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上海市闵行10校联考2020-2021学年八年级上学期数学期中试卷
一、单选题
1．（2020八上·上海期中）在下列各式中，二次根式 的有理化因式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：∵ ，
∴二次根式 的有理化因式是： .
故答案为：C.
【分析】根据题意，将二次根式有理化，即去掉根号，即可得到答案。
2．（2020八上·上海期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 是最简二次根式，此项符合题意；
B、 不是最简二次根式，此项不符题意；
C、 不是最简二次根式，此项不符题意；
D、 不是最简二次根式，此项不符题意；
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式的含义，判断得到答案即可。
3．（2020八上·上海期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、方程 中的 不是整式，不满足一元二次方程的定义，此项不符题意；
B、方程 可整理为 ，是一元一次方程，此项不符题意；
C、方程 满足一元二次方程的定义，此项符合题意；
D、当 时，方程 不是一元二次方程，此项不符题意；
故答案为：C．
【分析】由一元二次方程的含义，判断得到答案即可。
4．（2020八上·上海期中）下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、△＝（-6）2-4×1×1=32＞0，方程有两个不相等的实数根；
B、△＝（-1）2-4×2×2=-15<0，方程没有实数根；
C、△＝（4）2-4×4×1=0，方程有两个相等的实数根；
D、△＝（m-1）2-4×4×3，不能判定正负，故不可知方程的根的情况．
故答案为：B．
【分析】由一元二次方程根的判别式，判断得到答案即可。
5．（2020八上·上海期中）下列命题是真命题的是（　　）
A．两个锐角的和还是锐角；
B．全等三角形的对应边相等；
C．同旁内角相等，两直线平行；
D．等腰三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、两锐角之和不一定是锐角，如40+80=120是钝角，故此选项不符合题意；
B、全等三角形的对应边相等，此选项符合题意；
C、同旁内角互补，两直线平行，故同旁内角相等，两直线不一定平行，此选项不符合题意;
D、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项不符合题意，
故答案为：B
【分析】根据锐角的含义、全等三角形的性质、平行线的判定以及中心对称图形的含义，判断得到答案即可。
6．（2020八上·上海期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H，AD平分∠BAC，与CH相交于点D，过点D作DE∥BC，与边AB相交于点E，那么下列结论中一定正确的是（　　）
A．DA=DE B．AC=EC C．AH＝EH D．CD＝ED
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：可以分析出A、B、C选项任何一个成立，那么都可以得到CH是AE的垂直平分线，那么就可以推出其他两个选项也都成立，但这是不可能的，所以A、B、C都不一定符合题意，
D选项一定符合题意，证明如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵AD平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质以及角平分线的性质，证明得到△CDF≌△EDH，继而得到CD=ED即可得到答案。
二、填空题
7．（2012·苏州）化简： =　 　
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解： = = ，故填 ．
【分析】根据最简二次根式的方法求解即可．
8．（2020八上·上海期中）化简： 　 　．
【答案】
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：由二次根式的定义得： ，解得 ，
则 ，
故答案为： ．
【分析】根据题意，将二次根式化简为最简二次根式即可。
9．（2020八上·上海期中）已知： ，那么a的取值范围是　 　．
【答案】a≤1
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意知 ，
故a-1≤0，
即a≤1．
故答案为a≤1．
【分析】根据完全平方公式以及二次根式的性质，求出a的取值范围即可。
10．（2019八上·长宁期中）不等式 的解集是　 　.
【答案】
【知识点】分母有理化；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：移项得： ，即： = = =
故答案为
【分析】按照解一元一次不等式步骤移项求解即可，最后需要进行分母有理化
11．（2020八上·上海期中）已知最简二次根式 与 是同类二次根式，x=　 　．
【答案】﹣2
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴x+5=3，
解得：x=﹣2，
故答案为：﹣2．
【分析】根据题意，列出关于x的方程，解出x的值即可。
12．（2020八上·上海期中）方程 的根是　 　．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
或 ，
解得 ，
故答案为： ．
【分析】利用提公因式法，解一元二次方程，得到答案即可。
13．（2019八上·长宁期中）在实数范围内分解因式： 　 　.
