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2021年九年级中考数学复习专题：函数与最值问题九
选择题
1．（3分）（2020?嘉兴）已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（　　）
A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值
B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值
C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值
D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值
【解答】解：①当b﹣a＝1时，如图1，
过点B作BC⊥AD于C，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ADE＝∠BED＝90°，
∴∠ADD＝∠BCD＝∠BED＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，
∴AC＝AD﹣CD＝n﹣m，
在Rt△ACB中，tan∠ABCn﹣m，
∵点A，B在抛物线y＝x2上，
∴0°≤∠ABC＜90°，
∴tan∠ABC≥0，
∴n﹣m≥0，
即n﹣m无最大值，有最小值，最小值为0，故选项C，D都错误；
②当n﹣m＝1时，如图2，
过点N作NH⊥MQ于H，
同①的方法得，NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，
∴MH＝MQ﹣HQ＝n﹣m＝1，
在Rt△MHQ中，tan∠MNH，
∵点M，N在抛物线y＝x2上，
∴m≥0，
当m＝0时，n＝1，
∴点N（0，0），M（1，1），
∴NH＝1，
此时，∠MNH＝45°，
∴45°≤∠MNH＜90°，
∴tan∠MNH≥1，
∴1，
∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为1，故选项A错误；
故选：B．
2．（3分）（2020?安顺）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　）
A．无法确定
B．
C．1
D．2
【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于H．
由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故选：C．
3．（3分）（2020?乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y交于A、B两点，P是以点C（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（　　）
A．
B．
C．﹣2
D．
【解答】解：点O是AB的中点，则OQ是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线时，PB最大，则OQBP最大，
而OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，
则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，
设点B（m，﹣m），则（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝32，
解得：m2，
∴k＝m（﹣m），
故选：A．
填空题
4．（5分）（2020?内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为　15　．
【解答】解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．
∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，
∴∠ABA′＝60°，
∴△ABA′是等边三角形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，
在Rt△ABD中，AB10，
∵A′H⊥AB，
∴AH＝HB＝5，
∴A′HAH＝15，
∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，
∴AM+MN≥15，
∴AM+MN的最小值为15．
故答案为15．
5．（3分）（2020?湘潭）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为　3　．
【解答】解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，
又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，
∴PM＝PD＝3，
故答案为：3．
6．（3分）（2020?鄂州）如图，已知直线yx+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为　2　．
【解答】解：如图，
在直线yx+4上，x＝0时，y＝4，
当y＝0时，x，
∴OB＝4，OA，
∴tan∠OBA，
∴∠OBA＝30°，
由PQ切⊙O于Q点可知：OQ⊥PQ，
∴PQ，
由于OQ＝1，
因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，
∴OPOB＝2，
此时PQ，
BP2，
∴OQOP，即∠OPQ＝30°，
若使点P到直线a的距离最大，
则最大值为PM，且M位于x轴下方，
过点P作PE⊥y轴于点E，
∴EPBP，
∴BE3，
∴OE＝4﹣3＝1，
∵OEOP，
∴∠OPE＝30°，
∴∠EPM＝30°+30°＝60°，
即∠EMP＝30°，
∴PM＝2EP＝2．
故答案为：2．
7．（3分）（2020?连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为　2　．
【解答】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．
∵AC＝CB，AM＝OM，
∴MCOB＝1，
∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．
∵直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，
∴D（4，0），E（0，﹣3），
∴OD＝4，OE＝3，
∴DE5，
∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，
∴△DNM∽△DOE，
∴，
∴，
∴MN，
当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，最小值5×（1）＝2，
故答案为2．
解答题
8．（10分）（2020?乐山）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
车型
每车限载人数（人）
租金（元/辆）
商务车
6
300
轿车
4
（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？
（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？
【解答】解：（1）设租用一辆轿车的租金为x元，
