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内蒙古包头市回民中学2020届高三下学期开学考试理科数学卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设复数满足，则复平面内表示的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知非零向量，满足，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解:
4．已知实数满足的最大值为 （ ）
A．—3 B．—2 C．2 D．1
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn．若a1+a3＝6，S4＝16，则a4＝（　　　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则,，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成.其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻.若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻.若每一枚钱币正面向上的概率为，则一卦中恰有两个变爻的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知同时满足下列三个条件：①；②是奇函数；③.若在上没有最小值，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
9．过抛物线的焦点且斜率大于0的直线交抛物线于点(点位于第一象限)，交其准线于点，若，且，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知偶函数的定义域为R，当时，函数，若函数有且仅有6个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知数列满足，，则的最小值是（ ）
A．0 B． C．1 D．2
二、填空题
13．曲线在点处的切线方程为______.
14．（2016新课标全国卷Ⅰ理科）的展开式中，x3的系数是_________.（用数字填写答案）
15．在三棱锥中，已知，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为______.
16．已知双曲线()的左右焦点分别为，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率的取值范围为_____.
三、解答题
17．在中，内角的对边分别是，已知.
（1）求角的值；
（2）若，，求的面积．
18．10月1日，某品牌的两款最新手机（记为型号，型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到下表：
手机店





型号手机销量
6
6
13
8
11
型号手机销量
12
9
13
6
4
（Ⅰ）若在10月1日当天，从，这两个手机店售出的新款手机中各随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有一部为型号手机的概率；
（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用表示其中型号手机销量超过型号手机销量的手机店的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（III）经测算，型号手机的销售成本（百元）与销量（部）满足关系.若表中型号手机销量的方差，试给出表中5个手机店的型号手机销售成本的方差的值.（用表示，结论不要求证明）
19．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，为中点，.
（1）求证：；
（2）若与平面所成的角为，求二面角的大小.
20．已知椭圆()的上顶点为，左焦点为，离心率为，直线与圆相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点且斜率存在的直线与椭圆相交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，试判断是否为定值？并说明理由.
21．已知函数().
（1）讨论的单调性；
（2）若对，恒成立，求的取值范围.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）设直线与轴的交点为A，与y轴的交点为B，P是曲线C上一点，求面积的最大值.
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据绝对值不等式的解法，求得集合N，再根据集合的交集运算得出选项.
【详解】
，，
故选：A.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，集合的交集运算，属于基础题.
2．D
【解析】
【分析】
由复数的四则运算求出，就能判别相应选项.
【详解】
因为，所以，则复平面内表示的点位于第四象限.选D．
【点睛】
复数四则运算，属于简单题.
3．C
【解析】
【分析】
根据向量的数量积运算，由向量的关系，可得选项.
【详解】
，
，∴等价于，
故选：C.
【点睛】
本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题.
4．C
【解析】
【分析】
根据约束条件作出可行域，并且由得，当直线平移至经过点时，取得最大值，可得选项.
【详解】
如图，作出可行域，由得， 当直线平移至经过点时，取得最大值，
故选:C.
【点睛】
本题考查线性规划问题中已知约束条件，求目标函数的最值，属于基础题.
5．B
【解析】
【分析】
根据等差数列的前项和公式和等差中项的运用得，可得的值.
【详解】
因为 所以，，
，，
故选：B
【点睛】
本题考查等差数列的前项和公式和等差中项的运用，灵活选择前项和公式是解决此类问题的关键，属于基础题.
6．C
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性得，再比较的大小，根据函数的单调性可得选项.
【详解】
依题意得，，
当时，，因为，所以在上单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增，
，即，
故选：C.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题.
7．D
【解析】
【分析】
根据古典概型求得三枚钱币全部正面或反面向上的概率，求一卦中恰有两个变爻的概率实际为求六次独立重复试验中发生两次的概率，根据独立重复试验的概率求得其值.
【详解】
由已知可得三枚钱币全部正面或反面向上的概率，求一卦中恰有两个变爻的概率实际为求六次独立重复试验中发生两次的概率，
故选：D.
【点睛】
本题考查古典概型的求解，独立重复试验发生次的概率，属于基础题.
8．A
【解析】
【分析】
根据图象可求得，再，得出关于点对称，由正弦型函数的对称中心可得，可得选项.
【详解】
由图象易知，，即，，，
由图可知，，，又，，
由得，，，关于点对称，
即有，，，的最小值为，
故选：A.
【点睛】
本题考查根据图象求正弦型函数的解析式，以及函数的对称中心，正弦型函数的对称中心，属于中档题.
9．A
【解析】
【分析】
作出图象如下图所示，作准线于，准线于，于.根据抛物线的定义得，由，，从而得出直线的斜率，再根据三角形相似求得，由直线的点斜式得出直线的方程.
【详解】
作出图象如下图所示，作准线于，准线于，于.在中，，，的斜率为，又，，，所以，
直线的方程为，即，
故选：A.
【点睛】
本题考查抛物线的定义，标准方程，以及直线的方程，关键在于将已知条件中的线段间的关系通过抛物线的定义转化为角的关系，得出直线的斜率，属于中档题.
10．D
【解析】
【分析】
根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.
【详解】
如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，
该几何体的体积为，
故选：D.
【点睛】
本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.
11．B
【解析】
【分析】
画出的图像,先求解,再数形结合列出关于的不等式求解即可.
【详解】
由题意画出的图像如图所示,由解得,,由函数有且仅有6个零点知,解得,
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了数形结合解决函数零点个数的问题,需要根据函数图像与带参数的方程交点的个数,列出对应的不等式进行求解.属于中等题型.
12．C
【解析】
【分析】
将已知的数列递推式变形，可得，然后用累加法求出数列通项公式，
【详解】
解：由，得
，
即，