【答案】2（x- ）（x- ）
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：设2x2-3x-1=0，
∵△=（-3）2-4×2×（-1）=17，
∴x=
∴x1= ，x2= ，
∴2x2-3x-1=2（x- ）（x- ）．
故答案为：2（x- ）（x- ）．
【分析】求出方程2x2-3x-1=0中的判别式的值，求出方程的两个解，代入ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）即可．
14．（2020八上·上海期中）方程 的根的判别式的值为　 　．
【答案】40
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程 中的 ，
则其根的判别式为 ，
故答案为：40．
【分析】根据一元二次方程根的判别式，计算得到答案即可。
15．（2020八上·上海期中）某种商品原价800元，经过两次降价后售价为612元，其中二次降价的百分率比第一次降价的百分率多5%，如果设第一次降价的百分率为x，那么根据题意所列出的方程为　 　（只列出方程，无需求解）．
【答案】800（1-x）（95%-x）=612
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意得800-800x-（800-800x）（x+5%）=612
即800（1-x）（95%-x）=612，
故答案为：800（1-x）（95%-x）=612．
【分析】根据题意，由等量关系，列出方程得到答案即可。
16．（2019七下·永川期中）把命题“同位角相等，两直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是　 　.
【答案】如果两条直线被第三条直线所截且同位角相等，那么这两条直线平行
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：“同位角相等，两直线平行”的条件是：“同位角相等”，结论为：“两直线平行”，所以写成“如果…，那么…”的形式为：“如果同位角相等，那么两直线平行”.
【分析】一个命题都能写成“如果…那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论.
17．（2020八上·上海期中）如图，已知 ，要使 ≌ 成立， 还需填加一个条件，那么这个条件可以是　 　．（只需写出一个即可）
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：
理由：在 和 中，
，
．
故答案为 （答案不唯一）．
【分析】根据全等三角形的判定定理，计算得到答案即可。
18．（2020八上·上海期中）如图，三角形纸片ABC中∠A＝75°，∠B＝72°，将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，如果∠1＝32°，那么∠2＝　 　度．
【答案】34
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC中∠A＝75°，∠B＝72°，
∴∠C=180°﹣75°﹣72°=33°，
∴∠3+∠4=180°﹣33°=147°，
∵∠A+∠B+∠2+∠4+∠3+∠1=360°，∠1=32°，
∴∠2=360°﹣75°﹣72°﹣147°﹣32°=34°，
故答案为：34°．
【分析】根据折叠的性质，根据三角形的内角和定理，求出答案即可。
三、解答题
19．（2020八上·上海期中）如图，已知，AB⊥BD，AC⊥CD，且∠BAD＝∠CAD．
求证：AD⊥BC．
【答案】证明：∵AB⊥BD，AC⊥CD，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB=AC，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴AD⊥BC．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据题意，证明得到△ABD≌△ACD，即可得到AB=AC，根据等腰三角形的性质求出答案即可。
20．（2020八上·上海期中）计算：
【答案】解：原式=
=
= ．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【分析】将根式化简为最简二次根式，运算得到答案即可。
21．（2020八上·上海期中）解方程：
【答案】解：(x+1)(x+2)=12，
x2+3x+2=12,
x2+3x-10=0
(x+5)(x-2)=0，
∴x1=-5，x2=2.