由题意得：300×2+3x＝1320，
解得
x＝240，
答：租用一辆轿车的租金为240元；
（2）①若只租用商务车，
∵，
∴只租用商务车应租6辆，所付租金为300×6＝1800（元）；
②若只租用轿车，
∵，
∴只租用轿车应租9辆，所付租金为240×9＝2160（元）；
③若混和租用两种车，设租用商务车m辆，租用轿车n辆，租金为W元．
由题意，得
，
由6m+4n＝34，得
4n＝﹣6m+34，
∴W＝300m+60（﹣6m+34）＝﹣60m+2040，
∵﹣6m+34＝4n≥0，
∴，
∴1≤m≤5，且m为整数，
∵W随m的增大而减小，
∴当m＝5时，W有最小值1740，此时n＝1．
综上，租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740元．
9．（8分）（2020?甘孜州）某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．
（1）求k，b的值；
（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．
【解答】解：（1）由题意可得：，
∴，
答：k＝﹣1，b＝80；
（2）∵w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣x+80）＝﹣（x﹣60）2+400，
∴当x＝60时，w有最大值为400元，
答：销售该商品每周可获得的最大利润为400元．
10．（8分）（2020?湘潭）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
【解答】解：（1）设购买《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元，
由题意得：，
解得．
答：购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；
（2）设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为（50﹣n）本，
根据题意得，
解得：，
则n可以取17、18、19、20，
当n＝17时，50﹣n＝33，共花费17×35+33×30＝1585元；
当n＝18时，50﹣n＝32，共花费18×35+32×30＝1590元；
当n＝19时，50﹣n＝31，共花费19×35+31×30＝1595元；
当n＝20时，50﹣n＝30，共花费20×35+30×30＝1600元；
所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．
11．（10分）（2020?鄂州）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
把x＝4，y＝10000和x＝5，y＝9500代入得，
，
解得，，
∴y＝﹣500x+12000；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，
，
解得，3≤x≤12，
设利润为w元，根据题意得，
w＝（x﹣3）y＝（x﹣3）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+13500x﹣36000＝﹣500（x﹣13.5）2+55125，
∵﹣500＜0，
∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大，
∵3≤x≤12，
∴当x＝12时，w取最大值为：﹣500×（12﹣13.5）2+55125＝54000，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价分别为12元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500m）x﹣36000﹣12000m，
∴对称轴为x13.5+0.5m，
∵﹣500＜0，
∴当x≤13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，
∵捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．
∴15≤13.5+0.5m，
解得，m≥3，
∵1≤m≤6，
∴3≤m≤6．
12．（2020?锦州）某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
每千克售价x（元）
…
25
30
35
…
日销售量y（千克）
…
110
100
90
…
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？
（3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
将（25，110）、（30，100）代入，得：，
解得：，
∴y＝﹣2x+160；
（2）由题意得：（x﹣20）（﹣2x+160）＝1000，
即﹣2x2+200x﹣3200＝1000，
解得：x＝30或70，
又∵每千克售价不低于成本，且不高于40元，即20≤x≤40，
答：该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为30元．
（3）设超市日销售利润为w元，
w＝（x﹣20）（﹣2x+160），
＝﹣2x2+200x﹣3200，
＝﹣2（x﹣50）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴当20≤x≤40时，w随x的增大而增大，
∴当x＝40时，w取得最大值为：w＝﹣2（40﹣50）2+1800＝1600，
答：当每千克樱桃的售价定为40元时日销售利润最大，最大利润是1600元．
13．（10分）（2020?朝阳）某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
（1）直接写出y与x的关系式　y＝﹣x+120　；
（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
【解答】解：（1）设解析式为y＝kx+b，
将（40，80）和（60，60）代入，可得，解得：，
所以y与x的关系式为y＝﹣x+120，
故答案为：y＝﹣x+120；
（2）设公司销售该商品获得的日利润为w元，
w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+120）＝﹣x2+150x﹣3600＝﹣（x﹣75）2+2025，
∵x﹣30≥0，﹣x+120≥0，
∴30≤x≤120，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当x＝75时，w最大＝2025，
答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元．
（3）w＝（x﹣30﹣10）（﹣x+120）＝﹣x2+160x﹣4800＝﹣（x﹣80）2+1600，
当w最大＝1500时，﹣（x﹣80）2+1600＝1500，
解得x1＝70，x2＝90，
∵40≤x≤a，
∴有两种情况，
①a＜80时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当x＝a＝70时，w最大＝1500，
②a≥80时，在40≤x≤a范围内w最大＝1600≠1500，
∴这种情况不成立，
∴a＝70．
