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2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三十九中七年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．若x＝y，则下列变形正确的是（　　）
A．ax＝﹣ay B．ax+1＝ay﹣1 C．ax+1＝ay+1 D．
2．下列车标图案，可以看成由图形的平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列实数中无理数的个数为（　　）
．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（　　）
A．E点 B．F点 C．G点 D．H点
6．如图，直线a、b被直线c所截，给出下列条件：①∠3＝∠6；②∠1＝∠8；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠1＝180°．其中能判断a∥b的是（　　）
A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①②
7．数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分必须答对的题数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，1m3木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有12m3木材，要使生产出来的桌面和桌腿恰好都配成方桌，应安排（　　）m3木材用来生产桌面．
A．2 B．6 C．8 D．10
9．如图，AC∥DE，AB∥DF，EF∥BC，∠B＝∠C，则图中与∠B相等的角（∠B除外）有（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
10．下列命题中是真命题的有（　　）
①两个角的和等于平角时，这两个角互为邻补角；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③两条平行线被第三条直线所截，所得的一对内错角的角平分线互相平行；
④图形B由图形A平移得到，则图形B与图形A中的对应点所连线段平行（或在同一条直线上）且相等；
⑤因为＝5，所以＝a．
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
二、填空题（每题3分，共30分）
11．若式子3x+4与2﹣5x的值相等，则x的值为　 　．
12．如图，直线AB⊥CD，EF经过点O，∠2＝2∠1，则∠3＝　 　°．
13．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是　 　．
14．如图，AB∥DE，AB⊥BC，∠1＝20°，则∠D＝　 　°．
15．用“＞”、“＜”或“＝”填空：
①﹣　 　；
②　 　1；
③　 　．
16．若（x﹣1）2＝4，则x＝　 　．
17．若（a﹣2）2+＝0，则a﹣b2＝　 　．
18．如图，在一块长为10m，宽为7m的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线，这块草地的绿地面积为　 　m2．
19．有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只鸽子无鸽笼可住；如果再飞来5只鸽子，就连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8个鸽子，原来有　 　只鸽子．
20．如图，点F是长方形ABCD的边BC上一点，将长方形的一角沿AF折叠，点B落在点E处，若AE∥BD，∠ADB＝28°，则∠AFC＝　 　°．
三、解答题（21题10分，22题8分，23题6分，24-25题各8分，26-27题各10分，共60分）
21．⑴计算：
①；
②．
⑵．解方程：
①3（x﹣3）＝2﹣（x﹣2）；
②．
22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1．在图中平移三角形ABC，使点A移到点D处，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F．
（1）请在方格纸中画出平移后的三角形DEF；
（2）分别连接CD，CF，请直接写出三角形CDF的面积；
（3）过点D作CF的垂线，垂足为H，延长AB交直线DH于点G，请画出图形；直接写出四边形BGHC的面积．
23．几何说理填空：如图，F是BC上一点，FG⊥AC于点G，H是AB上一点，HE⊥AC于点E，∠1＝∠2，求证：DE∥BC．
证明：连接EF
∵FG⊥AC，HE⊥AC，
∴∠FGC＝∠HEC＝90°（　 　）．
∴　 　∥　 　（　 　）．
∴∠3＝∠　 　（　 　）．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠4．
即∠DEF＝∠EFC
∴DE∥BC（　 　）．
24．如图，直线AB、CD相交于点O，OE、OF为射线，且OF⊥AB，OE平分∠AOC，∠COE+∠BOD＝57°．
（1）求∠DOF的度数；
（2）请你直接写出图中4对相等的角（直角、平角除外）．
25．如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．
（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝72°，求∠BAD的度数．
26．十一前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元．购进甲种商品4件与购进乙种商品5件的进价相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4600元．出售时，甲种商品在进价的基础上加价40%进行标价；乙商品按标价出售，则每件可获利30元．若按标价出售甲、乙两种商品，则全部售出后共可获利多少元？