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】将二次方程去括号，移项，合并同类项，利用十字相乘法解出方程的根即可。
22．（2020八上·上海期中）用配方法解方程：
【答案】解：
， ．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据完全平方公式的性质，利用配方法求出方程即可。
23．（2020八上·上海期中）先化简，再求值： ，其中x＝1，y＝2．
【答案】解：
=
=
=
=
=
=
=
= ；
将 代入得：原式= ．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据平方差公式、分母有理化、二次根式的性质进行化简运算，代入x和y的值，求出答案即可。
24．（2020八上·上海期中）已知关于x的一元二次方程 （m为常数）．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）如果方程有两个相等的实数根，求m的取值；
（3）如果方程没有实数根，求m的取值范围；
【答案】（1）解： 方程 是关于x的一元二次方程，
，
解得 ，
如果方程有两个不相等的实数根，
则其根的判别式 ，
解得 ，
故此时m的取值范围为 且 ；
（2）解：如果方程有两个相等的实数根，
则其根的判别式 ，
解得 ；
（3）解：如果方程没有实数根，
则其根的判别式 ，
解得 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据题意可知，一元二次方程根的判别式大于0，求出m的值即可；
（2）同理，方程根的判别式等于0，求出m的值即可；
（3）根据题意可知方程根的判别式小于0，求出m的值即可。
25．（2020八上·上海期中）某工程队，在工地一边的靠墙处（墙的长度为70米），用120米长的铁栅栏围成一个所占地面为长方形的临时仓库，铁栅栏只围三边，并且在平行于墙的一边开一扇宽为2米的门，如果围成的长方形临时仓库的面积为1800平方米，求长方形的两条边长．
【答案】解：设垂直墙一边长为x米，则平行墙的一边为(122-2x)米，
根据题意，得：(122-2x) x=1800，
即x2-61x+900=0，
（x﹣36）(x﹣25)=0，
解得：x1=36，x2=25，
∴x=36时，122-2x=122-2×36=50（米），
当x=25时，122-2x=122-2×25=72（米），
∵墙的长度为70米，∴x=36，
故长方形的长为50米，宽为36米．
【知识点】矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】根据题意，由矩形的面积公式，即可得到关于x的一元二次方程，求出最大值即可。
26．（2020八上·上海期中）如图，已知，在 中，点D是边AC的中点，点E是边BC的延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线相交于点F，连结AE．
（1）求证：AF＝CE．
（2）连结CF，交边AB于点G，如果CF⊥AB，求证： ．
【答案】（1）证明： 点D是边AC的中点，
，
，
，
在 和 中， ，
，
；
（2）解：由（1）知， ，
，
四边形AECF是平行四边形，
，
，
，
，
．
【知识点】二次根式的性质与化简；平行四边形的判定与性质；线段的中点
【解析】【分析】（1）根据中点的性质以及平行的性质，证明得到△ADF≌△CDE，根据全等三角形的性质得到AF=CE即可；
（2）由（1）的结论，根据平行线的性质证明四边形AECF为平行四边形，继而由平行四边形的性质求出答案即可。
27．（2020八上·上海期中）如图，已知， 是等边三角形，CE是 的外角∠ACM的平分线，点D为射线BC上一点，且∠ADE＝∠ABC，DE与CE相交于点E．
（1）如图1，如果点D在边BC上，求证：AD＝DE；
（2）如图2，如果点D在边BC的延长线上，那么（1）中的结论“AD＝DE”还成立吗？请说明理由；
（3）如果 的边长为4，且∠DAC＝30°，请直接写出线段BD的长度．（无需写出解题过程）
【答案】（1）证明：如图1，在AB上取一点F，使 ，连接DF，
是等边三角形，
，
，即 ，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
又 ，
，
在 和 中， ，
，
；
（2）解：成立，理由如下：
如图2，延长BA，使 ，连接DF，
是等边三角形，
，
，即 ，
，
是等边三角形，
，
平分 ，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
；
（3）2或8
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3） 是边长为4的等边三角形，
，
由题意，分以下两种情况：
①如图3-1，当点D在边BC上时，
，
，即AD是 的角平分线，
；
②如图3-2，当点D在边BC的延长线上时，
，
，
，
，
；
综上，线段BD的长为2或8．
【分析】（1）根据三角形ABC为等边三角形，即可得到△CDN为等边三角形，证明得到△ADN≌△EDC，即可得到AD=DE；
（2）同理在AC延长线取CN=CD，继而根据三角形ABC为等边三角形，即可得到△CDN为等边三角形，证明得到△ADN≌△EDC，即可得到AD=DE；
（3）分两种情况进行讨论，由直角三角形的性质和等边三角形的性质求出解即可。
1 / 1上海市闵行10校联考2020-2021学年八年级上学期数学期中试卷
一、单选题
1．（2020八上·上海期中）在下列各式中，二次根式 的有理化因式是（　　）
A． B． C． D．
2．（2020八上·上海期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
3．（2020八上·上海期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2020八上·上海期中）下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2020八上·上海期中）下列命题是真命题的是（　　）
A．两个锐角的和还是锐角；
B．全等三角形的对应边相等；
C．同旁内角相等，两直线平行；
D．等腰三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
6．（2020八上·上海期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H，AD平分∠BAC，与CH相交于点D，过点D作DE∥BC，与边AB相交于点E，那么下列结论中一定正确的是（　　）
A．DA=DE B．AC=EC C．AH＝EH D．CD＝ED
二、填空题
7．（2012·苏州）化简： =　 　
8．（2020八上·上海期中）化简： 　 　．
9．（2020八上·上海期中）已知： ，那么a的取值范围是　 　．
10．（2019八上·长宁期中）不等式 的解集是　 　.
