资源简介

2016年江苏省苏州市中考数学试卷
一、选择题
1．（2016·苏州） 的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2016·苏州）肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007用科学记数法表示为（　　）
A．0.7×10﹣3 B．7×10﹣3 C．7×10﹣4 D．7×10﹣5
3．（2016·苏州）下列运算结果正确的是（　　）
A．a+2b=3ab B．3a2﹣2a2=1
C．a2 a4=a8 D．（﹣a2b）3÷（a3b）2=﹣b
4．（2016·苏州）一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
5．（2016·苏州）如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1=58°，则∠2的度数为（　　）
A．58° B．42° C．32° D．28°
6．（2016·苏州）已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y= （k＜0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．无法确定
7．（2016·苏州）根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2016年1月1日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费，某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量，如表所示：
用水量（吨） 15 20 25 30 35
户数 3 6 7 9 5
则这30户家庭该用用水量的众数和中位数分别是（　　）
A．25，27 B．25，25 C．30，27 D．30，25
8．（2016·苏州）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（　　）
A．2 m B．2 m
C．（2 ﹣2）m D．（2 ﹣2）m
9．（2016·苏州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（　　）
A．（3，1） B．（3， ） C．（3， ） D．（3，2）
10．（2016·苏州）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2 ，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（　　）
A．2 B． C． D．3
二、填空题
11．（2016·苏州）分解因式：x2﹣1=　 　．
12．（2016·苏州）当x=　 　时，分式 的值为0．
13．（2016·苏州）要从甲、乙两名运动员中选出一名参加“2016里约奥运会”100m比赛，对这两名运动员进行了10次测试，经过数据分析，甲、乙两名运动员的平均成绩均为10.05（s），甲的方差为0.024（s2），乙的方差为0.008（s2），则这10次测试成绩比较稳定的是　 　运动员．（填“甲”或“乙”）
14．（2016·苏州）某学校计划购买一批课外读物，为了了解学生对课外读物的需求情况，学校进行了一次“我最喜爱的课外读物”的调查，设置了“文学”、“科普”、“艺术”和“其他”四个类别，规定每人必须并且只能选择其中一类，现从全体学生的调查表中随机抽取了部分学生的调查表进行统计，并把统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，则在扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是　 　度．
15．（2016·苏州）不等式组 的最大整数解是　 　．
16．（2016·苏州）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为　 　．
17．（2016·苏州）如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为　 　
18．（2016·苏州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，2 ），C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为　 　
三、解答题
19．（2016·苏州）计算：（ ）2+|﹣3|﹣（π+ ）0．
20．（2016·苏州）解不等式2x﹣1＞ ，并把它的解集在数轴上表示出来．
21．（2016·苏州）先化简，再求值： ÷（1﹣ ），其中x= ．
22．（2016·苏州）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？
23．（2016·苏州）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．
（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为　 　；
（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率．
24．（2016·苏州）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．
（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．
25．（2016·苏州）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．
26．（2016·苏州）如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）证明：∠E=∠C；
（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB= ，E是 的中点，求EG ED的值．
27．（2016·苏州）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜ ）．
（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为　 　；
（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；
（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：
①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；
②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．
28．（2016·苏州）如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．
①写出点M′的坐标；
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵ × =1， ∴ 的倒数是 ．
故选A．
【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可．本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法—记绝对值小于1的数
