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1146810011785600 2020-2021学年第一学期九年级数学期末模拟测试题（三）
一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题始出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．（3分）若2y﹣7x＝0，则x：y等于（　　）
A．2：7 B．4：7 C．7：2 D．7：4
2．（3分）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，则cosB的值为（　　）
A．2 B．22 C．32 D．1
3．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．某一事件发生的可能性非常大就是必然事件
B．2020年1月27日杭州会下雪是随机事件
C．概率很小的事情不可能发生
D．投挪一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
4．（3分）若一个扇形的圆心角是45°，面积是2π，则这个扇形的半径是（　　）
A．4 B．22 C．4π D．212π
5．（3分）正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为（　　）
A．y＝x2+16 B．y＝（x+4）2 C．y＝x2+8x D．y＝16﹣4x2
6．（3分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么BF：CF等于（　　）
A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5
7．（3分）作⊙O的内接正六边形ABCDEF，甲、乙两人的作法分别是：
甲：第一步：在⊙O上任取一点A，从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B，C，D，E，F．第二步：依次连接这六个点．
乙：第一步：任作一直径AD．第二步：分别作OA，OD的中垂线与⊙O相交，交点从点A开始，依次为点B，C，E，F．第三步：依次连接这六个点．
对于甲、乙两人的作法，可判断（　　）
A．甲正确，乙错误 B．甲、乙均错误
C．甲错误，乙正确 D．甲、乙均正确
8．（3分）如图，有一块三角形余料ABC，它的面积为36cm2，边BC＝12cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则加工成的正方形零件的边长为（　　）cm．
A．8 B．6 C．4 D．3
9．（3分）二次函数y＝（x﹣1）（x﹣m+1）（m是常数），当﹣2≤x≤0时，y＞0，则m的取值范围为（　　）
A．m＜0 B．m＜1 C．0＜m＜1 D．m＞1
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠OAC＝30°，OD绕着点O顺时针旋转，连结CD交直线AB于点E，当DE＝OD时，∠OCE的大小不可能为（　　）
A．20° B．40° C．70° D．80°
二、填空题：本题有6个小题、每小4分，共24分．
11．（4分）四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝50°，则∠ABC的度数为　 　．
12．（4分）在一个不透明的袋中有2个红球，若干个白球，它们除颜色外其它都相同，若随机从袋中摸出一个球，摸到红球的概率是14，则袋中有白球　 　个．
13．（4分）在△ABC中，已知AB＝AC＝4cm，BC＝6cm，P是BC的中点，以点P为圆心，3cm为半径画⊙P，则点A与⊙P的位置关系是　 　．
14．（4分）如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，使斜边DF与地面保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝30cm，EF＝15cm，测得边DF离地面的高度AC＝120cm，CD＝600cm，则树AB的高度为　 　cm．
15．（4分）剪掉边长为2的正方形纸片4个直角，得到一个正八边形，则这个正八边形的边长为　 　．
16．（4分）已知四个点的坐标分别为A（﹣4，2），B（﹣3，1），C（﹣1，1），D（﹣2，2），若抛物线y＝ax2与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为　 　．
三．解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
17．（6分）（1）计算：2sin30°+cos30°?tan60°．
（2）已知a2=b3，且a+b＝20，求a，b的值．
18．（8分）把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别都标上数字1，2，3，将这两组卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张．
（1）请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率．
（2）若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字为一奇一偶，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
19．（8分）飞行员将飞机上升至离地面18米的F点时，测得F点看树顶A点的俯角为30°，同时也测得F点看树底B点的俯角为45°，求该树的高度（结果保留根号）．
20．（10分）把一根长为4米的铁丝折成一个矩形，矩形的一边长为x米，面积为S米2，
