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2020-2021学年人教新版中考数学冲刺试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．的倒数是（　　）
A．
B．
C．6
D．﹣6
2．2020年新冠肺炎席卷全球．据经济日报3月8日报道，为支持发展中国家应对新冠肺炎疫情，中国向世卫组织捐款2000万美元．其中的2000万用科学记数法表示为（　　）
A．20×106
B．2×107
C．2×108
D．0.2×108
3．下列图形都是由大小相同的正方体搭成的，其三视图都相同的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．下列运算中，计算正确的是（　　）
A．（3a2）3＝27a6
B．（a2b）3＝a5b3
C．x6+x2＝x3
D．（a+b）2＝a2+b2
5．不透明的盒子里有3个形状、大小、质地完全相同的小球，上面分别标记数字1、2、3，从中随机抽出一个小球，放回后再随机抽出1个小球，把第1次抽出的小球上的数字作为两位数a的十位数字，第2次抽出的小球上的数字作为两位数a的个位数字，则两位数a是3的倍数的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A．
B．
C．且x≠1
D．且x≠1
7．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（　　）
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
8．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买琎，人出半，盈四：人出少半，不足三．问人数、价各几何？”意思是：一起去买（一种像玉的石头），每个人出两，则多4两；每个人出两，则不足3两．问人数、的价格分别是多少？如果设人数x人，进的价格为y两，那么可列成的方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2．与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：
①a＜b＜0；②4a+2b+c＞0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．
其中正确结论的个数是（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
10．如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为（　　）
A．25
B．19
C．13
D．169
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
11．若＝﹣7，则a＝　
　．
12．因式分解：4a3﹣16a＝　
　．
13．已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，圆锥的母线是　
　cm．
14．如果一组数据5、8、a、7、4的平均数是a，那么这组数据的方差为　
　．
15．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝10，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．有下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为5；③当AD＝3时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在弧BC上，则AD＝5；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是25，其中正确结论的序号是　
　．
16．如图，点A在双曲线y＝上，AB⊥x轴于点B，若△ABO的面积是3，则k＝　
　．
三．解答题（共8小题，满分80分）
17．（1）计算：（x+3）（x﹣3）﹣x（x﹣2）
（2）解不等式组：．
18．已知△ABC的顶点A、B、C在边长为1的网格格点上．
（1）画△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的△A1B1C1；
（2）画△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）平行四边形A1B1A2B2的面积为　
　．
19．如图，身高1.75m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度（∠A＝30°），已知她与树之间的距离为5m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m）
20．如图，已知抛物线L：y＝x2+bx﹣4交y轴于点A，交x轴于点B（﹣4，0）、C．抛物线L关于原点O对称的抛物线为L'，点A在抛物线L'上的对应点为A'．
