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2020-2021学年山东省济宁市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A∩B＝（　　）
A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
2．已知命题p：?x＞1，x2﹣4＜0，则￢p是（　　）
A．?x＞1，x2﹣4≥0 B．?x≤1，x2﹣4＜0
C．?x≤1，x2﹣4≥0 D．?x＞1，x2﹣4≥0
3．“φ＝”是“函数y＝sin（x+φ）为偶函数的”（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若a＝e0.5，b＝sin0.2，则a、b、c的大小关系为（　　）
A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
5．函数的图象经过怎样的平移可得到函数y＝cos2x的图象（　　）
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
6．函数y＝xcosx+sinx在区间[﹣π，π]上的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知角A、B、C分别是△ABC的三个内角，且，则cos（B+C）＝（　　）
A． B． C． D．
8．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术“，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝3，b+c＝5，则此三角形面积的最大值为（　　）
A． B．3 C． D．
二?选择题（共4小题）.
9．如果a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（　　）
A． B． C．ac2＞bc2 D．a﹣c＞b﹣c
10．若方程x2+2x+λ＝0在区间（﹣1，0）上有实数根，则实数λ的取值可以是（　　）
A．﹣3 B． C． D．1
11．已知θ∈（0，π），，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．已知实数x1，x2为函数f（x）＝（）x﹣|log2（x﹣1）|的两个零点，则下列结论正确的是（　　）
A．（x1﹣2）（x2﹣2）∈（﹣∞，0） B．（x1﹣1）（x2﹣1）∈（0，1）
C．（x1﹣1）（x2﹣1）＝1 D．（x1﹣1）（x2﹣1）∈（1，+∞）
三?填空题（共4小题）.
13．＝　 　．
14．已知函数f（x）＝ax﹣1+xa+2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为　 　．
15．函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为　 　．
16．若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x+log2y＝1，则的最小值为　 　．
四、解答题（共6小题，满分70分）
17．在①A∪B＝B；②“x∈A“是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩B＝?这三个条件中任选一个，补充到本题第（Ⅱ）问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，B＝{x|﹣1≤x≤3}．
（Ⅰ）当a＝2时，求A∪B；
（Ⅱ）若_______，求实数a的取值范围．
18．如图，角θ的顶点与平面直角坐标系xOy的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P，若点P的坐标为．
（Ⅰ）求tanθ﹣sin2θ的值；
（Ⅱ）若将OP绕原点O按逆时针方向旋转40°，得到角α，设tanα＝m，求tan（θ+85°）的值．
19．目前，“新冠肺炎”在我国得到了很好的遏制，但在世界其他一些国家还大肆流行．因防疫需要，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室．已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值．此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为（a为常数）．已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间t（小时）的变化曲线如图所示．
（Ⅰ）从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？
20．已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．
21．设函数f（x）＝ax2+（b﹣2）x+3．
（Ⅰ）若不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，1），求实数a，b的值；
（Ⅱ）若f（1）＝0，且存在x∈R，使f（x）＞4成立，求实数a的取值范围．
22．已知函数f（x）＝sinx+cosx，g（x）＝sin2x﹣f（x）．
（Ⅰ）求函数y＝f（x）图象的对称轴的方程；
（Ⅱ）当时，求函数g（x）的值域；
（Ⅲ）设，存在集合M，当且仅当实数m∈M，且在x∈（0，+∞）时，不等式恒成立．若在（Ⅱ）的条件下，恒有ag（x）?M（其中a＞0），求实数a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共8小题）.
