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2020-2021学年鲁教版八年级数学期末综合复习模拟测试题2（附答案）
一、选择题（共10小题，每题3分，共计30分）
1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知＝1﹣2a，那么a的取值范围是（　　）
A．a＞ B．a＜ C．a≥ D．a≤
3．已知x＝，y＝，则x2+xy+y2的值为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．7
4．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
5．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＜﹣4 B．k＜4 且k≠0 C．k＞﹣4 D．k＞﹣4且k≠0
6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（　　）
①当AB＝BC时，它是矩形 ②AC⊥BD时，它是菱形
③当∠ABC＝90°时，它是菱形 ④当AC＝BD时，它是正方形
A．①② B．② C．②④ D．③④
7．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD的面积为（　　）
A．24 B．24 C．12 D．12
8．如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝6，AC＝8，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．C．D．
9．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上，已知直角三角纸板中DE＝16cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8米，他与“步云阁”的水平距距离CD为104m，则“步云阁”的高度AB是（　　）m．
A．75.5 B．77.1 C．79.8 D．82.5
10．如图，四边形ABCD是正方形，AB＝6，E是BC中点，连接DE，DE的垂直平分线分别交AB、DE、CD于M、O、N，连接EN，过E作EF⊥EN交AB于F，下列结论中，正确结论有（　　）
①△BEF∽△CNE；②MN＝3③BF＝AF；④△BEF的周长是12；⑤△EON的面积是3．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（共10小题，每题3分，共计30分）
11．化简的结果为　 　．
12．二次根式﹣a化简的结果为　 　．
13．若＝　 　．
14．若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为　 　．
15．已知矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，则矩形的面积是　 　．
16．如果一元二次方程x（x﹣6）＝3（x﹣6）的两个根是等腰三角形的两条边的长，那么这个等腰三角形的周长为　 　．
17．四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE＝，则CE的长为　 　．
18．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于点E，则OE＝　 　．
19．如图，一组平行线l1、l2、l3相交于直线l4、l5，则＝　 　．
20．如图，有一正方形ABCD，边长为4，点E是边CD上的中点，对角线BD上有一动点F，当顶点为A、B、F的三角形与顶点为D、E、F的三角形相似时，BF的值为　 　．
三．解答题（共8小题，21、22、23、24每小题6分；25、26、27每题8分；28题12分；共计60分）
21．计算：
（1）；
（2）﹣（）×+（+1）2．
22．化简并求值：，其中x＝3，y＝2．
23．2020年秋冬以来，由于全国大葱种植面积的减少与产量的减产，10月份到12月份，大葱的批发价格持续走高．10月份大葱的批发价格为5元/公斤，12月份大葱的批发价格涨到7.2元/公斤．
（1）求10月份到12月份大葱批发价格的月平均增长率；
（2）进入12月份以来，某农贸市场按照7.2元/公斤的批发价购进大葱进行销售，销售价格为10元/公斤，每天能销售大葱500公斤．为了扩大销售，增加盈利，最大限度让利于顾客，该农贸市场决定对大葱进行降价销售，根据市场调查发现，大葱的销售单价每降低0.1元，每天的销售量将增加40公斤．求当大葱的销售价格降低多少元时，该农贸市场每天销售大葱的利润为1640元？
24．已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
25．用指定方法解下列方程：
（1）x2+4x﹣2＝0（配方法）；
（2）（x﹣2）2＝3（x﹣2）（因式分解法）；
（3）2x2﹣4x﹣1＝0（公式法）．
26．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．
（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；
（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．
27．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证△ADF∽△EAB；
（2）若AB＝12，BC＝10，求DF的长．
28．如图，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BE＝BA，过点A作AG∥DE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE．
（1）求证：四边形AFED是菱形；
（2）求证：AB2＝BG?BC；
（3）若AB＝AC，BG＝CE，联结AE，求的值．
参考答案
一、选择题（共10小题，每题3分，共计30分）