，
当时，上式成立，
要取最小值，则要最大，
当时，取最小值，最小值为1.
故选：C.
【点睛】
本题考查累加法求数列通项公式，以及有关最值的求解，考查学生的计算能力，是中档题.
13．
【解析】
【分析】
对函数求导，得出在处的一阶导数值，即得出所求切线的斜率，再运用直线的点斜式求出切线的方程.
【详解】
令，，所以，又，所求切线方程为，即.
故答案为：.
【点睛】
本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程，关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率，属于基础题.
14．10.
【解析】
的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令得，所以的系数是.
【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项,再确定r的值,从而确定指定项系数.
15．
【解析】
【分析】
取的中点，设等边三角形的中心为，连接.根据等边三角形的性质可求得，， 由等腰直角三角形的性质，得，根据面面垂直的性质得平面，，由勾股定理求得，可得为三棱锥外接球的球心，根据球体的表面积公式可求得此外接球的表面积.
【详解】
在等边三角形中，取的中点，设等边三角形的中心为，
连接.由，得，，
由已知可得是以为斜边的等腰直角三角形，,
又由已知可得平面平面，平面，，
，所以，为三棱锥外接球的球心，外接球半径，
三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：
【点睛】
本题考查三棱锥的外接球的表面积，关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置，球的半径，属于中档题.
16．
【解析】
【分析】
法一:根据直角三角形的性质和勾股定理得，，,又由双曲线的定义得,将离心率表示成关于的式子,再令，则，令对函数求导研究函数在上单调性，可求得离心率的范围.
法二：令，，，，，根据直角三角形的性质和勾股定理得，将离心率表示成关于角的三角函数，根据三角函数的恒等变化转化为关于的函数，可求得离心率的范围.
【详解】
法一:，，，,
，,
设，则，
令，所以时，，在上单调递增， ，，.
法二：，，令，，，，，
，，，
，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率的范围的问题，关键在于将已知条件转化为与双曲线的有关，从而将离心率表示关于某个量的函数，属于中档题.
17．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知条件和正弦定理进行边角互化得，再根据余弦定理可求得值.
（2）由正弦定理得，，代入得，运用三角形的面积公式可求得其值.
【详解】
（1）由及正弦定理得，即
由余弦定理得，，.
（2）设外接圆的半径为，则由正弦定理得，
，，
.
【点睛】
本题考查运用三角形的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，关键在于熟练地运用其公式，合理地选择进行边角互化，属于基础题.
18．（I）；（II）见解析；(Ⅲ)
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将从，这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取的1部手机记为甲和乙，记事件“甲手机为型号手机”为，记事件“乙手机为型号手机”为，分别求出的值，根据相互独立事件的公式求出，最后利用对立事件概率公式求出抽取的2部手机中至少有1部为型号手机的概率；
（Ⅱ）由表可知：型号手机销量超过型号手机销量的手机店共有2个，故的所有可能取值为：0，1，2，分别求出的值，写出随机变量的分布列，并根据数学期望计算公式求出；
（III）根据方差的性质和变量的关系即可求出方差的值.
【详解】
（Ⅰ）将从，这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取的1部手机记为甲和乙，
记事件“甲手机为型号手机”为，记事件“乙手机为型号手机”为，
依题意，有，，且事件、相互独立.
设“抽取的2部手机中至少有1部为型号手机”为事件，
则
即抽取的2部手机中至少有1部为型号手机的概率为
（Ⅱ）由表可知：型号手机销量超过型号手机销量的手机店共有2个，
故的所有可能取值为：0，1，2
且，，
所以随机变量的分布列为：

