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三角形的证明
知识要点1　等腰三角形的性质
【例1】如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,BD=CE.求证:AD=AE.
　　　
证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵在△ABD和△ACE中,,
∴△ABD≌△ACE,∴AD=AE.
　　
　　　　　
　　　　　
变式练习
1.如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E=35°,求∠BAC的度数.
知识要点2　等腰三角形的性质推论
【例2】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线交BC边于点D,AB=5
cm,BC=6
cm,则AD=　　　　.?
　　　　　
　　　　　
　　　　　
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则下列四个结论中:
①AB上任一点与AC上任一点到D的距离相等;②AD上任一点到AB,AC的距离相等;
③∠BDE=∠CDF;④∠1=∠2.
A.1个
　
B.2个　
C.3个　
D.4个
知识要点3　等边三角形的性质
【例3】如图,在等边三角形ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P,求证:AD=BE.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°.
∵在△ABD和△BCE中,,
∴△ABD≌△BCE,∴AD=BE
3.如图,△ABC与△BDE都是等边三角形,点A,B,D在同一直线上,试判断AE和CD的大小关系,并说明理由.
知识要点4　等腰三角形的判定定理
【例4】如图,在△ABC中,D,E分别是AC,AB上的点,BD与CE交于点O,∠EBO=∠DCO且BE=CD.求证:△ABC是等腰三角形.
证明:在△EBO和△DCO中,,
∴△EBO≌△DCO(AAS).∴OB=OC.
∴∠OBC=∠OCB.
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB.
∴∠ABC=∠ACB.
∴△ABC是等腰三角形.
4.如图,DE∥BC,CG=GB,∠1=∠2,求证:△DGE是等腰三角形.
知识要点5　等边三角形的判定定理
【例5】如图,在等边三角形ABC的三边上,分别取点D,E,F,使AD=BE=CF.求证:△DEF是等边三角形.
　　　
证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC.
∵AD=BE=CF,∴AF=BD.
在△ADF和△BED中,,
∴△ADF≌△BED(SAS).
∴DF=DE.同理DE=EF.
∴DE=DF=EF.∴△DEF是等边三角形
变式练习
5.如图,△ABC是等边三角形,与BC边平行的直线分别交AB和AC于点D,E,求证:△ADE是等边三角形.
知识要点6　反证法
【例6】用反证法证明“在△ABC中,若∠A﹥∠B﹥∠C,则∠A﹥60°”,第一步就假设(D)
A.∠A=60°　
B.∠A﹤60°
C.∠A≠60°　
D.∠A≤60°
　　　　　
　　　　　
　　　　　
6.用反证法证明“三角形三个内角中至少有两个锐角”时应首先假设　
.　
　　　　　
　　　　　
知识要点7　含30度角的直角三角形性质
【例7】在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=6,则BC=　　　　.?
　　　　　
　　　　　
　　　　　
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于点D,若CD=1,则BD=　　　　.?
知识要点8　直角三角形的性质定理
【例8】在Rt△ABC中,若∠B是直角,∠C=36°,则∠A的度数是(　　)
A.36°
B.54°
C.64°
D.90°
　　　　　
　　　　　
　　　　　
8.如图,一块直角三角板放在两平行直线上,∠1+∠2=
_____度.
知识要点9　直角三角形的判定定理
【例9】具备下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是(　　)
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A-∠B=∠C
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
D.∠A=∠B=3∠C
【例10】如图,在△ABC中,AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12,
(1)证明:△BCD是直角三角形;
(2)求△ABC的面积.
　　　　　
　　　　　
　　　　　
9.分别以下列四组数据为一个三角形的边长:①6,8,10;②5,12,13;③8,15,17;④4,5,6.其中能围成直角三角形的有(　　)
A.4组　
B.3组　
C.2组　
D.1组
10.如图,AD为△ABC上的高,E为AC上一点,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD.求证:BE⊥AC.
知识要点10　线段垂直平分线的性质定理
【例11】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,则下列结论不正确的是(　　)
A.AE=BE
B.AC=BE
C.CE=DE
D.∠CAE=∠B
　　　　　
　　　　　
　　　　　
变式练习
11.如图,有A,B,C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在(　　)
A.在AC,BC两边高线的交点处
B.在AC,BC两边中线的交点处
C.在∠A,∠B两内角平分线的交点处
D.在AC,BC两边垂直平分线的交点处
知识要点11　线段垂直平分线的判定定理
【例12】如图,在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,则AD与EF的关系是(　　)
A.EF垂直平分AD;
B.AD垂直平分EF
;
C.AD与EF互相垂直平分;
D.不能确定
　
12.如图,在△ABC中,点D为BC上一点,连接AD,点E在线段AD上,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AD垂直平分BC.
知识要点12　角平分线的性质定理
【例13】如图,在ABC中,∠C=90°,AD是∠A的平分线,DE⊥AB于点E,CD=3,BC=8,则BE=(　B　)
A.3
B.4
C.5
D.6　　
知识要点13　角平分线的判定定理
【例14】如图,∠AOQ=40°,QC⊥OA于C,QD⊥OB于D,若QC=QD,则∠AOB=　80　　　°.?
14.如图,已知BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF相交于点D,BD=CD,连接AD,求证:AD平分∠BAC.
综合训练
1.在Rt△ABC中,若∠B是直角,∠C=42°,那么∠A的度数是(　　)
A.42°
B.48°
C.58°
D.90°
2.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,则∠C的度数为(　　)
A.35°
B.40°
C.45°
D.50°
3.下列三角形:
①有两个角等于60°;
②有一个角等于60°的等腰三角形;
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.
