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江西省景德镇市乐平市2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷
一、单选题
1．（2020九上·乐平期末）下列一元二次方程中无实数根的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2020九上·乐平期末）如图所示的几何体的左视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（2017·广东模拟）如图，过反比例函数y= （x>0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2020九上·乐平期末）在小明住的小区有一条笔直的路，路中间有一盏路灯，一天晚上，他行走在这条路上，如图，当他从A点走到B点的过程，他在灯光照射下的影长l与所走路程s的变化关系图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2020九上·乐平期末）如图， 和 是位似三角形，位似中心为点 ， ，则 和 的位似比为（　　）
A． B． C． D．
6．（2020九上·乐平期末）已知点 ， 是反比例函数 图象上的两点，若 ，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2020九上·乐平期末）在一个不透明口袋有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 ， ， ， ．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个，则两次摸出的小球标号之和为 的概率为　 　．
8．（2020九上·乐平期末）若x1，x2是一元二次方程 的两个根，则 　 　
9．（2020九上·乐平期末）小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间 （分）与骑车速度 （千米/分）关系如图所示．一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需不超过 分钟赶到学校，那么他骑车的速度至少是　 　千米/分．
10．（2020九上·乐平期末）一个长方体主视图和俯视图如图所示，则这个长方体左视图的面积为　 　 ．
11．（2020九上·乐平期末）如图，在矩形 纸片中，点 是 边的中点，沿直线 折叠，点 落在矩形内部的点 处，连接 并延长交 于点 ．已知 ， ，则 的长为　 　．
12．（2020九上·乐平期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ，点 是线段 的中点，过点 的直线 将 截成两部分，直线 交折线 于点 ．当截成两部分中有三角形与 相似时，则点 的坐标为　 　．
三、解答题
13．（2020九上·乐平期末）如图，直线 与双曲线 交于 、 两点．
（1）点 坐标为　 　， 　 　， 　 　， 　 　．
（2）直接写出关于 的不等式 的解集．
14．（2020九上·乐平期末）在一次数学活动课上，王老师带领学生去测量教学楼的高度．在太阳光下，测得身高1.6米的小同学（用线段 表示）的影长 为1.1米，与此同时，测得教学楼（用线段 表示）的影长 为12.1米．
（1）请你在图中画出影长 ；
（2）求教学楼 的高度．
15．（2020九上·乐平期末）如图是一个电路图，随机闭合 、 、 、 的两个开关用列表或画树状图的方法求灯泡 能发光的概率．
16．（2020九上·乐平期末）已知矩形 中，点 在 边上，四边形 是平行四边形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不必写画法）．
（1）在图1画出 中 边上的中线 ；
（2）在图2中画出线段 的垂直平分线．
17．（2020九上·乐平期末）如图是一个铁夹子的侧面示意图，点 是连接夹面的轴上一点， 于点 ．这个侧面图是轴对称图形，直线 是它的对称轴．已知 ， ， ．求点 与点 之间的距离．
18．（2020九上·乐平期末）已知关于 的方程 有两个实根 ，
（1）求实数 的取值范围．
（2）若 满足 ，求实数 的值．
19．（2020九上·乐平期末）在正方形 中，点 、 分别在 边和 上，且满足 是等边三角形,连接 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若等边 边长为2，求 的长．
20．（2020九上·乐平期末）如图 ，在等边ABC中，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），点E、F分别在AB和AC边上，且EDF=60．
（1）求证： ；
（2）若点 移至 的中点，如图2，求证： 平分 ．
21．（2020九上·乐平期末）电灭蚊器的电阻 随温度 变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温 上升到 时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到 时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升 ，电阻增加 ．