【解析】【解答】解：0.0007=7×10﹣4，
故选：C．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、a+2b，无法计算，故此选项错误；
B、3a2﹣2a2=a2，故此选项错误；
C、a2 a4=a6，故此选项错误；
D、（﹣a2b）3÷（a3b）2=﹣b，故此选项正确；
故选：D．
【分析】分别利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及合并同类项、积的乘方运算等知识，正确把握相关定义是解题关键．
4．【答案】A
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：根据题意得：40﹣（12+10+6+8）=40﹣36=4，
则第5组的频率为4÷40=0.1，
故选A．
【分析】根据第1～4组的频数，求出第5组的频数，即可确定出其频率．此题考查了频数与频率，弄清题中的数据是解本题的关键．
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠ACB=∠2，
∵AC⊥BA，
∴∠BAC=90°，
∴∠2=ACB=180°﹣∠1﹣∠BAC=180°﹣90°﹣58°=32°，
故选C．
【分析】根据平行线的性质得出∠ACB=∠2，根据三角形内角和定理求出即可．本题考查了对平行线的性质和三角形内角和定理的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补
6．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y= （k＜0）的图象上，
∴每个象限内，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，
故选：B．
【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确把握反比例函数的性质是解题关键．
7．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：因为30出现了9次，
所以30是这组数据的众数，
将这30个数据从小到大排列，第15、16个数据的平均数就是中位数，所以中位数是25，
故选D．
【分析】根据众数、中位数的定义即可解决问题．本题考查众数、中位数的定义，解题的关键是记住众数、中位数的定义，属于基础题，中考常考题型．
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD= ， ∴AD=4sin60°=2 （m），在Rt△ACD中，∵sin∠ACD= ，∴AC= =2 （m）．
故选B．
【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可．本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=tanα．
9．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的实际应用；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（ ，0），A（3，0），∴H（ ，0），∴直线CH解析式为y=﹣ x+4，∴x=3时，y= ，∴点E坐标（3， ）
故选：B．
【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称﹣最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型．
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，∵∠ABC=90°，AB=BC=2 ，∴AC= = =4，
∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，
∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，
∴AG=BG=2
∵S△ABC= AB AC= ×2 ×2 =4，
∴S△ADC=2，
∵ =2，∴GH= BG= ，∴BH= ，又∵EF= AC=2，∴S△BEF= EF BH= ×2× = ，
故选C．
【分析】连接AC，过B作EF的垂线，利用勾股定理可得AC，易得△ABC的面积，可得BG和△ADC的面积，三角形ABC与三角形ACD同底，利用面积比可得它们高的比，而GH又是△ACD以AC为底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位线的性质可得EF的长，利用三角形的面积公式可得结果．此题主要考查了三角形面积的运算，作出恰当的辅助线得到三角形的底和高是解答此题的关键．
11．【答案】（x+1）（x﹣1）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
【分析】利用平方差公式分解即可求得答案．此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．
12．【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式 的值为0，
∴x﹣2=0，
解得：x=2．
故答案为：2．
【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而求出答案．此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
13．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：因为S甲2=0.024＞S乙2=0.008，方差小的为乙，
所以本题中成绩比较稳定的是乙．
故答案为乙．
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14．【答案】72
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：根据条形图得出文学类人数为90，利用扇形图得出文学类所占百分比为：30%，
则本次调查中，一共调查了：90÷30%=300（人），
则艺术类读物所在扇形的圆心角是的圆心角是360°× =72°；
故答案为：72．
【分析】根据文学类人数和所占百分比，求出总人数，然后用总人数乘以艺术类读物所占的百分比即可得出答案．此题主要考查了条形图表和扇形统计图综合应用，将条形图与扇形图结合得出正确信息求出调查的总人数是解题关键．
15．【答案】3
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式x+2＞1，得：x＞﹣1，
解不等式2x﹣1≤8﹣x，得：x≤3，
则不等式组的解集为：﹣1＜x≤3，
则不等式组的最大整数解为3，
故答案为：3．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，最后求其整数解即可．本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
16．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OC，
∵过点C的切线交AB的延长线于点D，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
即∠D+∠COD=90°，