其中是等边三角形的有(　　)
A.①②③
B.①②④
C.①③
D.①②③④
4.下列定理中逆定理不存在的是(　　)
A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等
B.在一个三角形中,如果两边相等,那么它们所对的角也相等
C.同位角相等,两直线平行
D.全等三角形的对应角相等
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,沿DE所在直线折叠,使点B恰好与点A重合,若CD=2,则AB的值为(　　)
A.2
B.4
C.4
D.8
6.如图,O是△ABC的∠ABC,∠ACB的平分线的交点,OD∥AB交BC于D,OE∥AC交BC于E,若BC=10,则△ODE的周长为　　　　.?
7.一个等腰三角形有一角是70°,则其余两角分别为　　
　　　　　.?
8.一个等腰三角形的两边长分别为5和8,则此三角形的周长为　　　　.?
9.如图,在△ABC中,∠C=90°,AM平分∠CAB,CM=20
cm,则点M到AB的距离是　　　　.?
10.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,DE垂直平分AB且点D在AC上,求∠DBC的度数.
11.如图,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF.求证:BF=2AE.
12.如图,已知△ABC和△BDE均为等边三角形,求证:AD=BD+CD.
期末知识点复习册参考答案
第一章　三角形的证明
知识要点
【例1】证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵在△ABD和△ACE中,,
∴△ABD≌△ACE,∴AD=AE.
【例2】4
cm
【例3】证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°.
∵在△ABD和△BCE中,,
∴△ABD≌△BCE,∴AD=BE.
【例4】证明:在△EBO和△DCO中,,
∴△EBO≌△DCO(AAS).∴OB=OC.
∴∠OBC=∠OCB.
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB.
∴∠ABC=∠ACB.
∴△ABC是等腰三角形.
【例5】证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC.
∵AD=BE=CF,∴AF=BD.
在△ADF和△BED中,,
∴△ADF≌△BED(SAS).
∴DF=DE.同理DE=EF.
∴DE=DF=EF.∴△DEF是等边三角形.
【例6】D　【例7】3　【例8】B　【例9】D
【例10】(1)证明:∵CD=9,BD=12,BC=15,
∴CD2+BD2=81+144=225,BC2=225.
∴CD2+BD2=BC2.
∴△BCD是直角三角形.
(2)解:设AD=x,则AC=x+9.
∵AB=AC,∴AB=x+9.
由(1),知∠BDC=90°,∴∠ADB=90°.
∴AB2=AD2+BD2,
即(x+9)2=x2+122.解得x=.
∴AC=+9=.
∴S△ABC=AC·BD=75.
【例11】B　【例12】B　【例13】B　【例14】80
变式练习
1.解:∵AE∥BD,∴∠DBC=∠E=35°.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABC=2∠DBC=70°.
∵AB=AC,∴∠C=∠ABC=70°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=40°.
2.C
3.解:AE=CD,理由如下:
∵△ABC与△BDE都是等边三角形,
∴AB=CB,BE=BD,∠ABC=∠EBD=60°.
∴∠ABC+∠CBE=∠EBD+∠CBE,即∠ABE=∠CBD.
在△ABE和△CBD中,,
∴△ABE≌△CBD,∴AE=CD.
4.证明:如图,连接AG,∵DE∥BC,
∴∠ABC=∠1,∠ACB=∠2.
又∵∠1=∠2,∴∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
又∵CG=GB,∴AG⊥BC.
∴AG⊥DE且平分DE.∴DG=GE.
∴△DGE是等腰三角形.
5.证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°.
∵DE∥BC,∴∠B=∠ADE,∠C=∠AED,
∴∠ADE=∠AED=∠A=60°,∴△ADE是等边三角形.
6.三角形三个内角中至多有一个锐角
7.2　8.90　9.B
10.证明:∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.
又∵BF=AC,FD=CD,∴△ADC≌△BDF(HL).
∴∠EBC=∠DAC.
又∵∠DAC+∠ACD=90°,∴∠EBC+∠ACD=90°.
∴BE⊥AC.
11.D
12.证明:∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴EB=EC,且∠1+∠3=∠2+∠4,即∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.∴A与E都在线段BC的垂直平分线上.
∴AD垂直平分BC.
13.A
14.证明:∵CF⊥AB,BE⊥AC,∴∠BFD=∠CED=90°.
在△BFD和△CED中,,
∴△BFD≌△CED(AAS).∴DF=DE.
又∵CF⊥AB,BE⊥AC,
∴AD平分∠BAC.
综合训练
1.B　2.A　3.D　4.D　5.C　6.10
7.70°,40°或55°,55°　8.18或21　9.20
cm
10.解:∵AB=AC,∠A=50°,∴∠ABC=∠C=65°,
∵DE是腰AB的垂直平分线,∴∠A=∠ABD=50°.
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°.
11.证明:∵AB=BC,BE⊥AC,∴AE=AC.
∵AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,
∴∠BAD=∠ABD=45°,∠ADB=90°,∴AD=BD.
∵BE⊥AC,AD⊥BC,
∴∠CAD+∠ACB=90°,∠CBE+∠ACB=90°,
∴∠CAD=∠CBE.
在△ADC和△BDF中,,
∴△ADC≌△BDF,∴AC=BF,
∴AE=BF,即BF=2AE.
12.证明:∵△ABC和△BDE都是等边三角形,
∴AB=BC,EB=DB=ED,∠ABC=∠EBD=60°.
∴∠ABC-∠EBC=∠EBD-∠EBC,
即∠ABE=∠CBD.
在△ABE和△CBD中,,
∴△ABE≌△CBD(SAS).∴DC=AE.
∵AD=AE+ED,∴AD=BD+CD.
　
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