（1）当 时，求 与 的关系式；
（2）当 时，求 的值．并求 时， 与 的关系式；
（3）电灭蚊器在使用过程中，温度 在什么范围内时，电阻不超过 ？
22．（2020九上·乐平期末）如图1，在矩形 中， ， ，沿对角线 剪开，再把 沿 方向平移得到图2，其中 交 于 ， 交 于 ．
（1）在图2中，除 与 外，指出图中全等三角形（不能添加辅助线和字母）并选择一对加以证明；
（2）设 ．
①当 为何值时，四边形 是菱形？
②设四边形 的面积为 ，求 与 的关系式，并求出 最大值．
23．（2020九上·乐平期末）如图 将 绕点 逆时针旋转 角度后，与 构成位似图形，则称 与 互为“旋转位似图形”．
（1）知识理解：
①两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形　 　（填：是或不是）“旋转位似图形”．
如图 ， 与 互为“旋转位似图形”
②若 ， ， ，则 的度数为　 　；
③若 ， ， ，则 的长度为　 　；
（2）知识运用：
如图 ，在四边形 中， ， 于 ， ．求证： 与 互为“旋转位似图形”．
（3）拓展提高：
如图 ， 为等腰直角三角形，点 为斜边 的中点，点 是 上一点， 是 延长上一点，点 在线段 上，且 与 互为“旋转位似图形”，若 ， ，求 和 的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A.由 可得 ，由因式分解法可知有两个实数根，故不符合题意；
B. ，由因式分解法可知有两个实数根，故不符合题意；
C. ， ，有两个实数根，故不符合题意；
D. ，没有实数根，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根的判别式对每个选项一一判断求解即可。
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看是一个正方形，右上角有一条斜的虚线，
故答案为：B．
【分析】根据左视图的定义和几何体求解即可。
3．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】∵点A是反比例函数 图象上一点，且AB⊥x轴于点B，∴S△AOB= |k|=2，解得：k=±4．
∵反比例函数在第一象限有图象，∴k=4．故选C．
4．【答案】C
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：当他从A点走到路灯下时，影长l逐渐变小，当从路灯下走到B点时，他在灯光照射下的影长l逐渐变长．
故选C．
【分析】根据中心投影的特点，当他从A点走到路灯下时，影长l逐渐变小，当从路灯下走到B点时，他在灯光照射下的影长l逐渐变长，即随S的逐渐增大，l先由大变小，再由小变大，从而可对四个选项进行判断．
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ 和 是位似三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】先证明 ，再求出 ，即可作答。
6．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵y= 中，k=1＞0
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y= 图象上的点，x1＞0＞x2，
∴y1＞0＞y2，
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的性质求出在每个象限内，y随x的增大而减小，再进行求解即可。
7．【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画树状图得：
由树状图可知：共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于5的有4种情况，
∴两次摸出的小球标号之和等于5的概率是： = ．
故答案为： ．
【分析】根据树状图求出共有12种等可能的结果，再求概率即可作答。
8．【答案】7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程 的两个根，
∴ ，
∴ ．
故答案为：7．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出 ，再利用完全平方公式计算求解即可。
9．【答案】0.2
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由图知小宇家到学校的距离是：0.15×20=3（km），
设函数的解析式为： （t＞0）
又s=3，
∴ （t＞0）
当t=15时， （千米/分）．
故答案为：0.2．
【分析】先求出小宇家到学校的距离是3km，再求出 （t＞0），最后计算求解即可。
10．【答案】6
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据题意得：左视图的长为3cm，宽为2cm，
则左视图的面积为3×2=6cm2．
故答案为：6．
【分析】根据主视图和俯视图求出左视图的长为3cm，宽为2cm，最后计算求解即可。
11．【答案】12
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接EF，
