资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
【浙江省专用】备考2021年中考数学
圆的综合题
专项汇编（4）（含详解）
1．如图，为半的半径，且．为半上一点，连接，作，过点作的切线，交的延长线于点，切点为，连接．
（1）当时，求证：；
（2）直接回答，当等于多少度时，为菱形；
（3）连接，当点落在线段上，且时，直接写出的值为多少．
2．在中，，以为直径的半圆交于点，过点作圆的切线，交于点，点是半圆上异于点的任一动点．
（1）求证：；
（2）①若，，求四边形的面积；
②当的度数是多少度时，以，，，为顶点的四边形为菱形．
3．如图，的直径，点是延长线上的一点，且，是的中点，交于一点，是上的一动点（不与点，重合），连接，，，．
（1）求证：是的切线；
（2）求的值；
（3）运动过程中，当时，设此时交于点，连接，求的度数．
4．如图，是的直径，点是上一点，连接并延长交过点的切线于点，过点作的切线交于点．
（1）求证：点是的中点．
（2）①连接，当　　时，四边形是正方形；
②连接，当，时，求．
5．如图，点是以为直径的上一个动点，为的切线，并交延长线于点，作交于点，连接，．
（1）求证：．
（2）若，填空：
①连接，，当等于多少时，四边形为菱形；
②当等于多少时，．
6．在锐角中，，以为直径的分别交边，于点，，于点．
（1）求证：；
（2）若，判断直线与的位置关系，并说明理由；
（3）若，求的值．
7．如图，在中，点，分别是边，上的点，连接，，作的外接圆，交于点，且与边相切于点．
（1）求证：；
（2）①当　
　时，四边形是菱形；
②若是的角平分线，则当四边形的面积取得最大值时，求的值．
8．在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．
（1）如图①，若点与圆心重合，，求的半径；
（2）如图②，若点与圆心不重合，，求的度数；
（3）如图③，若点与圆心不重合，，，求的长．
9．如图，以的边上一点为圆心的圆，经过，两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径；
（3）过点作的切线交的延长线于，如果连接，将线段以直线为对称轴作对称线段，点正好落在上，连接，请直接写出四边形的形状．
10．已知：内接于，直径交边于点，．
（1）如图1所示，求证：；
（2）如图2所示，过点作于，交于，交于点，连接，求证：；
（3）如图3所示，在（2）的条件下，延长至点，连接、，过点作于，射线交于点，交于点，连接，，若，，求的半径．
参考答案与试题解析
1．解：（1）延长交于点，连接、，
，，
，
，，
，即，
是圆的切线，则，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
；
（2）为菱形，
，
为等边三角形，
等于60度时，为菱形；
（3）如图2，连接，延长交于点，
由题意得：，
且，
，
由（1）知，，
为等腰直角三角形，
，，
在中，，
在中，．
2．解：（1）连接，则，
是圆的切线，
，
，
，
△，
，
，
，
，
，
；
（2）①如图1，连接，设交于点，
，，
，
，即，
，解得，
在中，点是的中点，，
是的中位线，
点是的中点，则，
则四边形的面积，
故答案为；
②当点在时，如图2，
四边形为菱形，
则，，
故为等边三角形，则，
，
，
，
；
当点在时，如图3，
同理可得：为等边三角形，故点，
，
综上，或，
故答案为60或30．
3．解：（1）如下图：
垂直平分，
，又中，，
为等边三角形，
，
，
点在以为直径的圆上，
，
是的切线；
（2）连接，如下图：
由已知可得，，，，
，
又是与的公共角，
，
；
（3）分两种情形
情形一：如下图：
连接，则，
，
，
又由（2）知：，
，
．
此时，，
此时，．
又，
，
由（1）知，，
；
情形二：如下图：
与情形一同理，
可求得此时，，
综上述所述的大小为或．
4．解：（1）连接，
切于点，切于点，
，
．
是的直径，
．
切于点，
．
，
，
，即点是的中点；
（2）①连接，当时，四边形是正方形，
理由：，
，
、为圆的切线，
，
是矩形，
，
矩形是正方形，
故答案为45；
②，，
，
由（1）知，为等腰三角形，
而为等腰三角形，
，
，
故和的相似比为，
则，
则，
．
故答案为5．
5．解：（1）证明：是的直径（直径所对圆周角为直角），
，，
又是的切线，
，
，
（两直线平行内错角相等），
，
（内错角相等，两直线平行），
；
（2）①，
圆的半径为4，
要使四边形为菱形，则需有，
在和中，
，
，
，且，
；
②，且，
为等腰直角三角形，，
（两直线平行，内错角相等），
，
也为等腰直角三角形，，
，
．
6．解：（1）是直径，
，
又，
，，，
，
，
，
，
，，
，
四边形是圆内接四边形，
，
又，
；
（2）相切，理由：
，，
为等边三角形，
，
由（1）得，，
，
直线与圆相切；
（3），
设，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
7．解：（1）如图1，连接并延长，交于点，连接，
则，，
．
是的切线，
，即，
，
；
（2）①如图2，连接、、，
四边形是菱形，
，
，
，
为等边三角形，则，
同理可得，
则，
故答案为；
②在和中，设边上的高分别为和，
四边形的面积，
当取得最大值时，要求和都最大，
故当为直径、和为半径时，即为直径，符合要求，如图3，
是的角平分线，
，
、为直径，
四边形的四个内角为，四边相等，
四边形为正方形，
分别过点、分别作的垂线，垂足分别为，
则被分成面积相等的8个部分（如图），
则，
故答案为．
8．解：（1）如图1，过点作于，
则，
翻折后点与圆心重合，
，
在中，，
即，
解得；
（2）连接，
是直径，
，
，
，
根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，
，
，
；
（3）如图3，过作于，连接、，
，，
，
的半径为6，
由（2）知：，
，
，
，
，
中，，
中，．
则的长为．
9．解：（1）证明：如图1，连接，，则，
为的下半圆弧的中点，
，
，
，
，
，
，即，
，
是的切线；
（2）设的半径为，则，
在中，，
，
解得，，（舍去），
的半径为6；
（3）四边形是菱形．
证明：如图2，连接，
由对称性可知，，
又，
，
，
，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
又，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，，
，
又，
是等边三角形，
，
，是的切线，
，
又，
是等边三角形，
，
，
四边形是菱形．
10．（1）证明：为直径，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）连接，，
，
，
由（1）知，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）连接，过点作的延长线于，
是的半径，，
，
为的外角，
，
为的外角，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
设，，
，
在中，，
，
，（舍去），
，，
，，
，
，
而，
，
，
，
，
，
，
，
设半径为，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