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山东省青岛市李沧区2019-2020学年八年级上学期数学期中试卷
一、单选题
1．（2019八上·昌平期中） 的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2019八上·李沧期中）下列三角形是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2019八上·李沧期中） 的立方根是（　　）
A．2 B．4 C．±2 D．±8
4．（2019八上·李沧期中）若点P（m＋3，m－2）在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为（　　）
A．（0，5） B．（5，0） C．（－5，0） D．（0，－5）
5．（2018·昆明）黄金分割数 是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算 ﹣1的值（　　）
A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间
C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间
6．（2019八上·李沧期中）在某次试验中，测得两个变量 和 之间的4组对应数据如下表：
1 2 3 4
0 3 8 15
则 与 之间的关系满足下列关系式（　　）
A． B． C． D．
7．（2019八上·李沧期中）实数 在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是（　　）
A． B． C． D．
8．（2020八下·潮安期末）能表示一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m，n是常数且m≠0）的图象的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2019八上·李沧期中）如图所示的棋盘放置在某个平面直角坐标系内，棋子①的坐标为 ，棋子②的坐标为 ，那么棋子③的坐标是　 　.
10．（2020八下·北京期中）已知一个直角三角形的两边长分别为12和5，则第三条边的长度为　 　
11．（2019八上·李沧期中）当 　 　时，函数 是一次函数。
12．（2020七下·明水月考）已知点在第四象限，且点Ｐ到ｘ轴的距离为5，到ｙ轴的距离为2，那么点Ｐ的坐标为　 　．
13．（2019八上·李沧期中）已知一次函数 同时满足下列两个条件：①图象经过点 ；②函数值 随 的增大而增大。请你写出符合要求的一次函数关系式　 　（写出一个即可）
14．（2019八上·李沧期中）如图，有一个三级台阶，它的每一级的长， 宽和高分别是 ， ， ，点 和点 是这个台阶两个相对的端点， 点有一只蚂蚁，想到 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶表面爬到 点的最短路程是　 　．
15．（2019八上·李沧期中）一个数的算术平方根为 ，平方根为 ，则这个数是　 　.
16．（2019八上·李沧期中）在平面直角坐标系中， 的位置如图所示，其中点 为坐标原点， ， ，则点 关于 轴对称的点的坐标是　 　.
三、解答题
17．（2019八上·李沧期中）计算
（1）
（2）
（3）
（4）
18．（2019八上·李沧期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点画一个直角三角形，使其面积为4，且至少有两边长为无理数.
19．（2019八上·李沧期中）如图，已知 。求图中阴影部分的面积。
20．（2019八上·李沧期中）某一品牌的乒乓球在甲、乙两个商场的标价都是每个3元，在销售时都有一定的优惠。甲商场的优惠条件是购买不超过10个按原价销售，超过10个，超出部分按8折优惠；乙商场的优惠条件是无论买多少个都按9折优惠。
（1）分别写出在甲、乙两个商场购买这种乒乓球应付金额 元与购买个数 个之间的函数关系式；
（2）若要购买30个乒乓球，到哪家商场购买合算？请说明理由。
21．（2019八上·李沧期中）一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为 （小时），两车之间的距离为 （千米），图中的折线表示 与 之间的函数关系。
根据图象回答下列问题：
（1）甲地与乙地相距　 　千米，两车出发后　 　小时相遇；
（2）普通列车到达终点共需　 　小时，普通列车的速度是　 　千米/小时；
（3）动车的速度是　 　千米/小时；
（4）t的值为　 　.
22．（2019八上·李沧期中）如图，在长方形 中，点 在边 上，把长方形 沿直线 折叠，点 落在边 上的点 处。若 .
（1）求 的长；
（2）求 的面积。
23．（2019八上·李沧期中）我们已经知道，形如 的无理数的化简要借助平方差公式：
例如： 。
下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用。
问题提出： 该如何化简？
建立模型：形如 的化简，只要我们找到两个数 ，使 ，这样 ， ，那么便有： ，
问题解决：化简 ，
解：首先把 化为 ，这里 ， ，由于4+3=7， ，
即（ ， ，
∴
模型应用1：
利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1） ；
（2） ；
模型应用2：
（3）在 中， ， ， ，那么 边的长为多少？（结果化成最简）。
24．（2019八上·李沧期中）如图，一次函数 的图象分别与 轴和 轴交于 ， 两点，且与正比例函数 的图象交于点 .
