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【决胜中考】2019年浙江省湖州市中考数学冲刺卷03
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分)
1．在数轴上表示－1的点与表示3的点之间的距离是( )
A．4 B．－4 C．2 D．－2
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列式子正确的是（　　）
A．（2a2）3＝6a6 B．2a2×a4＝2a8
C．（a+2）2＝a2+4 D．a﹣2＝
4．下列说法中正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
C．直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中最短线段的长度是3cm，则点A到直线c的距离是3cm
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
5．设m＞n＞0，m2＋n2＝4mn，则的值等于（ ）
A．2 B． C． D．3
6．如图，是一个中心对称图形的一部分，点是对称中心，点和点是一对对应点，，那么将这个图形补成一个完整的图形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
7．菲尔兹奖(Fields Medal)是享有崇高声誉的数学大奖，每四年颁奖一次，颁给二至四名成就显著的年轻数学家，下面是对截至2015年56名获奖者的年龄进行统计得到的统计图．则下列说法中正确的是( )
A．平均年龄是37.5岁 B．中位数年龄位于33.5－36.5岁
C．众数年龄位于36.5－39.5岁 D．以上选项都不正确
8．如图，为测楼房的高，在距楼房50米的处，测得楼顶的仰角为，则楼房的高为( )
A．米 B．米 C．米 D．米
9．在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t（秒）．设△OMN的面积为S，那么能反映S与t之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
10．长为8，宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从(0，3)点出发，沿图中所示的箭头方向运动，到(3，0)点时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2018次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为(　　)
A．(1，4) B．(8，3) C．(7，4) D．(3，0)
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分)
11．已知4x2－mxy＋9y2是一个完全平方式，求m的值．
12．李老师为了了解学生的数学周考成绩，在班级随机抽查了10名学生的成绩，其统计数据如下表：
分数（单位:分）
126
132
136
138
142
人数
1
4
2
1
2
则这10名学生的数学周考成绩的中位数是________分．
13．若 x=m 是方程 x2+2x﹣4=0 的解，则 3m2+6m﹣5 的值是______．
14．如图，已知△ABC的周长是16，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D且OD=2，△ABC的面积是________________.
15．已知关于的方程的两个实数根互为倒数，则的值为________．
16．如图，点D为边AB的中点，DE∥BC，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=50°，则∠EDF=_______，∠BDF=_______，若AB=10cm，则FD= ________cm。
三、解答题（本题有8小题，共66分)
17．（1）sin30°+tan60°?cos45°+tan30°．
（2） ()－1＋|1－|－2sin60°＋(π－2017)0－.
18．如图是芳芳设计的自由转动的转盘，上面写有10个有理数。想想看，转得下列各数的概率是多少？
（1）转得正数；
（2）转得整数；
（3）转得绝对值小于6的数。
19．如图OA，OB是两条射线，点C，D分别在射线OA，OB上.
（1）求作⊙P，使它与OA，OB，CD都相切.（使用直尺、圆规、直角板作图并保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，∠DOC=30°，求∠DPC的度数.
20．如图，足球场上守门员在O处踢出一高球，球从离地面1m的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6m的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面有4m高，球落地后又一次弹起，第二个落点为D，据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式；
（2）求足球第一次落地点C处距守门员有多少米？（取≈1.7）
（3）运动员乙要抢到第二个落点D处的球，他应再向前跑多少米？（取≈2.5）
21．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD.
(1)求证：OP⊥CD；
(2)连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．
22．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BA向终点A运动，设运动时间为t秒.
⑴当t为何值时，四边形PQBC为平行四边形时？
⑵在整个运动过程中，当t为何值时，以点C、P、Q为顶点的三角形是直角三角形？
23．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴、轴交于两点，过作垂直于轴于点.已知.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）观察图象:当时，比较.