（3）在（2）的条件下，十一期间，甲商品按标价的九折出售，乙商品按标价出售一部分商品后进行促销，按标价的九折再让利4元出售，甲、乙两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了，则乙商品按标价售出多少件？
27．已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，∠AMP＝∠PQN＝α，PQ平分∠MPN．
（1）如图①，求∠MPQ的度数（用含α的式子表示）；
（2）如图②，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F．请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接EN，若NE平分∠PNQ，请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并说明理由．
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三十九中七年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若x＝y，则下列变形正确的是（　　）
A．ax＝﹣ay B．ax+1＝ay﹣1 C．ax+1＝ay+1 D．
【分析】根据等式的性质，可得答案．
【解答】解：A、如果x＝y，那么ax＝ay，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、如果x＝y，那么ax+1＝ay+1，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、如果x＝y，那么ax+1＝ay+1，原变形正确，故此选项符合题意；
D、如果x＝y，a＝0，那么原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．下列车标图案，可以看成由图形的平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据旋转变换，平移变换，轴对称变换对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、可以由一个“基本图案”平移得到，故本选项符合题意；
B、不是由一个“基本图案”平移得到，故本选项不符合题意；
C、可以由一个“基本图案”旋转得到，故本选项不符合题意；
D、可以由一个“基本图案”旋转得到，故本选项不符合题意．
故选：A．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的意义、二次根式的加减的计算方法逐项进行计算即可．
【解答】解：﹣＝4﹣3＝1≠，因此选项A不符合题意；
＝≠±，因此选项B不符合题意；
﹣＝≠﹣，因此选项C不符合题意；
3﹣2＝，因此选项D符合题意；
故选：D．
4．下列实数中无理数的个数为（　　）
．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据无理数就是无限不循环小数即可判定．
【解答】解：由无理数的定义可知无理数有：，，，共3个．
故选：B．
5．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（　　）
A．E点 B．F点 C．G点 D．H点
【分析】从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短可得答案．
【解答】解：根据垂线段最短可得：应建在G处，
故选：C．
6．如图，直线a、b被直线c所截，给出下列条件：①∠3＝∠6；②∠1＝∠8；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠1＝180°．其中能判断a∥b的是（　　）
A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①②
【分析】利用同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行即可得到正确的选项．
【解答】解：①∵∠3＝∠6，
∴a∥b，本选项符合题意；
②∵∠1＝∠7，∠1＝∠6，
∴∠7＝∠8，
∴a∥b，本选项符合题意；
③∵∠4+∠7＝180°，∠4＝∠6，
∴∠6+∠7＝180°，
∴a∥b，本选项正符合题意；
④∵∠5+∠1＝180°，
不能判定a∥b，本选项不符合题意，
则其中能判断a∥b的是①②③．
故选：B．
7．数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分必须答对的题数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】设出答对的题数，利用答对的题数得分﹣不答或答错题的得分＝34分，列出方程进行求解．
【解答】解；设答对的题数为x道，则不答或答错的有（10﹣x）道
故：5x﹣3（10﹣x）＝34
解得：x＝8．
故选：C．
8．制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，1m3木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有12m3木材，要使生产出来的桌面和桌腿恰好都配成方桌，应安排（　　）m3木材用来生产桌面．
A．2 B．6 C．8 D．10
【分析】设应安排x m3木材用来生产桌面，则应安排（12﹣x）m3木材用来生产桌腿．根据“1m3木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿”建立方程求出其解即可．
【解答】解：设用x m3木材制作桌面，则用（12﹣x）m3木材制作桌腿，
根据题意得4×20x＝400（12﹣x），
解得x＝10．
答：应安排10m3木材用来生产桌面．
故选：D．
