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数学归纳法


从前有个财主，请来一位先生教儿子识字。先生写一横，告诉他的儿子是“一”字；写两横，告诉是个“二”字；写三横，告诉是个“三”字。学到这里,儿子就告诉父亲说：“我已经会了，不用先生再教了。”财主很高兴，就把先生给辞退了。有一天，财主要请一位姓万的朋友，叫儿子写请帖……



1.创设情境、引入新课
同学们你知道他是怎么写“万”字的吗？
请问：他应用了什么数学推理？

归纳推理
发现问题：由归纳推理得到的结论不一定正确
12 － 1＋11＝11，
22 － 2＋11＝13，
32 － 3＋11＝17
42 － 4＋11＝23
52 － 5＋11＝31
都是质数，于是有人用归纳推理提出猜想：
任何形如n2 － n＋11(n∈N*)的数都是质数
因为n＝11时，
n2－ n＋11＝112－ 11＋11
＝121是一个合数
1.创设情境、引入新课

猜想对吗？
1.创设情境、引入新课
1.创设情境、引入新课
这个归纳推理所得结论正确吗？
提出问题：有没有一种数学方法能通过有限步来证明此类无限的问题？
为了回答这个问题，我们先来做个著名游戏，看能不能从中受到启发
游戏判定：所有骨牌倒下即为成功．
2.活动体验、探究原理
多米诺骨牌游戏
请结合刚才的游戏体验，思考并讨论下列问题：
任给n张骨牌排成一列，要保证所有骨牌全部倒下(即游戏成功)，需要满足哪些条件？
2.活动体验、探究原理
结论：
“任给n张骨牌倒下”的条件：
（1）保证第1张骨牌倒下
（2）第k张骨牌倒下导致第k+1张骨牌倒下

多米诺骨牌原理
（1）保证第1张骨牌倒下
（2）第k张骨牌倒下
导致第k+1张骨牌倒下
任意正整数n等式成立
类比
类比
（1）n=1时等式成立
（2）n=k时等式成立
推出n=k+1时等式成立
3.类比抽象、形成概念
解决问题
多米诺骨牌原理 任意正整数n命题成立
（1）第1张骨牌倒下
（2）第k张骨牌倒下
导致第k+1张股骨牌倒下

（1）n=1时命题成立
（2）假设n=k时命题成立
推出n=k+1时命题成立
由（1）（2）可得，命题对于任意正整数n成立
数学归纳法

n=1命题成立
n=2命题成立
n=3命题成立
n=4命题成立
n=5命题成立
?
……
4.分析概念、形成方法
反思:第（2）步实质的作用是什么？

第（2）步证明的是递推关系
形成方法
多米诺骨牌原理 任意正整数n命题成立
（1）第1张骨牌倒下
（2）第k张骨牌倒下
导致第k+1张股骨牌倒下

（1）n=1时命题成立
（2）假设n=k时命题成立
验证n=k+1时命题成立
由（1）（2）可得，命题对于任意正整数n成立
数学归纳法

n=1命题成立
n=2命题成立
n=3命题成立
n=4命题成立
n=5命题成立
?
……

(1)证明起点
(2)证明递推关系
4.分析概念、形成方法
对任意正整数n成立．
例：运用数学归纳法证明：
5.例题呈现、巩固知识
应用方法

用数学归纳法证明：
证明：

当n=k+1时
（2）假设当n＝k (k?N*)时，等式成立，即
（1）当n=1时，
(n?N*)
左边=
等比数列求和！

=右边，
即当n=k+1时等式也成立。
根据(1)和(2)可知，等式对任何n?N*成立。
错解！
错因:没有用到假设！

思考1


左边＝1，
右边＝1，
等式成立。


思考2：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？
解:设n＝k时成立，即
这就是说，n＝k+1时也成立
2+4+6+…+2k＝k2+k+1
则当n=k+1时, 2+4+6+…+2k+2(k+1)
＝k2+k+1+2k+2
＝(k+1)2+(k+1)+1
所以等式对任何n∈N*都成立
事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3
左边≠右边，等式不成立

该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何n∈N*都成立，为时尚早

错解！




1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
用于证明某些与正整数有关的数学命题。
2.数学归纳法证明命题的步骤？
(1)证明当n取第一个值(初始值)时结论正确；
(2)假设当n取k时结论正确，推导n取k+1时
结论也正确.
3.数学归纳法证明命题最关键步骤是哪一步？
在第二步推导中归纳假设要用到。
6.课堂小结
4.本节课我们经历了什么样的学习过程？
6.课堂小结
我们的学习过程经历了“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题、形成方法、应用方法”的科学探究过程，这是对数学研究的一般科学方法。
谢 谢！

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