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2019-2020学年上海市奉贤区高一（下）期中数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．（4分）已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的中心角的弧度数是　 　．
2．（4分）函数f（x）＝log2（5x+1）的值域为　 　．
3．（4分）已知f（x）＝3x﹣2，则f﹣1[f（x）]＝　 　；f[f﹣1（x）]＝　 　．
4．（4分）已知，，那么tan（β﹣2α）＝　 　．
5．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，则角A的大小为　 　．
6．（4分）设2a＝5b＝m，且+＝2，m＝　 　．
7．（5分）已知sin（α+）＝，则cos（）的值为　 　．
8．（5分）设f﹣1（x）是函数f（x）＝log2（x+1）的反函数，若[1+f﹣1（a）]?[1+f﹣1（b）]＝8，则a+b的值为　 　．
9．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为A、B、C的对边，如果a，b，c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为　 　．
10．（5分）已知tan（+θ）＝3，则sin2θ﹣2cos2θ＝　 　．
11．（5分）设α为第四象限的角，若，则tan2α＝　 　．
12．（5分）给出下列四个命题：
（1）函数f（x）＝x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c＝0；
（2）函数y＝2﹣x（x＞0）的反函数是y＝﹣log2x（0＜x＜1）；
（3）若函数f（x）＝1g（x2+ax﹣a）的值域是R，则a≤﹣4或a≥0；
（4）若函数y＝f（x﹣1）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝0对称
其中所有正确命题的序号是　 　．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）
13．（5分）已知A是三角形ABC的内角，则“cosA＝”是“sinA＝”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（5分）若α是第二象限的角，sin＝，则sinα的值为（　　）
A． B． C． D．﹣
15．（5分）函数y＝a+logbx的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（　　）
A．a＜0，b＞1 B．a＞0，b＞1 C．a＞0，0＜b＜1 D．a＜0，0＜b＜1
16．（5分）不等式loga（x2﹣2x+3）≤﹣1在x∈R上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．（1，2] C．[） D．（0，]
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．（14分）已知sinα＝，求tan（α+π）+的值．
18．（14分）已知2x≤256且log2x≥，求函数f（x）＝的最大值和最小值．
19．（14分）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为（∠ACB＝），墙AB的长度为6米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记∠ABC＝θ．
（1）若θ＝，求△ABC的周长（结果精确到0.01米）；
（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积△ABC的面积尽可能大，问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积．
20．（16分）已知，是R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函数；
（3）对任意的k∈（0，+∞）解不等式．
21．（18分）已知f（x）＝定义在实数集R上的函数，把方程f（x）＝称为函数f（x）的特征方程，特征方程的两个实根α、β（α＜β）称为f（x）的特征根．
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）把函数y＝f（x），x∈[α，β]的最大值记作maxf（x）、最小值记作minf（x），令g（m）＝maxf（x）﹣minf（x），若g（m）≤λ恒成立，求λ的取值范围．

2019-2020学年上海市奉贤区高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．【分析】利用弧长公式、扇形面积计算公式即可得出．
【解答】解：设扇形的中心角为θ，半径为r．
则2r+rθ＝6，＝2，
解得r＝1，θ＝4；r＝2，θ＝1．
故答案为：1或4．
2．【分析】根据指数函数与对数函数的性质即可求解．
【解答】解：因为5x＞0，所以5x+1＞1，log2（5x+1）＞0，
