期末压轴题解答题二 — 2020-2021学年初中数学七年级下学期(Word版 含答案)

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期末压轴题解答题二 — 2020-2021学年初中数学七年级下学期(Word版 含答案)

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2020-2021学年初中数学七年级下学期期末压轴题解答题二
1.已知正方形的边长为,正方形的边长为.
(1)如图1,点与点重合,点在边上,点在边上,请用两种不同方法求出阴影部分的面积(结果用,表示).
(2)如图2,在图1正方形位置摆放的基础上,在正方形的右下角又放了一个和正方形一样的正方形,使一个顶点和点重合,两条边分别落在和上,若题(1)中,图2中,求阴影部分的面积.
(3)如图3,若正方形的边和正方形的边在同一直线上,且两个正方形均在直线的同侧,若点在线段上,满足,连接,,,当三角形的面积为3时,求三角形的面积,写出求解过程.
2.将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按照如图①的方式叠放在一起,,,且三角板的位置保持不动.
(1)将三角板绕点按顺时针方向旋转至图②,若,求的度数.
(2)将三角板绕点按顺时针方向旋转,当旋转到时,求的度数(请先在备用图上补全相应的图形).
(3)当且点在直线的上方时,这两块三角尺是否存在一组边互相平行?若存在,请直接写出所有可能的值;若不存在,请说明理由.
3.(1)如图1,在中,,,是边上的中线,延长到点使,连接,把,,集中在中,利用三角形三边关系可得的取值范围是  ;
(2)如图2,在中,是边上的中线,点,分别在,上,且,求证:;
(3)如图3,在四边形中,为钝角,为锐角,,,点,分别在,上,且,连接,试探索线段,,之间的数量关系,并加以证明.
4.如图1,已知,点在直线上,点在直线上,且.
(1)试判断直线与的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,若点在直线上运动,作,作,试判断的大小是否会随着点的运动而发生变化?若不变,求出的大小;若变化,请说明理由.
5.如图,已知射线,,,在射线上,且满足平分,平分.
(1)求证:;
(2)若左右平移,则和的值是否会改变,若不变,求出它们的值,若改变,请说明理由.
6.(1)如图1,已知以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角,,连接和相交于点,交于点,交于点,求证:,且.
请补充完整证明“,且”的推理过程;
证明:和都是等腰直角三角形(已知)
,(等腰直角三角形定义)
又(已知)
   (等式性质)
即:   
   
(全等三角形的对应边相等)
(全等三角形的对应角相等)
又   
(直角三角形的两个锐角互余)
(等量代换)
    即
(2)探究:若以的边、分别向外作等边与等边,连接和相交于点,交于点,交于,如图2,则与还相等吗?若相等,请证明,若不相等,说明理由;并请求出的度数?
7.如图,,平分,平分,.问与,与平行吗?请说明理由.
8.【概念认识】
如图①,在中,若,则,叫做的“三分线”.其中,是“邻三分线”, 是“邻三分线”.
【问题解决】
(1)如图②,在中,,,若的三分线交于点,则  ;
(2)如图③,在中,、分别是邻三分线和邻三分线,且,求的度数;
【延伸推广】
(3)在中,是的外角,的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点.若,,直接写出的度数.(用含、的代数式表示)
9.若点的坐标满足.
(1)当,时,求点的坐标;
(2)若点在第二象限,且符合要求的整数只有三个,求的取值范围;
(3)若点为不在轴上的点.且关于的不等式的解集为,求关于的不等式的解集.
10.提出问题:
在的两边上各取点、,在平面上任取点(不与点、、重合),连接、,设为,为,为.请探索、、和这4个角之间的数量关系.
分析问题:由于点是平面上的任意点,要考虑全面,需对点的位置进行如下分类.
(1)若点在的两边上,易知点、将两边分成线段、,射线、四个部分,根据提示,完成表格;
条件 一级分类 二级分类 图形表示 数量关系
点在 的两边上 点在射线上 点在线段上



点在射线上


点在射线上 点在线段上 图略
  

点在射线上 图略   
(2)点在的内部,如图1,线段将内部分成线段,区域①,区域②三个部分.若点在线段上,则所求数量关系:且;
若点在区域①中,则所求数量关系为:  ;若点在区域②中,写出这4个角之间的数量关系,并利用图2加以证明.
类比解决:(3)点在的外部时,直接写出当点在该部分时这4个角之间的数量关系.
参考答案与试题解析
1.已知正方形的边长为,正方形的边长为.
(1)如图1,点与点重合,点在边上,点在边上,请用两种不同方法求出阴影部分的面积(结果用,表示).
(2)如图2,在图1正方形位置摆放的基础上,在正方形的右下角又放了一个和正方形一样的正方形,使一个顶点和点重合,两条边分别落在和上,若题(1)中,图2中,求阴影部分的面积.
(3)如图3,若正方形的边和正方形的边在同一直线上,且两个正方形均在直线的同侧,若点在线段上,满足,连接,,,当三角形的面积为3时,求三角形的面积,写出求解过程.
【考点】平方差公式的几何背景
【分析】(1)根据面积等于大正方形面积小正方形面积或等于两个长方形面积之和即可得出结论;
(2)用,表示和,根据,,求求出和的值,将和的值代入即可;
(3)见解答.
【解答】解:(1)①;②;
(2),又因为,所以,即,所以;所以,解得:.
表示边长为的正方形的面积,所以,所以.
(3)如图,记与的交点为,与交于点.
为正方形,为对角线,
为等腰直角三角形,
则,