∵AO=CO，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=2∠A，
∵∠A=∠D，
∴∠COD=2∠D，
∴3∠D=90°，
∴∠D=30°，
∴∠COD=60°
∵CD=3，
∴OC=3× = ，∴阴影部分的面积= ×3× ﹣ = ，故答案为： ．
【分析】连接OC，可求得△OCD和扇形OCB的面积，进而可求出图中阴影部分的面积．本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．求出∠D=30°是解题的突破口．
17．【答案】2
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，作DF⊥B′E于点F，作B′G⊥AD于点G，
∵∠B=60°，BE=BD=4，
∴△BDE是边长为4的等边三角形，
∵将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE，
∴△B′DE也是边长为4的等边三角形，
∴GD=B′F=2，
∵B′D=4，
∴B′G= = =2 ，
∵AB=10，
∴AG=10﹣6=4，
∴AB′= = =2 ．故答案为：2 ．
【分析】作DF⊥B′E于点F，作B′G⊥AD于点G，首先根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形判定△BDE是边长为4的等边三角形，从而根据翻折的性质得到△B′DE也是边长为4的等边三角形，从而GD=B′F=2，然后根据勾股定理得到B′G=2 ，然后再次利用勾股定理求得答案即可．本题考查了翻折变换的性质，解题的关键是根据等边三角形的判定定理判定等边三角形，难度不大．
18．【答案】（1， ）
【知识点】坐标与图形性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（8，0），（0，2 ） ∴BO= ，AO=8,由CD⊥BO，C是AB的中点，可得BD=DO= BO= =PE，CD= AO=4
设DP=a，则CP=4﹣a
当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，∠FCP=∠DBP
又∵EP⊥CP，PD⊥BD
∴∠EPC=∠PDB=90°
∴△EPC∽△PDB
∴ ，即
解得a1=1，a2=3（舍去）
∴DP=1
又∵PE= ∴P（1， ）
故答案为：（1， ）．
【分析】先根据题意求得CD和PE的长，再判定△EPC∽△PDB，列出相关的比例式，求得DP的长，最后根据PE、DP的长得到点P的坐标．本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是掌握平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．
19．【答案】解：原式=5+3﹣1
=7．
【知识点】相反数及有理数的相反数；零指数幂；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】直接利用二次根式的性质以及结合绝对值、零指数幂的性质分析得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．【答案】解：去分母，得：4x﹣2＞3x﹣1，
移项，得：4x﹣3x＞2﹣1，
合并同类项，得：x＞1，
将不等式解集表示在数轴上如图：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式
【解析】【分析】根据分式的基本性质去分母、去括号、移项可得不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来．本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
21．【答案】解：原式= ÷
=
= ，
当x= 时，原式= =
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先括号内通分，然后计算除法，最后代入化简即可．本题考查分式的化简求值，解题的关键熟练掌握分式的混合运算法则，注意运算顺序，属于基础题，中考常考题型．
22．【答案】解：设中型车有x辆，小型车有y辆，根据题意，得
解得
答：中型车有20辆，小型车有30辆
【知识点】二元一次方程组的实际应用-鸡兔同笼问题
【解析】【分析】先设中型车有x辆，小型车有y辆，再根据题中两个等量关系，列出二元一次方程组进行求解．本题主要考查了二元一次方程组，解决问题的关键是找出等量关系列出方程．本题也可以运用一元一次方程进行解答．
23．【答案】（1）
（2）解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数为6，所以点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率= =
【知识点】坐标与图形性质；列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率= ； 故答案为 ；
【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴AE∥CD，∠AOB=90°，
∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，
∴∠AOB=∠EDB，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE=CD=5，DE=AC=8，
∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可．此题考查平行四边形的性质和判定问题，关键是根据平行四边形的判定解答即可．
25．【答案】解：∵点B（2，n）、P（3n﹣4，1）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，
∴ ．
解得：m=8，n=4．
∴反比例函数的表达式为y= ．
∵m=8，n=4，
∴点B（2，4），（8，1）．
过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′．
在△BDP和△BDP′中，
∴△BDP≌△BDP′．
∴DP′=DP=6．
∴点P′（﹣4，1）．
将点P′（﹣4，1），B（2，4）代入直线的解析式得： ，
解得： ．
∴一次函数的表达式为y= x+3
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】将点B（2，n）、P（3n﹣4，1）代入反比例函数的解析式可求得m、n的值，从而求得反比例函数的解析式以及点B和点P的坐标，过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′．接下来证明△BDP≌△BDP′，从而得到点P′的坐标，最后将点P′和点B的坐标代入一次函数的解析式即可求得一次函数的表达式．本题主要考查的是一次函数和反比例函数的综合应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
26．【答案】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵CD=BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠B=∠E，
∴∠E=∠C；
（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD=180°-∠E，
又∵∠CFD=180°-∠AFD，
