资源简介

2020-2021学年浙江省杭州市江干区采荷实验学校八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题
1．下列交通标志图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．1，2，1 B．2，3，6 C．6，8，11 D．1.5，2.5，4
3．下列哪个数是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解？（　　）
A．﹣3 B．﹣ C． D．2
4．由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．∠A+∠B＝∠C D．AB2＝BC2+AC2
5．若a＞b，则（　　）
A．a﹣1≥b B．b+1≥a C．a+1＞b﹣1 D．a﹣1＞b+1
6．能说明命题“若x2≥4，则x≥2”为假命题的一个反例可以是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．x＝5
7．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（　　）
A．85° B．75° C．65° D．60°
8．如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是（　　）
A．∠DCB＝∠EBC B．∠ADC＝∠AEB C．AD＝AE D．BE＝CD
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（　　）
A．3 B．5 C． D．6
10．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　）
A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°
二、填空题（共6小题）
11．如图，OA＝OB，OC＝3，BC＝1，数轴上点A表示的数是　 　．
12．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝　 　度．
13．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”，它的逆命题是　 　，该逆命题是　 　命题．（“真”、“假”）．
14．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于　 　．
15．不等式组有解，m的取值范围是　 　．
16．如图，已知等边△ABC的边长为4，点P是BC边上一点，BP＝1，则AP＝　 　，若点Q是AC边上一点，BQ＝AP，则AQ＝　 　．
三、解答题（共7小题）
17．求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来．
18．（1）用尺规作AB边的中垂线，交BC于点P．
（2）直接写出PC，PA，BC之间的数量关系．
19．如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求∠AFD的度数．
20．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式（2m+1）x﹣2m＜1的解为x＞1，请写出整数m的值．
21．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E，F分别是BD，AC的中点，连接EF．
（1）试判断EF与AC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠EAF＝45°，求∠ADC的度数．
22．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，动点P从点C出发，按C→A→B→C的路径运动，且速度为4cm/s，设出发时间为ts．
（1）BC边上的高为　 　；AB边上的高为　 　．
（2）当CP⊥AB时，求t的值；
（3）若△ACP是等腰三角形，求出所有满足条件的t的值．
参考答案
一、选择题（共10小题）
1．下列交通标志图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．1，2，1 B．2，3，6 C．6，8，11 D．1.5，2.5，4
解：A、1+1＝2，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、2+3＜6，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、6+8＞11，能组成三角形，故此选项符合题意；
D、1.5+2.5＝4，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．下列哪个数是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解？（　　）
A．﹣3 B．﹣ C． D．2
解：解不等式2（x﹣1）+3＜0，得，
因为只有﹣3＜，所以只有﹣3是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解，
故选：A．
4．由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．∠A+∠B＝∠C D．AB2＝BC2+AC2
解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，可求得∠C≠90°，故△ABC不是直角三角形；
B、不妨设AB＝3x，BC＝4x，AC＝5x，此时AB2+BC2＝25x2＝AC2，故△ABC是直角三角形；
C、∠A+∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，可求得∠C＝90°，故△ABC是直角三角形；
D、AB2＝BC2+AC2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
故选：A．
5．若a＞b，则（　　）
A．a﹣1≥b B．b+1≥a C．a+1＞b﹣1 D．a﹣1＞b+1
解：A、设a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b，不符合题意；
B、设a＝3，b＝1，a＞b，但是b+1＜a，不符合题意；
C、∵a＞b，∴a+1＞b+1，∵b+1＞b﹣1，∴a+1＞b﹣1，符合题意；
D、设a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b+1，不符合题意．
故选：C．
6．能说明命题“若x2≥4，则x≥2”为假命题的一个反例可以是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．x＝5
解：说明命题“若x2≥4，则x≥2”是假命题的一个反例可以是x＝﹣3．
故选：C．
7．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（　　）
A．85° B．75° C．65° D．60°
解：如图所示，
∵∠BCD＝60°，∠BCA＝45°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝60°﹣45°＝15°，
∠α＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣15°＝75°，
故选：B．
8．如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是（　　）
A．∠DCB＝∠EBC B．∠ADC＝∠AEB C．AD＝AE D．BE＝CD
解：A、因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，由∠DCB＝∠EBC，所以∠ABE＝∠ACD，根据ASA可以证明△ABE≌△ACD，本选项不符合题意．
B、由∠ADC＝∠AEB，根据AAS可以证明△ABE≌△ACD，本选项不符合题意．
C、由AD＝AE，根据SAS可以证明△ABE≌△ACD，本选项不符合题意．
D、SSA，不能判定三角形全等，本选项符合题意．
故选：D．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（　　）
A．3 B．5 C． D．6
解：连接DE，如图所示，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵AD＝AC＝6，AF⊥CD，
∴DF＝CF，
∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝4，
在△ADE和△ACE中，
，
∴△ADE≌△ACE（SSS），
∴∠ADE＝∠ACE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
设CE＝DE＝x，则BE＝5﹣x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2＝BE2，
即x2+42＝（5﹣x）2，
解得：x＝3；
∴CE＝3；
∴BE＝8﹣3＝5．
故选：B．
10．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　）
