在等边△ABC
中，AC＝9，点
O
在
AC
上，且
AO＝3，点
P
是
AB
上一动点，连接
OP，将线段
OP
绕点
O
逆时针旋转
60°得到线段
OD．要使点
D
恰好落在
BC
上，则
AP
的长是
．
2、如图所示：一副三角板如图放置，等腰直角三角板
ABC
固定不动，另一块三角板的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点
D
处，且可以绕点
D
旋转，在旋转过程中，两直角边的交点
G、H
始终在边
AB、BC
上．
在旋转过程中线段
BG
和
CH
大小有何关系？证明你的结论．
若
AB＝BC＝4cm，在旋转过程中四边形
GBHD
的面积是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的取值范围．
若交点
G、H
分别在边
AB、BC
的延长线上，则（1）中的结论仍然成立吗？请画出相应的图形，
直接写出结论．
3、如图
1，已知△ABC
是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点
D
是
BC
的中点．作正方形
DEFG，使点A、C
分别在
DG
和
DE
上，连接
AE，BG．
试猜想线段
BG
和
AE
的数量关系是
；
将正方形
DEFG
绕点
D
逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），
①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图
2
证明你的结论；
②若
BC＝DE＝4，当
AE
取最大值时，求
AF
的值．
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4、点的移动问题
4、如图
1，在△ABC
中，点
P
为
BC
边中点，直线
a
绕顶点
A
旋转，若
B、P
在直线
a
的异侧，BM⊥直线
a
于点
M，CN⊥直线
a
于点
N，连接
PM、PN；
延长
MP
交
CN
于点
E（如图
2），①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PM＝PN；
若直线
a
绕点
A
旋转到图
3
的位置时，点
B、P
在直线
a
的同侧，其它条件不变，此时
PM＝PN
还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
5、在△ABC
中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点
D
从点
B
出发沿射线
BC
移动，以
AD
为边在
AB
的右侧作△ADE，且∠DAE＝90°，AD＝AE．连接
CE．
如图
1，若点
D
在
BC
边上，则∠BCE＝
°；
如图
2，若点
D
在
BC
的延长线上运动．
①∠BCE
的度数是否发生变化？请说明理由；
②若
BC＝3，CD＝6，则△ADE
的面积为
．
6、在△ABC
中，AB＝AC，点
D
是直线
BC
上一点（不与
B、C
重合），以
AD
为一边在
AD
的右侧作△
ADE，使
AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接
CE．
如图
1，当点
D
在线段
BC
上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝
度；
设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
①如图
2，当点
D
在线段
BC
上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点
D
在直线
BC
上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
7、一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形
DEFH
的边长为
1
米，∠B＝90°，BC＝
4
米，AC＝8
米，当正方形
DEFH
运动到什么位置时，即当
AE＝
米时，有
DC2＝AE2+BC2．
8、【新知学习】
如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”．
【简单运用】
下列三个三角形，是智慧三角形的是
（填序号）；
如图
1，已知等边三角形
ABC，请用刻度尺在该三角形边上找出所有满足条件的点
D，使△ABD
为“智慧三角形”，并写出作法；
【深入探究】
如图
2，在正方形
ABCD
中，点
E
是
BC
的中点，F
是
CD
上一点，且
CF＝
CD，试判断△AEF
是否为“智慧三角形”，并说明理由；
【灵活应用】
如图
3，等边三角形
ABC
边长
5cm．若动点
P
以
1cm/s
的速度从点
A
出发，沿△ABC
的边
AB﹣
BC﹣CA