∴∠CFD=∠E=55°，
又∵∠E=∠C=55°，
∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；
（3）解：连接OE，
∵∠CFD=∠E=∠C，
∴FD=CD=BD=4，
在Rt△ABD中，cosB= ，BD=4，
∴AB=6，
∵E是 的中点，AB是⊙O的直径，
∴∠AOE=90°，
∵AO=OE=3，
∴AE=3 ，
∵E是 的中点，
∴∠ADE=∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，
∴ ，
即EG ED=AE2=18．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，劲儿利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；（3）根据cosB= ，得出AB的长，再求出AE的长，进而得出△AEG∽△DEA，求出答案即可．此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出AE，AB的长是解题关键．
27．【答案】（1）1
（2）解：解：如图2中，作MT⊥BC于T．∵MC=MQ，MT⊥CQ，∴TC=TQ，由（1）可知TQ= （8﹣5t），QM=3t，∵MQ∥BD，∴∠MQT=∠DBC，∵∠MTQ=∠BCD=90°，∴△QTM∽△BCD，∴ ，∴ ，∴t= （s），
∴t= s时，△CMQ是以CQ为底的等腰三角形
（3）解：①证明：如图2中，由此QM交CD于E，∵EQ∥BD，∴ = ，∴EC= （8﹣5t），ED=DC﹣EC=6﹣ （8﹣5t）= t，∵DO=3t，∴DE﹣DO= t﹣3t= t＞0，∴点O在直线QM左侧．
②解：如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E．
∵EC= （8﹣5t），DO=3t，
∴OE=6﹣3t﹣ （8﹣5t）= t，
∵OH⊥MQ，∴∠OHE=90°，∵∠HEO=∠CEQ，∴∠HOE=∠CQE=∠CBD，∵∠OHE=∠C=90°，∴△OHE∽△BCD，∴ ，∴ ，∴t= ．∴t= s时，⊙O与直线QM相切．
连接PM，假设PM与⊙O相切，则∠OMH= PMQ=22.5°，
在MH上取一点F，使得MF=FO，则∠FMO=∠FOM=22.5°，∴∠OFH=∠FOH=45°，∴OH=FH=0.8，FO=FM=0.8 ，∴MH=0.8（ +1），由 得到HE= ，由 得到EQ= ，∴MH=MQ﹣HE﹣EQ=4﹣ ﹣ = ，∴0.8（ +1）≠ ，矛盾，∴假设不成立．∴直线MQ与⊙O不相切．
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】（1）解：如图1中
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°，AB=CD=6．AD=BC=8，
∴BD= = =10，
∵PQ⊥BD，
∴∠BPQ=90°=∠C，
∵∠PBQ=∠DBC，
∴△PBQ∽△CBD，
∴ ，
∴ ，
∴PQ=3t，BQ=5t，
∵DQ平分∠BDC，QP⊥DB，QC⊥DC，
∴QP=QC，
∴3t=8﹣5t，
∴t= 1 ，
故答案为 ：1 ．
【分析】本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、切线的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键灵活运用这些知识解决问题，学会利用方程的思想思考问题，充分利用相似三角形的性质构建方程，在最后一个问题证明中利用了反证法，属于中考压轴题．（1）先利用△PBQ∽△CBD求出PQ、BQ，再根据角平分线性质，列出方程解决问题．（2）由△QTM∽△BCD，得 列出方程即可解决．（3）①如图2中，由此QM交CD于E，求出DE、DO利用差值比较即可解决问题．
②如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E．由△OHE∽△BCD，得 ，列出方程即可解决问题．利用反证法证明直线PM不可能由⊙O相切．
28．【答案】（1）解：令x=0代入y=﹣3x+3，
∴y=3，
∴B（0，3），
把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，
∴3=a+4，
∴a=﹣1，
∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3
（2）解：令y=0代入y=﹣x2+2x+3，
∴0=﹣x2+2x+3，
∴x=﹣1或3，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，
∵M在抛物线上，且在第一象限内，
∴0＜m＜3，
过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，
由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
∴D的纵坐标为：﹣m2+2m+3，
∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3，
∴x= ，
∴D的坐标为（ ，﹣m2+2m+3），
∴DM=m﹣ = ，
∴S= DM BE+ DM OE
= DM（BE+OE）
= DM OB
= × ×3
=
= （m﹣ ）2+
∵0＜m＜3，
∴当m= 时，
S有最大值，最大值为 ；
（3）解：①由（2）可知：M′的坐标为（ ， ）；
②
过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，
根据题意知：d1+d2=BF，
此时只要求出BF的最大值即可，∵∠BFM′=90°，∴点F在以BM′为直径的圆上，设直线AM′与该圆相交于点H，∵点C在线段BM′上，∴F在优弧 上，∴当F与M′重合时，BF可取得最大值，此时BM′⊥l1，∵A（1，0），B（0，3），M′（ ， ），∴由勾股定理可求得：AB= ，M′B= ，M′A= ，过点M′作M′G⊥AB于点G，设BG=x，∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，∴ ﹣（ ﹣x）2= ﹣x2，∴x= ，cos∠M′BG= = ，∵l1∥l′，∴∠BCA=90°，∠BAC=45°
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值；（2）过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，所以△ABM的面积为 DM OB，设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），用含m的式子表示DM，然后求出S与m的函数关系式，即可求出S的最大值，其中m的取值范围是0＜m＜3；（3）①由（2）可知m= ，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值；
②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，所以d1+d2=BF，所以求出BF的最小值即可，由题意可知，点F在以BM′为直径的圆上，所以当点F与M′重合时，BF可取得最大值．本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数求二次函数解析式，求三角形面积，圆的相关性质等知识，内容较为综合，学生需要认真分析题目，化动为静去解决问题．