14．（10分）（2020?沈阳）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（6，0），动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜4），过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N．
（1）填空：AO的长为　4　，AB的长为　2　；
（2）当t＝1时，求点N的坐标；
（3）请直接写出MN的长为　　（用含t的代数式表示）；
（4）点E是线段MN上一动点（点E不与点M，N重合），△AOE和△ABE的面积分别表示为S1和S2，当t时，请直接写出S1?S2（即S1与S2的积）的最大值为　16　．
【解答】解：（1）∵A（4，4），B（6，0），
∴OA4，AB2．
故答案为4，2．
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（4，4），B（6，0）代入得到，，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+12，
由题意点N的纵坐标为1，
令y＝1，则1＝﹣2x+12，
∴x，
∴N（，1）．
（3）当0＜t＜4时，令y＝t，代入y＝﹣2x+12，得到x，
∴N（，t），
∵∠AOB＝∠AOP＝45°，∠OPM＝90°，
∴OP＝PM＝t，
∴MN＝PN﹣PMt．
故答案为．
（4）．如图，当t时，MN4，设EM＝m，则EN＝4﹣m．
由题意S1?S2?m×4（4﹣m）×4＝﹣4m2+16m＝﹣4（m﹣2）2+16，
∵﹣4＜0，
∴m＝2时，S1?S2有最大值，最大值为16．
故答案为16．
15．（10分）（2020?连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（4，），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
（1）m＝　6　，点C的坐标为　（2，0）　；
（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．
【解答】解：（1）∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（4，），
∴m6，
∵AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
∴C（2，0）；
故答案为6，（2，0）；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（4，），C（2，0）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为yx；
∵点D为线段AB上的一个动点，
∴设D（x，x）（0＜x≤4），
∵DE∥y轴，
∴E（x，），
∴S△ODEx?（x）x2x+3（x﹣1）2，
∴当x＝1时，△ODE的面积的最大值为．
16．（12分）（2020?朝阳）如图，抛物线ybx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点C坐标为（0，4）．
（1）求抛物线表达式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使∠ABP＝∠BCO，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离；
（4）点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点A，B，C重合，连接GH，GQ，HQ，得到△GHQ，直接写出△GHQ周长的最小值．
【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为x＝﹣1，
∴1，
∴b＝﹣1，
将（0，4）代入yx+c中，
∴c＝4，
∴yx+4．
（2）如图1中，作PE⊥x轴于点E．
∵∠ABP＝∠BCO，∠PEB＝∠BOC＝90°，
∴△PEB∽△BOC，
∴（此处也可以由等角的正切值相等得到），
设，则PE＝|m2﹣m+4|，BE＝2﹣m，
①当点P在x轴上方时：，
解得m1＝﹣3，m2＝2（不符题意，舍），
②当点P在x轴下方时：，
解得m1＝﹣5，m2＝2（不符题意，舍），
∴或．
（3）作MF⊥x轴于点F，交BP于点R，作MN⊥BP于点N．
∵y（x+4）（x﹣2），
∴A（﹣4，0），B（2，0），
设yBP＝kx+b1，
将代入得解得k1，
∴yBPx+1，
设，则，
∴a+3，
∵∠MNR＝∠RFB＝90°，∠NRM＝∠FRB，
∴△MNR∽△BFR，
∴，
∵tan∠ABP，
在Rt△MNR中NR：MN：MR＝1：2：，
∴，
∴MN，
当a时，MN最大为．
（4）作Q点关于AC的对称点Q1，作Q关于CB的对称点Q2，连接Q1Q2与AC于G1，与CB交于点H1，连接QQ1交AC于J，连接QQ2交CB于K，此时△QG1H1的周长最小，这个最小值＝QQ2．
∵QJ＝JQ1，QK＝KQ2，
∴Q1Q2＝2JK，
∴当JK最小时，Q1Q2最小，如图2中：
∵∠CJQ＝∠CKQ＝90°，
∴C、J、Q、K四点共圆，线段CQ就是圆的直径，JK是弦，
∵∠JCK是定值，
∴直径CQ最小时，弦JK最小，
∴当点Q与点O重合时，CQ最小，此时JK最小，如图3中：
∵在Rt△COA中，∠COA＝90°，CO＝4，AO＝4，
∴AC，
∵Rt△COB，∠COB＝90°，BO＝2CB，
∵OJ⊥AC，OK⊥CB，
∴OC?OB，
∴OK，
∴CN，
∵∠JCO＝∠OCA，∠CJO＝∠COA，
∴△CJO∽△COA，
∴，
∴CO2＝CJ?CA，同理可得：CO2＝CK?CB，
∴CJ?CA＝CK?CB，
∴，
∵∠JCK＝∠BCA，
∴△CJK∽△CBA，
∴，
∴，
∴JK，
∴△QGH周长的最小值＝Q1Q2＝2JK．
17．（14分）（2020?齐齐哈尔）综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB的函数解析式为　y＝x+4　，点M的坐标为　（﹣2，﹣2）　，cos∠ABO＝　　；
连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为　（﹣2，2）或（0，4）　；
（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；
（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故直线AB的表达式为：yx2+2x；
（2）点A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点B（0，4），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x+4；
则∠ABO＝45°，故cos∠ABO；
对于yx2+2x，函数的对称轴为x＝﹣2，故点M（﹣2，﹣2）；
OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则APAC或AC，
则，即，解得：yP＝2或4，
故点P（﹣2，2）或（0，4）；
故答案为：y＝x+4；（﹣2，﹣2）；；（﹣2，2）或（0，4）；
（3）△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，
点A′（4，0），
设直线A′M的表达式为：y＝kx+b，则，解得，
故直线A′M的表达式为：yx，
令x＝0，则y，故点Q（0，）；
（4）存在，理由：