9．如图，AC∥DE，AB∥DF，EF∥BC，∠B＝∠C，则图中与∠B相等的角（∠B除外）有（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】依据平行线的性质，即可得到图中与∠B相等的角的个数．
【解答】解：∵AC∥DE，AB∥DF，
∴∠C＝∠BDE，∠B＝∠CDF，
又∵∠B＝∠C，
∴∠C＝∠BDE＝∠B＝∠CDF，
∵EF∥BC，
∴∠DEF＝∠BDE，∠DFE＝∠CDF，∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C，
∴与∠B相等的角为：∠BDE，∠CDF，∠C，∠DEF，∠DFE，∠AEF，∠AFE，
∴图中与∠B相等的角（∠B除外）有7个，
故选：C．
10．下列命题中是真命题的有（　　）
①两个角的和等于平角时，这两个角互为邻补角；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③两条平行线被第三条直线所截，所得的一对内错角的角平分线互相平行；
④图形B由图形A平移得到，则图形B与图形A中的对应点所连线段平行（或在同一条直线上）且相等；
⑤因为＝5，所以＝a．
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【分析】根据邻补角、平行线的判定、平移和平方根解答即可．
【解答】解：①两个角的和等于平角时，这两个角不一定互为邻补角，原命题是假命题；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
③两条平行线被第三条直线所截，所得的一对内错角的角平分线互相平行，是真命题；
④图形B由图形A平移得到，则图形B与图形A中的对应点所连线段平行（或在同一条直线上）且相等，是真命题；
⑤因为＝5，所以＝a或﹣a，原命题是假命题．
故选：A．
二．填空题
11．若式子3x+4与2﹣5x的值相等，则x的值为　﹣0.25　．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：3x+4＝2﹣5x，
移项得：3x+5x＝2﹣4，
合并得：8x＝﹣2，
解得：x＝﹣0.25．
故答案为：﹣0.25．
12．如图，直线AB⊥CD，EF经过点O，∠2＝2∠1，则∠3＝　30　°．
【分析】根据AB⊥CD，可得∠1与∠2互余，再根据∠2＝2∠1，可求出∠1，最后根据对顶角相等得出答案．
【解答】解：∵AB⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，
又∵∠2＝2∠1，
∴3∠1＝90°，
∴∠1＝30°，
∴∠3＝∠1＝30°，
故答案为：30．
13．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是　25°　．
【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠3的内错角，再根据三角板的度数求差即可得解．
【解答】解：∵直尺的对边平行，∠1＝20°，
∴∠3＝∠1＝20°，
∴∠2＝45°﹣∠3＝45°﹣20°＝25°．
故答案为：25°．
14．如图，AB∥DE，AB⊥BC，∠1＝20°，则∠D＝　110　°．
【分析】根据平行线的性质得到∠ABD+∠D＝180°，根据垂线的定义得到∠ABC＝90°，由∠1＝20°求出∠ABD，最后求出∠D的度数．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠ABD+∠D＝180°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵∠1＝20°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠1＝90°﹣20°＝70°．
∴∠D＝180°﹣∠ABD＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：110．
15．用“＞”、“＜”或“＝”填空：
①﹣　＝　；
②　＝　1；
③　＞　．
【分析】①②按照二次根式及立方根的计算法则计算即可；③分别求出和的立方根，再比较大小即可．
【解答】解：①∵﹣＝﹣，＝﹣，
∴﹣＝，
故答案为：＝；
②＝＝＝1，
故答案为：＝；
③∵＝，＝3，＞3，
∴＞＝3，
∴＞，
故答案为：＞．
16．若（x﹣1）2＝4，则x＝　3或﹣1　．
【分析】把x﹣1看做整体直接开方后再计算即可求解．
【解答】解：x﹣1＝±2
x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2
x＝3或x＝﹣1．
17．若（a﹣2）2+＝0，则a﹣b2＝　﹣7　．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得，a﹣2＝0，b+3＝0，
解得a＝2，b＝﹣3，
所以，a﹣b2＝2﹣（﹣3）2＝2﹣9＝﹣7．
故答案为：﹣7．
18．如图，在一块长为10m，宽为7m的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线，这块草地的绿地面积为　63　m2．
【分析】根据小路的左边线向右平移1m就是它的右边线，可得路的宽度是1米，根据平移，可把路移到左边，再根据矩形的面积公式，可得答案．
【解答】解：（10﹣1）×7
＝9×7
＝63（m2）．
故这块草地的绿地面积为63m2．
故答案为：63．
19．有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只鸽子无鸽笼可住；如果再飞来5只鸽子，就连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8个鸽子，原来有　27　只鸽子．
【分析】通过理解题意可以知道，本题存在两个等量关系，即：笼子数目×6+3＝原来的鸽子数目；笼子数目×8＝原来的鸽子数目+5．根据这两个等量关系列出方程求解作答．
【解答】解：设原来的鸽子数目为x，笼子数目为y，