1 / 12016年江苏省苏州市中考数学试卷
一、选择题
1．（2016·苏州） 的倒数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵ × =1， ∴ 的倒数是 ．
故选A．
【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可．本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数．
2．（2016·苏州）肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007用科学记数法表示为（　　）
A．0.7×10﹣3 B．7×10﹣3 C．7×10﹣4 D．7×10﹣5
【答案】C
【知识点】科学记数法—记绝对值小于1的数
【解析】【解答】解：0.0007=7×10﹣4，
故选：C．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（2016·苏州）下列运算结果正确的是（　　）
A．a+2b=3ab B．3a2﹣2a2=1
C．a2 a4=a8 D．（﹣a2b）3÷（a3b）2=﹣b
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、a+2b，无法计算，故此选项错误；
B、3a2﹣2a2=a2，故此选项错误；
C、a2 a4=a6，故此选项错误；
D、（﹣a2b）3÷（a3b）2=﹣b，故此选项正确；
故选：D．
【分析】分别利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及合并同类项、积的乘方运算等知识，正确把握相关定义是解题关键．
4．（2016·苏州）一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】A
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：根据题意得：40﹣（12+10+6+8）=40﹣36=4，
则第5组的频率为4÷40=0.1，
故选A．
【分析】根据第1～4组的频数，求出第5组的频数，即可确定出其频率．此题考查了频数与频率，弄清题中的数据是解本题的关键．
5．（2016·苏州）如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1=58°，则∠2的度数为（　　）
A．58° B．42° C．32° D．28°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠ACB=∠2，
∵AC⊥BA，
∴∠BAC=90°，
∴∠2=ACB=180°﹣∠1﹣∠BAC=180°﹣90°﹣58°=32°，
故选C．
【分析】根据平行线的性质得出∠ACB=∠2，根据三角形内角和定理求出即可．本题考查了对平行线的性质和三角形内角和定理的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补
6．（2016·苏州）已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y= （k＜0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．无法确定
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y= （k＜0）的图象上，
∴每个象限内，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，
故选：B．
【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确把握反比例函数的性质是解题关键．
7．（2016·苏州）根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2016年1月1日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费，某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量，如表所示：
用水量（吨） 15 20 25 30 35
户数 3 6 7 9 5
则这30户家庭该用用水量的众数和中位数分别是（　　）
A．25，27 B．25，25 C．30，27 D．30，25
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：因为30出现了9次，
所以30是这组数据的众数，
将这30个数据从小到大排列，第15、16个数据的平均数就是中位数，所以中位数是25，
故选D．
【分析】根据众数、中位数的定义即可解决问题．本题考查众数、中位数的定义，解题的关键是记住众数、中位数的定义，属于基础题，中考常考题型．
8．（2016·苏州）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（　　）
A．2 m B．2 m
C．（2 ﹣2）m D．（2 ﹣2）m
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD= ， ∴AD=4sin60°=2 （m），在Rt△ACD中，∵sin∠ACD= ，∴AC= =2 （m）．
故选B．
【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可．本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=tanα．
9．（2016·苏州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（　　）
A．（3，1） B．（3， ） C．（3， ） D．（3，2）
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的实际应用；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（ ，0），A（3，0），∴H（ ，0），∴直线CH解析式为y=﹣ x+4，∴x=3时，y= ，∴点E坐标（3， ）
故选：B．
【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称﹣最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型．
10．（2016·苏州）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2 ，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（　　）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，∵∠ABC=90°，AB=BC=2 ，∴AC= = =4，
∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，
∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，
∴AG=BG=2
∵S△ABC= AB AC= ×2 ×2 =4，
∴S△ADC=2，
∵ =2，∴GH= BG= ，∴BH= ，又∵EF= AC=2，∴S△BEF= EF BH= ×2× = ，