（1）求抛物线L'的函数表达式；
（2）过点A'作平行于x轴的直线l，点P是抛物线L′上一动点，过点P作PQ⊥l于Q，连接A'P．若△A'QP∽△AOC，求点P的坐标．
21．某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”活动，推出了以下五种选修课程：A．绘画；B．唱歌；C．跳舞；D．演讲；E．书法．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程．学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息解决下列问题：
（1）这次抽查的学生人数是多少人？
（2）将条形统计图补充完整．
（3）求扇形统计图中课程E所对应扇形的圆心角的度数．
（4）如果该校共有1200名学生，请你估计该校选择课程D的学生约有多少人．
22．某地区在同一直线上依次有甲、乙、丙三座城市，一列快车从甲市出发匀速行驶开往丙市，一列动车从丙市出发匀速行驶往返于乙、丙两座城市，两列火车同时出发，如图是两列火车距甲市的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象，请你结合图象信息解决下列问题：
（1）直接写出：甲、乙两市相距　
　千米，图象中a的值为　
　，b的值　
　；
（2）求动车从乙地返回多长时间时与快车相遇？
（3）请直接写出快车出发多长时间两列火车（都在行驶时）相距30千米？
23．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．
（1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是　
　；位置关系是　
　；
（2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）[应用]：在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，求线段DG的长．
24．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，BO，延长BO交AC于点D．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若⊙O的半径为5，AD＝6，设△ABO的面积为S1，△BCD的面积为S2，求的值．
（3）若＝m，求cos∠BAC的值（用含m的代数式表示）．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．解：﹣的倒数是﹣6．
故选：D．
2．解：2000万＝20000000＝2×107．
故选：B．
3．解：A．主视图是3个正方形，左视图是两个正方形，俯视图是5个正方形，故本选项不合题意；
B．主视图是2个正方形，左视图是3个正方形，俯视图是4个正方形，故本选项不合题意；
C．三视图都相同，都是有两列，从左到右正方形的个数分别为：1、2；符合题意；
D．俯视图有两列，从左到右正方形的个数分别为：2、1；左视图有两列，从左到右正方形的个数分别为：1、2，故本选项不合题意．
故选：C．
4．解：A、（3a2）3＝27a6，故A正确；
B、（a2b）3＝a6b3，故B错误；
C、x6与x2不是同类项，不能合并，故C错误；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D错误；
故选：A．
5．解：列树状图得：
共有9种情况，其中能被3整除的有12，21，33共3种情况，
所以两位数a是3的倍数的概率为＝，
故选：A．
6．解：根据题意得，2x﹣1≥0，
解得x≥．
x﹣1≠0
解得x≠1
∴x≥且x≠1
故选：D．
7．解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE＝AD，
同理，PF＝BC，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，
故选：D．
8．解：设设人数x人，进的价格为y两，
根据题意得：，
故选：B．
9．解：①由图象开口向下知a＜0，
由y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（x1，0
），且1＜x1＜2，
则该抛物线的对称轴为x＝﹣＝＞，即＜1，
由a＜0，两边都乘以a得：b＞a，
∵a＜0，对称轴x＝﹣＜0，
∴b＜0，
∴a＜b＜0，故正确；
②根据题意画大致图象如图所示，
当x＝2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，
故②错误；
③由一元二次方程根与系数的关系知x1x2＝＜﹣2，结合a＜0，得2a+c＞0，所以结论正确，
④由4a﹣2b+c＝0得2a﹣b＝﹣，而0＜c＜2，
∴﹣1＜﹣＜0，
∴﹣1＜2a﹣b＜0，
∴2a﹣b+1＞0，所以结论正确．
故选：B．
