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2016-2017学年黑龙江、吉林两省八校联考高三上学期期中数学试卷（理科）
一、选择题
1．（2016高三上·吉林期中）已知集合A={x|x2＜1}，B=x|2x＞ ，则A∩B=（　　）
A． B． C． D．
2．（2016高三上·吉林期中）若a＞0，b＞0，则“a+b＞1”是“ab＞1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2016高三上·吉林期中）已知向量 =（1，2）， =（λ，﹣1），若 ⊥ ，则| + |=（　　）
A． B．4 C． D．
4．（2016高三上·吉林期中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6=﹣3，S6=12，则a5等于（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．4
5．（2016高三上·宝清期中）若a=log0.22，b=log0.23，c=20.2，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b
6．（2016高三上·吉林期中）已知：
命题p：若函数f（x）=x2+|x﹣a|是偶函数，则a=0．
命题q： m∈（0，+∞），关于x的方程mx2﹣2x+1=0有解．
在①p∨q；②p∧q；③（￢p）∧q；④（￢p）∨（￢q）中为真命题的是（　　）
A．②③ B．②④ C．③④ D．①④
7．（2016高三上·吉林期中）已知△ABC三边a，b，c上的高分别为 ， ，1，则cosA等于（　　）
A． B． C． D．
8．（2016高三上·吉林期中）已知函数f（x）=Asin（ωx+ ）（A＞0，ω＞0，| |＜ ），其导函数f'（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2016高三上·吉林期中）已知非零向量 ， 的夹角为60°，且满足| ﹣2 |=2，则 的最大值为（　　）
A． B．1 C．2 D．3
10．（2016高三上·吉林期中）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=log2（x+1）+3x，则满足f（x）＞﹣4的实数x的取值范围是（　　）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，1）
C．（﹣1，+∞） D．（1，+∞）
11．（2016高三上·吉林期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=Sn+2，则满足 的n的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
12．（2016高三上·宝清期中）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（﹣x）+f（x+3）=0；当x∈（0，3）时，f（x）= ，其中e是自然对数的底数，且e≈2.72，则方程6f（x）﹣x=0在[﹣9，9]上的解的个数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
13．（2016高三上·吉林期中）已知 =﹣1，则tanα=　 　．
14．（2016高三上·吉林期中）已知向量 =（﹣1，﹣3）， =（2，t），且 ∥ ，则 ﹣ =　 　．
15．（2016高三上·吉林期中）已知函数f（x）=x2﹣mlnx在[2，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围为　 　．
16．（2016高三上·吉林期中）已知数列{an}与{bn}满足an=2bn+3（n∈N*），若{bn}的前n项和为Sn= （3n﹣1）且λan＞bn+36（n﹣3）+3λ对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是　 　．
三、解答题
17．（2016高三上·吉林期中）已知数列{an}的通项公式为an= ，n∈N*
（1）求数列{ }的前n项和Sn
（2）设bn=anan+1，求{bn}的前n项和Tn．
18．（2016高三上·吉林期中）在锐角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边 sinC﹣cosB=cos（A﹣C）．
（1）求角A的度数；
（2）若a=2 ，且△ABC的面积是3 ，求b+c．
19．（2016高三上·吉林期中）已知向量 =（1+cosωx，1）， =（1，a+ sinωx）（ω为常数且ω＞0），函数f（x）= 在R上的最大值为2．
（1）求实数a的值；
（2）把函数y=f（x）的图象向右平移 个单位，可得函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0， ]上为增函数，求ω的最大值．
20．（2016高三上·吉林期中）已知函数f（x）=sin（x+ ）+sin（x﹣ ）+acosx+b，（a，b∈R）且均为常数）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在区间[﹣ ，0]上单调递增，且恰好能够取到f（x）的最小值2，试求a，b的值．