（1）求 的值；
（2）求正比例函数的表达式；
（3）点 是一次函数图象上的一点，且 的面积是3，求点 的坐标；
（4）在 轴上是否存在点 ，使 的值最小？若存在，求出点 的坐标，若不存在，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是- ，
故答案为：B．
【分析】根据相反数的意义，可得答案．
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A选项中三角形三边按从小到大为： ， ，3， ，不是直角三角形；
B选项中三角形三边按从小到大为： ， ， ， ，故不是直角三角形；
C选项中三角形三边按从小到大为： ， ， ， ，故不是直角三角形；
D选项中三角形三边按从小到大为： ， ， ， ，故该三角形是直角三角形；
故答案为：D.
【分析】每个选项中，利用勾股定理计算出三边，看是否满足勾股定理关系式，即可判定.
3．【答案】A
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】∵ ，8的立方根是2，
∴ 的立方根是2.
故答案为：A.
【分析】 ,所以计算8的立方根即可.
4．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】由题意得m-2=0,m=2,所以P(5，0),
故答案为：B.
【分析】根据x轴上点的纵坐标都为0，可得m-2=0，据此解答即可.
5．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵4.84<5<5.29，
∴2.2< <2.3，
∴1.2< -1<1.3，
故答案为：B．
【分析】由于4.84< 5<5.29，根据算术平方根的意义，被开方数越大，其算数平方根也越大得出，根据不等式的性质，，从而得出答案。
6．【答案】C
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】将x=1代入 得，y=0，将x=2代入 得y=2，与表格中的3不相等，故A选项不符合题意；
将x=1代入 得，y=0，将x=2代入 得y=3，将x=3代入 得y=6，与表格中8不相等，故B选项不符合题意；
将x=1代入 得y=0，将剩下的几个值代入得出的y都与表格相等，故C符合题意；
同理D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】将变量x代入每个函数关系式验证，看是否等于表格中对应的y.
7．【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由数轴得 ，
∴ ，
∴原式=
故答案为：B.
【分析】由数轴上点的位置关系可得 ，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可.
8．【答案】C
【知识点】正比例函数的图象和性质；一次函数的图象
【解析】【解答】A、由一次函数图象得m＞0，n＞0，所以mn＞0，则正比例函数图象过第一、三象限，所以A选项不符合题意；
B、由一次函数图象得m＞0，n＜0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以B选项不符合题意；
C、由一次函数图象得m＜0，n＞0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以C选项符合题意；
D、由一次函数图象得m＜0，n＞0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】对于各选项：先通过一次函数的性质确定m、n的符合，从而得到mn的符合，然后根据正比例函数的性质对正比例函数图象进行判断，从而可确定该选项是否符合题意．
9．【答案】（1，-1）
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】根据①②的坐标可推出坐标系如下图所示，
故③的坐标为（1，-1）.
【分析】根据①的坐标为 ，棋子②的坐标为 推出x轴和y轴的位置，即可得到③的坐标.
10．【答案】13或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：第三条边的长度为
【分析】分两种情况讨论：当两条直角边为 12和5， 根据勾股定理求出第三条边的长度；当斜边为12，一条直角边为5，根据勾股定理求出第三条边的长度.
11．【答案】1
【知识点】一次函数的定义
【解析】【解答】解：由一次函数的形式 可得，
，
解得 .
【分析】根据一次函数的形式 ，即可解答.
12．【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：根据第四象限点的特征，P到x轴的距离为5，所以纵坐标为-5，P到y轴的距离是2，所以横坐标为2，故P点坐标为 ．
【分析】第四象限的点的特点是横坐标为正，纵坐标为负，再根据点到坐标轴的距离可确定坐标．
13．【答案】y=x+3（只要合理即可）
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】将（0,3）代入函数关系式，可得b=3，
由∵函数值 随 的增大而增大
∴k＞0，取正数即可
∴ 符合要求.
【分析】将（0,3）代入函数关系式，可得b=3，再由函数 随 的增大而增大可知k大于0，则取k为正数，b=3即可.
14．【答案】20
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为16，宽为（3+1）×3，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，
由勾股定理得：x2=162+[（3+1）×3]2=400，
解得x=20.