1．解：A．＝2，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．＝6，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
2．解：∵＝1﹣2a，
∴2a﹣1≤0，解得a≤．
故选：D．
3．解：原式＝（x+y）2﹣xy
＝（+）2﹣×
＝（）2﹣
＝5﹣1
＝4．
故选：B．
4．解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2即a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，
设t＝x﹣1，
所以at2+bt+2＝0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，
所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021，
则x﹣1＝2021，
解得x＝2022，
所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为x＝2022．
故选：D．
5．解：根据题意得△＝（﹣4）2﹣4（﹣k）＞0，
解得k＞﹣4．
故选：C．
6．解：①若AB＝BC，则?ABCD是菱形，选项说法错误；
②若AC⊥BD，则?ABCD是菱形，选项说法正确；
③若∠ABC＝90°，则?ABCD是矩形，选项说法错误；
④若AC＝BD，则?ABCD是矩形，选项说法错误；
故选：B．
7．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，
∵AE平分∠BAC，AE＝CE，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，
∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴AE＝CE＝2BE＝4，AB＝2，
∴BC＝BE+CE＝6，
∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12；
故选：C．
8．解：A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
故选：D．
9．解：在△DEF和△DCB中，
∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°，
∴△DEF∽△DCB，
∴＝，
即＝，
解得：BC＝78（m），
∵AC＝1.5m，
∴AB＝AC+BC＝1.8+78＝79.8（m），
即树高79.8m，
故选：C．
10．解：∵EF⊥EN，
∴∠BEF+∠CEN＝90°，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BFE＝∠CEN，
∵∠B＝∠C，
∴△BEF∽△CNE，故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，E是BC中点，
∴CD＝6，CE＝3，
∴DE＝＝3，
∵MN垂直平分BE，
∴OD＝OE＝，EN＝DN，
设DN＝x，则EN＝x，CN＝6﹣x，
∵EN2＝EC2+CN2，
∴x2＝32+（6﹣x）2，解得x＝，
∴DN＝，
∵S△DMN＝，
∴DN?AD＝MN?OD，即×6＝MN，
∴MN＝3，故②正确；
∵△BEF∽△CNE，
∴，
∵BE＝CE＝3，CN＝6﹣＝，
∴，
∴BF＝4，
∴AF＝6﹣4＝2，
∴BF＝2AF，故③错误；
∵BE＝3，BF＝4，
∴EF＝5，
∴△BEF的周长＝3+4+5＝12，故④正确；
△EON的面积＝S△EDN＝＝××3＝，故⑤错误，
∴正确的结论为①②④共3个，
故选：B．
二、填空题（共10小题，每题3分，共计30分）
11．解：原式＝（﹣2）[（﹣2）（+2）]2020
＝（﹣2）×（3﹣4）2020
＝（﹣2）×（﹣1）2020
＝（﹣2）×1
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
12．解：根据题意得＞0，
∴a＜0，
∴原式＝﹣a
＝﹣a?
＝．
故答案为．
13．解：由题意得：a﹣2021≥0，
解得：a≥2021，
∵+|2020﹣a|＝a，
∴+a﹣2020＝a，
∴＝2020，
∴a﹣2021＝20202，
则20202﹣a＝﹣2021，
故答案为：﹣2021．
14．解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣a＝1．
∴原式＝﹣（a3﹣2a）+2020
＝﹣（a3﹣a2+a2﹣a﹣a）+2020
＝﹣[a（a2﹣a）+1﹣a]+2020
＝﹣（a+1﹣a）+2020
＝﹣1+2020
＝2019．
故答案为：2019．
15．解：设矩形的长和宽分别为a、b，
∵矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，
∴a+b＝﹣，ab＝＝4，
即矩形的面积是4，
故答案为：4．
16．解：解方程x（x﹣6）＝3（x﹣6）得：x1＝3，x2＝6．
当长度为3的线段为等腰三角形底边时，则腰长为6，此时三角形的周长为：6+6+3＝15；
当长度为6的线段为等腰三角形底边时，则腰长为3，此时3+3＝6，不能构成三角形．
综上所述，这个等腰三角形的周长为15．
故答案是：15．
17．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝6，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝6，
∴OB＝BD＝3，
∴OC＝OA＝＝3，
∴AC＝2OA＝6，
∵点E在AC上，OE＝，
∴当E在点O左边时CE＝OC+＝4
当点E在点O右边时CE＝OC﹣＝2，
∴CE＝4或2；
故答案为：4或2．
18．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝5，AC⊥BD，AO＝AC＝×6＝3，OB＝OD，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝4，