21．（2016高三上·吉林期中）对于数列{an}、{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，且Sn+1﹣（n+1）=Sn+an+n，a1=b1=1，bn+1=3bn+2，n∈N*．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）令cn= ，求数列{cn}的前n项和Tn．
22．（2016高三上·吉林期中）已知函数f（x）= ．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=xf（x）+mx在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求m的值；
（3）若x≥1时，有不等式f（x）≥ 恒成立，求实数k的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵集合A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，
B={x|2x＞ }={x|x＞ }，
∴A∩B={x| }=（ ，1）．
故选：C．
【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：若a＞0，b＞0，则“a+b≥2 ＞1”，解得ab＞ ，
故ab＞ 是ab＞1的必要不充分条件，
故选：B．
【分析】根据a+b＞1，求出ab＞ ，根据集合的包含关系判断即可．
3．【答案】A
【知识点】向量的模
【解析】【解答】解：∵ =（1，2）， =（λ，﹣1）， ⊥ ，
∴λ﹣2=0，∴λ=2，
∴ + =（1，2）+（2，﹣1）=（3，1），
则| + |= = ，
故选：A．
【分析】根据向量的垂直求出λ的值，求出 + 的值，从而求出其模即可．
4．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，
a6=﹣3，S6=12，
∴ ，
解得a1=7，d=﹣2，
∴a5=7+4×（﹣2）=﹣1．
故选：B．
【分析】由等差数列{an}的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a5．
5．【答案】B
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：∵y=log0.2x在（0，+∞）上是减函数，
∴b＜a＜0，
又c=20.2＞0，
∴b＜a＜c．
故选：B．
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可得出．
6．【答案】D
【知识点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：若函数f（x）=x2+|x﹣a|为偶函数，则（﹣x）2+|﹣x﹣a|=x2+|x﹣a|，即有|x+a|=|x﹣a|，易得a=0，故命题p为真；
当m＞0时，方程的判别式△=4﹣4m不恒大于等于零，
当m＞1时，△＜0，此时方程无实根，故命题q为假，
即p真q假，
故命题p∨q为真，p∧q为假，（￢p）∧q为假，（￢p）∨（￢q）为真．
综上可得真确命题为①④．
故选：D．
【分析】先分析命题p，q的真假，再根据复合命题的真值判断方法即可求解．
7．【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：∵△ABC三边a，b，c上的高分别为 ， ，1，
∴由三角形的面积公式可得： a= b=c，解得：b= ，c= ，
∴由余弦定理可得：cosA= = =﹣ ．
故选：C．
【分析】由已知利用三角形的面积公式可求： a= b=c，进而解得b= ，c= ，利用余弦定理即可解得cosA的值．
8．【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：∵f（x）=Asin（ωx+ ），
∴f′（x）=Aωcos（ωx+ ），
由图可得：函数f′（x）=Aωcos（ωx+ ）的最大值ωA=1，
又∵ = ﹣ ，ω＞0，
∴T=π，ω=2，可得：A= ，
∴f′（x）=cos（2x+ ），
将（ ，0）代入f′（x）=cos（2x+ ），得cos（ + ）=0，
即 + =kπ+ ，k∈Z，
即 =kπ﹣ ，k∈Z，
∵| |＜ ，
∴ =﹣ ，
∴f′（x）=cos（2x﹣ ），
∴f（x）= sin（2x﹣ ）．
故选：D．
【分析】根据已知中函数f′（x）=Aωcos（ωx+ ）的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（ ，0）代入解析式，结合| |＜ ，可求出 值，进而求出函数的解析式．
9．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵非零向量 ， 的夹角为60°，且| ﹣2 |=2，
∴ ﹣ ≥ ﹣2 =2 ，即 ≤2．
∴ = ≤1．
故选：B．
【分析】非零向量 ， 的夹角为60°，且| ﹣2 |=2，利用数量积运算性质与基本不等式的性质可得 ﹣ ≥2 ，即 ≤2．即可得出．