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
15．【答案】25
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】由题意得 或 ，解得 或1，
当m=1时 ，不符合算术平方根的定义，舍去.
当m=3时， ，所以这个数为 .
【分析】算术平方根为平方根中非负的那个平方根， 的正负性不清楚，则需要分情况讨论求出m的值，然后再求这个数.
16．【答案】（-2，-2）
【知识点】坐标与图形性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】∵ ，
∴三角形OAB为等腰直角三角形
如图所示，过A作AC⊥OB于C，由等腰三角形三线合一可知OC= OB=2，
∵ ，
∴△OAC也为等腰直角三角形
∴OC=AC=2
∴A点坐标为（2，-2）
关于 轴对称的点的坐标是（-2，-2）
【分析】由条件易得三角形OAB为等腰直角三角形，过A作AC⊥OB于C，由等腰三角形三线合一可得出A点的坐标，再求对称点.
17．【答案】（1）解：原式=
=11
（2）解：原式=
（3）解：原式=
=
=
=
（4）解：原式=
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）用平方差公式计算；（2）先化简二次根式，再合并；（3）先算除法，再化简二次根式合并；（4）先算乘除法，再化简合并.
18．【答案】解：如图所示.
【知识点】勾股定理；作图-三角形
【解析】【分析】根据面积为4，若为等腰直角三角形，则直角边长为 ，四个小正方形组成的大正方形对角线刚好为 ，据此作图即可.
19．【答案】解：在 中， ，
根据勾股定理， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，且 ，
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】在 中，利用勾股定理计算出 ，在 中利用勾股定理逆定理判定直角三角形，再用两个三角形面积作差即可.
20．【答案】（1）解：
（2）解：到甲商店购买合算
当 时， （元）， （元）
因为， ，所以，到甲商店购买合算
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）分别根据两个商场的优惠方案，写出关系式；（2）将x=30，代入（1）中的两个关系式，比较金额即可判断.
21．【答案】（1）1200；4
（2）12；100
（3）200
（4）6
【知识点】函数的图象；一次函数的实际应用
【解析】【解答】（1）由图像可知，甲地与乙地相距1200千米，两车出发后4小时相遇；（2）普通列车12小时到达，则速度为1200÷12=100千米/小时（3）设动车速度a千米/小时，由题意得 ，
解得 ，所以动车的速度是200千米/小时；（4） .
【分析】（1）初始时刻y=1200，即为两地距离，相遇时两车距离为0，由图像得到相遇时刻；（2）最后到达的为普通列车，根据路程除以时间可得速度；（3）设动车速度a千米/小时，由4小时相遇，列出方程可求解；（4）t时刻是动车到达乙地的时刻，用路程除以速度即可.
22．【答案】（1）解：由折叠易得， ，
由长方形的性质易得， ，
在 中，由勾股定理得，
，
所以，
（2）解：由折叠易得， ，
由长方形的性质易得， ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得，
所以，
所以，
所以，
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由折叠易得 ，再由勾股定理求出BE，则可求出AB.（2） ，则 ，在Rt△CDF中利用勾股定理建立方程可求出x，然后可求面积.
23．【答案】（1）解：这里 ，由于 ，
即 ，
所以
（2）解：首先把 化为 ，这里 ， ，由于 ， ，
即 ， ，
所以
（3）解：在 中，由勾股定理得，
所以，
所以，
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【分析】（1）按照题目做法，令 ，即可求出结果；（2）先将 化为 ，再按照（1）的做法计算即可.（3）利用勾股定理算出BC再化简即可.
24．【答案】（1）解：因为点 在一次函数 的图象上，
所以，
（2）解：因为正比例函数图象经过点 ，
所以， ，所以， ，
所以，
（3）解：对于 ，令 得， ，
所以，点 的坐标为 ，所以， ，
设点 的坐标为 ，
所以， ，
所以，
当 时， ，所以，点 的坐标为
当 时， ，
所以，点 的坐标为
（4）解：存在，理由如下：
由对称性可知，点 关于 轴对称的点的坐标为
设经过点 、点 的直线关系式为 ，
所以， ，所以 ，
所以，直线关系式为 ，
对于， ，令 ，得 ，
所以，点 .
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）将B点坐标代入一次函数即可；（2）将B点坐标代入函数即可；（3）求出一次函数与x轴的交点C，可得底边OC，设 的坐标为 ，则△OCD的高为 用面积公式建立方程求解；（4）找到点 关于 轴对称的点的坐标为 ，求出直线 的解析式，与x轴的交点即为P点.
