资源简介 第一章单元质量评估(一)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.如图为某几何体的三视图,根据三视图可以判断这个几何体为( )A.圆锥B.三棱锥C.三棱柱D.三棱台2.下列说法中正确的是( )①三角形一定是平面图形;②若四边形的两条对角线相交于一点,则该四边形是平面图形;③圆心和圆上两点可确定一个平面;④三条平行线最多可确定三个平面.A.①③④B.②③④C.①②④D.①②③3.如图所示,α∩β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C?l,则平面ABC与平面β的交线是( )A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC4.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )A.异面B.相交C.平行D.异面或相交5.已知m是平面α的一条斜线,点A?α,l为过点A的一条动直线,那么下列情形中可能出现的是( )A.l∥m,l⊥αB.l⊥m,l⊥αC.l⊥m,l∥αD.l∥m,l∥α6.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.不确定7.已知某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是( )A.cm3B.cm3C.cm3D.cm38.在正三棱锥P—ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,有下列三个论断:①AC⊥PB;②AC∥平面PDE;③AB⊥平面PDE.其中正确的是( )A.①②③B.①③C.①②D.②③9.若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径,则圆柱、圆锥、球的体积之比为( )A.1∶2∶3B.2∶3∶4C.3∶2∶4D.3∶1∶210.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r等于( )A.1B.2C.4D.811.在四面体ABCD中,下列条件不能得出AB⊥CD的是( )A.AB⊥BC且AB⊥BDB.AD⊥BC且AC⊥BDC.AC=AD且BC=BDD.AC⊥BC且AD⊥BD12.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,现有下列结论:①AC⊥BE;②平面AEF与平面ABCD的交线平行于直线EF;③异面直线AE,BF所成的角为定值;④三棱锥A—BEF的体积为定值,其中错误结论的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填写在题中横线上)13.底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为()cm2.14.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2,P是AA1的中点,E是BB1上的点,则PE+EC的最小值是().15.圆台的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面圆的半径是另一个底面圆的半径的2倍,则两底面圆的半径分别为().16.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,过体对角线BD1的一个平面交AA1于E,交CC1于F,得四边形BFD1E,给出下列结论:①四边形BFD1E有可能为梯形;②四边形BFD1E有可能为菱形;③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形;④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D.其中正确的是()(请写出所有正确结论的序号).三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)一几何体按比例绘制的三视图如图(单位:m):(1)试画出它的直观图;(2)求它的表面积和体积.18.(12分)如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.(1)证明:EF∥平面PAD;(2)求三棱锥E-ABC的体积V.20.(12分)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点,PA=AD.(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:平面PMC⊥平面PCD.21.(12分)矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为CD的中点,如图,沿AE将△DAE折起到△D1AE的位置,使平面D1AE⊥平面ABCE.(1)若F为线段D1A的中点,求证:EF∥平面D1BC;(2)求证:BE⊥D1A.22.(12分)如图,三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,侧棱A1A⊥底面ABC,点E、F分别是棱CC1、BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB=2.问:当点M在什么位置时,BM∥平面AEF?第一章单元质量评估(一)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.如图为某几何体的三视图,根据三视图可以判断这个几何体为( C )A.圆锥B.三棱锥C.三棱柱D.三棱台解析:由三视图易知其图形为如图所示的三棱柱.2.下列说法中正确的是( C )①三角形一定是平面图形;②若四边形的两条对角线相交于一点,则该四边形是平面图形;③圆心和圆上两点可确定一个平面;④三条平行线最多可确定三个平面.A.