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2020-2021学年湖南省株洲市荷塘区景炎学校八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．（4分）下列各式：①，②，③，④，其中是分式的有（　　）
A．①②③④ B．①④ C．①②④ D．②④
2．（4分）若某三角形的两边长分别为4和5，则下列长度的线段能作为其第三边的是（　　）
A．1 B．6 C．9 D．11
3．（4分）下列变形从左到右一定正确的是（　　）
A． B． C． D．＝
4．（4分）某桑蚕丝的直径约为0.000016米，则这种桑蚕丝的直径用科学记数法表示约为（　　）
A．1.6×10﹣6米 B．1.6×106米 C．1.6×10﹣5米 D．1.6×105米
5．（4分）如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（　　）
A．∠M＝∠N B．AM∥CN C．AB＝CD D．AM＝CN
6．（4分）某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．（4分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数为（　　）
A．70° B．55° C．110° D．70°或110°
8．（4分）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（　　）
A．2a+2b﹣2a B．2a+2b C．2c D．0
9．（4分）将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB＝∠CED＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为（　　）
A．10° B．15° C．7.5° D．20°
10．（4分）若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和是（　　）
A．6 B．0 C．1 D．9
二、填空题（共8小题）.
11．（4分）当x＝　 　时，分式的值为零．
12．（4分）已知＝，则＝　 　．
13．（4分）下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有　 　（填序号）．
14．（4分）如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，则∠DAC＝　 　．
15．（4分）如图，在△ABC中，BC＝12，AB的垂直平分线EF交BC于点F，AC的垂直平分线MN交BC于点N，则△AFN的周长　 　．
16．（4分）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为40，AE＝5，则点B到AE边的距离为　 　．
17．（4分）定义运算“※”：a※b＝，若5※x＝2，则x的值为　 　．
18．（4分）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下面四个结论：（1）AE＝BF，（2）AE⊥BF，（3）AO＝OE，（4）S△AOB＝S四边形DEOF，其中正确结论的序号是　 　．
三、解答题（共8小题）.
19．（8分）计算：
（1）0.25×（﹣2）﹣2÷16﹣1﹣（π﹣3）0；
（2）（2x2y﹣3）﹣2（﹣xy2）3÷（x﹣3y）2．
20．（8分）化简：
（1）（﹣）÷（）；
（2）解方程：+＝．
21．（8分）先化简，再求值：的值；其中x满足方程x2+3x﹣2＝0．
22．（10分）已知关于x的分式方程+＝．
（1）若方程有增根，求k的值．
（2）若方程的解为负数，求k的取值范围．
23．（10分）如图，AD＝CB，AB＝CD，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．
求证：（1）△ABC≌△CDA；
（2）BE＝DF．
24．（10分）佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
（1）求第一次水果的进价是每千克多少元？
（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
25．（12分）阅读以下材料，完成以下两个问题．
[阅读材料]已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC．求证：AE平分∠BAC．
结合此题，DE＝BC，点B是DC的中点，考虑倍长，并且要考虑连结哪两点，目的是为了证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长FE，如图（1）所示；②考虑倍长AE，如图（2）所示
以图（1）为例，证明过程如下：
证明：延长FE至G，使EG＝EF，连结CG．
在△DEP和△CEG中，
，
∴△DEF≌△CEG（SAS）．
∴DF＝CG，∠DFE＝∠G．
∵DF＝AC，
∴CG＝AC．
∴∠G＝∠CAE．
∴∠DFE＝∠CAE．
∵DF∥AB，
∴∠DFE＝∠BAE．
∴∠BAE＝∠CAE．
∴AE平分∠BAC．
问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明．
问题2：根据上述材料，完成下列问题：
已知，如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，∠BAE＝∠CAF＝90°，AE＝AB，AC＝AF，AD＝3，求EF的长．
26．（12分）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