10．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数
∴f（0）=0
设x＜0，则﹣x＞0，
∴f（﹣x）=log2（﹣x+1）﹣3x
∵f（x）为定义在R上的奇函数
∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x+1）+3x，此时函数单调递增，
x≥0时，满足f（x）＞﹣4；
x＜0时，f（x）＞﹣4可得f（x）＞f（﹣1），∴x＞﹣1，∴﹣1＜x＜0．
综上所述，x＞﹣1．
故选C．
【分析】先由奇函数求得f（0）=0，再设x＜0，则﹣x＞0，适合x＞0时，求得f（﹣x），再由满足f（x）＞﹣4，即可得出结论．
11．【答案】A
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：由an+1=Sn+2，得Sn+1﹣Sn=Sn+2，
∴Sn+1=2Sn+2，则Sn+1+2=2（Sn+2），
∵S1+2=a1+2=3，
∴数列{Sn+2}构成以3为首项，以2为公比的等比数列，
则 ，即
由 ，得 ＜ ，得22n﹣10 2n+12＞0，
解得： （舍），或 ．
∴n的最小值为4．
故选：A．
【分析】把已知数列递推式变形为Sn+1=2Sn+2，构造出数列{Sn+2}是以3为首项，以2为公比的等比数列，求得Sn，代入 得答案．
12．【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：当x＞0时，f（﹣x）+f（x+3）=0，∴f（x+3）=﹣f（﹣x），
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）的周期为3，
当x∈（0，3）时，f（x）= ，∴f′（x）= ，
∴函数在（0，e）上单调递增，在（e，3）上单调递减，
在[0，9]上作出y=f（x）的图象，作出y= 的图象，如图所示
∴在[0，9]上，有3个交点，由对称性，可得方程6f（x）﹣x=0在[﹣9，9]上的解的个数为6，
故选：C．
【分析】确定f（x）的周期为3，函数在（0，e）上单调递增，在（e，3）上单调递减，在[0，9]上作出y=f（x）的图象，作出y= 的图象，即可得出结论．
13．【答案】
【知识点】三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解： =﹣1，
可得： ，
解得tanα= ．
故答案为： ；
【分析】利用同角三角函数基本关系式，化简表达式为正切函数的形式，然后求解即可．
14．【答案】（﹣3，﹣9）
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：向量 =（﹣1，﹣3）， =（2，t），且 ∥ ，
可得﹣t=﹣6，解得t=6．
则 ﹣ =（﹣3，﹣9）．
故答案为：（﹣3，﹣9）；
【分析】利用向量共线的充要条件列出方程求出t，然后求解即可．
15．【答案】（﹣∞，8]
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：对f（x）求导后：f'（x）=2x﹣ ；
函数f（x）=x2﹣mlnx在[2，+∞）上单调递增 即可转化为：f'（x）在[2，+∞）上恒有f'（x）≥0；
∴2x﹣ ≥0 2x2≥m；
故u=2x2 在[2，+∞）上的最小值为u（2）=8；
所以，m的取值范围为（﹣∞，8]；
故答案为：（﹣∞，8]．
【分析】函数f（x）=x2﹣mlnx在[2，+∞）上单调递增即可转化为：f'（x）在[2，+∞）上恒有f'（x）≥0；
16．【答案】（ ，+∞）
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：由Sn= （3n﹣1），得 ，
当n≥2时， ，
当n=1时，上式成立，∴ ．
代入an=2bn+3，得 ，
代入λan＞bn+36（n﹣3）+3λ，得λ（an﹣3）＞bn+36（n﹣3），
即2λ 3n＞3n+36（n﹣3），
则λ＞ + ．
由 = ，得n≤3．
∴n=4时， + 有最大值为 ．
故答案为：（ ，+∞）．
【分析】由{bn}的前n项和为Sn= （3n﹣1）求得bn，进一步得到an，把an，bn代入λan＞bn+36（n﹣3）+3λ，分离λ，然后求出关于n的函数的最大值得答案．
17．【答案】（1）解：由an= ，n∈N*，
∴ = =4n﹣1，
∴数列{ }是以3为首项，以4为公差的等差数列，
∴数列{ }的前n项和Sn= =2n2+n
（2）解：bn=anan+1= = （ ﹣ ），
∴{bn}的前n项和Tn，Tn=b1+b2+b3+…+bn，
= [（1﹣ ）+（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）]，
= （1﹣ ），
= ，
Tn=
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由an= ，n∈N*，则 = =4n﹣1，数列{ }是以3为首项，以4为公差的等差数列，根据等差数列前n项和公式，即可求得Sn；（2）由bn=anan+1= = （ ﹣ ），采用“裂项法”，即可求得{bn}的前n项和Tn．
18．【答案】（1）解：因为由已知可得：cos B+cos （A﹣C）= sin C，