则而据题目可以得到方程组：，
解得：x＝27（只），
即原有鸽子数目为27只．
故答案为：27只．
20．如图，点F是长方形ABCD的边BC上一点，将长方形的一角沿AF折叠，点B落在点E处，若AE∥BD，∠ADB＝28°，则∠AFC＝　149　°．
【分析】根据矩形的性质得∠BAD＝∠ABC＝90°，再根据平行线的性质，由AE∥BD得到∠DAE＝∠ADB＝28°，接着根据折叠的性质得∠BAF＝∠EAF＝59°，然后根据三角形外角性质计算∠AFC的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
∵AE∥BD，
∴∠DAE＝∠ADB＝28°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+28°＝118°，
∵矩形ABCD沿AF折叠，点B落在点E处，
∴∠BAF＝∠EAF＝∠BAE＝×118°＝59°，
∴∠AFC＝∠BAF+∠ABF＝59°+90°＝149°．
故答案为149．
三．解答题（共8小题）
21．⑴计算：
①；
②．
【分析】①直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案；
②直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：①原式＝0.1﹣2﹣
＝﹣2.4；
②原式＝+1﹣3
＝﹣2+1．
⑵．解方程：
①3（x﹣3）＝2﹣（x﹣2）；
②．
【分析】①方程去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；
②方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：①去括号得：3x﹣9＝2﹣x+2，
移项得：3x+x＝2+2+9，
合并得：4x＝13，
解得：x＝；
②去分母得：2（1﹣2x）＝3x+1﹣6，
去括号得：2﹣4x＝3x+1﹣6，
移项得：﹣4x﹣3x＝1﹣6﹣2，
合并得：﹣7x＝﹣7，
解得：x＝1．
22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1．在图中平移三角形ABC，使点A移到点D处，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F．
（1）请在方格纸中画出平移后的三角形DEF；
（2）分别连接CD，CF，请直接写出三角形CDF的面积；
（3）过点D作CF的垂线，垂足为H，延长AB交直线DH于点G，请画出图形；直接写出四边形BGHC的面积．
【分析】（1）根据平移条件画出图形即可；
（2）根据面积公式解答即可；
（3）根据用分割法求四边形的面积解答即可．
【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所求：
（2）△CDF的面积＝，
（3）四边形BGHC的面积＝＝4.5．
23．几何说理填空：如图，F是BC上一点，FG⊥AC于点G，H是AB上一点，HE⊥AC于点E，∠1＝∠2，求证：DE∥BC．
证明：连接EF
∵FG⊥AC，HE⊥AC，
∴∠FGC＝∠HEC＝90°（　垂直的性质　）．
∴　FG　∥　HE　（　同位角相等，两直线平行　）．
∴∠3＝∠　4　（　两直线平行，内错角相等　）．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠4．
即∠DEF＝∠EFC
∴DE∥BC（　内错角相等，两直线平行　）．
【分析】要证明DE∥FC，可证明∠DEF＝∠EFC，由于∠1＝∠2，可证明∠3＝∠4，需证明EH∥FG，可通过垂直的性质得到．
【解答】证明：连接EF
∵FG⊥AC，HE⊥AC，
∴∠FGC＝∠HEC＝90°（垂线的性质）．
∴FG∥HE（同位角相等，两直线平行）．
∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠4．
即∠DEF＝∠EFC
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂线的性质；FG，HE，同位角相等，两直线平行；4，两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行．
24．如图，直线AB、CD相交于点O，OE、OF为射线，且OF⊥AB，OE平分∠AOC，∠COE+∠BOD＝57°．
（1）求∠DOF的度数；
（2）请你直接写出图中4对相等的角（直角、平角除外）．
【分析】（1）根据角平分线的定义，垂直的意义以及∠COE+∠BOD＝57°．可求出答案；
（2）根据图形直观、对顶角相等得出答案．
【解答】解：（1）∵OF⊥AB，
∴∠BOF＝∠AOF＝90°
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE＝∠AOC，
又∵∠AOC＝∠BOD，∠COE+∠BOD＝57°．
∴∠AOE＝∠COE＝×57°＝19°，
∴∠AOC＝∠BOD＝38°，
∴∠DOF＝∠BOD+∠BOF＝38°+90°＝128°，
（2）由对顶角相等可得∠AOC＝∠BOD，∠AOD＝∠BOC，
由角平分线的定义可得∠AOE＝∠COE，
∵∠BOE+∠AOE＝180°＝∠DOE+∠COE，
而∠AOE＝∠COE，
∴∠BOE＝∠DOE，
故图中相等的角有∠AOE＝∠COE，∠AOC＝∠BOD，∠AOD＝∠∠BOC，∠BOE＝∠DOE．
25．如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．
（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝72°，求∠BAD的度数．
【分析】（1）由∠1＝∠BCE，可得到直线AD与EC平行，可得到∠2与∠4间关系，再由∠2+∠3＝180°判断AC与EF的位置关系；
（2）由（1）的结论及垂直可得到∠BAC的度数，再由平行线及角平分线的性质得到∠2的度数，利用角的和差关系可得结论．
【解答】解：（1）AC∥EF．理由：