故选C．
【分析】连接AC，过B作EF的垂线，利用勾股定理可得AC，易得△ABC的面积，可得BG和△ADC的面积，三角形ABC与三角形ACD同底，利用面积比可得它们高的比，而GH又是△ACD以AC为底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位线的性质可得EF的长，利用三角形的面积公式可得结果．此题主要考查了三角形面积的运算，作出恰当的辅助线得到三角形的底和高是解答此题的关键．
二、填空题
11．（2016·苏州）分解因式：x2﹣1=　 　．
【答案】（x+1）（x﹣1）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
【分析】利用平方差公式分解即可求得答案．此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．
12．（2016·苏州）当x=　 　时，分式 的值为0．
【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式 的值为0，
∴x﹣2=0，
解得：x=2．
故答案为：2．
【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而求出答案．此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
13．（2016·苏州）要从甲、乙两名运动员中选出一名参加“2016里约奥运会”100m比赛，对这两名运动员进行了10次测试，经过数据分析，甲、乙两名运动员的平均成绩均为10.05（s），甲的方差为0.024（s2），乙的方差为0.008（s2），则这10次测试成绩比较稳定的是　 　运动员．（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：因为S甲2=0.024＞S乙2=0.008，方差小的为乙，
所以本题中成绩比较稳定的是乙．
故答案为乙．
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14．（2016·苏州）某学校计划购买一批课外读物，为了了解学生对课外读物的需求情况，学校进行了一次“我最喜爱的课外读物”的调查，设置了“文学”、“科普”、“艺术”和“其他”四个类别，规定每人必须并且只能选择其中一类，现从全体学生的调查表中随机抽取了部分学生的调查表进行统计，并把统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，则在扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是　 　度．
【答案】72
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：根据条形图得出文学类人数为90，利用扇形图得出文学类所占百分比为：30%，
则本次调查中，一共调查了：90÷30%=300（人），
则艺术类读物所在扇形的圆心角是的圆心角是360°× =72°；
故答案为：72．
【分析】根据文学类人数和所占百分比，求出总人数，然后用总人数乘以艺术类读物所占的百分比即可得出答案．此题主要考查了条形图表和扇形统计图综合应用，将条形图与扇形图结合得出正确信息求出调查的总人数是解题关键．
15．（2016·苏州）不等式组 的最大整数解是　 　．
【答案】3
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式x+2＞1，得：x＞﹣1，
解不等式2x﹣1≤8﹣x，得：x≤3，
则不等式组的解集为：﹣1＜x≤3，
则不等式组的最大整数解为3，
故答案为：3．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，最后求其整数解即可．本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
16．（2016·苏州）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OC，
∵过点C的切线交AB的延长线于点D，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
即∠D+∠COD=90°，
∵AO=CO，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=2∠A，
∵∠A=∠D，
∴∠COD=2∠D，
∴3∠D=90°，
∴∠D=30°，
∴∠COD=60°
∵CD=3，
∴OC=3× = ，∴阴影部分的面积= ×3× ﹣ = ，故答案为： ．
【分析】连接OC，可求得△OCD和扇形OCB的面积，进而可求出图中阴影部分的面积．本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．求出∠D=30°是解题的突破口．
17．（2016·苏州）如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为　 　
【答案】2
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，作DF⊥B′E于点F，作B′G⊥AD于点G，
∵∠B=60°，BE=BD=4，
∴△BDE是边长为4的等边三角形，
∵将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE，
∴△B′DE也是边长为4的等边三角形，
∴GD=B′F=2，
∵B′D=4，
∴B′G= = =2 ，
∵AB=10，
∴AG=10﹣6=4，
∴AB′= = =2 ．故答案为：2 ．
【分析】作DF⊥B′E于点F，作B′G⊥AD于点G，首先根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形判定△BDE是边长为4的等边三角形，从而根据翻折的性质得到△B′DE也是边长为4的等边三角形，从而GD=B′F=2，然后根据勾股定理得到B′G=2 ，然后再次利用勾股定理求得答案即可．本题考查了翻折变换的性质，解题的关键是根据等边三角形的判定定理判定等边三角形，难度不大．
18．（2016·苏州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，2 ），C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为　 　
【答案】（1， ）
【知识点】坐标与图形性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（8，0），（0，2 ） ∴BO= ，AO=8,由CD⊥BO，C是AB的中点，可得BD=DO= BO= =PE，CD= AO=4
设DP=a，则CP=4﹣a
当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，∠FCP=∠DBP
又∵EP⊥CP，PD⊥BD
∴∠EPC=∠PDB=90°
∴△EPC∽△PDB
∴ ，即
解得a1=1，a2=3（舍去）
∴DP=1
又∵PE= ∴P（1， ）
故答案为：（1， ）．
【分析】先根据题意求得CD和PE的长，再判定△EPC∽△PDB，列出相关的比例式，求得DP的长，最后根据PE、DP的长得到点P的坐标．本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是掌握平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．