所以：﹣cos （A+C）+cos （A﹣C）= sin C，
可得：2sin A sin C= sinC，
故可得：sin A= ．
因为△ABC为锐角三角形，
所以A=60°
（2）解：∵A=60°，△ABC的面积是3 = bcsinA= bc，
∴bc=12，
∵a=2 ，
∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：12=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣36，
∴解得：b+c=4
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由cos B+cos （A﹣C）= sin C，利用两角和与差的三角函数展开可求sin A，进而可求A．（2）由三角形的面积公式可求bc的值，进而利用余弦定理，平方和公式即可解得b+c的值．
19．【答案】（1）解：f（x）=1+cosωx+a+ sinωx=2sin（ωx+ ）+a+1．
因为函数f（x）在R上的最大值为2，
所以3+a=2，故a=﹣1．
（2）解：由（1）知：f（x）=2sin（ωx+ ），
把函数f（x）=2sin（ωx+ ）的图象向右平移 个单位，可得函数
y=g（x）=2sinωx．
又∵y=g（x）在[0， ]上为增函数，
∴g（x）的周期T= ≥π，即ω≤2，
∴ω的最大值为2
【知识点】平面向量的数量积运算；含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）把向量 =（1+cosωx，1）， =（1，a+ sinωx）（ω为常数且ω＞0），代入函数f（x）= 整理，利用两角和的正弦函数化为2sin（ωx+ ）+a+1，根据最值求实数a的值；（2）由题意把函数y=f（x）的图象向右平移 个单位，可得函数y=g（x）的图象，利用y=g（x）在[0， ]上为增函数，就是周期≥π，然后求ω的最大值．
20．【答案】（1）解：）f（x）=sin（x+ ）+sin（x﹣ ）+acosx+b
=2sinxcos +acosx+b= sinx+acosx+b= sin（x+θ）+b，
所以，函数f（x）的最小正周期为2π
（2）解：由（1）可知：f（x）的最小值为﹣ +b，所以，﹣ +b=2．①
另外，由f（x）在区间[﹣ ，0]上单调递增，可知f（x）在区间[﹣ ，0]上的最小值为f（﹣ ），
所以，f（﹣ ）=2，得a+2b=7，②
联立①②解得a=﹣1，b=4．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象
【解析】【分析】（1）利用和差化积公式和辅助角公式将已知函数关系式转化为正弦函数，然后由正弦函数的性质求其最小正周期；（2）根据正弦函数图象的单调性和正弦函数的最值的求法进行解答．
21．【答案】（1）解：由Sn+1﹣（n+1）=Sn+an+n，
∴Sn+1﹣Sn=an+2n+1，
∴an+1﹣an=2n+1，
∴a2﹣a1=2×1+1，
a3﹣a2=2×2+1，
a4﹣a3=2×3+1，
…
an﹣an﹣1=2（n﹣1）+1，
以上各式相加可得：an﹣a1=2×（1+2+3+…+n﹣1）+（n﹣1），
∴an=2× +（n﹣1）+1=n2，
∴an=n2，
∵bn+1=3bn+2，即bn+1+1=3（bn+1），
b1+1=2，
∴数列{bn+1}是以2为首项，以3为公比的等比数列，
bn+1=2×3n﹣1，
∴bn=2×3n﹣1﹣1；
（2）解：由（1）可知：cn= = = ，
∴Tn=c1+c2+…+cn= + + +…+ ，
Tn= + + +…+ ，
∴ Tn=2+ + + +…+ ﹣ ，
=2+ ﹣ ，
= ﹣ ，
∴Tn= ﹣ ，
数列{cn}的前n项和Tn，Tn= ﹣
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由Sn+1﹣Sn=an+2n+1，则an+1﹣an=2n+1，利用“累加法”即可求得an=n2，由bn+1+1=3（bn+1），可知数列{bn+1}是以2为首项，以3为公比的等比数列，即可求得{bn}的通项公式；（2）由（1）可知：cn= = = ，利用“错位相减法”即可求得数列{cn}的前n项和Tn．
22．【答案】（1）解：易知f（x）定义域为（0，+∞）， ，令f'（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
（2）解：∵g（x）=1+lnx+mx， ，x∈（0，e]，
①若m≥0，则g'（x）≥0，从而g（x）在（0，e]上是增函数，∴g（x）max=g（e）=me+2≥0，不合题意．
②若m＜0，则由g'（x）＞0，即 ，若 ，g（x）在（0，e]上是增函数，
由①知不合题意．
由g'（x）＜0，即 ．
从而g（x）在 上是增函数，在 为减函数，
∴ ，令ln（ ）=﹣3，所以m=﹣e3，
∵ ，∴所求的m=﹣e3
（3）解：∵x≥1时， 恒成立，∴ ，
令 ，
∴ 恒大于0，
∴h（x）在[1，+∞）为增函数，
∴h（x）min=h（1）=2，∴k≤2
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，函数的导数，求出极值点，判断导函数符号，然后求解单调区间．（2）求出 ，x∈（0，e]，通过①若m≥0，②若m＜0，判断函数的单调性，求解函数的最值，然后求m．（3）利用x≥1时， 恒成立，分离变量，构造函数 ，利用函数的导数，求解函数的最值，推出结果即可．