∵∠1＝∠BCE，
∴AD∥CE．
∴∠2＝∠4．
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠4+∠3＝180°．
∴EF∥AC．
（2）∵AD∥EC，CA平分∠BCE，
∴∠ACD＝∠4＝∠2．
∵∠1＝72°，
∴∠2＝36°．
∵EF∥AC，EF⊥AB于F，
∴∠BAC＝∠E＝90°．
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠2
＝54°．
26．十一前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元．购进甲种商品4件与购进乙种商品5件的进价相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4600元．出售时，甲种商品在进价的基础上加价40%进行标价；乙商品按标价出售，则每件可获利30元．若按标价出售甲、乙两种商品，则全部售出后共可获利多少元？
（3）在（2）的条件下，十一期间，甲商品按标价的九折出售，乙商品按标价出售一部分商品后进行促销，按标价的九折再让利4元出售，甲、乙两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了，则乙商品按标价售出多少件？
【分析】（1）可设乙种商品每件的进价是x元，则甲种商品每件的进价是（x+20）元，根据购进甲种商品4件与购进乙种商品5件的进价相同的等量关系列出方程即可求解；
（2）可设该商场从厂家购进了甲种商品y件，则乙种商品（50﹣y）件，根据所用资金恰好为4600元的等量关系列出方程可求该商场从厂家购进了甲种商品的件数，乙种商品的件数，进一步可求按标价出售甲、乙两种商品，全部售出后一共的获利；
（3）可设乙商品按标价售出z件，则乙商品按促销价售出（20﹣z）件，根据总获利比全部按标价售出获利少了的等量关系列出方程即可求解．
【解答】解：（1）设乙种商品每件的进价是x元，则甲种商品每件的进价是（x+20）元，依题意有
4（x+20）＝5x，
解得x＝80，
则x+20＝80+20＝100．
故甲种商品每件的进价是100元，乙种商品每件的进价是80元；
（2）设该商场从厂家购进了甲种商品y件，则乙种商品（50﹣y）件，依题意有
100y+80（50﹣y）＝4600，
解得y＝30，
则50﹣y＝50﹣30＝20，
则100×40%×30+30×20＝1800（元）．
故全部售出后共可获利1800元；
（3）设乙商品按标价售出z件，则乙商品按促销价售出（20﹣z）件，依题意有
（100+100×40%）×0.9×30+（80+30）z+[（80+30）×0.9﹣4]（20﹣z）＝4600+1800×（1﹣），
解得z＝8．
故乙商品按标价售出8件．
27．已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，∠AMP＝∠PQN＝α，PQ平分∠MPN．
（1）如图①，求∠MPQ的度数（用含α的式子表示）；
（2）如图②，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F．请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接EN，若NE平分∠PNQ，请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）如图①，过点P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，进而可得结论；
（2）根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF＝180°，进而可得EF与PQ的位置关系；
（3）结合（2）和已知条件可得∠QNE＝∠QEN，根据三角形内角和定理可得∠QNE＝（180°﹣∠NQE）＝（180°﹣3α），可得∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE，进而可得结论．
【解答】解：（1）如图①，过点P作PR∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PR，
∴∠AMP＝∠MPR＝α，∠PQN＝∠RPQ＝α，
∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝2α；
（2）如图②，EF⊥PQ，理由如下：
∵PQ平分∠MPN．
∴∠MPQ＝∠NPQ＝2α，
∵QE∥PN，
∴∠EQP＝∠NPQ＝2α，
∴∠EPQ＝∠EQP＝2α，
∵EF平分∠PEQ，
∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，
∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，
∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°，
∴∠EPQ+∠PEF＝90°，
∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，
∴EF⊥PQ；
（3）如图③，∠NEF＝∠AMP，理由如下：
由（2）可知：∠EQP＝2α，∠EFQ＝90°，
∴∠QEF＝90°﹣2α，
∵∠PQN＝α，
∴∠NQE＝∠PQN+∠EQP＝3α，
∵NE平分∠PNQ，
∴∠PNE＝∠QNE，
∵QE∥PN，
∴∠QEN＝∠PNE，
∴∠QNE＝∠QEN，
∵∠NQE＝3α，
∴∠QNE＝（180°﹣∠NQE）＝（180°﹣3α），
∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE
＝180°﹣（90°﹣2α）﹣3α﹣（180°﹣3α）
＝180°﹣90°+2α﹣3α﹣90°+α
＝α
＝∠AMP．
∴∠NEF＝∠AMP．

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