①③④B.②③④C.①②④D.①②③解析:过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面,所以三角形一定是平面图形,所以①对;两条对角线相交于一点的四边形一定是平面图形,所以②对;三条平行线可确定一个或三个平面,所以④对;可以有无数个平面经过圆的一条直径,③错.故选C.3.如图所示,α∩β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C?l,则平面ABC与平面β的交线是( C )A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC解析:D∈l,l?β,∴D∈β,又C∈β,∴CD?β.同理,CD?平面ABC,∴平面ABC∩平面β=直线CD.4.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( D )A.异面B.相交C.平行D.异面或相交解析:如图所示,a,b是异面直线,AB,AC都与a,b相交,AB,AC相交;AB,DE都与a,b相交,AB,DE异面.5.已知m是平面α的一条斜线,点A?α,l为过点A的一条动直线,那么下列情形中可能出现的是( C )A.l∥m,l⊥αB.l⊥m,l⊥αC.l⊥m,l∥αD.l∥m,l∥α解析:如图,l可以垂直m,且l平行α.6.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( A )A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.不确定解析:由条件知这条直线垂直于该三角形所在的平面,所以这条直线垂直于这个三角形的第三边.7.已知某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是( C )A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3解析:根据三视图可知原几何体是三棱锥,V=Sh=××1×1×1=(cm3).8.在正三棱锥P—ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,有下列三个论断:①AC⊥PB;②AC∥平面PDE;③AB⊥平面PDE.其中正确的是( C )A.①②③B.①③C.①②D.②③解析:画图形(图略),可得①②正确.9.若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径,则圆柱、圆锥、球的体积之比为( D )A.1∶2∶3B.2∶3∶4C.3∶2∶4D.3∶1∶2解析:设球的半径为R,则V圆柱=2πR3,V圆锥=πR2·(2R)=R3,V球=πR3.则体积之比为2∶∶=3∶1∶2.选D.10.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r等于( B )A.1B.2C.4D.8解析:直观图如图,则2πr2+πr2+×2πr·2r+(2r)2=16+20π,得5πr2+4r2=16+20π,则r=2.故选B.11.在四面体ABCD中,下列条件不能得出AB⊥CD的是( D )A.AB⊥BC且AB⊥BDB.AD⊥BC且AC⊥BDC.AC=AD且BC=BDD.AC⊥BC且AD⊥BD解析:A项,∵AB⊥BD,AB⊥BC,BD∩BC=B,∴AB⊥平面BCD,∵CD?平面BCD,∴AB⊥CD.B项,设A在平面BCD内的射影为O,则AO⊥平面BCD,∵AD⊥BC,AC⊥BD,∴O为△BCD的垂心,连接BO,则BO⊥CD.又AO⊥CD,AO∩BO=O,∴CD⊥平面ABO,∵AB?平面ABO,∴AB⊥CD.C项,取CD中点G,连接BG,AG.∵AC=AD且BC=BD,∴CD⊥BG,CD⊥AG,∵BG∩AG=G,∴CD⊥平面ABG,∵AB?平面ABG,∴AB⊥CD,故选D.12.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,现有下列结论:①AC⊥BE;②平面AEF与平面ABCD的交线平行于直线EF;③异面直线AE,BF所成的角为定值;④三棱锥A—BEF的体积为定值,其中错误结论的个数是( B )A.0个B.1个C.2个D.3个解析:在正方体中可得AC⊥平面BDD1B1,故AC⊥BE,①正确;平面AEF∩平面A1B1C1D1=EF,设平面AEF∩平面ABCD=l,由平面ABCD∥平面A1B1C1D1知EF∥l,即②正确;当F在B1的位置时,E为B1D1的中点O,∠A1AO为异面直线AE,BF所成的角,当E在D1的位置时,F在O的位置,∠OBC1为AE与BF所成的角,因为∠A1AO≠∠OBC1,所以③不正确;S△BEF为定值,A到平面BEF的距离即为A到平面BB1D1D的距离为定值,即④正确.故选B.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填写在题中横线上)13.底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为16πcm2.解析:圆柱的底面半径为r=×4=2(cm),∴S侧=2π×2×4=16π(cm2).14.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2,P是AA1的中点,E是BB1上的点,则PE+EC的最小值是17.解析:将正方体的侧面ABB1A1,BCC1B1放在同一平面内,如图,则PE+EC的最小值为PC′===.15.圆台的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面圆的半径是另一个底面圆的半径的2倍,则两底面圆的半径分别为a,2a.解析:如图,画出圆台轴截面,由题设,得∠OPA=30°,AB=2a,设O1A=r,PA=x,则OB=2r,x+2a=4r,且x=2r,∴a=r,即两底面圆的半径分别为a,2a.16.