运动．若另一动点
Q
以
2cm/s
的速度从点
B
出发，沿边
BC﹣CA﹣AB
运动，两点同时出发，
当点
Q
首次回到点
B
时，两点同时停止运动．设运动时间为
t（s），那么
t
为
．
（s）时，△PBQ为“智慧三角形”．
动点问题压轴题
1、【解答】解：∵∠A+∠APO＝∠POD+∠COD，∠A＝∠POD＝60°，
∴∠APO＝∠COD，
在△APO
和△COD
中，
，
∴△APO≌△COD（AAS），即
AP＝CO，
∵CO＝AC﹣AO＝6，
∴AP＝6．
故答案为
6．
2、【解答】解：（1）BG
和
CH
为相等关系，如图
1，连接
BD，
∵等腰直角三角形
ABC，D
为
AC
的中点，
∴DB＝DC＝DA，∠A＝∠DBH＝45°，BD⊥AC，
∵∠EDF＝90°，
∴∠ADG+∠GDB＝90°，
∴∠BDG+∠BDH＝90°，
∴∠ADG＝∠HDB，
∴在△ADG
和△BDH
中，
，
∴△ADG≌△BDH（ASA），
∴AG＝BH，
∵AB＝BC，
∴BG＝HC，
∵等腰直角三角形
ABC，D
为
AC
的中点，
∴DB＝DC＝DA，∠DBG＝∠DCH＝45°，BD⊥AC，
∵∠GDH＝90°，
∴∠GDB+∠BDH＝90°，
∴∠CDH+∠BDH＝90°，
∴∠BDG＝∠HDC，
∴在△BDG
和△CDH
中，
，
∵△BDG≌△CDH（ASA），
∴S
四边形
DGBH＝S△BDH+S△GDB＝S△ABD，
∵DA＝DC＝DB，BD⊥AC，
∴S△ABD＝
S△ABC，
∴S
四边形
DGBH＝S△ABC＝4cm2，
∴在旋转过程中四边形
GBHD
的面积不变，
当三角板
DEF
旋转至图
2
所示时，（1）的结论仍然成立，如图
2，连接
BD，
∵BD⊥AC，AB⊥BH，ED⊥DF，
∴∠BDG＝90°﹣∠CDG，∠CDH＝90°﹣∠CDG，
∴∠BDG＝∠CDH，
∵等腰直角三角形
ABC，
∴∠DBC＝∠BCD＝45°，
∴∠DBG＝∠DCH＝135°，
∴在△DBG
和△DCH
中，
，
∴△DBG≌△DCH（ASA），
∴BG＝CH．
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3、.【分析】（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG
就可以得出结论；
（2）①如图
2，连接
AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG
就可以得出结论；
②由①可知
BG＝AE，当
BG
取得最大值时，AE
取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．
【解答】解：（1）BG＝AE．
理由：如图
1，∵△ABC
是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点
D
是
BC
的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵四边形
DEFG
是正方形，
∴DE＝DG．
在△BDG
和△ADE
中，
，
∴△ADE≌△BDG（SAS），
∴BG＝AE．
故答案为：BG＝AE；
（2）①成立
BG＝AE．
理由：如图
2，连接
AD，
∵在
Rt△BAC
中，D
为斜边
BC
中点，
∴AD＝BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB＝90°．
∵四边形
EFGD
为正方形，
∴DE＝DG，且∠GDE＝90°，
∴∠ADG+∠ADE＝90°，
∴∠BDG＝∠ADE．
在△BDG
和△ADE
中，
，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG＝AE；
②∵BG＝AE，
∴当
BG
取得最大值时，AE
取得最大值．
如图
3，当旋转角为
270°时，BG＝AE．
∵BC＝DE＝4，
∴BG＝2+4＝6．
∴AE＝6．
在
Rt△AEF
中，由勾股定理，得
AF＝
＝
，
∴AF＝2
．
4、【解答】证明：（1）①如图
2：
∵BM⊥直线
a
于点
M，CN⊥直线
a
于点
N，
∴∠BMA＝∠CNM＝90°，
∴BM∥CN，
∴∠MBP＝∠ECP，
又∵P
为
BC
边中点，
∴BP＝CP，
在△BPM
和△CPE
中，
，
∴△BPM≌△CPE，（ASA）
②∵△BPM≌△CPE，
∴PM＝PE∴PM＝
ME，
∴在
Rt△MNE
中，PN＝ME，
∴PM＝PN；
（2）成立，如图
3．
延长
MP
与
NC
的延长线相交于点
E，
∵BM⊥直线
a
于点
M，CN⊥直线
a
于点
N，
∴∠BMN＝∠CNM＝90°∴∠BMN+∠CNM＝180°，
∴BM∥CN∴∠MBP＝∠ECP，
又∵P
为
BC
中点，
∴BP＝CP，
在△BPM
和△CPE
中，
，
∴△BPM≌△CPE，（ASA）
∴PM＝PE，
∴PM＝
ME，
则
Rt△MNE