24．如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．
（1）证明：△PCE是等腰三角形；
（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；
（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．

【决胜中考】2019年浙江省湖州市中考数学冲刺卷03试卷
答题卡
姓名：______________班级：______________
准考证号
选择题（请用2B铅笔填涂）
１、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
２、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
３、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
４、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
５、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
６、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
７、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
８、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
９、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
10、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
非选择题（请在各试题的答题区内作答）
11题、
12题、
13题、
14题、
15题、
16题、
17题、
18题、

19题、
20题、

21题、

22题、
23题、
24题、

【决胜中考】2019年浙江省湖州市中考数学冲刺卷03
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分)
1．（本题3分）在数轴上表示－1的点与表示3的点之间的距离是( )
A．4 B．－4 C．2 D．－2
【考点】数轴上两点间的距离
【分析】可借助数轴直接得结论，亦可用右边点表示的数减去左边点表示的数得结论
解：表示-1的点与表示3的点间距离为：3-（-1）=4．
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上两点间的距离=右边点表示的数-左边点表示的数．
2．（本题3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形与轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误．故选A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．（本题3分）下列式子正确的是（　　）
A．（2a2）3＝6a6 B．2a2×a4＝2a8
C．（a+2）2＝a2+4 D．a﹣2＝
【考点】积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，负整数幂
【分析】根据积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式和负整数幂解答即可．
解：A、（2a2）3＝8a6，错误；
B、2a2×a4＝2a6，错误；
C、（a+2）2＝a2+4a+4，错误；
D、a﹣2＝，正确；
故选：D．
【点睛】此题考查积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式和负整数幂，关键是根据积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式和负整数幂法则解答．
4．（本题3分）下列说法中正确的是（ ）。
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
C．直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中最短线段的长度是3cm，则点A到直线c的距离是3cm
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【考点】平行公理，垂线，垂线段，点到直线的距离
【分析】根据各选项所涉及的相关数学知识进行分析判断即可.
解：A选项中，因为“在同一平面中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，所以A中说法错误；
B选项中，因为“直线外一点到直线的垂线段的长度叫做这点到这条直线的距离”，所以B中说法错误；
C选项中，说法“直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中最短线段的长度是3cm，则点A到直线c的距离是3cm”是正确的；
D选项中，因为“当点在直线上时，过这点无法作已知直线的平行线”，所以D中说法错误.
故选C.
【点睛】熟知“各选项中所涉及的相关数学知识”是解答本题的关键.
5．（本题3分）设m＞n＞0，m2＋n2＝4mn，则的值等于（ ）
A．2 B． C． D．3
【考点】乘法公式的应用，分式的化简求值
【分析】先由条件变形为m2+n2-2mn=2mn，可以求得（m-n）2=2mn，可以表示出m+n和m-n，然后代入代数式求出其值就可以了．
解：∵m2+n2=4mn，
∴（m-n）2=2mn，
∵m＞n＞0，
∴m-n=，
∵m2+n2=4mn，
∴（m+n）2=6mn．
∵m＞n＞0，
∴m+n=
∵=
故选A．
【点评】本题考查了完全平方公式的运用．解答此题的技巧在于根据已知条件将m+n、m-n用所求代数式的分母mn表示的形式，便于约分，从而求得的值．
6．（本题3分）如图，是一个中心对称图形的一部分，点是对称中心，点和点是一对对应点，，那么将这个图形补成一个完整的图形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【考点】中心对称的性质，平行四边形的判定，矩形的判定
【分析】如图，根据中心对称的性质可得AC′=BC，BC′=AC，然后根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形进行解答.
解：如图，∵O点是对称中心，△A′B′C′是△ABC关于点O的对称图形，
∴AC′=BC，BC′=AC，
∴四边形ACBC′是平行四边形，
∵∠C=90°，
∴平行四边形ACBC′是矩形．
故选A．
【点睛】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的判定，矩形的判定.