∵ ， ，
∴CD=CF＋DF=9
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=9，∠B=∠C=∠D=90°
由折叠的性质可得 ， ， =∠B=90°
∴ =90°=∠C
∵点E为BC的中点
∴BE=CE
∴
在Rt△ 和Rt△FCE中
∴Rt△ ≌Rt△FCE
∴
∴AF= ＋ =13
在Rt△AFD中，AD= =12
故答案为：12．
【分析】先求出 =90°=∠C，再证明Rt△ ≌Rt△FCE，最后利用勾股定理计算求解即可。
12．【答案】（0,3）或（4,0）或
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： 点 是线段 的中点，
当 时，则
，
如图，当 时，由
，
如图，当 时，则
综上： 或 或
故答案为： 或 或
【分析】分类讨论，根据相似三角形的判定与性质进行计算求解即可。
13．【答案】（1）（0,1）；2；-2；6
（2）解：当 时，解集为 或 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 或 ；当 时，解集为 且 ；当 时，解集为 ．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）由图可得，C点的横坐标为0
将x=0代入直线方程 ，解得 y=1
所以C的坐标为 ；
将A的坐标代入直线方程得： ，解得 m=2；
将B的坐标代入直线方程得： ，解得 n=-2；
将A的坐标代入双曲线方程得： ，解得 ；
（2）在（1）中得出，k=6；
令
去分母，化为整式并整理得： ；
若 且上式有解，则判别式 ，得
当有两个不相等解时，两个解分别为：
，
当只有唯一解时，解为： ；
若无解， ；
当 时，图大概如下，直线 和双曲线 有两个交点，也就是 有两个不相等的解 ．其中A点横坐标为 ，B点横坐标为 ，所求不等式的解集为 或 ；
当a=0时，图大概如下，只有一个交点，A点的横坐标为6，所求不等式的解集为 ；
当 时，图大概如下，直线和双曲线有两个交点，也就是 有两个不相等的解 ．其中A点横坐标为 ，B点横坐标为 ，所求不等式的解集为 或 ；
当 时，图大概如下，直线和双曲线相切．交点A横坐标为 ，所求不等式的解集为 且 ；
当 时，图大概如下，直线和双曲线没有交点．所求不等式的解集为 ；
综上， 的解集是：
当 时， 或 ；
当 时， ；
当 时， 或 ；
当 时， 且 ；
当 时， ．
【分析】（1）先求出C的坐标为 ，再根据点的坐标计算求解即可；
（2）分类讨论，根据函数图象进行求解即可。
14．【答案】（1）解：画射线AC，过E点作EF∥AC，交AD于点F,
就是所求画影长．
（2）解：根据题意，∠EDF=∠CBA=90°，
∵EF∥AC，
∴∠EFD=∠CAB，
∴ ．
，
，
（米）,
答：教学楼 的高度为17.6米．
【知识点】相似三角形的判定与性质；平行投影
【解析】【分析】（1）根据题意作图求解即可；
（2）先求出 ∠EFD=∠CAB， 再证明 ，最后代值计算求解即可。
15．【答案】解：用列表法分析如下：
　
—
—
—
—
一共有12种不同的情况，得到的情况相同，其中有6种情况下灯泡能发光，
则 （发光）
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】先列表求出共有12种等可能的结果，再求概率即可。
16．【答案】（1）解：如图，延长 交 于 ，连结 ，交 于N，连结AH，FB交于M
过M、N作直线交DC于G
连结BG
如图 ，线段 即为所求作；
（2）解：如图，连接 ，相交于M，连接BE并交AD于N，
∵四边形 是平行四边形，矩形
∴EF=CD=AB，EF∥CD∥AB
∴∠ABN=∠FEN，∠ANB=∠FNE
∴△ANB≌△FNE（AAS）
∴AN=FN
过M、N作直线l
如图2，直线1即为所求作．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据中线的定义作图即可；
（2）先求出 EF=CD=AB，EF∥CD∥AB ，再证明 △ANB≌△FNE ，最后作答求解即可。
17．【答案】解：连接AB交直线OC于点E，
根据轴对称图形的性质得直线OC⊥AB，AE=BE，
，
，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
答：点 与点 之间的距离为
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用勾股定理求出OC=26，再证明 ， 最后代值计算求解即可。
18．【答案】（1）解：∵原方程有两个实数根，
∴△=（2k-1）2-4（k2-1）=-4k+5≥0，
解得：k≤
（2）解：由根与系数的关系可得：x1+x2=1-2k，x1x2=k2-1，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得：k=-2或k=6，
∵k≤ ，
∴k=-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据原方程有两个实数根，再利用根的判别式计算求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2=1-2k，x1x2=k2-1， 再利用完全平方公式计算求解即可。