即函数f（x）＝log2（5x+1）的值域为（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．
3．【分析】因为f（x）＝3x﹣2，所以f﹣1（x）＝，代入即可．
【解答】解：∵f（x）＝3x﹣2，
∴，
∴f﹣1[f（x）]＝f﹣1（3x﹣2）＝＝x，
f[f﹣1（x）]f（）＝3×﹣2＝x．
故答案为：x，x．
4．【分析】把所求的式子中的角β﹣2α变为（β﹣α）﹣α，然后利用两角差的正切函数公式化简后，把已知的tanα和tan（β﹣α）的值代入即可求出值．
【解答】解：由 ，，
则tan（β﹣2α）＝tan[（β﹣α）﹣α]＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
5．【分析】由sinB+cosB＝，平方可求sin2B，进而可求B，然后利用正弦定理可求sinA，进而可求A．
【解答】解：由sinB+cosB＝，两边平方可得1+2sinBcosB＝2，
∴2sinBcosB＝1，即sin2B＝1，
∵0＜B＜π，∴B＝45°，
又∵a＝，b＝2，
在△ABC中，由正弦定理得：，
解得sinA＝，
又a＜b，∴A＜B＝45°，
∴A＝30°．
故答案为：30°．
6．【分析】先解出a，b，再代入方程利用换底公式及对数运算性质化简即可得到m的等式，求m．
【解答】解：∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，由换底公式得
，∴m2＝10，∵m＞0，∴
故应填
7．【分析】由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可计算求解．
【解答】解：∵sin（α+）＝，
∴cos（）＝cos[π﹣2（）]＝﹣cos2（）＝2sin2（）﹣1＝．
故答案为：．
8．【分析】由题意可得反函数为f﹣1（x）＝2x﹣1，再由[1+f﹣1（a）]?[1+f﹣1（b）]＝8，可得 2a?2b＝2a+b＝8，由此求得a+b的值．
【解答】解：由题意可得反函数为y＝f﹣1（x）＝2x﹣1，故由[1+f﹣1（a）]?[1+f﹣1（b）]＝8，
可得 2a?2b＝2a+b＝8，故a+b＝3，
故答案为 3．
9．【分析】由题意利用等差数列的性质，余弦定理、三角形的面积公式，求得b的值．
【解答】解：∵在△ABC中，如果a，b，c成等差数列，则2b＝a+c，
∵S△ABC＝acsinB＝ac.＝0.5，ac＝2，所以，a2+c2+2ac＝4b2
a2+c2＝4b2﹣4，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，b2＝4b2﹣4﹣2×2×，
∴b2＝，
故答案为：．
10．【分析】把已知条件利用两角和的正切函数公式和特殊角的三角函数值化简求得tanθ，然后把所求的式子利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，把tanθ的值代入即可求出值．
【解答】解：由，得，解得．
所以＝．
故答案为：﹣
11．【分析】将已知等式左边的分子中的角3α变形为2α+α，利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简，约分后再利用二倍角的余弦函数公式化简，得到关于cosα的方程，求出方程的解得到cosα的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，最后利用二倍角的正切函数公式化简所求的式子后，将tanα的值代入即可求出值．
【解答】解：∵sin3α＝sin（2α+α）＝sin2αcosα+cos2αsinα，
∴＝＝2cos2α+cos2α＝2cos2α+2cos2α﹣1＝，
整理得：4cos2α﹣1＝，解得：cosα＝或cosα＝﹣，
∵α是第四象限角，∴cosα＝，
∴sinα＝﹣＝﹣，
∴tanα＝＝﹣，
则tan2α＝＝﹣．
故答案为：﹣
12．【分析】①由y＝x|x|，y＝bx均为奇函数，知函数f（x）＝x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c＝0；
②由y＝2﹣x（x＞0），知0＜y＜1，x＝﹣log2y，x，y互换，得函数y＝2﹣x（x＞0）的反函数是y＝﹣log2x（0＜x＜1）；
③根据对数函数的值域为R，则R+为y＝x2+ax﹣a值域的子集，将问题转化为二次函数问题后，可判断③的真假；
④y＝f（x﹣1）是偶函数，它的图象关于y轴（x＝0）对称．y＝f（x）是由y＝f（x﹣1）向左平移1个单位得到，故可判断④的真假．
【解答】解：①∵y＝x|x|，y＝bx均为奇函数，故函数f（x）＝x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c＝0，故①成立；
②由y＝2﹣x（x＞0），知0＜y＜1，x＝﹣log2y，x，y互换，得函数y＝2﹣x（x＞0）的反函数是y＝﹣log2x（0＜x＜1），故②成立；
③若函数f（x）＝lg（x2+ax﹣a）的值域是R，则y＝x2+ax﹣a的图象与x轴有交点，即a2+4a≥0，故a≤﹣4或a≥0，故③成立；
④y＝f（x﹣1）是偶函数，它的图象关于y轴（x＝0）对称．y＝f（x）是由y＝f（x﹣1）向左平移1个单位得到．故：y＝f（x）关于x＝﹣1对称，故④不成立．
故答案为：①②③．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）