设点N（m，n），而点A、C、O的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），
①当AC是边时，
点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O（N）右平移6个单位向上平移6个单位得到点N（O），
即0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6，
故点N（6，6）或（﹣6，﹣6）；
②当AC是对角线时，
由中点公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，
解得：m＝﹣2，n＝6，
故点N（﹣2，6）；
综上，点N的坐标为（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．2021年九年级中考数学复习专题：函数与最值问题九
选择题
1．（3分）（2020?嘉兴）已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（　　）
A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值
B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值
C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值
D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值
2．（3分）（2020?安顺）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　）
A．无法确定
B．
C．1
D．2
3．（3分）（2020?乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y交于A、B两点，P是以点C（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（　　）
A．
B．
C．﹣2
D．
填空题
4．（5分）（2020?内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为　　　　．
5．（3分）（2020?湘潭）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为　　　　．
6．（3分）（2020?鄂州）如图，已知直线yx+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为　　　　．
7．（3分）（2020?连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为　　　　．
解答题
8．（10分）（2020?乐山）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
车型
每车限载人数（人）
租金（元/辆）
商务车
6
300
轿车
4
（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？
（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？
9．（8分）（2020?甘孜州）某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．
（1）求k，b的值；
（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．
10．（8分）（2020?湘潭）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
11．（10分）（2020?鄂州）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
12．（2020?锦州）某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
每千克售价x（元）
…
25
30
35
…
日销售量y（千克）
…
110
100
90
…
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？
（3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
13．（10分）（2020?朝阳）某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
（1）直接写出y与x的关系式　y＝﹣x+120　；
（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
14．（10分）（2020?沈阳）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（6，0），动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜4），过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N．
（1）填空：AO的长为　　　　，AB的长为　　　　；
（2）当t＝1时，求点N的坐标；
（3）请直接写出MN的长为　　　　（用含t的代数式表示）；
（4）点E是线段MN上一动点（点E不与点M，N重合），△AOE和△ABE的面积分别表示为S1和S2，当t时，请直接写出S1?S2（即S1与S2的积）的最大值为　　　　．
15．（10分）（2020?连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（4，），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
（1）m＝　　　　，点C的坐标为　　　　　　；
（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．
16．（12分）（2020?朝阳）如图，抛物线ybx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点C坐标为（0，4）．
（1）求抛物线表达式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使∠ABP＝∠BCO，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离；
（4）点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点A，B，C重合，连接GH，GQ，HQ，得到△GHQ，直接写出△GHQ周长的最小值．
17．（14分）（2020?齐齐哈尔）综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB的函数解析式为　　　　，点M的坐标为　　　　，cos∠ABO＝　　　　；
连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为　　　　　　；
（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；
（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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