（1）如果，AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，求证：CF⊥BD，CF＝BD．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如图4，如果∠BAC是锐角，∠ACB＝45°，点D在线段BC上，点C、D不重合，求证：CF⊥BC．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．（4分）下列各式：①，②，③，④，其中是分式的有（　　）
A．①②③④ B．①④ C．①②④ D．②④
解：式子：①，②，③，④，其中是分式的有：①，④．
故选：B．
2．（4分）若某三角形的两边长分别为4和5，则下列长度的线段能作为其第三边的是（　　）
A．1 B．6 C．9 D．11
解：设第三边为x，由题意得：
5﹣4＜x＜4+5，
1＜x＜9，答案中只有6适合，
故选：B．
3．（4分）下列变形从左到右一定正确的是（　　）
A． B． C． D．＝
解：A、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故A错误；
B、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，错误；
C、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故C错误；
D、分子分母都除以x，分式的值不变，故D正确；
故选：D．
4．（4分）某桑蚕丝的直径约为0.000016米，则这种桑蚕丝的直径用科学记数法表示约为（　　）
A．1.6×10﹣6米 B．1.6×106米 C．1.6×10﹣5米 D．1.6×105米
解：0.000016＝1.6×10﹣5．
故选：C．
5．（4分）如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（　　）
A．∠M＝∠N B．AM∥CN C．AB＝CD D．AM＝CN
解：A、∠M＝∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意；
B、AM∥CN，得出∠MAB＝∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故D选项不符合题意．
C、AB＝CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故B选项不符合题意；
D、根据条件AM＝CN，MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故C选项符合题意；
故选：D．
6．（4分）某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为（　　）
A． B．
C． D．
解：设原计划每天生产x个，则实际每天生产（x+4）个，根据题意得：
＝15，
故选：A．
7．（4分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数为（　　）
A．70° B．55° C．110° D．70°或110°
解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部，
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°＝110°；
当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣20°＝70°．
故选：D．
8．（4分）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（　　）
A．2a+2b﹣2a B．2a+2b C．2c D．0
解：∵a、b、c为△ABC的三条边长，
∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，
∴原式＝a+b﹣c+（c﹣a﹣b）
＝a+b﹣c+c﹣a﹣b
＝0．
故选：D．
9．（4分）将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB＝∠CED＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为（　　）
A．10° B．15° C．7.5° D．20°
解：∵∠CED＝90°，∠D＝30°，
∴∠DCE＝60°，
∵△DCE绕点C顺时针旋转15°，
∴∠BCE1＝15°，
∴∠BCD1＝60°﹣15°＝45°，
∴∠BCD1＝∠A，
在△ABC和△D1CB中，
，
∴△ABC≌△D1CB（SAS），
∴∠BD1C＝∠ABC＝45°，
∴∠E1D1B＝∠BD1C﹣∠CD1E1＝45°﹣30°＝15°．
故选：B．
10．（4分）若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和是（　　）
A．6 B．0 C．1 D．9
解：分式方程去分母得：ax﹣1﹣x＝3，
解得：x＝，
由分式方程为整数解，得到a﹣1＝±1，a﹣1＝±2，a﹣1＝±4，
解得：a＝2，0，3，﹣1，5，﹣3（舍去），
则满足条件的所有整数a的和是9，
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．（4分）当x＝　2　时，分式的值为零．
解：由分子x2﹣4＝0?x＝±2；
由分母x+2≠0?x≠﹣2；
所以x＝2．
故答案为：2．
12．（4分）已知＝，则＝　　．
解：∵＝，
∴b＝a，
∴＝＝；
故答案为：．
13．（4分）下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有　①②③④　（填序号）．
解：①有两个角等于60°的三角形是等边三角形．
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
③三个角都相等的三角形是等边三角形
④三边都相等的三角形是等边三角形，