1 / 12016-2017学年黑龙江、吉林两省八校联考高三上学期期中数学试卷（理科）
一、选择题
1．（2016高三上·吉林期中）已知集合A={x|x2＜1}，B=x|2x＞ ，则A∩B=（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵集合A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，
B={x|2x＞ }={x|x＞ }，
∴A∩B={x| }=（ ，1）．
故选：C．
【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．
2．（2016高三上·吉林期中）若a＞0，b＞0，则“a+b＞1”是“ab＞1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：若a＞0，b＞0，则“a+b≥2 ＞1”，解得ab＞ ，
故ab＞ 是ab＞1的必要不充分条件，
故选：B．
【分析】根据a+b＞1，求出ab＞ ，根据集合的包含关系判断即可．
3．（2016高三上·吉林期中）已知向量 =（1，2）， =（λ，﹣1），若 ⊥ ，则| + |=（　　）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【知识点】向量的模
【解析】【解答】解：∵ =（1，2）， =（λ，﹣1）， ⊥ ，
∴λ﹣2=0，∴λ=2，
∴ + =（1，2）+（2，﹣1）=（3，1），
则| + |= = ，
故选：A．
【分析】根据向量的垂直求出λ的值，求出 + 的值，从而求出其模即可．
4．（2016高三上·吉林期中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6=﹣3，S6=12，则a5等于（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．4
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，
a6=﹣3，S6=12，
∴ ，
解得a1=7，d=﹣2，
∴a5=7+4×（﹣2）=﹣1．
故选：B．
【分析】由等差数列{an}的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a5．
5．（2016高三上·宝清期中）若a=log0.22，b=log0.23，c=20.2，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b
【答案】B
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：∵y=log0.2x在（0，+∞）上是减函数，
∴b＜a＜0，
又c=20.2＞0，
∴b＜a＜c．
故选：B．
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可得出．
6．（2016高三上·吉林期中）已知：
命题p：若函数f（x）=x2+|x﹣a|是偶函数，则a=0．
命题q： m∈（0，+∞），关于x的方程mx2﹣2x+1=0有解．
在①p∨q；②p∧q；③（￢p）∧q；④（￢p）∨（￢q）中为真命题的是（　　）
A．②③ B．②④ C．③④ D．①④
【答案】D
【知识点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：若函数f（x）=x2+|x﹣a|为偶函数，则（﹣x）2+|﹣x﹣a|=x2+|x﹣a|，即有|x+a|=|x﹣a|，易得a=0，故命题p为真；
当m＞0时，方程的判别式△=4﹣4m不恒大于等于零，
当m＞1时，△＜0，此时方程无实根，故命题q为假，
即p真q假，
故命题p∨q为真，p∧q为假，（￢p）∧q为假，（￢p）∨（￢q）为真．
综上可得真确命题为①④．
故选：D．
【分析】先分析命题p，q的真假，再根据复合命题的真值判断方法即可求解．
7．（2016高三上·吉林期中）已知△ABC三边a，b，c上的高分别为 ， ，1，则cosA等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：∵△ABC三边a，b，c上的高分别为 ， ，1，
∴由三角形的面积公式可得： a= b=c，解得：b= ，c= ，
∴由余弦定理可得：cosA= = =﹣ ．
故选：C．
【分析】由已知利用三角形的面积公式可求： a= b=c，进而解得b= ，c= ，利用余弦定理即可解得cosA的值．
8．（2016高三上·吉林期中）已知函数f（x）=Asin（ωx+ ）（A＞0，ω＞0，| |＜ ），其导函数f'（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：∵f（x）=Asin（ωx+ ），
∴f′（x）=Aωcos（ωx+ ），
由图可得：函数f′（x）=Aωcos（ωx+ ）的最大值ωA=1，
又∵ = ﹣ ，ω＞0，
∴T=π，ω=2，可得：A= ，
∴f′（x）=cos（2x+ ），