7．（本题3分）菲尔兹奖(Fields Medal)是享有崇高声誉的数学大奖，每四年颁奖一次，颁给二至四名成就显著的年轻数学家，下面是对截至2015年56名获奖者的年龄进行统计得到的统计图．则下列说法中正确的是( )
A．平均年龄是37.5岁 B．中位数年龄位于33.5－36.5岁
C．众数年龄位于36.5－39.5岁 D．以上选项都不正确
【考点】中位数，众数
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
解：A、平均年龄=岁，故本选项错误；
B、∵56名获奖者按照年龄从小到大第28、29两个人的年龄都在33.5-36.5岁这一组，
∴中位数年龄位于33.5-36.5岁，故本选项正确；
C、36.5-39.5岁这一组的人数最多，并不一定同一年龄的人数最多的也在这一组，所以，众数年龄位于36.5-39.5岁不一定正确，故本选项错误；
D、∵B选项结论正确，
∴以上选项都不正确，错误，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
8．（本题3分）如图，为测楼房的高，在距楼房50米的处，测得楼顶的仰角为，则楼房的高为( )
A．米 B．米 C．米 D．米
【考点】三角函数的定义
【分析】根据三角形三角函数的计算可以求得BC、AC的关系，根据AC即可求得BC的长度，即可解题.
解：在直角△ABC中，sinα=，cosα=，
∴=tanα，
∴BC=AC?tanα=50tanα．
故选：A.
【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中计算BC、AC的关系是解题的关键.
9．（本题3分）在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t（秒）．设△OMN的面积为S，那么能反映S与t之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C．D．
【考点】动点问题的函数图像．
【分析】本题考查动点问题函数图象，主要利用了矩形的性质，解直角三角形，根据直线m的移动分两种情况求出△OMN的面积的表达式是解题的关键．分①t≤4时，根据点B的坐标和矩形的性质表示出OA、OC，根据MN∥AC表示出OM、ON，根据三角形的面积公式列式整理得到S与t的关系式；②t＞4时，表示出AM、CN，然后根据△OMN的面积为S等于大直角三角形的面积减去两个三角形的面积列式整理得到S与t的关系式，从而得解．
解：①t≤4时，∵点B（4，3），
∴OA=4，OC=3，
∵MN∥AC，
∴OM=t，ON=t，
S=·t?t=t2，
②t＞4时，AM=（t-4），
CN=（t-3）×=t-4，
S=?t?t-t?（t-4）-?t?（t-4），
=-t2+3t，
=-38（t-4）2+6，
纵观各选项，D选项图形符合．
故选：D．
【点评】考查了动点问题的函数图象，重点应用了矩形的性质，解直角三角形以及分类讨论的数学思想，难度较大．
10．（本题3分）长为8，宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从(0，3)点出发，沿图中所示的箭头方向运动，到(3，0)点时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2018次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为(　　)
A．(1，4) B．(8，3) C．(7，4) D．(3，0)
【考点】规律型中点的坐标
【分析】设点P第n次反弹时碰到矩形边上的点为Pn（n为自然数），根据反弹补充图形，并找出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可得出结论．
解：依照题意画出图形，如图所示．
∵P（0，3），P1（3，0），
∴P2（7，4），P3（8，3），P4（5，0），P5（1，4），P6（0，3），P7（3，0），…，
∴Pn的坐标以6为循环单位循环．
∵2018=336×6+2，
∴点P2018的坐标（7，4）．
故选C．
【点睛】本题考查了规律型中点的坐标，根据部分Pn点的坐标找出变化规律是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分)
11．（本题4分）已知4x2－mxy＋9y2是一个完全平方式，求m的值．
【考点】完全平方式
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
解：∵4x2-mxy+9y2=（2x）2-mxy+（3y）2，∴-mxy=±2×2x×3y，解得m=±12．故答案为：±12．
【点睛】本题考查完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
12．（本题4分）李老师为了了解学生的数学周考成绩，在班级随机抽查了10名学生的成绩，其统计数据如下表：
分数（单位:分）
126
132
136
138
142
人数
1
4
2
1
2
则这10名学生的数学周考成绩的中位数是________分．
【考点】中位数
【分析】根据表格中的数据可以求得这10名学生的数学周考成绩的中位数．
解：由表格可得，
这10名学生的数学周考成绩的中位数是：（132+136）÷2=134（分），
故答案为：134．
【点睛】本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义，会求一组数据的中位数．
13．（本题4分）若 x=m 是方程 x2+2x﹣4=0 的解，则 3m2+6m﹣5 的值是______．
【考点】一元二次方程的解，代数式求值
【分析】由x=m 是方程x2+2x﹣4=0 的解，推出m2+2m﹣4=0，推出m2+2m=4，推出 3m2+6m=12，整体代入即可解决问题.