【点评】本题考查整式乘法与图形面积,掌握割补法求图形面积的方法是解决(1)的关键;(2)(3)中解题的关键是正确理解图形面积公式,会表示相应线段的长和图形的面积.
2.将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按照如图①的方式叠放在一起,,,且三角板的位置保持不动.
(1)将三角板绕点按顺时针方向旋转至图②,若,求的度数.
(2)将三角板绕点按顺时针方向旋转,当旋转到时,求的度数(请先在备用图上补全相应的图形).
(3)当且点在直线的上方时,这两块三角尺是否存在一组边互相平行?若存在,请直接写出所有可能的值;若不存在,请说明理由.
【考点】:平行线的判定与性质;:旋转的性质
【分析】(1)首先证明,;
(2)有两种情形,画出图形即可解决问题;
(3)有四种情形,画出图形即可解决问题.
【解答】解:(1)如图2中,





(2)如图2中,
当时,延长交于,




当时,,
当时,的度数为或;
(3)存在.如图,①时,,
②时,,
③时,,
④时,,
⑤当时,
综上所述,当且点在直线的上方时,这两块三角尺存在一组边互相平行, 的值为或或或或.
【点评】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理、直角三角形的性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.
3.(1)如图1,在中,,,是边上的中线,延长到点使,连接,把,,集中在中,利用三角形三边关系可得的取值范围是  ;
(2)如图2,在中,是边上的中线,点,分别在,上,且,求证:;
(3)如图3,在四边形中,为钝角,为锐角,,,点,分别在,上,且,连接,试探索线段,,之间的数量关系,并加以证明.
【考点】四边形综合题
【分析】(1)证明,推出,在中,利用三角形的三边关系解决问题即可.
(2)如图2中,延长到,使得,连接,.证明,推出,再证明,利用三角形的三边关系即可解决问题.
(3)结论:.延长到,使得.提供两次全等证明,即可解决问题.
【解答】(1)解:如图1中,,,,





故答案为.
(2)证明:如图2中,延长到,使得,连接,.
,,,


.,

在中,,
,,

(3)解:结论:.
理由:延长到,使得.




,,

,,









【点评】本题属于四边形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,三角形的中线的性质,三角形的三边关系等知识,解题的关键是学会倍长中线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
4.如图1,已知,点在直线上,点在直线上,且.
(1)试判断直线与的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,若点在直线上运动,作,作,试判断的大小是否会随着点的运动而发生变化?若不变,求出的大小;若变化,请说明理由.
【考点】:平行线的判定与性质
【分析】(1)如图1,过点作,可得,由,.可得,得,进而可得直线与的位置关系;
(2)根据已知条件可得,再根据四边形内角和等于360度即可求出的大小.
【解答】解;(1)直线与的位置关系是平行,理由如下:
如图1,过点作,

,.



(2)的大小不会随着点的运动而发生变化,理由如下:
如图2,,,


所以的大小为.
【点评】本题考查了平行线的判定与性质,解决本题的关键是区分平行线的判定与性质,并准确运用.
5.如图,已知射线,,,在射线上,且满足平分,平分.
(1)求证:;
(2)若左右平移,则和的值是否会改变,若不变,求出它们的值,若改变,请说明理由.
【考点】平行线的性质;平移的性质
【分析】(1)根据平行线的性质和判定即可证明;
(2)根据平行线的性质可得出,从而得出答案.
【解答】解:(1),,



(2)不变,理由如下:


平分,


平分,





和的值不变,分别是和.
【点评】本题主要考查了平行线、角平分线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质.
6.(1)如图1,已知以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角,,连接和相交于点,交于点,交于点,求证:,且.
请补充完整证明“,且”的推理过程;
证明:和都是等腰直角三角形(已知)
,(等腰直角三角形定义)
又(已知)
  (等式性质)
即:   
   
(全等三角形的对应边相等)
(全等三角形的对应角相等)
又   
(直角三角形的两个锐角互余)
(等量代换)
    即
(2)探究:若以的边、分别向外作等边与等边,连接和相交于点,交于点,交于,如图2,则与还相等吗?若相等,请证明,若不相等,说明理由;并请求出的度数?
【考点】:全等三角形的判定与性质;:等边三角形的性质;:等腰直角三角形
【分析】(1)根据三角形全等的有关知识填空.
(2)根据等边三角形的性质得出,,,,求出,根据推出,根据全等三角形的性质得出,求出,代入求出即可.
【解答】(1)解:,,,对顶角相等,;
(2)证明:如图2,以、为边分别向外做等边和等边,
,,,,