19．【答案】（1）证明： 正方形 ，
∴ ， =90°， ．
是等边三角形，
．
．
．
（2）解：由（1）得，CE=CF，AE=AF=2，
垂直平分 ．
．
，
∵∠ECF=90°，EG=GF，
∴ ，
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理
【解析】【分析】（1）先求出AE=AF，再证明三角形全等，根据全等的性质进行求解即可；
（2）利用勾股定理求出AG的值，再求出 ， 最后作答求解即可。
20．【答案】（1）证明：∵AB=AC=BC，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠BED=180°-∠B-∠BDE=120°-∠BDE，
∠CDF=180°-∠EDF-∠BDE=120°-∠BDE，
∴∠BED=∠CDF，
∴△BDE∽△CFD
（2）证明：∵△BDE∽△CFD，
∴ ，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
∴
∵∠EDF=∠C=60°，
∴△DEF∽△CDF，
∴∠DFE=∠CFD，
∴FD平分∠EFC
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠B=∠C=60°， 再证明 ∠BED=∠CDF， 最后证明即可；
（2）根据相似三角形的性质求出 ， 再证明 △DEF∽△CDF， 最后作答即可。
21．【答案】（1）解：由通电后温度由室温 上升到 时，电阻与温度成反比例函数关系，可设 ，
过点 ，
∴ ．
（2）解：由 ，当 时， ．
当 时，设 ，
过点 ，
温度每上升 ，电阻增加 ．
过点
，
解得 ，
∴当 时，
（3）解：由 ，当 时，得
∵反比例函数在第一象限内y随x的增大而减小
∴当x≥12时，电阻不超过 ；
由 ，当 时，得
∵该一次函数y随x的增大而增大
∴当 时，电阻不超过 ；；
答：温度 取值范围是
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象求出点 ， 再利用待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法求出 ，再求函数解析式即可；
（3）根据 ，进行求解即可。
22．【答案】（1）解：△AA′E≌△C′CF，△A′BF≌△CDE，
由题意得，四边形A′DCB是矩形，
∴A′B=DC，
∴AA′=CC′，
∵AB∥CD，
∴∠BA′F=∠C′，
由题意得，∠BA′F=∠A，
∴∠A=∠C′，
在△AA′E和△C′CF中，
，
∴△AA′E≌△C′CF（ASA）；
由题意得，四边形A′DCB是矩形，
∴A′B=DC，∠B=∠D=90゜，DA′=CB，DA′//CB，
由△AA′E≌△C′CF，得，A′E=FC
∵四边形A′DCF是平行四边形，
∴A′F=EC，
∴Rt△A′BF≌△CDE
（2）解：①设A′E=a，A′F=b，
在Rt△ABC中， ， ，∠B=90゜
∴
∵A′F∥AC，
∴ ，即 ，
解得， ，
同理 ，
解得， ，
当A′E=A′F时，四边形A′ECF是菱形，
∴ = ，
解得，x=5，
∴当x=5时，四边形A′ECF是菱形；
② ，即 ．
， 的最大值为12
【知识点】菱形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）先求出 ∠A=∠C′， 再证明 △AA′E≌△C′CF ，最后作答求解即可；
（2）①利用勾股定理求出AC=10，再求出 ，最后计算求解即可；
②利用面积公式求出 ，即可作答。
23．【答案】（1）是；25°；
（2）解：∵AE⊥BD，∠ABC=90°，
∴∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°，
∴∠BAE=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BAE，
∵∠ADC=∠AEB=90°，
∴△ACD∽△ABE，
∵△ACD与△ABE有一个公共顶点A，
∴△ACD与△ABE互为“旋转位似图形”．
（3）解：如图，作 交直线 于点 ，
∵△ABC是等腰直角三角形，AC=6，
∴AB= AC= ，
与 互为“旋转位似图形”，
．
，
， ； ．
∴∠DAE′=45°，
∴ 为等腰直角三角形．
，
． ，点 和点 重合，
．
∴ ， ，
∴ ．
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】（1）①如图，△ABC和△ADE是等边三角形，
∴△ABC∽△ADE，
∴ 绕点 逆时针旋转 角度后与 构成位似图形，
故答案为：是
②∵ 与 互为“旋转位似图形”
∴△ABC∽△ADE，
∴∠C=∠E=29°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-100°-29°=51°，
∵△ADE绕点 逆时针旋转 角度后，与△ABC构成位似图形，
∴∠EAC= =26°，
∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=51°-26°=25°，
故答案为：25°
③∵ 与 互为“旋转位似图形”
∴△ABC∽△ADE，
∴ ，即 ，
解得：BC= ，
故答案为：
【分析】（1）①根据旋转位似图形的定义进行求解即可；