故答案为①②③④．
14．（4分）如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，则∠DAC＝　24°　．
解：由题意可知，∠3＝∠4，∠BAC＝63°
∵∠BAC+∠2+∠4＝180°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠3＝∠1+∠2，
∴2∠2＝∠4，
∵∠2+∠4+∠BAC＝180°，
∴∠2+2∠2+63°＝180°，
∴3∠2+63°＝180°
∴∠1＝∠2＝39°，
∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝63°﹣39°＝24°．
15．（4分）如图，在△ABC中，BC＝12，AB的垂直平分线EF交BC于点F，AC的垂直平分线MN交BC于点N，则△AFN的周长　12　．
解：∵FE、NM分别为AB、AC的垂直平分线，
∴FA＝FB，NA＝NC，
∴△AFN的周长＝AF+FN+NA＝FB+FN+NC＝BC＝12，
故答案为：12．
16．（4分）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为40，AE＝5，则点B到AE边的距离为　4　．
解：∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，
∴S△ABD＝S△ABC，S△ABE＝S△ABD，
∴S△ABE＝S△ABC，
∵△ABC的面积为40，
∴△ABE的面积为×40＝10，
设点B到AE边的距离为h，
∵AE＝5，
∴×AE×h＝10，即×5×h＝10，
解得h＝4．
故答案为：4．
17．（4分）定义运算“※”：a※b＝，若5※x＝2，则x的值为　或10　．
解：当x＜5时，＝2，x＝，
经检验，x＝是原分式方程的解；
当x＞5时，＝2，x＝10，
经检验，x＝10是原分式方程的解；
综上所述，x＝或10；
故答案为：或10．
18．（4分）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下面四个结论：（1）AE＝BF，（2）AE⊥BF，（3）AO＝OE，（4）S△AOB＝S四边形DEOF，其中正确结论的序号是　（1）、（2）、（4）　．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAF＝∠ADE＝90°．
∵CE＝DF，∴AF＝DE．
∴△ABF≌△DAE．
∴AE＝BF；
∠AFB＝∠AED．
∵∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AFB+∠DAE＝90°，
∴∠AOF＝90°，即AE⊥BF；
S△AOB＝S△ABF﹣S△AOF，S四边形DEOF＝S△ADE﹣S△AOF，
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△ADE，
∴S△AOB＝S四边形DEOF．
故正确的有 （1）、（2）、（4）．
三、解答题（8个小题，共78分）
19．（8分）计算：
（1）0.25×（﹣2）﹣2÷16﹣1﹣（π﹣3）0；
（2）（2x2y﹣3）﹣2（﹣xy2）3÷（x﹣3y）2．
解：（1）0.25×（﹣2）﹣2÷16﹣1﹣（π﹣3）0；
＝0.25××16﹣1
＝1﹣1
＝0；
（2）（2x2y﹣3）﹣2（﹣xy2）3÷（x﹣3y）2
＝2﹣2x﹣4y6?（﹣x3y6）÷（x﹣6y2）
＝﹣x﹣1y12÷（x﹣6y2）
＝﹣x5y10．
20．（8分）化简：
（1）（﹣）÷（）；
（2）解方程：+＝．
解：（1）原式＝（﹣）×
＝3（x+2）﹣（x﹣2）
＝3x+6﹣x+2
＝2x+8；
（2）去分母得：2（x﹣1）﹣5（x+1）＝﹣10，
去括号得：2x﹣2﹣5x﹣5＝﹣10，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的增根，
原分式方程无解．
21．（8分）先化简，再求值：的值；其中x满足方程x2+3x﹣2＝0．
解：原式＝﹣÷
＝﹣×（﹣）
＝
＝
由x2+3x﹣2＝0 知 x2+3x＝2，
∴原式值＝．
22．（10分）已知关于x的分式方程+＝．
（1）若方程有增根，求k的值．
（2）若方程的解为负数，求k的取值范围．
解：（1）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k，
由这个方程有增根，得到x＝1或x＝﹣1，
将x＝1代入整式方程得：k＝6，
将x＝﹣1代入整式方程得：k＝﹣8，
则k的值为6或﹣8．
（2）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k，
去括号合并得：7x﹣1＝k，即x＝，
根据题意得：＜0，且≠1且≠﹣1，
解得：k＜﹣1，且k≠﹣8．
23．（10分）如图，AD＝CB，AB＝CD，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．
求证：（1）△ABC≌△CDA；
（2）BE＝DF．
【解答】证明：（1）在△ABC和△CDA中，
，
△ABC≌△CDA（SSS）．
（2）∵△ABC≌△CDA，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEC＝∠DFA＝90°，
在△AFD和△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB（AAS），
∴BE＝DF．
24．（10分）佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
（1）求第一次水果的进价是每千克多少元？
（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
解：（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，