∴BD＝2OD＝8，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵OD＝OB，
∴OE＝BD＝×8＝4，
故答案为：4．
19．解：∵l1∥l2，
∴＝①，
∵l2∥l3，
∴＝②，
①×②，得＝，
故答案为：．
20．解：依题意可得：，
设BF＝x，则有；
①当△ABF∽△FDE时，（如图1）
由，得，
解得：；
②当△ABF∽△EDF时，（如图2）
由，得，
解得：；
综上所述，BF的值为或．
故答案为或．
三．解答题（共8小题，21、22、23、24每小题6分；25、26、27每题8分；28题12分；共计60分）
21．解：（1）原式＝4×÷5＝3÷5＝；
（2）原式＝﹣﹣2+3+2+1＝4．
22．解：原式＝+﹣+5＝6，
当x＝3，y＝2，原式＝6＝6．
23．解：（1）设10月份到12月份大葱的批发价格的月平均增长率为x，
依题意得：5（1+x）2＝7.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：10月份到12月份大葱的批发价格的月平均增长率为20%．
（2）设大葱的销售价格降低y元，则每公斤的销售利润为10﹣y﹣7.2＝（2.8﹣y）元，每天的销售量为500+×40＝（500+400y）公斤，
依题意得：（2.8﹣y）（500+400y）＝1640，
整理得：20y2﹣31y+12＝0，
解得：y1＝0.75，y2＝0.8，
又∵要最大限度让利于顾客，
∴y＝0.8．
答：当大葱的销售价格降低0.8元时，该超市每天销售大葱的利润为1640元．
24．（1）证明：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）∵△ABC为等腰三角形，
∴b＝c或b、c中有一个为5．
①当b＝c时，△＝（m﹣5）2＝0，
解得：m＝5，
∴原方程为x2﹣8x+16＝0，
解得：b＝c＝4，
∵b+c＝4+4＝8＞5，
∴4、4、5能构成三角形．
该三角形的周长为4+4+5＝13．
②当b或c中的一个为5时，将x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，
解得：m＝6，
∴原方程为x2﹣9x+20＝0，
解得：x1＝4，x2＝5．
∵4、5、5能组成三角形，
∴该三角形的周长为4+5+5＝14．
综上所述，该三角形的周长是13或14．
25．解：（1）原方程可化为x2+4x＝2，
等式两边加4，得x2+4x+4＝6，
由完全平方公式得，（x+2）2＝6，
∴或，
所以原方程的解为x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）移项得，（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0，
提取公因式，得（x﹣2）（x﹣5）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝2，x2＝5；
（3）∵△＝42+4×2×1＝24＞0，
由求根公式得x＝＝＝，
即，
所以原方程的解为x1＝1+，x2＝1﹣．
26．解：（1）EF2＝AF2+BF2．
理由：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，
∴∠EOF＝∠AOB＝90°，
∴∠EOA＝∠FOB，
在△EOA和△FOB中，
，
∴△EOA≌△FOB（ASA），
∴AE＝BF，
在Rt△EAF中，EF2＝AE2+AF2＝AF2+BF2；
（2）在BC上取一点H，使得BH＝AE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBH，∠AOB＝90°，
在△OAE和△OBH中，
∴△OAE≌△OBH（SAS），
∴AE＝BH，∠AOE＝∠BOH，OE＝OH，
∵∠EOF＝45°，
∴∠AOE+∠BOF＝45°，
∴∠BOF+∠BOH＝45°，
∴∠FOE＝∠FOH＝45°，
在△FOE和△FOH中?，
，
∴△FOE≌△FOH（SAS），
∴EF＝FH，
∵∠FBH＝90°，
∴FH2＝BF2+BH2，
∴EF2＝BF2+AE2，
27．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°＝∠B，
∴△ADF∽△EAB；
（2）解：∵BC＝AD＝10，E是BC边的中点，
∴BE＝5，
∴AE＝＝＝13，
由（1）得：△ADF∽△EAB，
∴＝，
即＝，
解得：DF＝．
28．解：（1）证明：如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠EBF，
∵BA＝BE，BF＝BF，
∴△ABF≌△EBF（SAS），
∴AF＝EF，
同理可得△ABD≌△EBD（SAS），
∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB，
∵AG∥DE，
∴∠AFD＝∠EDF，
∴∠AFD＝∠ADF，
∴AF＝AD，
∴AF＝FE＝ED＝DA，
∴四边形AFED是菱形．
（2）证明：由（1）得△ABF≌△EBF，
∴∠BAG＝∠BEF，
∵四边形AFED是菱形，
∴AD∥FE，
∴∠BEF＝∠C，
∴∠BAG＝∠C，
∵∠ABG＝∠CBA，
∴△ABG∽△CBA，
∴，即AB2＝BG?BC．
（3）由（2）得，△ABG∽△CBA，AB＝AC，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∴∠AGC＝2∠GAB，
∵BG＝CE，
∴BE＝CG，
∴CG＝CA，
∴∠CAG＝∠CGA，
∵∠CAG＝2∠DAE，
∴∠DAE＝∠ABC，
∴∠DEA＝∠ACB，
∴△DAE∽△ABC，
∴＝（）2，
∵AB2＝BG?BC，AB＝BE，BG＝EC，
∴BE2＝EC?BC，
∴点E是BC的黄金分割点，
∴＝，
∴＝，
∵∠EAC＝∠C，
∴CE＝AE，
∴＝，
∴＝．

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