②先证明△ABC∽△ADE，再根据旋转的性质求出∠EAC= =26°，最后求解即可；
③先证明相似，根据相似的性质求出，再代值计算求解即可；
（2）先求出 ∠BAE=∠2， 再证明 △ACD∽△ABE， 最后作答求解即可；
（3）先求出 AB= AC= ， 再证明 为等腰直角三角形 ，最后利用勾股定理计算求解即可。
1 / 1江西省景德镇市乐平市2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷
一、单选题
1．（2020九上·乐平期末）下列一元二次方程中无实数根的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A.由 可得 ，由因式分解法可知有两个实数根，故不符合题意；
B. ，由因式分解法可知有两个实数根，故不符合题意；
C. ， ，有两个实数根，故不符合题意；
D. ，没有实数根，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根的判别式对每个选项一一判断求解即可。
2．（2020九上·乐平期末）如图所示的几何体的左视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看是一个正方形，右上角有一条斜的虚线，
故答案为：B．
【分析】根据左视图的定义和几何体求解即可。
3．（2017·广东模拟）如图，过反比例函数y= （x>0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】∵点A是反比例函数 图象上一点，且AB⊥x轴于点B，∴S△AOB= |k|=2，解得：k=±4．
∵反比例函数在第一象限有图象，∴k=4．故选C．
4．（2020九上·乐平期末）在小明住的小区有一条笔直的路，路中间有一盏路灯，一天晚上，他行走在这条路上，如图，当他从A点走到B点的过程，他在灯光照射下的影长l与所走路程s的变化关系图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：当他从A点走到路灯下时，影长l逐渐变小，当从路灯下走到B点时，他在灯光照射下的影长l逐渐变长．
故选C．
【分析】根据中心投影的特点，当他从A点走到路灯下时，影长l逐渐变小，当从路灯下走到B点时，他在灯光照射下的影长l逐渐变长，即随S的逐渐增大，l先由大变小，再由小变大，从而可对四个选项进行判断．
5．（2020九上·乐平期末）如图， 和 是位似三角形，位似中心为点 ， ，则 和 的位似比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ 和 是位似三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】先证明 ，再求出 ，即可作答。
6．（2020九上·乐平期末）已知点 ， 是反比例函数 图象上的两点，若 ，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵y= 中，k=1＞0
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y= 图象上的点，x1＞0＞x2，
∴y1＞0＞y2，
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的性质求出在每个象限内，y随x的增大而减小，再进行求解即可。
二、填空题
7．（2020九上·乐平期末）在一个不透明口袋有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 ， ， ， ．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个，则两次摸出的小球标号之和为 的概率为　 　．
【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画树状图得：
由树状图可知：共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于5的有4种情况，
∴两次摸出的小球标号之和等于5的概率是： = ．
故答案为： ．
【分析】根据树状图求出共有12种等可能的结果，再求概率即可作答。
8．（2020九上·乐平期末）若x1，x2是一元二次方程 的两个根，则 　 　
【答案】7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程 的两个根，
∴ ，
∴ ．
故答案为：7．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出 ，再利用完全平方公式计算求解即可。
9．（2020九上·乐平期末）小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间 （分）与骑车速度 （千米/分）关系如图所示．一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需不超过 分钟赶到学校，那么他骑车的速度至少是　 　千米/分．
【答案】0.2
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由图知小宇家到学校的距离是：0.15×20=3（km），
设函数的解析式为： （t＞0）
又s=3，