（1）求S关于x的函数表达式和x的取值范围
（2）x为何值时，S最大？最大为多少？
21．（10分）如图，AD与BC交于点O，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F，BO＝1，CO＝3，AO=32，DO=92．
（1）求证：∠A＝∠D．
（2）若AE＝BE，求证：CF＝DF．
22．（12分）已知二次函数y＝﹣x2+2kx+1﹣k（k是常数）
（1）求此函数的顶点坐标．
（2）当x≥1时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
（3）当0≤x≤1时，该函数有最大值3，求k的值．
23．（12分）△ABC内接于⊙O，AB是直径，∠ABC＝30°，点D在⊙O上．
（1）如图，若弦CD交直径AB于点E，连接DB，线段CF是点C到BD的垂线段．
①问∠CDF的度数和点D的位置有关吗？请说明理由．
②若△DFC的面积是△ACB的面积的910倍，求∠CBF的正弦值．
（2）若⊙O的半径长为2，CD=22，求BD的长度．
答案
一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题始出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．【解答】解：∵2y﹣7x＝0，
∴2y＝7x，
∴x：y＝2：7，
故选：A．
2．【解答】解：由题意，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝2，AB＝22，
∴cosB=BCAB=22．
故选：B．
3．【解答】解：A、某一事件发生的可能性非常大也是随机事件，故此选项错误；
B、2020年1月27日杭州会下雪是随机事件，正确；
C、概率很小的事情也是随机事件，故此选项错误；
D、投挪一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数是500次，是随机事件，故此选项错误；
故选：B．
4．【解答】解：设扇形的半径为r．
由题意：2π=45?π?r2360，
解得r＝4，
故选：A．
5．【解答】解：∵新正方形边长是x+4，原正方形边长是4，
∴新正方形面积是（x+4）2，原正方形面积是16，
∴增加的面积y＝（x+4）2﹣16
即y＝x2+8x
故选：C．
6．【解答】解：∵DE∥BC，
∴ADAB=DEBC，
∵AD：DB＝3：5，AB＝AD+DB，
∴ADAB=38，
∴DEBC=38，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE＝BF，
∵BC＝BF+CF，DEBC=38，
∴DFCF=35，
∴BF：CF＝3：5，
故选：C．
7．【解答】解：甲：由作图可知，AB＝BO＝AO，即△AOB为等边三角形，
同理可得△BOC，△COD，△DOE，△EOF，△AOF均为等边三角形，
故AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠AFE＝∠FAB＝120°，
所以六边形ABCDEF为正六边形；
乙：由作图可得，BA＝BO＝AO，即△ABO为等边三角形，
同理可得△AOF，△COD，△DOE均为等边三角形，
故∠EOF＝∠BOC＝60°，而BO＝CO＝EO＝FO，
所以△BOC，△EOF均为等边三角形，
所以AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠AFE＝∠FAB＝120°，
所以六边形ABCDEF为正六边形；
因此，甲、乙两人的作法均正确，
故选：D．
8．【解答】解：作BC边上的高AM交EF于点N，
∵面积为36cm2，边BC＝12cm，
∴AM＝6cm，
设正方形的边长为xmm，则EF＝FP＝NM＝x，
∴AN＝AM﹣MN＝6﹣x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴EFBC=ANAM，即x12=6-x6，
解得x＝4．
故选：C．
9．【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）（x﹣m+1）（m是常数），
∴该函数的图象开口向上，与x轴的交点为（1，0），（m﹣1，0），
∵当﹣2≤x≤0时，y＞0，
∴当m﹣1≥1时，即m≥2或当0＜m﹣1＜1，得1＜m＜2，
由上可得，m的取值范围为m＞1，
故选：D．
10．【解答】解：
连接OC，
①如图1，OD绕着点O顺时针旋转，连结CD交直线AB于点E，
设∠OCE＝x，
∵OC＝OD，
∴∠OCE＝∠D＝x，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°，
∵DE＝OD，
∴∠DOE＝∠DEO＝30°+x+30°＝60°+x
∴2（60°+x）+x＝180°
解得x＝20°．
∴∠OCE的大小为20°；
②如图2，
设∠OEC＝x，
∵DE＝OD，
∴∠EOD＝∠E＝x，
∵DO＝CO，
∴∠ODC＝∠OCD＝2x，
∠EOC＝2∠A＝60°
∴在△OCE中，
x+60°+2x＝180°，
解得x＝40°，
∴∠OCE＝2x＝80°；
③如图3，
设∠ACE＝x，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝30°+x，
∵OD＝DE
∴∠E=12∠ODC＝15°+12x，
∴15°+12x+x＝30°
解得x＝10°，
∴∠OCE＝30°+x＝40°．
综上：∠OCE的大小为：20°、40°、80°．
故选：C．
二、填空题：本题有6个小题、每小4分，共24分．
11．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠ABC+∠D＝180°
∵∠D＝50°
∴∠ABC＝180°﹣∠D＝130°．
故答案为：130°．
12．【解答】解：设袋子中白球有x个，
