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2020年冀教新版八年级数学下册《第22章 四边形》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC至F，使CF＝BC，若AB＝10，则EF的长是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
2．如图，在?ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF的面积为12cm2，则S△DGF的值为（　　）

A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．9cm2
4．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为（　　）

A． B．2 C． D．3
5．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（　　）

A．3 B．4 C．4.5 D．5
6．如图，在△ABC中，E、D、F分别是AB、BC、CA的中点，AB＝6，AC＝4，则四边形AEDF的周长是（　　）

A．10 B．20 C．30 D．40
7．从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（　　）个三角形．
A．6 B．5 C．8 D．7
8．从五边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把五边形分割成几个三角形（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．如果n边形的内角和是它外角和的3倍，则n等于（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．如图，若平行四边形ABCD的周长为40cm，BC＝AB，则BC＝（　　）

A．16cm B．14cm C．12cm D．8cm
11．一个四边形，对于下列条件：①一组对边平行，一组对角相等；②一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分；③一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分；④两组对角的平分线分别平行，不能判定为平行四边形的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、BC的中点，F在CA延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝6，AB＝8，则四边形AEDF的周长为（　　）

A．16 B．20 C．18 D．22
二．填空题（共8小题）
13．如图，△ABC中，AB＝7，AC＝11，AD平分∠BAC，BD⊥AD，E是BC的中点，那么DE＝　 　

14．如图，在△MBN中，已知：BM＝6，BN＝7，MN＝10，点A，C，D分别是MB，NB，MN的中点，则四边形ABCD的周长是　 　．

15．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC、BC，取AC、BC的中点D、E，量出DE＝20米，则AB的长为　 　米．

16．已知△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，则＝　 　．
17．如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出　 　个三角形．

18．一个五边形共有　 　条对角线．
19．一个多边形的每个内角都等于120°，则它是　 　边形．
20．平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD＝　 　cm．
三．解答题（共8小题）
21．如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）当AC、BD满足　 　时，四边形EFGH为菱形．当AC、BD满足　 　时，四边形EFGH为矩形．当AC、BD满足　 　时，四边形EFGH为正方形．

22．（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]
（2）如图2，在?ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．
若?ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；
（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？

23．D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；
（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）

24．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？

25．如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求x的值．

26．如图，已知ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF＝EC．

27．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，已知DE∥BC，∠ADE＝∠EFC．求证：四边形BDEF是平行四边形．

28．如图所示，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形．




2020年冀教新版八年级数学下册《第22章 四边形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC至F，使CF＝BC，若AB＝10，则EF的长是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】由三角形中位线定理得出DE∥BC，由直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝AB＝AD＝BD，又CF＝BC，即可证出四边形CDEF是平行四边形，由此即可解决问题．
【解答】解：∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DF∥CF，DF＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴EF＝CD，
∵∠ACB＝90°，AD＝DB，AB＝10，
∴CD＝AB＝5，
∴EF＝5．
故选：A．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键．
2．如图，在?ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC＝AD＝8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8，
∵点E、F分别是BD、CD的中点，
∴EF＝BC＝×8＝4．
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
3．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF的面积为12cm2，则S△DGF的值为（　　）

A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．9cm2
【分析】取CG的中点H，连接EH，根据三角形的中位线定理可得EH∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠GDF＝∠HEF，然后利用“角边角”证明△DFG和△EFH全等，根据全等三角形对应边相等可得FG＝FH，全等三角形的面积相等可得S△EFH＝S△DGF，再求出FC＝3FH，再根据等高的三角形的面积比等于底边的比求出两三角形的面积的比，从而得解．
【解答】解：如图，取CG的中点H，连接EH，
∵E是AC的中点，
∴EH是△ACG的中位线，
∴EH∥AD，
∴∠GDF＝∠HEF，
∵F是DE的中点，
∴DF＝EF，
在△DFG和△EFH中，，
∴△DFG≌△EFH（ASA），
∴FG＝FH，S△EFH＝S△DGF，
又∵FC＝FH+HC＝FH+GH＝FH+FG+FH＝3FH，
∴S△CEF＝3S△EFH，
∴S△CEF＝3S△DGF，
∴S△DGF＝×12＝4（cm2）．
故选：A．

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，作辅助线，利用三角形的中位线是解题的关键．
4．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为（　　）

A． B．2 C． D．3
【分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA＝BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，
在△BNA和△BNE中，