∴ （t＞0）
当t=15时， （千米/分）．
故答案为：0.2．
【分析】先求出小宇家到学校的距离是3km，再求出 （t＞0），最后计算求解即可。
10．（2020九上·乐平期末）一个长方体主视图和俯视图如图所示，则这个长方体左视图的面积为　 　 ．
【答案】6
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据题意得：左视图的长为3cm，宽为2cm，
则左视图的面积为3×2=6cm2．
故答案为：6．
【分析】根据主视图和俯视图求出左视图的长为3cm，宽为2cm，最后计算求解即可。
11．（2020九上·乐平期末）如图，在矩形 纸片中，点 是 边的中点，沿直线 折叠，点 落在矩形内部的点 处，连接 并延长交 于点 ．已知 ， ，则 的长为　 　．
【答案】12
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接EF，
∵ ， ，
∴CD=CF＋DF=9
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=9，∠B=∠C=∠D=90°
由折叠的性质可得 ， ， =∠B=90°
∴ =90°=∠C
∵点E为BC的中点
∴BE=CE
∴
在Rt△ 和Rt△FCE中
∴Rt△ ≌Rt△FCE
∴
∴AF= ＋ =13
在Rt△AFD中，AD= =12
故答案为：12．
【分析】先求出 =90°=∠C，再证明Rt△ ≌Rt△FCE，最后利用勾股定理计算求解即可。
12．（2020九上·乐平期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ，点 是线段 的中点，过点 的直线 将 截成两部分，直线 交折线 于点 ．当截成两部分中有三角形与 相似时，则点 的坐标为　 　．
【答案】（0,3）或（4,0）或
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： 点 是线段 的中点，
当 时，则
，
如图，当 时，由
，
如图，当 时，则
综上： 或 或
故答案为： 或 或
【分析】分类讨论，根据相似三角形的判定与性质进行计算求解即可。
三、解答题
13．（2020九上·乐平期末）如图，直线 与双曲线 交于 、 两点．
（1）点 坐标为　 　， 　 　， 　 　， 　 　．
（2）直接写出关于 的不等式 的解集．
【答案】（1）（0,1）；2；-2；6
（2）解：当 时，解集为 或 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 或 ；当 时，解集为 且 ；当 时，解集为 ．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）由图可得，C点的横坐标为0
将x=0代入直线方程 ，解得 y=1
所以C的坐标为 ；
将A的坐标代入直线方程得： ，解得 m=2；
将B的坐标代入直线方程得： ，解得 n=-2；
将A的坐标代入双曲线方程得： ，解得 ；
（2）在（1）中得出，k=6；
令
去分母，化为整式并整理得： ；
若 且上式有解，则判别式 ，得
当有两个不相等解时，两个解分别为：
，
当只有唯一解时，解为： ；
若无解， ；
当 时，图大概如下，直线 和双曲线 有两个交点，也就是 有两个不相等的解 ．其中A点横坐标为 ，B点横坐标为 ，所求不等式的解集为 或 ；
当a=0时，图大概如下，只有一个交点，A点的横坐标为6，所求不等式的解集为 ；
当 时，图大概如下，直线和双曲线有两个交点，也就是 有两个不相等的解 ．其中A点横坐标为 ，B点横坐标为 ，所求不等式的解集为 或 ；
当 时，图大概如下，直线和双曲线相切．交点A横坐标为 ，所求不等式的解集为 且 ；
当 时，图大概如下，直线和双曲线没有交点．所求不等式的解集为 ；
综上， 的解集是：
当 时， 或 ；
当 时， ；
当 时， 或 ；
当 时， 且 ；
当 时， ．
【分析】（1）先求出C的坐标为 ，再根据点的坐标计算求解即可；
（2）分类讨论，根据函数图象进行求解即可。
14．（2020九上·乐平期末）在一次数学活动课上，王老师带领学生去测量教学楼的高度．在太阳光下，测得身高1.6米的小同学（用线段 表示）的影长 为1.1米，与此同时，测得教学楼（用线段 表示）的影长 为12.1米．
（1）请你在图中画出影长 ；
（2）求教学楼 的高度．
【答案】（1）解：画射线AC，过E点作EF∥AC，交AD于点F,
就是所求画影长．
（2）解：根据题意，∠EDF=∠CBA=90°，
∵EF∥AC，
∴∠EFD=∠CAB，
∴ ．
，
，
（米）,
答：教学楼 的高度为17.6米．
【知识点】相似三角形的判定与性质；平行投影
【解析】【分析】（1）根据题意作图求解即可；
（2）先求出 ∠EFD=∠CAB， 再证明 ，最后代值计算求解即可。
15．（2020九上·乐平期末）如图是一个电路图，随机闭合 、 、 、 的两个开关用列表或画树状图的方法求灯泡 能发光的概率．
【答案】解：用列表法分析如下：
　
—
—
—
—
一共有12种不同的情况，得到的情况相同，其中有6种情况下灯泡能发光，
则 （发光）
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】先列表求出共有12种等可能的结果，再求概率即可。