A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°
解：∵△AOB≌△ADC，
∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠OAD＝α，
在△ABC中，∠ABC＝（180°﹣α），
∵BC∥OA，
∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，
∴β+（180°﹣α）＝90°，
整理得，α＝2β．
故选：B．
二、填空题（共6小题）
11．如图，OA＝OB，OC＝3，BC＝1，数轴上点A表示的数是　﹣　．
解：∵OC＝3，BC＝1，
∴BO＝＝＝，
∵OA＝OB，
∴OA＝，
∴数轴上点A表示的数是﹣；
故答案为：﹣．
12．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝　40　度．
解：∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝35°，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝70°．
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝70°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为：40．
13．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”，它的逆命题是　如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形　，该逆命题是　真　命题．（“真”、“假”）．
解：命题“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题是“如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形”，是真命题，
故答案为：如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形；真．
14．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于　5　．
解：过E作EF⊥BC于点F，
∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，
∴BE＝DE＝5，
∴S△BCE＝BC?EF＝×5×1＝5，
故答案为：5．
15．不等式组有解，m的取值范围是　m＜8　．
解：由有解，得m＜8．
故答案为：m＜8．
16．如图，已知等边△ABC的边长为4，点P是BC边上一点，BP＝1，则AP＝　　，若点Q是AC边上一点，BQ＝AP，则AQ＝　1或3　．
解：连接AP，过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD＝CD＝BC＝×4＝2，∠BAD＝30°，
∴AD＝AB＝2，
∵PB＝1，
∴PD＝1，
∴PA＝＝＝；
过B作BH⊥AC于H，
当Q在线段CH之间时，
连接BQ，
∴AH＝AC＝2，
∴BH＝AD＝2，
∴HQ＝＝＝1，
∴AQ＝AH+HQ＝3，
当Q′在线段CH之间时，
同理可求HQ′＝1
∴AQ′＝AH﹣HQ′＝1，
综上：AQ＝3或1，
故答案为：，3，1．
三、解答题（共7小题）
17．求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来．
解：解不等式5x﹣2＞3（x+1），得：x＞，
解不等式≤1﹣，得：x≤7，
则不等式组的解集为＜x≤7，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
18．（1）用尺规作AB边的中垂线，交BC于点P．
（2）直接写出PC，PA，BC之间的数量关系．
解：（1）如图，直线PQ即为所求作．
（2）结论：BC＝PA+PC．
理由：∵PQ垂直平分线段AB，
∴PA＝PB，
∴PA+PB＝PB+PC＝BC．
19．如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求∠AFD的度数．
解：（1）∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD；
（2）设BC与AE交于点N，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ANC＝90°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠A＝∠B，
∵∠ANC＝∠BNF，
∴∠B+∠BNF＝∠A+∠ANC＝90°，
∴∠AFD＝∠B+∠BNF＝90°．
20．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式（2m+1）x﹣2m＜1的解为x＞1，请写出整数m的值．
解：（1）解方程组得：．
∵x≤0，y＜0，
∴．
解得﹣2＜m≤3；
（2）不等式（2m+1）x﹣2m＜1移项得：（2m+1）x＜2m+1．
∵不等式（2m+1）x﹣2m＜1的解为x＞1，
∴2m+1＜0，
解得m＜﹣．
又∵﹣2＜m≤3，
∴m的取值范围是﹣2＜m．
又∵m是整数，
∴m的值为：﹣1．
21．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E，F分别是BD，AC的中点，连接EF．
（1）试判断EF与AC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠EAF＝45°，求∠ADC的度数．
解：（1）EF⊥AC．
理由：连接AE，CE．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，E是BD的中点，
∴AE＝BD，CE＝BD，
∴AE＝CE，
又∵F是AC的中点，
∴EF⊥AC．
（2）以E为圆心，BE长为半径画圆，
∵∠BAD+∠DCB＝90°+90°＝180°，
∴A、B、C、D四点共圆，且直径是BD，E为圆心，
∴∠BAC＝∠BDC，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAC+∠DAE＝45°，
∵AE＝DE，
∴∠ADB＝∠EAD，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝∠BAC+∠EAD＝45°．
22．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
解：（1）设购买《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元，
由题意得：，
解得．
答：购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；
（2）设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为（50﹣n）本，
根据题意得，
解得：，
则n可以取17、18、19、20，
当n＝17时，50﹣n＝33，共花费17×35+33×30＝1585（元）；
当n＝18时，50﹣n＝32，共花费18×35+32×30＝1590（元）；
当n＝19时，50﹣n＝31，共花费19×35+31×30＝1595（元）；
当n＝20时，50﹣n＝30，共花费20×35+30×30＝1600（元）；
所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，动点P从点C出发，按C→A→B→C的路径运动，且速度为4cm/s，设出发时间为ts．
（1）BC边上的高为　8cm　；AB边上的高为　9.6cm　．
（2）当CP⊥AB时，求t的值；
（3）若△ACP是等腰三角形，求出所有满足条件的t的值．
【解答】（1）解：如图1中，作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，
∴BH＝CH＝BC＝6（cm），
∴AH＝＝＝8（cm），
∵S△ABC＝?BC?AH＝?AC?BD，
∴BD＝＝＝9.6（cm）．
∴BC边上的高为8cm．
故答案为：8cm，9.6cm；
（2）证明：如图2中，
∵CP⊥AB，BD⊥AC，
∴∠APC＝∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠A，AB＝AC，
∴△ACP≌△ABD（AAS），
∴AD＝＝＝，
∴t＝＝．
（3）解：分三种情况：①如图3，当CA＝CP时，点P在AB上，
过点C作CE⊥AP于点E，
∵AC＝CP，
∴AE＝PE，
由（2）可知，AD＝AE＝，
∴AP+AC＝10+＝，
∴t＝＝3.9．
②如图4，当PA＝PC时，点P与点B重合，
∵PA＝AC＝10cm，
∴t＝＝5，
③如图5，当AP＝PC时，点P在BC上，过点A作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝6，
由（1）可知：AH＝8，
∵点P在BC上，
∴PC＝32﹣4t，
∴PH＝32﹣4t﹣6＝26﹣4t，
∴（26﹣4t）2+82＝（32﹣4t）2，
∴t＝．
综上所述，满足条件的t的值为3.9或5或．

展开更多......

收起↑