∴△BNA≌△BNE，
∴BA＝BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝19﹣BC＝19﹣7＝12，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，
∴MN＝DE＝．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
5．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（　　）

A．3 B．4 C．4.5 D．5
【分析】根据三角形中位线定理可知EF＝DN，求出DN的最大值即可．
【解答】解：如图，连结DN，
∵DE＝EM，FN＝FM，
∴EF＝DN，
当点N与点B重合时，DN的值最大即EF最大，
在Rt△ABD中，∵∠A＝90°，AD＝3，AB＝3，
∴BD＝＝＝6，
∴EF的最大值＝BD＝3．
故选A．

【点评】本题考查三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是中位线定理的灵活应用，学会转化的思想，属于中考常考题型．
6．如图，在△ABC中，E、D、F分别是AB、BC、CA的中点，AB＝6，AC＝4，则四边形AEDF的周长是（　　）

A．10 B．20 C．30 D．40
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，以及中点的定义可得DE＝AF＝AC，DF＝AE＝AB，再根据四边形的周长的定义计算即可得解
【解答】解：∵在△ABC中，E、D、F分别是AB、BC、CA的中点，
∴DE＝AF＝AC＝2，DF＝AE＝AB＝3，
∴四边形AEDF的周长是（2+3）×2＝10．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，中点的定义以及四边形周长的定义．
7．从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（　　）个三角形．
A．6 B．5 C．8 D．7
【分析】从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个四边形分割成（n﹣2）个三角形．
【解答】解：从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7﹣2＝5个三角形．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点为：从n边形的一个顶点出发，可把n边形分成（n﹣2）个三角形．
8．从五边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把五边形分割成几个三角形（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】从n边形的一个顶点有（n﹣3）条对角线，分成了（n﹣2）个三角形．
【解答】解：当n＝5时，则有5﹣2＝3个．
故选：B．
【点评】熟悉公式：从n边形的一个顶点有（n﹣3）条对角线，分成了（n﹣2）个三角形．然后代入计算．
9．如果n边形的内角和是它外角和的3倍，则n等于（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据多边形内角和公式180°（n﹣2）和外角和为360°可得方程180（n﹣2）＝360×3，再解方程即可．
【解答】解：由题意得：180（n﹣2）＝360×3，
解得：n＝8，
故选：C．
【点评】此题主要考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．
10．如图，若平行四边形ABCD的周长为40cm，BC＝AB，则BC＝（　　）

A．16cm B．14cm C．12cm D．8cm
【分析】根据平行四边形的性质可得AD＝BC，AB＝CD，再由周长为40cm可得邻边之和为20cm，然后根据AB和BC的关系计算出BC即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，
∵?ABCD的周长为40cm，
∴AB+BC＝20cm，
∵BC＝AB，
∴BC＝20×＝8cm，
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形两组对边相等．
11．一个四边形，对于下列条件：①一组对边平行，一组对角相等；②一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分；③一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分；④两组对角的平分线分别平行，不能判定为平行四边形的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】一组对边平行，一组对角相等可推出两组对角分别相等，可判定为平行四边形一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分，可利用全等得出这组对边也相等，可判定为平行四边形一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分，所在的三角形不能得出一定全等，所以能判定为平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定，能满足是平行四边形条件的有：①、②、④，而③无法判定．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、BC的中点，F在CA延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝6，AB＝8，则四边形AEDF的周长为（　　）

A．16 B．20 C．18 D．22
【分析】根据勾股定理先求出BC的长，再根据三角形中位线定理和直角三角形的性质求出DE和AE的长，进而由已知可判定四边形AEDF是平行四边形，从而不难求得其周长．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AC＝6，AB＝8，
∴BC＝10，
∵E是BC的中点，
∴AE＝BE＝5，
∴∠BAE＝∠B，
∵∠FDA＝∠B，
∴∠FDA＝∠BAE，
∴DF∥AE，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，DE＝AC＝3
∴四边形AEDF是平行四边形
∴四边形AEDF的周长＝2×（3+5）＝16．
故选：A．
【点评】熟悉直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及平行四边形的判定．熟练运用三角形的中位线定理和直角三角形的勾股定理是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
13．如图，△ABC中，AB＝7，AC＝11，AD平分∠BAC，BD⊥AD，E是BC的中点，那么DE＝　2　