16．（2020九上·乐平期末）已知矩形 中，点 在 边上，四边形 是平行四边形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不必写画法）．
（1）在图1画出 中 边上的中线 ；
（2）在图2中画出线段 的垂直平分线．
【答案】（1）解：如图，延长 交 于 ，连结 ，交 于N，连结AH，FB交于M
过M、N作直线交DC于G
连结BG
如图 ，线段 即为所求作；
（2）解：如图，连接 ，相交于M，连接BE并交AD于N，
∵四边形 是平行四边形，矩形
∴EF=CD=AB，EF∥CD∥AB
∴∠ABN=∠FEN，∠ANB=∠FNE
∴△ANB≌△FNE（AAS）
∴AN=FN
过M、N作直线l
如图2，直线1即为所求作．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据中线的定义作图即可；
（2）先求出 EF=CD=AB，EF∥CD∥AB ，再证明 △ANB≌△FNE ，最后作答求解即可。
17．（2020九上·乐平期末）如图是一个铁夹子的侧面示意图，点 是连接夹面的轴上一点， 于点 ．这个侧面图是轴对称图形，直线 是它的对称轴．已知 ， ， ．求点 与点 之间的距离．
【答案】解：连接AB交直线OC于点E，
根据轴对称图形的性质得直线OC⊥AB，AE=BE，
，
，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
答：点 与点 之间的距离为
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用勾股定理求出OC=26，再证明 ， 最后代值计算求解即可。
18．（2020九上·乐平期末）已知关于 的方程 有两个实根 ，
（1）求实数 的取值范围．
（2）若 满足 ，求实数 的值．
【答案】（1）解：∵原方程有两个实数根，
∴△=（2k-1）2-4（k2-1）=-4k+5≥0，
解得：k≤
（2）解：由根与系数的关系可得：x1+x2=1-2k，x1x2=k2-1，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得：k=-2或k=6，
∵k≤ ，
∴k=-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据原方程有两个实数根，再利用根的判别式计算求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2=1-2k，x1x2=k2-1， 再利用完全平方公式计算求解即可。
19．（2020九上·乐平期末）在正方形 中，点 、 分别在 边和 上，且满足 是等边三角形,连接 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若等边 边长为2，求 的长．
【答案】（1）证明： 正方形 ，
∴ ， =90°， ．
是等边三角形，
．
．
．
（2）解：由（1）得，CE=CF，AE=AF=2，
垂直平分 ．
．
，
∵∠ECF=90°，EG=GF，
∴ ，
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理
【解析】【分析】（1）先求出AE=AF，再证明三角形全等，根据全等的性质进行求解即可；
（2）利用勾股定理求出AG的值，再求出 ， 最后作答求解即可。
20．（2020九上·乐平期末）如图 ，在等边ABC中，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），点E、F分别在AB和AC边上，且EDF=60．
（1）求证： ；
（2）若点 移至 的中点，如图2，求证： 平分 ．
【答案】（1）证明：∵AB=AC=BC，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠BED=180°-∠B-∠BDE=120°-∠BDE，
∠CDF=180°-∠EDF-∠BDE=120°-∠BDE，
∴∠BED=∠CDF，
∴△BDE∽△CFD
（2）证明：∵△BDE∽△CFD，
∴ ，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
∴
∵∠EDF=∠C=60°，
∴△DEF∽△CDF，
∴∠DFE=∠CFD，
∴FD平分∠EFC
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠B=∠C=60°， 再证明 ∠BED=∠CDF， 最后证明即可；
（2）根据相似三角形的性质求出 ， 再证明 △DEF∽△CDF， 最后作答即可。
21．（2020九上·乐平期末）电灭蚊器的电阻 随温度 变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温 上升到 时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到 时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升 ，电阻增加 ．
（1）当 时，求 与 的关系式；
（2）当 时，求 的值．并求 时， 与 的关系式；
（3）电灭蚊器在使用过程中，温度 在什么范围内时，电阻不超过 ？
【答案】（1）解：由通电后温度由室温 上升到 时，电阻与温度成反比例函数关系，可设 ，
过点 ，
∴ ．