中，PN＝ME，
∴PM＝PN．
5、【解答】解：（1）∵△ABC
和△ADE
都是等腰
Rt△，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE．
在△ACE
和△ABD
中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS）；
∴∠ACE＝∠ABD＝45°，
∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45°＝90°；
故答案为：90；
（2）①不发生变化．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ACE
和△ABD
中
∴△ACE≌△ABD（SAS）
∴∠ACE＝∠ABD＝45°
∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45°＝90°
∴∠BCE
的度数不变，为
90°；
②
117
4
6、【解答】解：（1）90°．
理由：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD
与△ACE
中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE＝∠B+∠ACB，
又∵∠BAC＝90°
∴∠BCE＝90°；
（2）①α+β＝180°，
理由：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC．
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD
与△ACE
中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．
∴∠B+∠ACB＝β，
∵α+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+β＝180°；
②当点
D
在射线
BC
上时，α+β＝180°；
理由：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵在△ABD
和△ACE
中
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA＝180°，
∴∠BAC+∠BCE＝∠BAC+∠BCA+∠ACE＝∠BAC+∠BCA+∠B＝180°，
∴α+β＝180°；
当点
D
在射线
BC
的反向延长线上时，α＝β．
理由：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵在△ADB
和△AEC
中，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC＝∠BCE，
即α＝β．
7、【解答】解：如图，连接
CD，
假设
AE＝x，可得
EC＝8﹣x．
∵正方形
DEFH
的边长为
1
米，即
DE＝1
米，
∴DC2＝DE2+EC2＝1+（8﹣x）2，
AE2+BC2＝x2+16，
∵DC2＝AE2+BC2，
∴1+（8﹣x）2＝x2+16，
解得：x＝
，
所以，当
AE＝米时，有
DC2＝AE2+BC2．
故答案是：
．
8、【解答】解：（1）因为直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，所以①是“智慧三角形”．故答案为①
用刻度尺分别量取
AC、BC
的中点
D、D′．
点
D、D′即为所求．
结论：△AEF
是“智慧三角形“．
理由如下：如图，设正方形的边长为
4a
∵E
是
BC
的中点
∴BE＝EC＝2a，
∵CF＝
CD
∴FC＝a，DF＝4a﹣a＝3a，
在
Rt△ABE
中，AE2＝（4a）2+（2a）2＝20a2
在
Rt△ECF
中，EF2＝（2a）2+a2＝5a2
在
Rt△ADF
中，AF2＝（4a）2+（3a）2＝25a2
∴AE2+EF2＝AF2
∴△AEF
是直角三角形，∠AEF＝90°
∵直角三角形斜边
AF
上的中线等于
AF
的一半
∴△AEF
为“智慧三角形”．
如图
3
中，
①当点
P
在线段
AB
上，点
Q
在线段
BC
上时，若∠PQB＝90°，则
BP＝2BQ，
∴5﹣t＝4t，
解得
t＝1．
若∠BPQ＝90°，则
BQ＝2PB，
∴2t＝2（5﹣t）
∴t＝
．
②当点
Q
在线段
AC
上时，不存在“智慧三角形”．
③当点
P
在线段
BC
上，点
Q
在线段
AB
上时，若∠PQB＝90°，则
BP＝2BQ，
∴t﹣5＝2（15﹣2t），
∴t＝7，
若∠QPB＝90°，则
BQ＝2PB，
∴15﹣2t＝2（t﹣5），
∴t＝
，
综上所述，满足条件的
t
的值为
1
或或
或
7．
故答案为
1
或
或
或
7．

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