解：∵x=m 是方程 x2+2x﹣4=0 的解，
∴m2+2m﹣4=0，
∴m2+2m=4，
∴3m2+6m=12，
∴3m2+6m﹣5=12﹣5=7， 故答案为：7．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值等知识，解题的关键是学会利用整体的思想解决问题，属于中考常考题型．
14．（本题4分）如图，已知△ABC的周长是16，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D且OD=2，△ABC的面积是________________.
【考点】角平分线性质，三角形的面积
【分析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE=OD=OF=2，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可作答．
解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE=OD，OD=OF，即OE=OF=OD=2，∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC，=×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD，=×2×（AB+AC+BC），=×2×16=16，故答案为：16．
【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
15．（本题4分）已知关于的方程的两个实数根互为倒数，则的值为________．
【考点】根与系数的关系，一元二次方程的定义，根的判别式
【分析】若a=±1，方程（a2-1）x2-（a+1）x+1=0变为一元一次方程时，此时方程一定只有一解，所以a一定不能为±1．又因为方程（a2-1）x2-（a+1）x+1=0的两个实数根互为倒数，所以△＞0，两根之积等于1，由此得到关于a的方程，解方程即可求出a的值．
解：∵方程（a2-1）x2-（a+1）x+1=0有两个实数根，
∴a≠±1，
设方程（a2-1）x2-（a+1）x+1=0的两个实数根分别为α、β，
又∵方程（a2-1）x2-（a+1）x+1=0的两个实数根互为倒数，
∴αβ==1，
解得a=±，
∵a=-时，△=[-（a+1）]2-4×（a2-1）
=（1-）2-4×1
=-2-1＜0，
∴a=-时方程（a2-1）x2-（a+1）x+1=0无解，
因此a=-舍去，
∴a=，
故答案为：.
【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义、根的判别式等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键.
16．（本题4分）如图，点D为边AB的中点，DE∥BC，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=50°，则∠EDF=_______，∠BDF=_______，若AB=10cm，则FD= ________cm。
【考点】翻折变换,三角形的中位线
【分析】根据过三角形一边的中点且平行于另一边的直线必平分第三边可得E是AC的中点，进而得到DE是△ABC的中位线，DE∥BC,再根据两直线平行,同位角相等可得∠ADE=∠B ,根据翻折变换的性质可得∠ADE=∠EDF ,然后根据平角等于180°列式计算即可得解;根据线段中点的定义求出AD,再根据翻折的性质可得FD=AD.
解：点D为边AB的中点, DE∥BC，∴E是AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B=50°,由翻折的性质得, ∠ADE=∠EDF=50°,∴∠BDF=180°-∠ADE-∠EDF=180°-50°-50°=80°,∵AB=10cm,点D是AB的中点,∴AD=AB=×10=5cm,由翻折的性质得,FD=AD=5cm.故答案为:50°,80°,5.
【点睛】本题考查了翻折变换的性质,三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,熟记定理和性质是解题的关键.
三、解答题（本题有8小题，共66分)
17．（1）sin30°+tan60°?cos45°+tan30°．
（2） ()－1＋|1－|－2sin60°＋(π－2017)0－.
【考点】特殊角的三角函数值，二次根式的化简
【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入求解；（2）分别进行二次根式的化简、特殊角的三角函数值、绝对值的化简等运算，然后合并．
解：（1）原式=×+-+ = ；（2）原式=3+－1-2× +1-2=3-2
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
18．如图是芳芳设计的自由转动的转盘，上面写有10个有理数。想想看，转得下列各数的概率是多少？
（1）转得正数；
（2）转得整数；
（3）转得绝对值小于6的数。
【考点】
【分析】（1）用正数的个数除以总个数即可得；
（2）用整数的个数除以总个数即可得；
（3）用绝对值小于6的数的个数除以总个数可得．
解：（1）∵转盘中10个数，正数有1、、6、8、9这5个，∴P（转得正数）==；
（2）∵转盘中10个数，整数有0、1、－2、6、－10、8、9、－1这8个，∴P（转得正整数）==；
（3）∵转盘中10个数，绝对值小于6的有0、1、﹣2、、﹣1、﹣这6个，∴P（转得绝对值小于6）==．
【点睛】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
19．如图OA，OB是两条射线，点C，D分别在射线OA，OB上.