11．（2020八上·上海期中）已知最简二次根式 与 是同类二次根式，x=　 　．
12．（2020八上·上海期中）方程 的根是　 　．
13．（2019八上·长宁期中）在实数范围内分解因式： 　 　.
14．（2020八上·上海期中）方程 的根的判别式的值为　 　．
15．（2020八上·上海期中）某种商品原价800元，经过两次降价后售价为612元，其中二次降价的百分率比第一次降价的百分率多5%，如果设第一次降价的百分率为x，那么根据题意所列出的方程为　 　（只列出方程，无需求解）．
16．（2019七下·永川期中）把命题“同位角相等，两直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是　 　.
17．（2020八上·上海期中）如图，已知 ，要使 ≌ 成立， 还需填加一个条件，那么这个条件可以是　 　．（只需写出一个即可）
18．（2020八上·上海期中）如图，三角形纸片ABC中∠A＝75°，∠B＝72°，将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，如果∠1＝32°，那么∠2＝　 　度．
三、解答题
19．（2020八上·上海期中）如图，已知，AB⊥BD，AC⊥CD，且∠BAD＝∠CAD．
求证：AD⊥BC．
20．（2020八上·上海期中）计算：
21．（2020八上·上海期中）解方程：
22．（2020八上·上海期中）用配方法解方程：
23．（2020八上·上海期中）先化简，再求值： ，其中x＝1，y＝2．
24．（2020八上·上海期中）已知关于x的一元二次方程 （m为常数）．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）如果方程有两个相等的实数根，求m的取值；
（3）如果方程没有实数根，求m的取值范围；
25．（2020八上·上海期中）某工程队，在工地一边的靠墙处（墙的长度为70米），用120米长的铁栅栏围成一个所占地面为长方形的临时仓库，铁栅栏只围三边，并且在平行于墙的一边开一扇宽为2米的门，如果围成的长方形临时仓库的面积为1800平方米，求长方形的两条边长．
26．（2020八上·上海期中）如图，已知，在 中，点D是边AC的中点，点E是边BC的延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线相交于点F，连结AE．
（1）求证：AF＝CE．
（2）连结CF，交边AB于点G，如果CF⊥AB，求证： ．
27．（2020八上·上海期中）如图，已知， 是等边三角形，CE是 的外角∠ACM的平分线，点D为射线BC上一点，且∠ADE＝∠ABC，DE与CE相交于点E．
（1）如图1，如果点D在边BC上，求证：AD＝DE；
（2）如图2，如果点D在边BC的延长线上，那么（1）中的结论“AD＝DE”还成立吗？请说明理由；
（3）如果 的边长为4，且∠DAC＝30°，请直接写出线段BD的长度．（无需写出解题过程）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：∵ ，
∴二次根式 的有理化因式是： .
故答案为：C.