三、解答题
19．（2016·苏州）计算：（ ）2+|﹣3|﹣（π+ ）0．
【答案】解：原式=5+3﹣1
=7．
【知识点】相反数及有理数的相反数；零指数幂；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】直接利用二次根式的性质以及结合绝对值、零指数幂的性质分析得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（2016·苏州）解不等式2x﹣1＞ ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：去分母，得：4x﹣2＞3x﹣1，
移项，得：4x﹣3x＞2﹣1，
合并同类项，得：x＞1，
将不等式解集表示在数轴上如图：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式
【解析】【分析】根据分式的基本性质去分母、去括号、移项可得不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来．本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
21．（2016·苏州）先化简，再求值： ÷（1﹣ ），其中x= ．
【答案】解：原式= ÷
=
= ，
当x= 时，原式= =
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先括号内通分，然后计算除法，最后代入化简即可．本题考查分式的化简求值，解题的关键熟练掌握分式的混合运算法则，注意运算顺序，属于基础题，中考常考题型．
22．（2016·苏州）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？
【答案】解：设中型车有x辆，小型车有y辆，根据题意，得
解得
答：中型车有20辆，小型车有30辆
【知识点】二元一次方程组的实际应用-鸡兔同笼问题
【解析】【分析】先设中型车有x辆，小型车有y辆，再根据题中两个等量关系，列出二元一次方程组进行求解．本题主要考查了二元一次方程组，解决问题的关键是找出等量关系列出方程．本题也可以运用一元一次方程进行解答．
23．（2016·苏州）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．
（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为　 　；
（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数为6，所以点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率= =
【知识点】坐标与图形性质；列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率= ； 故答案为 ；
【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
24．（2016·苏州）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．
（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴AE∥CD，∠AOB=90°，
∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，
∴∠AOB=∠EDB，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE=CD=5，DE=AC=8，
∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可．此题考查平行四边形的性质和判定问题，关键是根据平行四边形的判定解答即可．
25．（2016·苏州）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．
【答案】解：∵点B（2，n）、P（3n﹣4，1）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，
∴ ．
解得：m=8，n=4．
∴反比例函数的表达式为y= ．
∵m=8，n=4，
∴点B（2，4），（8，1）．
过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′．
在△BDP和△BDP′中，
∴△BDP≌△BDP′．
∴DP′=DP=6．
∴点P′（﹣4，1）．
将点P′（﹣4，1），B（2，4）代入直线的解析式得： ，
解得： ．
∴一次函数的表达式为y= x+3
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】将点B（2，n）、P（3n﹣4，1）代入反比例函数的解析式可求得m、n的值，从而求得反比例函数的解析式以及点B和点P的坐标，过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′．接下来证明△BDP≌△BDP′，从而得到点P′的坐标，最后将点P′和点B的坐标代入一次函数的解析式即可求得一次函数的表达式．本题主要考查的是一次函数和反比例函数的综合应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
26．（2016·苏州）如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）证明：∠E=∠C；
（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB= ，E是 的中点，求EG ED的值．
【答案】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵CD=BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠B=∠E，
∴∠E=∠C；
（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD=180°-∠E，
又∵∠CFD=180°-∠AFD，
∴∠CFD=∠E=55°，
又∵∠E=∠C=55°，
∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；
（3）解：连接OE，
∵∠CFD=∠E=∠C，
∴FD=CD=BD=4，
在Rt△ABD中，cosB= ，BD=4，
∴AB=6，
∵E是 的中点，AB是⊙O的直径，
∴∠AOE=90°，
∵AO=OE=3，
∴AE=3 ，
∵E是 的中点，
∴∠ADE=∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，
∴ ，
即EG ED=AE2=18．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，劲儿利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；（3）根据cosB= ，得出AB的长，再求出AE的长，进而得出△AEG∽△DEA，求出答案即可．此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出AE，AB的长是解题关键．
27．（2016·苏州）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜ ）．