根据题意得：﹣＝20，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，
（2）第一次购水果1200÷6＝200（千克）．
第二次购水果200+20＝220（千克）．
第一次赚钱为200×（8﹣6）＝400（元）．
第二次赚钱为100×（9﹣6.6）+120×（9×0.5﹣6×1.1）＝﹣12（元）．
所以两次共赚钱400﹣12＝388（元），
答：第一次水果的进价为每千克6元，该老板两次卖水果总体上是赚钱了，共赚了388元．
25．（12分）阅读以下材料，完成以下两个问题．
[阅读材料]已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC．求证：AE平分∠BAC．
结合此题，DE＝BC，点B是DC的中点，考虑倍长，并且要考虑连结哪两点，目的是为了证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长FE，如图（1）所示；②考虑倍长AE，如图（2）所示
以图（1）为例，证明过程如下：
证明：延长FE至G，使EG＝EF，连结CG．
在△DEP和△CEG中，
，
∴△DEF≌△CEG（SAS）．
∴DF＝CG，∠DFE＝∠G．
∵DF＝AC，
∴CG＝AC．
∴∠G＝∠CAE．
∴∠DFE＝∠CAE．
∵DF∥AB，
∴∠DFE＝∠BAE．
∴∠BAE＝∠CAE．
∴AE平分∠BAC．
问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明．
问题2：根据上述材料，完成下列问题：
已知，如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，∠BAE＝∠CAF＝90°，AE＝AB，AC＝AF，AD＝3，求EF的长．
【解答】问题1：
证明：延长AE至G，使EG＝AE，连接DG，如图（2）所示：
在△ACE和△GDE中，
，
∴△ACE≌△GDE（SAS）．
∴AC＝GD，∠CAE＝∠G．
∵DF＝AC，
∴DG＝DF，
∴∠DFG＝∠G，
∴∠DFG＝∠CAE，
∵DF∥AB，
∴∠DFG＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴AE平分∠BAC．
问题2：
解：延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，如图（3）所示：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△GBD和△ACD中，
，
∴△GBD≌△ACD（SAS），
∴GB＝AC，∠G＝∠CAD，
∴BG∥AC，
∴∠ABG+∠BAC＝180°，
∵∠BAE＝∠CAF＝90°，
∴∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAF＝∠ABG，
∵AC＝AF，
∴AF＝GB，
在△AEF和△BAG中，
，
∴△AEF≌△BAG（SAS），
∴EF＝AG，
∵AG＝2AD＝2×3＝6，
∴EF＝6．
26．（12分）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
（1）如果，AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，求证：CF⊥BD，CF＝BD．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如图4，如果∠BAC是锐角，∠ACB＝45°，点D在线段BC上，点C、D不重合，求证：CF⊥BC．
【解答】（1）①证明：∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠DAC+∠CAF＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝90°，且∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠CAF＝∠BAD，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD＝CF，∠B＝∠ACF＝45°，
∴∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，
即∠BCF＝90°，
∴BC⊥CF，
即BD⊥CF；
②解：当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立，理由是：
如图3，∵四边形ADEF正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAF＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠FAC，
又∵AB＝AC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ACF＝∠ABC＝45°
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
即CF⊥BD；
（2）如图4，过点A作AQ⊥AC，交BC于点Q，
∵∠BCA＝45°，
∴∠AQC＝45°，
∴∠AQC＝∠BCA，
∴AC＝AQ，
∵AD＝AF，∠QAC＝∠DAF＝90°，
∴∠QAC﹣∠DAC＝∠DAF﹣∠DAC，
∴∠QAD＝∠CAF，
∴△QAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠AQD＝45°，
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
即CF⊥BD．

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