将（ ，0）代入f′（x）=cos（2x+ ），得cos（ + ）=0，
即 + =kπ+ ，k∈Z，
即 =kπ﹣ ，k∈Z，
∵| |＜ ，
∴ =﹣ ，
∴f′（x）=cos（2x﹣ ），
∴f（x）= sin（2x﹣ ）．
故选：D．
【分析】根据已知中函数f′（x）=Aωcos（ωx+ ）的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（ ，0）代入解析式，结合| |＜ ，可求出 值，进而求出函数的解析式．
9．（2016高三上·吉林期中）已知非零向量 ， 的夹角为60°，且满足| ﹣2 |=2，则 的最大值为（　　）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵非零向量 ， 的夹角为60°，且| ﹣2 |=2，
∴ ﹣ ≥ ﹣2 =2 ，即 ≤2．
∴ = ≤1．
故选：B．
【分析】非零向量 ， 的夹角为60°，且| ﹣2 |=2，利用数量积运算性质与基本不等式的性质可得 ﹣ ≥2 ，即 ≤2．即可得出．
10．（2016高三上·吉林期中）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=log2（x+1）+3x，则满足f（x）＞﹣4的实数x的取值范围是（　　）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，1）
C．（﹣1，+∞） D．（1，+∞）
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数
∴f（0）=0
设x＜0，则﹣x＞0，
∴f（﹣x）=log2（﹣x+1）﹣3x
∵f（x）为定义在R上的奇函数
∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x+1）+3x，此时函数单调递增，
x≥0时，满足f（x）＞﹣4；
x＜0时，f（x）＞﹣4可得f（x）＞f（﹣1），∴x＞﹣1，∴﹣1＜x＜0．
综上所述，x＞﹣1．
故选C．
【分析】先由奇函数求得f（0）=0，再设x＜0，则﹣x＞0，适合x＞0时，求得f（﹣x），再由满足f（x）＞﹣4，即可得出结论．
11．（2016高三上·吉林期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=Sn+2，则满足 的n的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：由an+1=Sn+2，得Sn+1﹣Sn=Sn+2，
∴Sn+1=2Sn+2，则Sn+1+2=2（Sn+2），
∵S1+2=a1+2=3，
∴数列{Sn+2}构成以3为首项，以2为公比的等比数列，
则 ，即
由 ，得 ＜ ，得22n﹣10 2n+12＞0，
解得： （舍），或 ．
∴n的最小值为4．
故选：A．
【分析】把已知数列递推式变形为Sn+1=2Sn+2，构造出数列{Sn+2}是以3为首项，以2为公比的等比数列，求得Sn，代入 得答案．
12．（2016高三上·宝清期中）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（﹣x）+f（x+3）=0；当x∈（0，3）时，f（x）= ，其中e是自然对数的底数，且e≈2.72，则方程6f（x）﹣x=0在[﹣9，9]上的解的个数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：当x＞0时，f（﹣x）+f（x+3）=0，∴f（x+3）=﹣f（﹣x），
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）的周期为3，
当x∈（0，3）时，f（x）= ，∴f′（x）= ，
∴函数在（0，e）上单调递增，在（e，3）上单调递减，
在[0，9]上作出y=f（x）的图象，作出y= 的图象，如图所示
∴在[0，9]上，有3个交点，由对称性，可得方程6f（x）﹣x=0在[﹣9，9]上的解的个数为6，
故选：C．
【分析】确定f（x）的周期为3，函数在（0，e）上单调递增，在（e，3）上单调递减，在[0，9]上作出y=f（x）的图象，作出y= 的图象，即可得出结论．
二、填空题
13．（2016高三上·吉林期中）已知 =﹣1，则tanα=　 　．
【答案】
【知识点】三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解： =﹣1，
可得： ，
解得tanα= ．
故答案为： ；
【分析】利用同角三角函数基本关系式，化简表达式为正切函数的形式，然后求解即可．
14．（2016高三上·吉林期中）已知向量 =（﹣1，﹣3）， =（2，t），且 ∥ ，则 ﹣ =　 　．
【答案】（﹣3，﹣9）
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：向量 =（﹣1，﹣3）， =（2，t），且 ∥ ，
可得﹣t=﹣6，解得t=6．
则 ﹣ =（﹣3，﹣9）．
故答案为：（﹣3，﹣9）；
【分析】利用向量共线的充要条件列出方程求出t，然后求解即可．
15．（2016高三上·吉林期中）已知函数f（x）=x2﹣mlnx在[2，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围为　 　．