10．解：由条件可得：，
解之得：．
所以（a+b）2＝25，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
11．解：∵＝﹣7，
∴a＝（﹣7）3＝﹣343．
故答案为：﹣343．
12．解：原式＝4a（a2﹣4）＝4a（a+2）（a﹣2），
故答案为：4a（a+2）（a﹣2）
13．解：设母线长为R，则：65π＝π×5R，
解得R＝13cm．
14．解：根据题意知＝a，
解得a＝6，
所以这组数据为5、8、6、7、4，
则这组数据的方差为×[（5﹣6）2+（8﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2]＝2，
故答案为：2．
15．解：①连接CD，如图1所示．
∵点E与点D关于AC对称，
∴CE＝CD．
∴∠E＝∠CDE．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°．
∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°．
∴∠F＝∠CDF．
∴CD＝CF．
∴CE＝CD＝CF．
故①正确．
②当CD⊥AB时，如图2所示．
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵AB＝10，∠CBA＝30°，
∴∠CAB＝60°，AC＝5，BC＝5．
∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，
∴CD＝BC＝．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时，CD的最小值为．
∵CE＝CD＝CF，
∴EF＝2CD．
∴线段EF的最小值为5．
故②正确．
③当AD＝3时，连接OC，如图3所示．
∵OA＝OC，∠CAB＝60°，
∴△OAC是等边三角形．
∴CA＝CO，∠ACO＝60°．
∵AO＝5，AD＝3，
∴DO＝2．
∴AD≠DO．
∴∠ACD＞∠OCD≠30°．
∵点E与点D关于AC对称，
∴∠ECA＝∠DCA．
∴∠ECA≠30°．
∴∠ECO≠90°．
∴OC不垂直EF．
∵EF经过半径OC的外端，且OC不垂直EF，
∴EF与半圆不相切．
故③错误．
④当点F恰好落在上时，连接FB、AF，如图4所示．
∵点E与点D关于AC对称，
∴ED⊥AC．
∴∠AGD＝90°．
∴∠AGD＝∠ACB．
∴ED∥BC．
∴△FHC∽△FDE．
∴．
∵FC＝EF，
∴FH＝FD．
∴FH＝DH．
∵DE∥BC，
∴∠FHC＝∠FDE＝90°．
∴BF＝BD．
∴∠FBH＝∠DBH＝30°．
∴∠FBD＝60°．
∵AB是半圆的直径，
∴∠AFB＝90°．
∴∠FAB＝30°．
∴FB＝AB＝5．
∴DB＝4．
∴AD＝AB﹣DB＝5．
故④正确．
⑤∵点D与点E关于AC对称，
点D与点F关于BC对称，
∴当点D从点A运动到点B时，点E的运动路径AM与AB关于AC对称，点F的运动路径NB与AB关于BC对称．
∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分．
∴S阴影＝2S△ABC
＝2×AC?BC
＝AC?BC
＝5×5＝25．
∴EF扫过的面积为25．
故⑤正确．
故答案为①②④⑤．
16．解：根据题意可知：S△ABO＝|k|＝3，即k＝±6．
又∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
三．解答题（共8小题，满分80分）
17．解：（1）原式＝x2﹣9﹣x2+2x
＝2x﹣9；
（2），
由①得，x＞﹣3，
由②得，x＜5，
不等式组的解集为﹣3＜x＜5．
18．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）平行四边形A1B1A2B2的面积＝×2＝34，
故答案为34．
19．解：由题意可得：tan30°＝＝＝，
解得：CD＝≈2.89（m），
故CE＝DC+DE＝2.89+1.75≈4.6（m），
答：这棵树大约有4.6m．
20．解：（1）∵y＝x2+bx﹣4过B（﹣4，0），
∴（﹣4）2﹣4b﹣4＝0，
∴b＝3，
∴抛物线L：y＝x2+3x﹣4，
∴顶点（﹣，﹣），
∵抛物线L关于原点O对称的抛物线为L'，
∴L′的顶点为（），
∴L′的函数表达式为：y＝﹣（x﹣）2+＝﹣x2+3x+4，
（2）设P（x，﹣x2+3x+4），
∵PQ⊥l，
∴Q（x，4），
∵△A'QP∽△AOC，
∴，
，
∴|x|＝4|﹣x2﹣3x|，
∴当x＝4（﹣x2﹣3x）时，
∴x1＝0（舍），x2＝，
∴P（），
∴当﹣x＝4（﹣x2﹣3x）时，
∴x1＝0（舍），x2＝，
∴，
综上所述：P（）或．
21．解：（1）这次抽查的学生人数是25÷25%＝100（人）；
（2）C课程人数为100﹣（10+25+25+20）＝20（人），
补全图形如下：
（3）扇形统计图中课程E所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝72°；