（2）解：由 ，当 时， ．
当 时，设 ，
过点 ，
温度每上升 ，电阻增加 ．
过点
，
解得 ，
∴当 时，
（3）解：由 ，当 时，得
∵反比例函数在第一象限内y随x的增大而减小
∴当x≥12时，电阻不超过 ；
由 ，当 时，得
∵该一次函数y随x的增大而增大
∴当 时，电阻不超过 ；；
答：温度 取值范围是
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象求出点 ， 再利用待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法求出 ，再求函数解析式即可；
（3）根据 ，进行求解即可。
22．（2020九上·乐平期末）如图1，在矩形 中， ， ，沿对角线 剪开，再把 沿 方向平移得到图2，其中 交 于 ， 交 于 ．
（1）在图2中，除 与 外，指出图中全等三角形（不能添加辅助线和字母）并选择一对加以证明；
（2）设 ．
①当 为何值时，四边形 是菱形？
②设四边形 的面积为 ，求 与 的关系式，并求出 最大值．
【答案】（1）解：△AA′E≌△C′CF，△A′BF≌△CDE，
由题意得，四边形A′DCB是矩形，
∴A′B=DC，
∴AA′=CC′，
∵AB∥CD，
∴∠BA′F=∠C′，
由题意得，∠BA′F=∠A，
∴∠A=∠C′，
在△AA′E和△C′CF中，
，
∴△AA′E≌△C′CF（ASA）；
由题意得，四边形A′DCB是矩形，
∴A′B=DC，∠B=∠D=90゜，DA′=CB，DA′//CB，
由△AA′E≌△C′CF，得，A′E=FC
∵四边形A′DCF是平行四边形，
∴A′F=EC，
∴Rt△A′BF≌△CDE
（2）解：①设A′E=a，A′F=b，
在Rt△ABC中， ， ，∠B=90゜
∴
∵A′F∥AC，
∴ ，即 ，
解得， ，
同理 ，
解得， ，
当A′E=A′F时，四边形A′ECF是菱形，
∴ = ，
解得，x=5，
∴当x=5时，四边形A′ECF是菱形；
② ，即 ．
， 的最大值为12
【知识点】菱形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）先求出 ∠A=∠C′， 再证明 △AA′E≌△C′CF ，最后作答求解即可；
（2）①利用勾股定理求出AC=10，再求出 ，最后计算求解即可；
②利用面积公式求出 ，即可作答。
23．（2020九上·乐平期末）如图 将 绕点 逆时针旋转 角度后，与 构成位似图形，则称 与 互为“旋转位似图形”．
（1）知识理解：
①两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形　 　（填：是或不是）“旋转位似图形”．
如图 ， 与 互为“旋转位似图形”
②若 ， ， ，则 的度数为　 　；
③若 ， ， ，则 的长度为　 　；
（2）知识运用：
如图 ，在四边形 中， ， 于 ， ．求证： 与 互为“旋转位似图形”．
（3）拓展提高：
如图 ， 为等腰直角三角形，点 为斜边 的中点，点 是 上一点， 是 延长上一点，点 在线段 上，且 与 互为“旋转位似图形”，若 ， ，求 和 的长．
【答案】（1）是；25°；
（2）解：∵AE⊥BD，∠ABC=90°，
∴∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°，
∴∠BAE=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BAE，
∵∠ADC=∠AEB=90°，
∴△ACD∽△ABE，
∵△ACD与△ABE有一个公共顶点A，
∴△ACD与△ABE互为“旋转位似图形”．
（3）解：如图，作 交直线 于点 ，
∵△ABC是等腰直角三角形，AC=6，
∴AB= AC= ，
与 互为“旋转位似图形”，
．
，
， ； ．
∴∠DAE′=45°，
∴ 为等腰直角三角形．
，
． ，点 和点 重合，
．
∴ ， ，
∴ ．
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】（1）①如图，△ABC和△ADE是等边三角形，
∴△ABC∽△ADE，
∴ 绕点 逆时针旋转 角度后与 构成位似图形，
故答案为：是
②∵ 与 互为“旋转位似图形”
∴△ABC∽△ADE，
∴∠C=∠E=29°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-100°-29°=51°，
∵△ADE绕点 逆时针旋转 角度后，与△ABC构成位似图形，
∴∠EAC= =26°，
∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=51°-26°=25°，
故答案为：25°
③∵ 与 互为“旋转位似图形”
∴△ABC∽△ADE，
∴ ，即 ，
解得：BC= ，
故答案为：
【分析】（1）①根据旋转位似图形的定义进行求解即可；
②先证明△ABC∽△ADE，再根据旋转的性质求出∠EAC= =26°，最后求解即可；
③先证明相似，根据相似的性质求出，再代值计算求解即可；
（2）先求出 ∠BAE=∠2， 再证明 △ACD∽△ABE， 最后作答求解即可；
（3）先求出 AB= AC= ， 再证明 为等腰直角三角形 ，最后利用勾股定理计算求解即可。
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