【分析】延长BD交AC于H，证明△ADB≌△ADH，得到AH＝AB＝7，BD＝DH，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：延长BD交AC于H，
在△ADB和△ADH中，
，
∴△ADB≌△ADH，
∴AH＝AB＝7，BD＝DH，
∴HC＝AC﹣AH＝4，
∵BD＝DH，BE＝EC，
∴DE＝CH＝2，
故答案为：2．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
14．如图，在△MBN中，已知：BM＝6，BN＝7，MN＝10，点A，C，D分别是MB，NB，MN的中点，则四边形ABCD的周长是　13　．

【分析】由点A，C，D分别是MB，NB，MN的中点，根据中位线定理可知CD，AD是△MBN的中位线，故四边形的周长可求．
【解答】解：∵A，C，D分别是各边中点，
∴AB＝BM＝×6＝3；
BC＝BN＝×7＝；
AD＝BN＝×7＝；
CD＝BM＝×6＝3．
四边形ABCD的周长是AD+AB+BC+CD＝+3++3＝13．
故答案为13．
【点评】此题应根据三角形的中位线定理解答，三角形中位线性质应用比较广泛，尤其是在三角形、四边形方面起着非常重要作用．
15．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC、BC，取AC、BC的中点D、E，量出DE＝20米，则AB的长为　40　米．

【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2DE，问题得解．
【解答】解：∵点D，E分别是BC和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝2×20＝40（米）．
故答案是：40．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．
16．已知△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，则＝　　．
【分析】根据三角形的中位线定理求解．
【解答】解：由D、E分别是AB、AC边的中点，可得DE为△ABC的中位线，所以＝．
故答案为．
【点评】本题考查了三角形的中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
17．如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出　（n﹣1）　个三角形．

【分析】（1）三角形分割成了两个三角形；
（2）四边形分割成了三个三角形；
（3）以此类推，n边形分割成了（n﹣1）个三角形．
【解答】解：n边形可以分割出（n﹣1）个三角形．
【点评】此题注意观察：是连接n边形的其中一边上的点．根据具体数值进行分析找规律．
n边形分割成了（n﹣1）个三角形．
18．一个五边形共有　5　条对角线．
【分析】可根据多边形的对角线与边的关系求解．
【解答】解：n边形共有条对角线，
∴五边形共有＝5条对角线．
【点评】熟记多边形的边数与对角线的关系式是解决此类问题的关键．
19．一个多边形的每个内角都等于120°，则它是　六　边形．
【分析】先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于360°，再用360°除即可得到边数．
【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于120°，
∴多边形的每一个外角都等于180°﹣120°＝60°，
∴边数n＝360°÷60°＝6．
故答案为：六．
【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是解答本题的关键．
20．平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD＝　4　cm．
【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则BC比AB长7cm，所以根据周长的值可以求出AB，进而求出CD的长．
【解答】解：∵平行四边形的周长为20cm，
∴AB+BC＝10cm；
又△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，
∴BC﹣AB＝2cm，
解得：AB＝4cm，BC＝6cm．
∵AB＝CD，
∴CD＝4cm
故答案为：4．

【点评】此题主要考查平行四边的性质：平行四边形的两组对边分别相等且平行四边形的对角线互相平分．
三．解答题（共8小题）
21．如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）当AC、BD满足　AC＝BD　时，四边形EFGH为菱形．当AC、BD满足　AC⊥BD　时，四边形EFGH为矩形．当AC、BD满足　AC＝BD且AC⊥BD　时，四边形EFGH为正方形．

【分析】（1）连接BD，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EH∥BD且EH＝BD，FG∥BD且FG＝BD，从而得到EH∥FG且EH＝FG，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）连接AC，同理可得EF∥AC且EF＝AC，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，邻边垂直的平行四边形是矩形，邻边相等且垂直的平行四边形是正方形解答．
【解答】（1）证明：如图，连接BD，
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点，
∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴EH∥BD且EH＝BD，FG∥BD且FG＝BD，
∴EH∥FG且EH＝FG，
∴四边形EFGH为平行四边形；

（2）解：连接AC，
同理可得EF∥AC且EF＝AC，
所以，AC＝BD时，四边形EFGH为菱形；
AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；
AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．
故答案为：AC＝BD；AC⊥BD；AC＝BD且AC⊥BD．

【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，矩形、菱形、正方形与平行四边形的关系，（1）作辅助线构造出三角形是解题的关键，（2）熟练掌握矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形是解题的关键．
22．（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]
（2）如图2，在?ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．
若?ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；
（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？