在和中,


,,


【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.
7.如图,,平分,平分,.问与,与平行吗?请说明理由.
【考点】平行线的判定与性质
【分析】先根据角平分线的定义得到,,由于,则,根据,可得,然后根据内错角相等,两直线平行得到,再根据平行线的性质由得到,由于,则,再根据同旁内角互补,两直线平行可判断.
【解答】解:与,与平行.理由如下:
平分,平分,
,,









【点评】本题考查了平行线的判定与性质:内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行;两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补.
8.【概念认识】
如图①,在中,若,则,叫做的“三分线”.其中,是“邻三分线”, 是“邻三分线”.
【问题解决】
(1)如图②,在中,,,若的三分线交于点,则 85或100 ;
(2)如图③,在中,、分别是邻三分线和邻三分线,且,求的度数;
【延伸推广】
(3)在中,是的外角,的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点.若,,直接写出的度数.(用含、的代数式表示)
【考点】三角形的外角性质
【分析】(1)根据题意可得的三分线有两种情况,画图根据三角形的外角性质即可得的度数;
(2)根据、分别是邻三分线和邻三分线,且可得,进而可求的度数;
(3)根据的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点.分四种情况画图:情况一:如图①,当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时;情况二:如图②,当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时;情况三:如图③,当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时;情况四:如图④,当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时,再根据,,即可求出的度数.
【解答】解:(1)如图,
当是“邻三分线”时,;
当是“邻三分线”时,;
故答案为:85或100;
(2),


又、分别是邻三分线和邻三分线,
,,


在中,

(3)分4种情况进行画图计算:
情况一:如图①,当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时,

情况二:如图②,当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时,

情况三:如图③,当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时,

情况四:如图④、⑤,当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时,
①当时,;
②当时,.
综上所述:的度数为:或或或或.
【点评】本题考查了三角形的外角性质,解决本题的关键是掌握三角形的外角性质.注意要分情况讨论.
9.若点的坐标满足.
(1)当,时,求点的坐标;
(2)若点在第二象限,且符合要求的整数只有三个,求的取值范围;
(3)若点为不在轴上的点.且关于的不等式的解集为,求关于的不等式的解集.
【考点】:三角形综合题
【分析】(1)解方程组得,当,时,,即可得出答案;
(2)解方程组得,由点在第二象限,得,,则,,由题意得出,2,3,得出即可;
(3)由(1)得,,,由题意得出,,由不等式的解集得关于的方程的解为,得出,求出,解不等式即可.
【解答】解:(1)解方程组得:,
当,时,,
点的坐标为;
(2)解方程组足得:,
若点在第二象限,则,,
,,
符合要求的整数只有三个,
,2,3,

即的取值范围为;
(3)由(1)得:,,,
点为不在轴上的点,


关于的不等式的解集为,

,则,

代入得:,且,





【点评】本题是综合题目,考查了二元一次方程组的解法、点的坐标特征、一元一次不等式的解法等知识;本题综合性强,熟练掌握二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键.
10.提出问题:
在的两边上各取点、,在平面上任取点(不与点、、重合),连接、,设为,为,为.请探索、、和这4个角之间的数量关系.
分析问题:由于点是平面上的任意点,要考虑全面,需对点的位置进行如下分类.
(1)若点在的两边上,易知点、将两边分成线段、,射线、四个部分,根据提示,完成表格;
条件 一级分类 二级分类 图形表示 数量关系
点在 的两边上 点在射线上 点在线段上



点在射线上


点在射线上 点在线段上 图略
 且 

点在射线上 图略   
(2)点在的内部,如图1,线段将内部分成线段,区域①,区域②三个部分.若点在线段上,则所求数量关系:且;
若点在区域①中,则所求数量关系为:  ;若点在区域②中,写出这4个角之间的数量关系,并利用图2加以证明.
类比解决:
(3)点在的外部时,直接写出当点在该部分时这4个角之间的数量关系.
【考点】:角的概念;:角的计算
【分析】(1)根据题意可知确定的度数,再根据三角形外交的性质可求解;
(2)区域①根据四边形内角和为可求解; 区域②延长,交射线 于点,根据三角形的外角和可计算求解;
(3)根据不同区域,分别计算求解即可.
【解答】解:(1)且;且;
(2)若点 在区域①中,;
若点 在区域②中,.
延长,交射线 于点,
是 的外角,

是 的外角,

(3)①;
②且;
③;
④且;
⑤;
⑥ 且;
⑦;
⑧且;
⑨;
9 种情况依次对应下图的 9 个区域:
【点评】本题主要考查角的计算,三角形外角的性质,注意分类讨论.

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