0
1
2




故
（III）.
【点睛】
本题考查了相互独立事件的概率，离散型随机变量分布列、数学期望的计算，以及方差的性质，考查了数学运算能力.
19．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，由等腰三角形三线合一的性质可得出，由此可得出平面，进而得出；
（2）设，可得出，，由（1）可知，与平面所成的角为，可得，进而以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出二面角的大小.
【详解】
（1）四边形为矩形，则，
平面平面，平面平面，平面，
所以面，平面，，
又，为中点，，
，平面，
平面，故；
（2）不妨设，由得，由（1）得，∴，∴，由（1）得平面，
由（1）知，在平面的射影为，即，
，故.
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
易得、、、，,
，，，
设平面与平面的法向量分别为和，
则，
由，令，则，，，
，设二面角的大小为，则，所以二面角的大小
【点睛】
本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法计算二面角，涉及线面角定义的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
20．（1）；（2）存在，定值，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件得，，再由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径可求得，得出椭圆的标准方程；
（2）设，，，设直线，联立，消去得，，，根据弦长公式求，
法一:由在线段的垂直平分线上，得，由两点的距离公式和椭圆的标准方程可得出中点的横坐标，可求得，可得所求的比值；
法二:求出 线段的中点和线段的垂直平分线方程，可得点的坐标，可求得，可得所求的比值；
【详解】
（1）如图，，，，直线的方程为，
直线与圆相切，，，
椭圆的标准方程为.
（2）设，，，
设直线，联立，消去得，
，
法一:在线段的垂直平分线上，，………①
在椭圆上，，，
代入①得，化简得
法二: 线段的中点为，线段的垂直平分线为，
令，得
，，
故为定值.
【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程，直线现圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系，以及线段的垂直平分线方程求得，是比较综合的题，解决此类问题关键在于将目标条件转化为关于交点坐标的韦达定理，从而得以解决，属于中档题.
21．（1）①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时， 在上单调递增；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的定义域和导函数， ，对讨论，得导函数的正负，得原函数的单调性；（2）法一: 由得，
分别运用导函数得出函数()，的单调性，和其函数的最值，可得 ，可得的范围;
法二:由得，化为令()，研究函数的单调性，可得的取值范围.
【详解】
（1）的定义域为，，
①当时，由得，得，
在上单调递减，在上单调递增；
②当时，恒成立,在上单调递增；
（2）法一: 由得，
令()，则，在上单调递减，
，，即，
令，
则，在上单调递增，，在上单调递减，所以，即，
(*)
当时，，(*)式恒成立，即恒成立，满足题意
法二:由得，，
令()，则，在上单调递减，
，，即，
当时，由(Ⅰ)知在上单调递增，恒成立，满足题意
当时，令，则，所以在上单调递减，
又，当时，，，使得，
当时，，即，
又，，，不满足题意，
综上所述，的取值范围是
【点睛】
本题考查对于含参数的函数的单调性的讨论，不等式恒成立时，求解参数的范围，属于难度题.
22．（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）用消参数法可得曲线的普通方程，由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；
（2）求出两点坐标，得，到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上圆的半径，由此可得面积最大值．
【详解】
（1）由得，这是曲线的普通方程，
由得，∴，即．
（2）由（1）知直线与坐标轴的交点为，，
圆方程为，圆心为，半径为，点在圆上，
圆心到直线的距离为，
到直线的距离的最大值为，又，
∴．
【点睛】
本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程用消参数法可化为普通方程，利用公式可进行极坐标方程与直角坐标方程的互化．

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