1 / 1山东省青岛市李沧区2019-2020学年八年级上学期数学期中试卷
一、单选题
1．（2019八上·昌平期中） 的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是- ，
故答案为：B．
【分析】根据相反数的意义，可得答案．
2．（2019八上·李沧期中）下列三角形是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A选项中三角形三边按从小到大为： ， ，3， ，不是直角三角形；
B选项中三角形三边按从小到大为： ， ， ， ，故不是直角三角形；
C选项中三角形三边按从小到大为： ， ， ， ，故不是直角三角形；
D选项中三角形三边按从小到大为： ， ， ， ，故该三角形是直角三角形；
故答案为：D.
【分析】每个选项中，利用勾股定理计算出三边，看是否满足勾股定理关系式，即可判定.
3．（2019八上·李沧期中） 的立方根是（　　）
A．2 B．4 C．±2 D．±8
【答案】A
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】∵ ，8的立方根是2，
∴ 的立方根是2.
故答案为：A.
【分析】 ,所以计算8的立方根即可.
4．（2019八上·李沧期中）若点P（m＋3，m－2）在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为（　　）
A．（0，5） B．（5，0） C．（－5，0） D．（0，－5）
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】由题意得m-2=0,m=2,所以P(5，0),
故答案为：B.
【分析】根据x轴上点的纵坐标都为0，可得m-2=0，据此解答即可.
5．（2018·昆明）黄金分割数 是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算 ﹣1的值（　　）
A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间
C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵4.84<5<5.29，
∴2.2< <2.3，
∴1.2< -1<1.3，
故答案为：B．
【分析】由于4.84< 5<5.29，根据算术平方根的意义，被开方数越大，其算数平方根也越大得出，根据不等式的性质，，从而得出答案。
6．（2019八上·李沧期中）在某次试验中，测得两个变量 和 之间的4组对应数据如下表：
1 2 3 4
0 3 8 15
则 与 之间的关系满足下列关系式（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】将x=1代入 得，y=0，将x=2代入 得y=2，与表格中的3不相等，故A选项不符合题意；
将x=1代入 得，y=0，将x=2代入 得y=3，将x=3代入 得y=6，与表格中8不相等，故B选项不符合题意；
将x=1代入 得y=0，将剩下的几个值代入得出的y都与表格相等，故C符合题意；
同理D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】将变量x代入每个函数关系式验证，看是否等于表格中对应的y.
7．（2019八上·李沧期中）实数 在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由数轴得 ，
∴ ，
∴原式=
故答案为：B.
【分析】由数轴上点的位置关系可得 ，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可.
8．（2020八下·潮安期末）能表示一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m，n是常数且m≠0）的图象的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正比例函数的图象和性质；一次函数的图象
【解析】【解答】A、由一次函数图象得m＞0，n＞0，所以mn＞0，则正比例函数图象过第一、三象限，所以A选项不符合题意；
B、由一次函数图象得m＞0，n＜0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以B选项不符合题意；
C、由一次函数图象得m＜0，n＞0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以C选项符合题意；
D、由一次函数图象得m＜0，n＞0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】对于各选项：先通过一次函数的性质确定m、n的符合，从而得到mn的符合，然后根据正比例函数的性质对正比例函数图象进行判断，从而可确定该选项是否符合题意．
二、填空题
9．（2019八上·李沧期中）如图所示的棋盘放置在某个平面直角坐标系内，棋子①的坐标为 ，棋子②的坐标为 ，那么棋子③的坐标是　 　.
【答案】（1，-1）
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】根据①②的坐标可推出坐标系如下图所示，
故③的坐标为（1，-1）.
【分析】根据①的坐标为 ，棋子②的坐标为 推出x轴和y轴的位置，即可得到③的坐标.
10．（2020八下·北京期中）已知一个直角三角形的两边长分别为12和5，则第三条边的长度为　 　
【答案】13或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：第三条边的长度为
【分析】分两种情况讨论：当两条直角边为 12和5， 根据勾股定理求出第三条边的长度；当斜边为12，一条直角边为5，根据勾股定理求出第三条边的长度.