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,过体对角线BD1的一个平面交AA1于E,交CC1于F,得四边形BFD1E,给出下列结论:①四边形BFD1E有可能为梯形;②四边形BFD1E有可能为菱形;③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形;④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D.其中正确的是②③④(请写出所有正确结论的序号).解析:因为正方体中对面互相平行,所以截面与对面的交线互相平行,所以一定是平行四边形,①不对;当E、F分别是所在棱的中点时,四边形BFD1E为菱形,②对;根据投影知识知③对;当E、F分别是所在棱中点时,EF⊥平面BB1D1D,④对.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)一几何体按比例绘制的三视图如图(单位:m):(1)试画出它的直观图;(2)求它的表面积和体积.解:(1)直观图如图①.(2)解法1:由三视图可知该几何体是由长方体截去一个三棱柱而得到的,且该几何体的体积是以A1A,A1D1,A1B1为棱的长方体的体积的,在直角梯形AA1B1B中,作BE⊥A1B1于E,如图②,则四边形AA1EB是正方形,∴AA1=BE=1m.在Rt△BEB1中,BE=1m,EB1=1m,∴BB1=m.∴几何体的表面积S=S正方形AA1D1D+2S梯形AA1B1B+S矩形BB1C1C+S正方形ABCD+S矩形A1B1C1D1=1+2××(1+2)×1+1×+1+1×2=(7+)m2,几何体的体积V=×1×2×1=m3.∴该几何体的表面积为(7+)m2,体积为m3.解法2:该几何体可看成以四边形AA1B1B为底面的直四棱柱,其表面积求法同解法1,V直四棱柱D1C1CD—A1B1BA=Sh=×(1+2)×1×1=m3.∴该几何体的表面积为(7+)m2,体积为m3.18.(12分)如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.解:由已知得:CE=2,DE=2,CB=5,S表面=S圆台侧+S圆台下底+S圆锥侧=π(2+5)×5+π×25+π×2×2=(60+4)π,V=V圆台-V圆锥=(π×22+π×52+)×4-π×22×2=π.19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.(1)证明:EF∥平面PAD;(2)求三棱锥E-ABC的体积V.解:(1)证明:在△PBC中,E,F分别是PB,PC的中点,∴EF∥BC.∵四边形ABCD为矩形,∴BC∥AD,∴EF∥AD.又∵AD?平面PAD,EF?平面PAD,∴EF∥平面PAD.(2)如图,连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G.则EG⊥平面ABCD,且EG=PA.在△PAB中,AP=AB,∠PAB=90°,BP=2,∴AP=AB=,EG=.∴S△ABC=AB·BC=××2=,∴VE-ABC=S△ABC·EG=××=.20.(12分)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点,PA=AD.(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:平面PMC⊥平面PCD.证明:(1)如图,取PD的中点E,连接EN,AE.∵N是PC的中点,∴EN綊DC.又∵AM綊DC,∴EN綊AM,∴四边形AENM是平行四边形,∴AE∥MN.又∵AE?平面PAD,MN?平面PAD,∴MN∥平面PAD.(2)∵PA=AD,E是PD的中点,∴AE⊥PD.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.又AD⊥CD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.∵AE?平面PAD,∴AE⊥CD.∵PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD.又∵AE∥MN,∴MN⊥平面PCD.∵MN?平面PMC,∴平面PMC⊥平面PCD.21.(12分)矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为CD的中点,如图,沿AE将△DAE折起到△D1AE的位置,使平面D1AE⊥平面ABCE.(1)若F为线段D1A的中点,求证:EF∥平面D1BC;(2)求证:BE⊥D1A.证明:(1)如图,取AB的中点G,连接EG,FG,则EG∥BC,FG∥D1B,且EG∩FG=G,EG?平面EFG,FG?平面EFG,D1B∩BC=B,D1B?平面D1BC,BC?平面D1BC,∴平面EFG∥平面D1BC.∵EF?平面EFG,∴EF∥平面D1BC.(2)易证BE⊥EA,因为平面D1AE⊥平面ABCE,平面D1AE∩平面ABCE=AE.∴BE⊥平面D1AE.又D1A?平面D1AE,∴BE⊥D1A.22.(12分)如图,三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,侧棱A1A⊥底面ABC,点E、F分别是棱CC1、BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB=2.问:当点M在什么位置时,BM∥平面AEF?解:如图,取AE的中点O,连接OF,过点O作OM⊥AC于点M,连接MB.因为侧棱A1A⊥底面ABC,所以侧面A1ACC1⊥底面ABC,所以OM⊥底面ABC.则OM綊EC,又因为EC=2FB=2,所以OM綊FB,所以四边形OMBF为矩形,所以BM∥OF.又因为BM平面AEF,OF?平面AEF,故BM∥平面AEF,此时点M为AC的中点. 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