根据题意，得：22+x=14，
解得x＝6，
经检验：x＝6是分式方程的解，
即袋中白球有6个，
故答案为：6．
13．【解答】解：如图，连接AP，
∵AB＝AC＝4cm，BC＝6cm，P是BC的中点，
∴BP＝CP＝3cm，AP⊥BC，
∴∠APB＝90°，
∴在Rt△APB中，由勾股定理得：AP=AB2-BP2=42-32=7（cm），
∵7＜3，
∴点A在⊙P内．
故答案为：点A在⊙P内．
14．【解答】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴BC：EF＝DC：DE，
∵DE＝30cm，EF＝15cm，AC＝120cm，CD＝600cm，
∴BC15=60030，
∴BC＝300cm，
∴AB＝AC+BC＝120+300＝420cm，
故答案为：420．
15．【解答】解：设正八边形的边长为x，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为22x，
∵正方形的边长为2，
∴22x+x+22x＝2，
解得x＝22-2，
∴正八边形的边长为22-2，
故答案为：22-2．
16．【解答】解：把C（﹣1，1）代入y＝ax2得a＝1，
把B（﹣3，1）代入y＝ax2得a=19，
把A（﹣4，2）代入y＝ax2得a=18，
如图，若抛物y＝ax2与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为a＞1或0＜a＜19或a＜0，
故答案为a＞1或0＜a＜19或a＜0．
三．解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
17．【解答】解：（1）2sin30°+cos30°?tan60°＝2×12+32?3=1+32=52；
（2）设a2=b3=k，
则a＝2k，b＝3k，
∵a+b＝20，
∴2k+3k＝20，
∴k＝4，
∴a＝8，b＝12．
18．【解答】解：（1）画树状图得：
由上图可知，所有等可能结果共有9种，其中两张卡片数字之和为奇数的结果有4种，
则取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率是49；
（2）不公平；理由：
由（1）可得出：取出的两张卡片上的数字都为奇数的有4种，一奇一偶有4种，
则取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率是49，
取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的概率为49，
因此这个游戏公平．
19．【解答】解：过F作FC⊥BA交BA的延长线于C，
则∠C＝90°，∠BFC＝45°，∠CFA＝30°，
∴CF＝BC＝18，
∴AC=33CF＝63，
∴AB＝BC﹣AC＝18﹣63，
答：该树的高度为（18﹣63）米．
20．【解答】解：（1）已知一边长为x米，则另一边长为（2﹣x）米．
则S＝x（2﹣x）化简可得S＝﹣x2+2x，（0＜x＜2）
（2）S＝2x﹣x2＝﹣（x2﹣2x）
＝﹣（x﹣1）2+1，
所以当x＝1米时，矩形的面积最大，最大为1米2．
21．【解答】证明：（1）∵BO＝1，CO＝3，AO=32，DO=92．
∴OBOC=AODO，
∵∠AOB＝∠COD，
∴△OAB∽△ODC，
∴∠A＝∠D．
（2）∵∠A＝∠D，
∴AB∥CD，
∴AEDF=OEOF，BECF=OEOF，
∴AEDF=BECF．
∵AE＝BE，
∴CF＝DF．
22．【解答】解：（1）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2kx+1﹣k＝﹣（x﹣k）2+1﹣k+k2，
∴抛物线的顶点坐标为（k，1﹣k+k2）；
（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣k）2+1﹣k+k2，
∴当x≥k时，y随x的增大而减小，
∵当x≥1时，y随x的增大而减小，
∴k≤1．
（3）①当k＜0时，x＝0时，函数值最大，
∴1﹣k＝3，解得k＝﹣2；
②当0≤k≤1时，则1﹣k+k2＝3，
解得k＝2或﹣1（舍去），
③当k＞1时，x＝1时，函数值最大，
∴﹣1+2k+1﹣k＝3，解得k＝3
综上，当0≤x≤1时，该函数有最大值3，则k＝﹣2或k＝3．
23．【解答】解：（1）①没有关系，理由如下：
当点D在直径AB的上方时，如下图：
∵AB为直径
∴∠ACB＝90°
∵∠ABC＝30°
∴∠CAB＝60°
∴∠CDF＝∠CAB＝60°；
当点D在直径AB的下方时，如下图：
∵∠CAB＝60°
∴∠CDB＝180°﹣∠CAB＝120°
∴∠CDF＝60°
②∵CF⊥BD，AB为直径
∴∠ACB＝∠CFD＝90°
由①得：∠CDF＝∠CAB＝60°
∴AC=BCtan60°=3BC3；DF=CFtan60°=3CF3；
∵S△ABC=12AC?BC=3BC26；S△CDF=12CF?DF=3CF26；
∴S△CDFS△ABC=CF2BC2=910
∴sin∠CBF=CFBC=31010
（2）∵⊙O的半径长为2，CD=22
∴弧CD所对的圆心角∠COD＝90°
①当点D在直径AB下方的圆弧上时：
如图，连接OD，过D作DE⊥AB于E
由（1）知∠ABC＝30°，∠CAB＝60°
∴∠AOC＝60°
∠BOD＝180°﹣60°﹣90°＝30°
∵OD＝2，
∴OE=3，DE＝1，BE＝2-3；
∴BD=BE2+DE2=12+(2-3)2=8-43=6-2；
②当点D在直径AB上方的圆弧上时．
如图，连接OD，过点D作DF⊥AB于F
此时∠DOA＝90°﹣60°＝30°
∴OF=3，DF＝1，BF＝2+3
∴BD=BF2+DF2=12+(2+3)2=8+43=6+2
综上所述，BD的长为6-2或6+2．

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