【答案】（﹣∞，8]
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：对f（x）求导后：f'（x）=2x﹣ ；
函数f（x）=x2﹣mlnx在[2，+∞）上单调递增 即可转化为：f'（x）在[2，+∞）上恒有f'（x）≥0；
∴2x﹣ ≥0 2x2≥m；
故u=2x2 在[2，+∞）上的最小值为u（2）=8；
所以，m的取值范围为（﹣∞，8]；
故答案为：（﹣∞，8]．
【分析】函数f（x）=x2﹣mlnx在[2，+∞）上单调递增即可转化为：f'（x）在[2，+∞）上恒有f'（x）≥0；
16．（2016高三上·吉林期中）已知数列{an}与{bn}满足an=2bn+3（n∈N*），若{bn}的前n项和为Sn= （3n﹣1）且λan＞bn+36（n﹣3）+3λ对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是　 　．
【答案】（ ，+∞）
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：由Sn= （3n﹣1），得 ，
当n≥2时， ，
当n=1时，上式成立，∴ ．
代入an=2bn+3，得 ，
代入λan＞bn+36（n﹣3）+3λ，得λ（an﹣3）＞bn+36（n﹣3），
即2λ 3n＞3n+36（n﹣3），
则λ＞ + ．
由 = ，得n≤3．
∴n=4时， + 有最大值为 ．
故答案为：（ ，+∞）．
【分析】由{bn}的前n项和为Sn= （3n﹣1）求得bn，进一步得到an，把an，bn代入λan＞bn+36（n﹣3）+3λ，分离λ，然后求出关于n的函数的最大值得答案．
三、解答题
17．（2016高三上·吉林期中）已知数列{an}的通项公式为an= ，n∈N*
（1）求数列{ }的前n项和Sn
（2）设bn=anan+1，求{bn}的前n项和Tn．
【答案】（1）解：由an= ，n∈N*，
∴ = =4n﹣1，
∴数列{ }是以3为首项，以4为公差的等差数列，
∴数列{ }的前n项和Sn= =2n2+n
（2）解：bn=anan+1= = （ ﹣ ），
∴{bn}的前n项和Tn，Tn=b1+b2+b3+…+bn，
= [（1﹣ ）+（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）]，
= （1﹣ ），
= ，
Tn=
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由an= ，n∈N*，则 = =4n﹣1，数列{ }是以3为首项，以4为公差的等差数列，根据等差数列前n项和公式，即可求得Sn；（2）由bn=anan+1= = （ ﹣ ），采用“裂项法”，即可求得{bn}的前n项和Tn．
18．（2016高三上·吉林期中）在锐角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边 sinC﹣cosB=cos（A﹣C）．
（1）求角A的度数；
（2）若a=2 ，且△ABC的面积是3 ，求b+c．
【答案】（1）解：因为由已知可得：cos B+cos （A﹣C）= sin C，
所以：﹣cos （A+C）+cos （A﹣C）= sin C，
可得：2sin A sin C= sinC，
故可得：sin A= ．
因为△ABC为锐角三角形，
所以A=60°
（2）解：∵A=60°，△ABC的面积是3 = bcsinA= bc，
∴bc=12，
∵a=2 ，
∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：12=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣36，
∴解得：b+c=4
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由cos B+cos （A﹣C）= sin C，利用两角和与差的三角函数展开可求sin A，进而可求A．（2）由三角形的面积公式可求bc的值，进而利用余弦定理，平方和公式即可解得b+c的值．
19．（2016高三上·吉林期中）已知向量 =（1+cosωx，1）， =（1，a+ sinωx）（ω为常数且ω＞0），函数f（x）= 在R上的最大值为2．
（1）求实数a的值；
（2）把函数y=f（x）的图象向右平移 个单位，可得函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0， ]上为增函数，求ω的最大值．
【答案】（1）解：f（x）=1+cosωx+a+ sinωx=2sin（ωx+ ）+a+1．
因为函数f（x）在R上的最大值为2，
所以3+a=2，故a=﹣1．
（2）解：由（1）知：f（x）=2sin（ωx+ ），
把函数f（x）=2sin（ωx+ ）的图象向右平移 个单位，可得函数
y=g（x）=2sinωx．
又∵y=g（x）在[0， ]上为增函数，
∴g（x）的周期T= ≥π，即ω≤2，
∴ω的最大值为2