【分析】根据题意，将二次根式有理化，即去掉根号，即可得到答案。
2．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 是最简二次根式，此项符合题意；
B、 不是最简二次根式，此项不符题意；
C、 不是最简二次根式，此项不符题意；
D、 不是最简二次根式，此项不符题意；
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式的含义，判断得到答案即可。
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、方程 中的 不是整式，不满足一元二次方程的定义，此项不符题意；
B、方程 可整理为 ，是一元一次方程，此项不符题意；
C、方程 满足一元二次方程的定义，此项符合题意；
D、当 时，方程 不是一元二次方程，此项不符题意；
故答案为：C．
【分析】由一元二次方程的含义，判断得到答案即可。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、△＝（-6）2-4×1×1=32＞0，方程有两个不相等的实数根；
B、△＝（-1）2-4×2×2=-15<0，方程没有实数根；
C、△＝（4）2-4×4×1=0，方程有两个相等的实数根；
D、△＝（m-1）2-4×4×3，不能判定正负，故不可知方程的根的情况．
故答案为：B．
【分析】由一元二次方程根的判别式，判断得到答案即可。
5．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、两锐角之和不一定是锐角，如40+80=120是钝角，故此选项不符合题意；
B、全等三角形的对应边相等，此选项符合题意；
C、同旁内角互补，两直线平行，故同旁内角相等，两直线不一定平行，此选项不符合题意;
D、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项不符合题意，
故答案为：B
【分析】根据锐角的含义、全等三角形的性质、平行线的判定以及中心对称图形的含义，判断得到答案即可。
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：可以分析出A、B、C选项任何一个成立，那么都可以得到CH是AE的垂直平分线，那么就可以推出其他两个选项也都成立，但这是不可能的，所以A、B、C都不一定符合题意，
D选项一定符合题意，证明如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵AD平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质以及角平分线的性质，证明得到△CDF≌△EDH，继而得到CD=ED即可得到答案。
7．【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解： = = ，故填 ．
【分析】根据最简二次根式的方法求解即可．
8．【答案】
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：由二次根式的定义得： ，解得 ，
则 ，
故答案为： ．
【分析】根据题意，将二次根式化简为最简二次根式即可。
9．【答案】a≤1
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意知 ，
故a-1≤0，
即a≤1．
故答案为a≤1．
【分析】根据完全平方公式以及二次根式的性质，求出a的取值范围即可。
10．【答案】
【知识点】分母有理化；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：移项得： ，即： = = =
故答案为
【分析】按照解一元一次不等式步骤移项求解即可，最后需要进行分母有理化
11．【答案】﹣2
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴x+5=3，
解得：x=﹣2，
故答案为：﹣2．
【分析】根据题意，列出关于x的方程，解出x的值即可。
12．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
或 ，
解得 ，
故答案为： ．
【分析】利用提公因式法，解一元二次方程，得到答案即可。
13．【答案】2（x- ）（x- ）
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：设2x2-3x-1=0，
∵△=（-3）2-4×2×（-1）=17，
∴x=
∴x1= ，x2= ，
∴2x2-3x-1=2（x- ）（x- ）．
故答案为：2（x- ）（x- ）．
【分析】求出方程2x2-3x-1=0中的判别式的值，求出方程的两个解，代入ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）即可．
14．【答案】40
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程 中的 ，
则其根的判别式为 ，
故答案为：40．
【分析】根据一元二次方程根的判别式，计算得到答案即可。
15．【答案】800（1-x）（95%-x）=612
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意得800-800x-（800-800x）（x+5%）=612
即800（1-x）（95%-x）=612，
故答案为：800（1-x）（95%-x）=612．
【分析】根据题意，由等量关系，列出方程得到答案即可。
16．【答案】如果两条直线被第三条直线所截且同位角相等，那么这两条直线平行
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：“同位角相等，两直线平行”的条件是：“同位角相等”，结论为：“两直线平行”，所以写成“如果…，那么…”的形式为：“如果同位角相等，那么两直线平行”.
【分析】一个命题都能写成“如果…那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论.