11．（2019八上·李沧期中）当 　 　时，函数 是一次函数。
【答案】1
【知识点】一次函数的定义
【解析】【解答】解：由一次函数的形式 可得，
，
解得 .
【分析】根据一次函数的形式 ，即可解答.
12．（2020七下·明水月考）已知点在第四象限，且点Ｐ到ｘ轴的距离为5，到ｙ轴的距离为2，那么点Ｐ的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：根据第四象限点的特征，P到x轴的距离为5，所以纵坐标为-5，P到y轴的距离是2，所以横坐标为2，故P点坐标为 ．
【分析】第四象限的点的特点是横坐标为正，纵坐标为负，再根据点到坐标轴的距离可确定坐标．
13．（2019八上·李沧期中）已知一次函数 同时满足下列两个条件：①图象经过点 ；②函数值 随 的增大而增大。请你写出符合要求的一次函数关系式　 　（写出一个即可）
【答案】y=x+3（只要合理即可）
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】将（0,3）代入函数关系式，可得b=3，
由∵函数值 随 的增大而增大
∴k＞0，取正数即可
∴ 符合要求.
【分析】将（0,3）代入函数关系式，可得b=3，再由函数 随 的增大而增大可知k大于0，则取k为正数，b=3即可.
14．（2019八上·李沧期中）如图，有一个三级台阶，它的每一级的长， 宽和高分别是 ， ， ，点 和点 是这个台阶两个相对的端点， 点有一只蚂蚁，想到 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶表面爬到 点的最短路程是　 　．
【答案】20
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为16，宽为（3+1）×3，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，
由勾股定理得：x2=162+[（3+1）×3]2=400，
解得x=20.
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
15．（2019八上·李沧期中）一个数的算术平方根为 ，平方根为 ，则这个数是　 　.
【答案】25
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】由题意得 或 ，解得 或1，
当m=1时 ，不符合算术平方根的定义，舍去.
当m=3时， ，所以这个数为 .
【分析】算术平方根为平方根中非负的那个平方根， 的正负性不清楚，则需要分情况讨论求出m的值，然后再求这个数.
16．（2019八上·李沧期中）在平面直角坐标系中， 的位置如图所示，其中点 为坐标原点， ， ，则点 关于 轴对称的点的坐标是　 　.
【答案】（-2，-2）
【知识点】坐标与图形性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】∵ ，
∴三角形OAB为等腰直角三角形
如图所示，过A作AC⊥OB于C，由等腰三角形三线合一可知OC= OB=2，
∵ ，
∴△OAC也为等腰直角三角形
∴OC=AC=2
∴A点坐标为（2，-2）
关于 轴对称的点的坐标是（-2，-2）
【分析】由条件易得三角形OAB为等腰直角三角形，过A作AC⊥OB于C，由等腰三角形三线合一可得出A点的坐标，再求对称点.
三、解答题
17．（2019八上·李沧期中）计算
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式=
=11
（2）解：原式=
（3）解：原式=
=
=
=
（4）解：原式=
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）用平方差公式计算；（2）先化简二次根式，再合并；（3）先算除法，再化简二次根式合并；（4）先算乘除法，再化简合并.
18．（2019八上·李沧期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点画一个直角三角形，使其面积为4，且至少有两边长为无理数.
【答案】解：如图所示.
【知识点】勾股定理；作图-三角形
【解析】【分析】根据面积为4，若为等腰直角三角形，则直角边长为 ，四个小正方形组成的大正方形对角线刚好为 ，据此作图即可.
19．（2019八上·李沧期中）如图，已知 。求图中阴影部分的面积。
【答案】解：在 中， ，
根据勾股定理， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，且 ，
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】在 中，利用勾股定理计算出 ，在 中利用勾股定理逆定理判定直角三角形，再用两个三角形面积作差即可.
20．（2019八上·李沧期中）某一品牌的乒乓球在甲、乙两个商场的标价都是每个3元，在销售时都有一定的优惠。甲商场的优惠条件是购买不超过10个按原价销售，超过10个，超出部分按8折优惠；乙商场的优惠条件是无论买多少个都按9折优惠。
（1）分别写出在甲、乙两个商场购买这种乒乓球应付金额 元与购买个数 个之间的函数关系式；
（2）若要购买30个乒乓球，到哪家商场购买合算？请说明理由。
【答案】（1）解：
（2）解：到甲商店购买合算
当 时， （元）， （元）
因为， ，所以，到甲商店购买合算
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）分别根据两个商场的优惠方案，写出关系式；（2）将x=30，代入（1）中的两个关系式，比较金额即可判断.