【知识点】平面向量的数量积运算；含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）把向量 =（1+cosωx，1）， =（1，a+ sinωx）（ω为常数且ω＞0），代入函数f（x）= 整理，利用两角和的正弦函数化为2sin（ωx+ ）+a+1，根据最值求实数a的值；（2）由题意把函数y=f（x）的图象向右平移 个单位，可得函数y=g（x）的图象，利用y=g（x）在[0， ]上为增函数，就是周期≥π，然后求ω的最大值．
20．（2016高三上·吉林期中）已知函数f（x）=sin（x+ ）+sin（x﹣ ）+acosx+b，（a，b∈R）且均为常数）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在区间[﹣ ，0]上单调递增，且恰好能够取到f（x）的最小值2，试求a，b的值．
【答案】（1）解：）f（x）=sin（x+ ）+sin（x﹣ ）+acosx+b
=2sinxcos +acosx+b= sinx+acosx+b= sin（x+θ）+b，
所以，函数f（x）的最小正周期为2π
（2）解：由（1）可知：f（x）的最小值为﹣ +b，所以，﹣ +b=2．①
另外，由f（x）在区间[﹣ ，0]上单调递增，可知f（x）在区间[﹣ ，0]上的最小值为f（﹣ ），
所以，f（﹣ ）=2，得a+2b=7，②
联立①②解得a=﹣1，b=4．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象
【解析】【分析】（1）利用和差化积公式和辅助角公式将已知函数关系式转化为正弦函数，然后由正弦函数的性质求其最小正周期；（2）根据正弦函数图象的单调性和正弦函数的最值的求法进行解答．
21．（2016高三上·吉林期中）对于数列{an}、{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，且Sn+1﹣（n+1）=Sn+an+n，a1=b1=1，bn+1=3bn+2，n∈N*．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）令cn= ，求数列{cn}的前n项和Tn．
【答案】（1）解：由Sn+1﹣（n+1）=Sn+an+n，
∴Sn+1﹣Sn=an+2n+1，
∴an+1﹣an=2n+1，
∴a2﹣a1=2×1+1，
a3﹣a2=2×2+1，
a4﹣a3=2×3+1，
…
an﹣an﹣1=2（n﹣1）+1，
以上各式相加可得：an﹣a1=2×（1+2+3+…+n﹣1）+（n﹣1），
∴an=2× +（n﹣1）+1=n2，
∴an=n2，
∵bn+1=3bn+2，即bn+1+1=3（bn+1），
b1+1=2，
∴数列{bn+1}是以2为首项，以3为公比的等比数列，
bn+1=2×3n﹣1，
∴bn=2×3n﹣1﹣1；
（2）解：由（1）可知：cn= = = ，
∴Tn=c1+c2+…+cn= + + +…+ ，
Tn= + + +…+ ，
∴ Tn=2+ + + +…+ ﹣ ，
=2+ ﹣ ，
= ﹣ ，
∴Tn= ﹣ ，
数列{cn}的前n项和Tn，Tn= ﹣
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由Sn+1﹣Sn=an+2n+1，则an+1﹣an=2n+1，利用“累加法”即可求得an=n2，由bn+1+1=3（bn+1），可知数列{bn+1}是以2为首项，以3为公比的等比数列，即可求得{bn}的通项公式；（2）由（1）可知：cn= = = ，利用“错位相减法”即可求得数列{cn}的前n项和Tn．
22．（2016高三上·吉林期中）已知函数f（x）= ．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=xf（x）+mx在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求m的值；
（3）若x≥1时，有不等式f（x）≥ 恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）解：易知f（x）定义域为（0，+∞）， ，令f'（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
（2）解：∵g（x）=1+lnx+mx， ，x∈（0，e]，
①若m≥0，则g'（x）≥0，从而g（x）在（0，e]上是增函数，∴g（x）max=g（e）=me+2≥0，不合题意．
②若m＜0，则由g'（x）＞0，即 ，若 ，g（x）在（0，e]上是增函数，
由①知不合题意．
由g'（x）＜0，即 ．
从而g（x）在 上是增函数，在 为减函数，
∴ ，令ln（ ）=﹣3，所以m=﹣e3，
∵ ，∴所求的m=﹣e3
（3）解：∵x≥1时， 恒成立，∴ ，
令 ，
∴ 恒大于0，
∴h（x）在[1，+∞）为增函数，
∴h（x）min=h（1）=2，∴k≤2
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，函数的导数，求出极值点，判断导函数符号，然后求解单调区间．（2）求出 ，x∈（0，e]，通过①若m≥0，②若m＜0，判断函数的单调性，求解函数的最值，然后求m．（3）利用x≥1时， 恒成立，分离变量，构造函数 ，利用函数的导数，求解函数的最值，推出结果即可．
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