（4）估计该校选择课程D的学生约有1200×25%＝300（人）．
22．解：（1）由图可知：当x＝2时，y＝200，此时动车停在乙市，
∴甲、乙两市相距200千米，
∵动车从丙市出发匀速行驶往返于乙、丙两座城市，
∴动车从丙市出发匀速行驶到乙市所用的时间与动车从乙市出发匀速行驶到丙市所用的时间相同，都为2小时，
∴a＝2.5+2＝4.5，
由图可知：快车2小时行驶了200千米，
∴快车的速度为：200÷2＝100（千米/时），
∴100×5＝500（千米），
∴b＝500．
故答案为：200；4.5；500；
（2）设快车距甲市的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式为y＝kx，
把点（2，200）的坐标代入得：
200＝2k，
解得：k＝100，
∴y＝100x（0≤x≤5），
设动车从乙地返回时，距甲市的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系为y＝k1x+b1，
将（2.5，200）、（4.5，500）代入得：
，
解得：，
∴y＝150x﹣175（2.5≤x≤4.5），
∵方程组，
∴3.5﹣2.5＝1（小时），
∴动车从乙地返回1小时时与快车相遇；
（3）设动车从丙市出发时，距甲市的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系为：
y＝k2x+b2，把（2，200）、（0，500）代入得：，
解得：，
∴y＝﹣150x+500．
∴当0≤x≤2时，﹣150x+500﹣100x＝30，
解得：x＝1.88；
当2.5≤x≤3.5时，100x﹣（150x﹣175）＝30，
解得：x＝2.9；
当3.5＜x≤4.5时，150x﹣175﹣100x＝30，
解得：x＝4.1；
综上所述，快车出发1.88小时或2.9小时或4.1小时两列火车（都在行驶时）相距30千米．
23．解：（1）DG＝BE，DG⊥BE，理由如下：
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE＝DG；
如图2，延长BE交AD于Q，交DG于H，
∵△ABE≌△DAG，
∴∠ABE＝∠ADG，
∵∠AQB+∠ABE＝90°，
∴∠AQB+∠ADG＝90°，
∵∠AQB＝∠DQH，
∴∠DQH+∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG，
故答案为：DG＝BE，DG⊥BE；
（2）DG＝2BE，BE⊥DG，理由如下：
如图3，延长BE交AD于K，交DG于H，
∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，
∴∠BAD＝∠EAG，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵AD＝2AB，AG＝2AE，
∴＝＝，
∴△ABE∽△ADG，
∴＝＝，∠ABE＝∠ADG，
∴DG＝2BE，
∵∠AKB+∠ABE＝90°，
∴∠AKB+∠ADG＝90°，
∵∠AKB＝∠DKH，
∴∠DKH+∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG；
（3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）
设EG与AD的交点为M，
∵EG∥AB，
∴∠DME＝∠DAB＝90°，
在Rt△AEG中，AE＝1，
∴AG＝2AE＝2，
根据勾股定理得：EG＝＝，
∵AB＝，
∴EG＝AB，
∵EG∥AB，
∴四边形ABEG是平行四边形，
∴AG∥BE，
∵AG∥EF，
∴点B，E，F在同一条直线上，如图5，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝＝2，
由（2）知，△ABE∽△ADG，
∴＝＝，
即＝，
∴DG＝4．
24．（1）证明：过点O作OM⊥AB于点M，作ON⊥AC于点N，
∵AB＝AC，
∴OM＝ON，
∴OA平分∠BAC．
（2）解：延长AO交BC于点Q，延长AQ至P，使PQ＝OQ，连接CP、CO，
∵AB＝AC且OA平分∠BAC，
∴AP⊥BC，
∴∠BQO＝∠CQP＝90°，BQ＝CQ，
∴△BQO≌△CQP（SAS），
∴∠OBQ＝∠PCQ，CP＝BO＝5，S△BOQ＝S△OPQ，
∴BO∥CP，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠BAO＝∠DAO，
∴△ADO～△BDA，
∴，
解得OD＝4，
∵BO∥CP，
∴△AOD～△APC，
∴，
∴S1＝，S2＝S四边形CDOP＝S△ACF﹣S△AOD＝，
∴．
（3）由（2）同理，设CP＝BO＝AO＝r，
∴＝m，
∴PQ＝PO＝，
∵∠BAC＝2∠BAO＝∠BAO+∠ABO＝∠AOD＝∠P，
∴．

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