（1）求作⊙P，使它与OA，OB，CD都相切.（使用直尺、圆规、直角板作图并保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，∠DOC=30°，求∠DPC的度数.
【考点】三角形的内角和定理的应用，角平分线的性质，作图-复杂作图
【分析】(1)分别作∠CDB和∠DCA的角平分线,交于P点,过P作DB边的垂线,以P点到垂足间的距离为半径,以P为圆心画圆;(2)根据内角和定理进行求解.
解：(1)分别作∠CDB和∠DCA的角平分线,交于P点,过P作DB边的垂线,以P点到垂足间的距离为半径,以P为圆心画圆.
（2）
∠DPC=180°－∠CDP－∠DCP
=180°－－
= 180°－（+）
=180°－（∠O+∠OCD＋∠O＋∠ODC）
=180°－（∠O+180°）
=90°－∠O
=75°.
【点睛】本题的解题关键是掌握三角形的内角和定理的应用以及角平分线的性质.
20．如图，足球场上守门员在O处踢出一高球，球从离地面1m的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6m的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面有4m高，球落地后又一次弹起，第二个落点为D，据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式；
（2）求足球第一次落地点C处距守门员有多少米？（取≈1.7）
（3）运动员乙要抢到第二个落点D处的球，他应再向前跑多少米？（取≈2.5）
【考点】二次函数的性质的运用
【分析】（1）由条件可以得出M（6，4），设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+4，由待定系数法求出其解即可； （2）当y=0时代入（1）的解析式，求出x的值即可； （3）设第二次抛物线的顶点坐标为（m，2），抛物线的解析为y=a（x-m）2+2，求出解析式，就可以求出OD的值，进而得出结论．
解：（1）根据题意，可设第一次落地时，抛物线的表达式为y=a（x-6）2+4，
将点A（0，1）代入，得：36a+4=1，
解得：a=-，
∴足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式为y=-（x-6）2+4；
（2）令y=0，得：-（x-6）2+4=0，
解得：x1=4+6≈13，x2=-4+6＜0（舍去），
∴足球第一次落地点C距守门员13米；
（3）如图，足球第二次弹出后的距离为CD，
根据题意知CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位），
∴-（x-6）2+4=2，
解得：x1=6-2，x2=6+2，
∴CD=x2-x1=4≈10，
∴BD=13-6+10=17米，
答：运动员乙要抢到足球第二个落点D，他应再向前跑17米．
【点睛】本题考查了运用顶点式及待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
21．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD.
(1)求证：OP⊥CD；
(2)连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．
【考点】等腰三角形的性质，切线的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数
【分析】（1）先判断出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP=∠COP，即可得出结论；
（2）先 求出∠COD=60°，得出△OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论．
(1)证明：如图，连接OC，OD，则OC＝OD.
∵PD，PC是⊙O的切线，
∴∠ODP＝∠OCP＝90°.
在Rt△ODP和Rt△OCP中，
，
∴Rt△ODP≌Rt△OCP，
∴∠DOP＝∠COP.
∵OD＝OC，
∴OP⊥CD.
(2)连接AD，BC如图所示，则OA＝OD＝OC＝OB＝2，
∴∠ADO＝∠DAO＝50°，
∠BCO＝∠CBO＝70°，
∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°，
∴∠COD＝60°.
∵OD＝OC，
∴△COD是等边三角形．
由(1)知，∠DOP＝∠COP＝30°，
在Rt△ODP中，OP＝＝.
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，切线的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，正确作出辅助线是解本题的关键．
22．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BA向终点A运动，设运动时间为t秒.