21．（2019八上·李沧期中）一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为 （小时），两车之间的距离为 （千米），图中的折线表示 与 之间的函数关系。
根据图象回答下列问题：
（1）甲地与乙地相距　 　千米，两车出发后　 　小时相遇；
（2）普通列车到达终点共需　 　小时，普通列车的速度是　 　千米/小时；
（3）动车的速度是　 　千米/小时；
（4）t的值为　 　.
【答案】（1）1200；4
（2）12；100
（3）200
（4）6
【知识点】函数的图象；一次函数的实际应用
【解析】【解答】（1）由图像可知，甲地与乙地相距1200千米，两车出发后4小时相遇；（2）普通列车12小时到达，则速度为1200÷12=100千米/小时（3）设动车速度a千米/小时，由题意得 ，
解得 ，所以动车的速度是200千米/小时；（4） .
【分析】（1）初始时刻y=1200，即为两地距离，相遇时两车距离为0，由图像得到相遇时刻；（2）最后到达的为普通列车，根据路程除以时间可得速度；（3）设动车速度a千米/小时，由4小时相遇，列出方程可求解；（4）t时刻是动车到达乙地的时刻，用路程除以速度即可.
22．（2019八上·李沧期中）如图，在长方形 中，点 在边 上，把长方形 沿直线 折叠，点 落在边 上的点 处。若 .
（1）求 的长；
（2）求 的面积。
【答案】（1）解：由折叠易得， ，
由长方形的性质易得， ，
在 中，由勾股定理得，
，
所以，
（2）解：由折叠易得， ，
由长方形的性质易得， ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得，
所以，
所以，
所以，
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由折叠易得 ，再由勾股定理求出BE，则可求出AB.（2） ，则 ，在Rt△CDF中利用勾股定理建立方程可求出x，然后可求面积.
23．（2019八上·李沧期中）我们已经知道，形如 的无理数的化简要借助平方差公式：
例如： 。
下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用。
问题提出： 该如何化简？
建立模型：形如 的化简，只要我们找到两个数 ，使 ，这样 ， ，那么便有： ，
问题解决：化简 ，
解：首先把 化为 ，这里 ， ，由于4+3=7， ，
即（ ， ，
∴
模型应用1：
利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1） ；
（2） ；
模型应用2：
（3）在 中， ， ， ，那么 边的长为多少？（结果化成最简）。
【答案】（1）解：这里 ，由于 ，
即 ，
所以
（2）解：首先把 化为 ，这里 ， ，由于 ， ，
即 ， ，
所以
（3）解：在 中，由勾股定理得，
所以，
所以，
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【分析】（1）按照题目做法，令 ，即可求出结果；（2）先将 化为 ，再按照（1）的做法计算即可.（3）利用勾股定理算出BC再化简即可.
24．（2019八上·李沧期中）如图，一次函数 的图象分别与 轴和 轴交于 ， 两点，且与正比例函数 的图象交于点 .
（1）求 的值；
（2）求正比例函数的表达式；
（3）点 是一次函数图象上的一点，且 的面积是3，求点 的坐标；
（4）在 轴上是否存在点 ，使 的值最小？若存在，求出点 的坐标，若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：因为点 在一次函数 的图象上，
所以，
（2）解：因为正比例函数图象经过点 ，
所以， ，所以， ，
所以，
（3）解：对于 ，令 得， ，
所以，点 的坐标为 ，所以， ，
设点 的坐标为 ，
所以， ，
所以，
当 时， ，所以，点 的坐标为
当 时， ，
所以，点 的坐标为
（4）解：存在，理由如下：
由对称性可知，点 关于 轴对称的点的坐标为
设经过点 、点 的直线关系式为 ，
所以， ，所以 ，
所以，直线关系式为 ，
对于， ，令 ，得 ，
所以，点 .
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）将B点坐标代入一次函数即可；（2）将B点坐标代入函数即可；（3）求出一次函数与x轴的交点C，可得底边OC，设 的坐标为 ，则△OCD的高为 用面积公式建立方程求解；（4）找到点 关于 轴对称的点的坐标为 ，求出直线 的解析式，与x轴的交点即为P点.
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