17．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：
理由：在 和 中，
，
．
故答案为 （答案不唯一）．
【分析】根据全等三角形的判定定理，计算得到答案即可。
18．【答案】34
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC中∠A＝75°，∠B＝72°，
∴∠C=180°﹣75°﹣72°=33°，
∴∠3+∠4=180°﹣33°=147°，
∵∠A+∠B+∠2+∠4+∠3+∠1=360°，∠1=32°，
∴∠2=360°﹣75°﹣72°﹣147°﹣32°=34°，
故答案为：34°．
【分析】根据折叠的性质，根据三角形的内角和定理，求出答案即可。
19．【答案】证明：∵AB⊥BD，AC⊥CD，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB=AC，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴AD⊥BC．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据题意，证明得到△ABD≌△ACD，即可得到AB=AC，根据等腰三角形的性质求出答案即可。
20．【答案】解：原式=
=
= ．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【分析】将根式化简为最简二次根式，运算得到答案即可。
21．【答案】解：(x+1)(x+2)=12，
x2+3x+2=12,
x2+3x-10=0
(x+5)(x-2)=0，
∴x1=-5，x2=2.
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】将二次方程去括号，移项，合并同类项，利用十字相乘法解出方程的根即可。
22．【答案】解：
， ．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据完全平方公式的性质，利用配方法求出方程即可。
23．【答案】解：
=
=
=
=
=
=
=
= ；
将 代入得：原式= ．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据平方差公式、分母有理化、二次根式的性质进行化简运算，代入x和y的值，求出答案即可。
24．【答案】（1）解： 方程 是关于x的一元二次方程，
，
解得 ，
如果方程有两个不相等的实数根，
则其根的判别式 ，
解得 ，
故此时m的取值范围为 且 ；
（2）解：如果方程有两个相等的实数根，
则其根的判别式 ，
解得 ；
（3）解：如果方程没有实数根，
则其根的判别式 ，
解得 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据题意可知，一元二次方程根的判别式大于0，求出m的值即可；
（2）同理，方程根的判别式等于0，求出m的值即可；
（3）根据题意可知方程根的判别式小于0，求出m的值即可。
25．【答案】解：设垂直墙一边长为x米，则平行墙的一边为(122-2x)米，
根据题意，得：(122-2x) x=1800，
即x2-61x+900=0，
（x﹣36）(x﹣25)=0，
解得：x1=36，x2=25，
∴x=36时，122-2x=122-2×36=50（米），
当x=25时，122-2x=122-2×25=72（米），
∵墙的长度为70米，∴x=36，
故长方形的长为50米，宽为36米．
【知识点】矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】根据题意，由矩形的面积公式，即可得到关于x的一元二次方程，求出最大值即可。
26．【答案】（1）证明： 点D是边AC的中点，
，
，
，
在 和 中， ，
，
；
（2）解：由（1）知， ，
，
四边形AECF是平行四边形，
，
，
，
，
．
【知识点】二次根式的性质与化简；平行四边形的判定与性质；线段的中点
【解析】【分析】（1）根据中点的性质以及平行的性质，证明得到△ADF≌△CDE，根据全等三角形的性质得到AF=CE即可；
（2）由（1）的结论，根据平行线的性质证明四边形AECF为平行四边形，继而由平行四边形的性质求出答案即可。
27．【答案】（1）证明：如图1，在AB上取一点F，使 ，连接DF，
是等边三角形，
，
，即 ，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
又 ，
，
在 和 中， ，
，
；
（2）解：成立，理由如下：
如图2，延长BA，使 ，连接DF，
是等边三角形，
，
，即 ，
，
是等边三角形，
，
平分 ，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
；
（3）2或8
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3） 是边长为4的等边三角形，
，
由题意，分以下两种情况：
①如图3-1，当点D在边BC上时，
，
，即AD是 的角平分线，
；
②如图3-2，当点D在边BC的延长线上时，
，
，
，
，
；
综上，线段BD的长为2或8．
【分析】（1）根据三角形ABC为等边三角形，即可得到△CDN为等边三角形，证明得到△ADN≌△EDC，即可得到AD=DE；
（2）同理在AC延长线取CN=CD，继而根据三角形ABC为等边三角形，即可得到△CDN为等边三角形，证明得到△ADN≌△EDC，即可得到AD=DE；
（3）分两种情况进行讨论，由直角三角形的性质和等边三角形的性质求出解即可。
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