⑴当t为何值时，四边形PQBC为平行四边形时？
⑵在整个运动过程中，当t为何值时，以点C、P、Q为顶点的三角形是直角三角形？
【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定，直角三角形的性质
【分析】（1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，求出PC=BQ就可得到答案．
（2）有两种情况，根据勾股定理逆定理可求出边长，进而求出时间．
解：（1）当点P在AD边上时，PC与BQ不平行，
故此时四边形PQBC不可能为平行四边形；??????
当点P在DC边上时，如图1．
PC=12-2t，BQ=t，
∵四边形PQBC为平行四边形，
∴PC=BQ．
∴12-2t=t，t=4．
∴当t=4时，四边形PQBC为平行四边形．
（2）作高DE、CF，易求高DE=CF=4，
当t＜时，点P在AD上，只有当CP垂直于CQ时以点C、P、Q为顶点的三角形是直角三角形
这时CQ2=42+（3-t）2=t2-6t+25，
PQ2=（×4）2+（13-t-×3）2=-+169，
CP2=（4-×4）2+（13-3-×3）2=4t2-+116，
由CP2+CQ2=PQ2得4t2-+116+t2-6t+25=-+169无解
当t≥时，点P在DC上，显然点Q运动到点F处（此时t=3）
当PQ垂直于AB时，
此时5+7-2t=t-3，
解得：t=5
当PQ垂直于CQ时以点C、P、Q为顶点的三角形是直角三角形（此时无解）
综上可知，当t=3秒或5秒时点C、P、Q为顶点的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查等腰梯形的性质，平行四边形的判定和直角三角形的性质，熟记这些性质和判定进行求解．
23．如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．
（1）证明：△PCE是等腰三角形；
（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；
（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．
【考点】
【分析】（1）根据等边对等角可得∠A=∠C，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，从而得到∠CPE=∠C，即可得证。
（2）根据等腰三角形三线合一的性质求出CM=CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的长，再根据结果整理可得EM+FN=BH。
（3）分别求出EM、FN、BH，然后根据S△PCE，S△APF，S△ABC，再根据，整理即可得到S与x的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答。
（1）证明：∵AB=BC，∴∠A=∠C。
∵PE∥AB，∴∠CPE=∠A。
∴∠CPE=∠C。∴△PCE是等腰三角形。
（2）∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，∴CM=CP=，tanC=tanA=k。
∴EM=CM?tanC=?k=。
同理：FN=AN?tanA=?k=4k﹣。
由于BH=AH?tanA=×8?k=4k，EM+FN=+4k﹣=4k，
∴EM+FN=BH。
（3）当k=4时，EM=2x，FN=16﹣2x，BH=16，
∴S△PCE=x?2x=x2，S△APF=（8﹣x）?（16﹣2x）=（8﹣x）2，S△ABC=×8×16=64。
∴。
∴当k=4时，四边形PEBF的面积S与x的函数关系式为。
∵，
∴当x=4时，S有最大值32。
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的最值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点．
24．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴、轴交于两点，过作垂直于轴于点.已知.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）观察图象:当时，比较.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．函数图象上点的坐标特征，待定系数法解函数解析式
【分析】（1）由一次函数的解析式可得出D点坐标，从而得出OD长度，再由△ODC与△BAC相似及AB与BC的长度得出C、B、A的坐标，进而算出一次函数与反比例函数的解析式；（2）以A点为分界点，直接观察函数图象的高低即可知道答案．
解：（1）对于一次函数y=kx-2，令x=0，则y=-2，即D（0，-2），∴OD=2，∵AB⊥x轴于B，∴ ，∵AB=1，BC=2，∴OC=4，OB=6，∴C（4，0），A（6，1）将C点坐标代入y=kx-2得4k-2=0，∴k=，∴一次函数解析式为y=x-2；将A点坐标代入反比例函数解析式得m=6，∴反比例函数解析式为y=；（2）由函数图象可知：当0＜x＜6时，y1＜y2；当x=6时，y1=y2；当x＞6时，y1＞y2；
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．熟悉函数图象上点的坐标特征和待定系数法解函数解析式的方法是解答本题的关键，同时注意对数形结合思想的认识和掌握．

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