13．【分析】根据三角函数的公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：∵A是三角形ABC的内角，
∴若cosA＝，则A＝，此时sinA＝成立，即充分性成立．
若sinA＝，则A＝或，当A＝，cosA＝，即必要性不成立，
故“cosA＝”是“sinA＝”充分不必要条件，
故选：A．
14．【分析】先确定是第一或三象限角，再利用同角三角函数的基本关系求得cos，利用二倍角公式求得sinα的值．
【解答】解：∵α是第二象限角，
∴是第一或三象限角，
∵sin＝，
∴cos＝，
∴sinα＝2sincos＝．
故选：C．
15．【分析】由图中特殊位置：x＝1时函数的值是负值，可得a的取值范围，再根据对数函数的性质即可．
【解答】解：当x＝1时，y＝a，由图形
易知a＜0．
又∵函数是减函数，
∴0＜b＜1．故选D．
故选：D．
16．【分析】由于 x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2≥2以及题中的条件可得0＜a＜1 且 ≤2，由此求得实数a的取值范围．
【解答】解：∵x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2≥2，不等式≤﹣1＝ 在x∈R上恒成立，
∴0＜a＜1 且 ≤2．
解得 ≤a＜1，
故选：C．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．【分析】根据sinα的值大于0，判断α的范围为第一或第二象限角，分象限，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，然后把所求的式子利用诱导公式化简后，把sinα和cosα的值分别代入即可求出值．
【解答】解：∵sinα＝＞0，∴α为第一或第二象限角．
当α是第一象限角时，cosα＝＝，
tan（α+π）+＝tanα+＝+＝＝．
当α是第二象限角时，cosα＝﹣＝﹣，原式＝＝﹣．
18．【分析】由条件可得≤x≤8，运用对数的运算性质可得f（x）＝（log2x﹣1）（log2x﹣2），设t＝log2x∈[，3]，可得t的二次函数，配方可得对称轴，由二次函数的最值，即可得到所求最值．
【解答】解：2x≤256且log2x≥，
可得≤x≤8，
函数f（x）＝log2?
＝（log2x﹣1）（﹣2）
＝（log2x﹣1）（log2x﹣2），
设t＝log2x∈[，3]，
则设g（t）＝（t﹣1）（t﹣2）＝t2﹣3t+2
＝（t﹣）2﹣，
当t＝，即x＝2时，函数f（x）取得最小值，且为﹣；
当t＝3时，即x＝8时，函数f（x）取得最大值，且为2．
19．【分析】（1）在△ABC中，由正弦定理可得AC，BC，即可求△ABC的周长；
（2）利用余弦定理列出关系式，将c，cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，利用三角形的面积公式求出面积的最大值，以及此时θ的值．
【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理可得AC＝＝2，BC＝＝3+，
∴△ABC的周长为6+3+3≈17.60米
（2）在△ABC中，由余弦定理：c2＝602＝a2+b2﹣2abcos60°，
∴a2+b2﹣ab＝36，
∴36+ab＝a2+b2≥2ab，即ab≤36，
∴S△ABC＝AC?BC?sin＝ab≤9，
此时a＝b，△ABC为等边三角形，
∴θ＝60°，（S△ABC）max＝9．
20．【分析】（1）由题知奇函数在R上有定义，故图象过原点，所以f（0）＝0，解得a＝1；
（2）令，依据反函数的定义解出f（x）的反函数的表达式．
（3）由（2）知由此知两边底数一致，故可以用相关函数的单调性进行转化．
【解答】解：（1）由题知f（0）＝0，得a＝1，
此时，
即f（x）为奇函数．
（2）∵，得，
∴．
（3）∵，∴，∴，
①当0＜k＜2时，原不等式的解集{x|1﹣k＜x＜1}，
②当k≥2时，原不等式的解集{x|﹣1＜x＜1}．
21．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可讨论函数的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义先判断函数的单调性，将不等式恒成立进行转化，利用参数分离法即可得到结论．
【解答】解：（1）当m＝0时，f（x）＝，此时f（﹣x）＝﹣f（x），函数f（x）为奇函数，
当m≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数．
（2）证明f（x）是增函数
f（x2）﹣f（x1）＝＝，
∵α＜x1＜x2＜β，
∴，，
则m（x1+x2）﹣2＜0，
2x1x2＜x12+x22，∴2x1x2＜x12+x22＜m（x1+x2）+2，
即2x1x2﹣m（x1+x2）﹣2＜0，
∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，
即f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在（α，β）是递增的，
则恒成立，
∴λ≥，
∵，
∴λ≥2

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