【分析】（1）作出图形，延长DE至F，使EF＝DE，然后根据“边角边”证明△ADE和△CFE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CF，全等三角形对应角相等可得∠A＝∠ECF，再根据内错角相等，两直线平行可得AD∥CF，然后证明四边形BCFD是平行四边形，再根据平行四边形的对边平行且相等可得DF∥BC且DF＝BC，然后整理即可得证；
（2）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出四边形A1B1C1D1的周长等于?ABCD周长的一半，然后依次表示出各四边形的周长，再相加即可得解；
（3）根据规律，l的算式等于大正方形的面积减去最后剩下的一小部分的面积，然后写出结果即可．
【解答】解：（1）已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，
求证：DE∥BC且DE＝BC，
证明：如图，延长DE至F，使EF＝DE，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴AD＝CF（全等三角形对应边相等），
∠A＝∠ECF（全等三角形对应角相等），
∴AD∥CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF且BD∥CF，
∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴DF∥BC且DF＝BC（平行四边形的对边平行且相等），
∵DE＝EF＝DF，
∴DE∥BC且DE＝BC；

（2）∵A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，
∴A1B1＝AB，B1C1＝BC，C1D1＝CD，A1D1＝AD，
∴四边形A1B1C1D1的周长＝×1＝，
同理可得，四边形A2B2C2D2的周长＝×＝，
四边形A3B3C3D3的周长＝×＝，
…，
∴四边形的周长之和l＝1++++…；

（3）由图可知， +++…＝1（无限接近于1），
所以l＝1++++…＝2（无限接近于2）．

【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的证明，利用面积法求等比数列的和，平行四边形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角形的和平行四边形是解题的关键，（3）仔细观察图形得到部分与整体的关系是解题的关键．
23．D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；
（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）

【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE＝BC，GF∥BC且GF＝BC，从而得到DE∥GF，DE＝GF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形解答．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE∥BC，且DE＝BC，
同理，GF∥BC，且GF＝BC，
∴DE∥GF且DE＝GF，
∴四边形DEFG是平行四边形；

（2）解：当OA＝BC时，平行四边形DEFG是菱形．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系，熟记的定理和性质是解题的关键．
24．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？

【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形；

（2）解：当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形．
理由如下：∵D是AB的中点，
∴BD＝AB，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵AB＝BC，
∴BD＝DE，
又∵四边形DBFE是平行四边形，
∴四边形DBFE是菱形．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系，熟记性质与判定方法是解题的关键．
25．如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求x的值．

【分析】由五边形ABCDE的内角都相等，先求出五边形的每个内角度数，再求出∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝36°，从而求出x＝108°﹣72°＝36度．
【解答】解：因为五边形的内角和是540°，
则每个内角为540°÷5＝108°，
∴∠E＝∠C＝108°，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形内角和定理可知，
∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∴x＝∠EDC﹣∠1﹣∠3＝108°﹣36°﹣36°＝36°．
【点评】本题主要考查了正五边形的内角和以及正五边形的有关性质．解此题的关键是能够求出∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝36°，和正五边形的每个内角是108度．
26．如图，已知ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF＝EC．

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，易证得△ABE≌△CDF（ASA），即可得BE＝DF，又由AD＝BC，即可得AF＝CE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AD＝BC，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠EAB＝∠BAD，∠FCD＝∠BCD，
∴∠EAB＝∠FCD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝DF．
∵AD＝BC，
∴AF＝EC．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△ABE≌△CDF是关键．
27．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，已知DE∥BC，∠ADE＝∠EFC．求证：四边形BDEF是平行四边形．

【分析】想办法证明EF∥AB即可解决问题；
【解答】证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠ADE＝∠EFC，
∴∠EFC＝∠B，
∴EF∥AB，
∴四边形BDEF是平行四边形．
【点评】本题考查平行四边形的判定、平行线的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
28．如图所示，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形．

【分析】由四边形ABCD是平行四边形可得，CE∥AF，∠DAB＝∠DCB，又AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，所以∠2＝∠3，可证四边形AFCE是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CE∥AF，∠DAB＝∠DCB，
∵AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，
∴∠2＝∠3，
又∠3＝∠CFB，
∴∠2＝∠CFB，
∴AE∥CF，
又CE∥AF，
∴四边形AFCE是平行四边形．

【点评】此题主要考查两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

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