（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为　 　；
（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；
（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：
①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；
②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．
【答案】（1）1
（2）解：解：如图2中，作MT⊥BC于T．∵MC=MQ，MT⊥CQ，∴TC=TQ，由（1）可知TQ= （8﹣5t），QM=3t，∵MQ∥BD，∴∠MQT=∠DBC，∵∠MTQ=∠BCD=90°，∴△QTM∽△BCD，∴ ，∴ ，∴t= （s），
∴t= s时，△CMQ是以CQ为底的等腰三角形
（3）解：①证明：如图2中，由此QM交CD于E，∵EQ∥BD，∴ = ，∴EC= （8﹣5t），ED=DC﹣EC=6﹣ （8﹣5t）= t，∵DO=3t，∴DE﹣DO= t﹣3t= t＞0，∴点O在直线QM左侧．
②解：如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E．
∵EC= （8﹣5t），DO=3t，
∴OE=6﹣3t﹣ （8﹣5t）= t，
∵OH⊥MQ，∴∠OHE=90°，∵∠HEO=∠CEQ，∴∠HOE=∠CQE=∠CBD，∵∠OHE=∠C=90°，∴△OHE∽△BCD，∴ ，∴ ，∴t= ．∴t= s时，⊙O与直线QM相切．
连接PM，假设PM与⊙O相切，则∠OMH= PMQ=22.5°，
在MH上取一点F，使得MF=FO，则∠FMO=∠FOM=22.5°，∴∠OFH=∠FOH=45°，∴OH=FH=0.8，FO=FM=0.8 ，∴MH=0.8（ +1），由 得到HE= ，由 得到EQ= ，∴MH=MQ﹣HE﹣EQ=4﹣ ﹣ = ，∴0.8（ +1）≠ ，矛盾，∴假设不成立．∴直线MQ与⊙O不相切．
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】（1）解：如图1中
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°，AB=CD=6．AD=BC=8，
∴BD= = =10，
∵PQ⊥BD，
∴∠BPQ=90°=∠C，
∵∠PBQ=∠DBC，
∴△PBQ∽△CBD，
∴ ，
∴ ，
∴PQ=3t，BQ=5t，
∵DQ平分∠BDC，QP⊥DB，QC⊥DC，
∴QP=QC，
∴3t=8﹣5t，
∴t= 1 ，
故答案为 ：1 ．
【分析】本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、切线的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键灵活运用这些知识解决问题，学会利用方程的思想思考问题，充分利用相似三角形的性质构建方程，在最后一个问题证明中利用了反证法，属于中考压轴题．（1）先利用△PBQ∽△CBD求出PQ、BQ，再根据角平分线性质，列出方程解决问题．（2）由△QTM∽△BCD，得 列出方程即可解决．（3）①如图2中，由此QM交CD于E，求出DE、DO利用差值比较即可解决问题．
②如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E．由△OHE∽△BCD，得 ，列出方程即可解决问题．利用反证法证明直线PM不可能由⊙O相切．
28．（2016·苏州）如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．
①写出点M′的坐标；
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．
【答案】（1）解：令x=0代入y=﹣3x+3，
∴y=3，
∴B（0，3），
把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，
∴3=a+4，
∴a=﹣1，
∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3
（2）解：令y=0代入y=﹣x2+2x+3，
∴0=﹣x2+2x+3，
∴x=﹣1或3，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，
∵M在抛物线上，且在第一象限内，
∴0＜m＜3，
过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，
由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
∴D的纵坐标为：﹣m2+2m+3，
∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3，
∴x= ，
∴D的坐标为（ ，﹣m2+2m+3），
∴DM=m﹣ = ，
∴S= DM BE+ DM OE
= DM（BE+OE）
= DM OB
= × ×3
=
= （m﹣ ）2+
∵0＜m＜3，
∴当m= 时，
S有最大值，最大值为 ；
（3）解：①由（2）可知：M′的坐标为（ ， ）；
②
过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，
根据题意知：d1+d2=BF，
此时只要求出BF的最大值即可，∵∠BFM′=90°，∴点F在以BM′为直径的圆上，设直线AM′与该圆相交于点H，∵点C在线段BM′上，∴F在优弧 上，∴当F与M′重合时，BF可取得最大值，此时BM′⊥l1，∵A（1，0），B（0，3），M′（ ， ），∴由勾股定理可求得：AB= ，M′B= ，M′A= ，过点M′作M′G⊥AB于点G，设BG=x，∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，∴ ﹣（ ﹣x）2= ﹣x2，∴x= ，cos∠M′BG= = ，∵l1∥l′，∴∠BCA=90°，∠BAC=45°
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值；（2）过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，所以△ABM的面积为 DM OB，设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），用含m的式子表示DM，然后求出S与m的函数关系式，即可求出S的最大值，其中m的取值范围是0＜m＜3；（3）①由（2）可知m= ，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值；
②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，所以d1+d2=BF，所以求出BF的最小值即可，由题意可知，点F在以BM′为直径的圆上，所以当点F与M′重合时，BF可取得最大值．本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数求二次函数解析式，求三角形面积，圆的相关性质等知识，内容较为综合，学生需要认真分析题目，化动为静去解决问题．
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