1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A∩B＝（　　）
A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
解：A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴A∩B＝{﹣1，0}．
故选：B．
2．已知命题p：?x＞1，x2﹣4＜0，则￢p是（　　）
A．?x＞1，x2﹣4≥0 B．?x≤1，x2﹣4＜0
C．?x≤1，x2﹣4≥0 D．?x＞1，x2﹣4≥0
解：命题是特称命题，
则否定是全称命题，即?x＞1，x2﹣4≥0，
故选：D．
3．“φ＝”是“函数y＝sin（x+φ）为偶函数的”（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：因为φ＝?函数y＝sin（x+φ）＝cosx为偶函数，所以“φ＝”是“函数y＝sin（x+φ）为偶函数”充分条件，
“函数y＝sin（x+φ）为偶函数”所以“φ＝kπ+，k∈Z”，
所以“φ＝”是“函数y＝sin（x+φ）为偶函数”的充分不必要条件．
故选：A．
4．若a＝e0.5，b＝sin0.2，则a、b、c的大小关系为（　　）
A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解：∵a＝e0.5＞e0＝1，
b＝sin＝sin∈（0，1），
c＝log20.2＜log21＝0，
∴a、b、c的大小关系为a＞b＞c．
故选：B．
5．函数的图象经过怎样的平移可得到函数y＝cos2x的图象（　　）
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
解：函数的图象向右平移个单位，
可得到函数y＝cos2x的图象，
故选：D．
6．函数y＝xcosx+sinx在区间[﹣π，π]上的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
解：y＝f（x）＝xcosx+sinx，
则f（﹣x）＝﹣xcosx﹣sinx＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C，D，
当x＝π时，y＝f（π）＝πcosπ+sinπ＝﹣π＜0，故排除B，
故选：A．
7．已知角A、B、C分别是△ABC的三个内角，且，则cos（B+C）＝（　　）
A． B． C． D．
解：因为，且A+B+C＝π，
则cos（B+C）＝cos（π﹣A）＝﹣cosA＝﹣（2cos2﹣1）＝﹣（2×﹣1）＝﹣．
故选：A．
8．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术“，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝3，b+c＝5，则此三角形面积的最大值为（　　）
A． B．3 C． D．
解：由a＝3，b+c＝5，得p＝（a+b+c）＝×（3+5）＝4；
所以S2＝4×（4﹣3）×（4﹣b）（4﹣c）
＝4[bc﹣4（b+c）+16]
＝4（bc﹣4）≤4×[（）2﹣4]
＝4×
＝9，当且仅当b＝c＝2.5时取等号．
所以S≤3．
故选：B．
二?选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分?在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求?全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分?
9．如果a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（　　）
A． B． C．ac2＞bc2 D．a﹣c＞b﹣c
解：由a＞b＞0，可得，故A正确；
由a＞b＞0，可得a2＞b2，所以＜，故B正确；
若c＝0，则ac2＝bc2，故C错误；
由a＞b＞0，可得a﹣c＞b﹣c，故D正确．
故选：ABD．
10．若方程x2+2x+λ＝0在区间（﹣1，0）上有实数根，则实数λ的取值可以是（　　）
A．﹣3 B． C． D．1
解：方程x2+2x+λ＝0对应的二次函数为：y＝x2+2x+λ，它的对称轴为：x＝﹣1，
所以函数在（﹣1，0）上是增函数，所以，可得，
解得λ∈（0，1）．
故选：BC．
11．已知θ∈（0，π），，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
解：∵，∴两边平方得：1+2sinθcosθ＝，∴，
∴sinθ与cosθ异号，又∵θ∈（0，π），∴，
∴sinθ＞cosθ，
∴，∴，
又∵，
∴，，
故选：ABD．
12．已知实数x1，x2为函数f（x）＝（）x﹣|log2（x﹣1）|的两个零点，则下列结论正确的是（　　）
A．（x1﹣2）（x2﹣2）∈（﹣∞，0） B．（x1﹣1）（x2﹣1）∈（0，1）
C．（x1﹣1）（x2﹣1）＝1 D．（x1﹣1）（x2﹣1）∈（1，+∞）
解：实数x1，x2为函数f（x）＝（）x﹣|log2（x﹣1）|的两个零点，
故实数x1，x2为与y＝|log2（x﹣1）|图象交点的横坐标，
作出函数与y＝|log2（x﹣1）|的图象如图所示，
不妨设x1＜x2，则有，
所以，，
故，
又因为，所以，
所以0＜（x1﹣1）（x2﹣1）＜1，
又因为x1＜2，x2＞2，所以（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，
故选项A，B正确．
故选：AB．
三?填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分?
13．＝　6　．
解：
＝2+3+lg10
＝2+3+1
＝6．
故答案为：6．
14．已知函数f（x）＝ax﹣1+xa+2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为　（1，4）　．
解：函数f（x）＝ax﹣1+xa+2中，令x﹣1＝0，
解得x＝1，y＝f（1）＝1+1+2＝4，
f（x）的图象恒过定点P（1，4）．
故答案为：（1，4）．
15．函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为　y＝2sin（2x+）　．
解：由图象知A＝2，函数的周期T＝2?[﹣（﹣）]＝2×＝π，
即T＝＝π，即ω＝2，
此时y＝2sin（2x+φ），
当x＝﹣时，f（﹣）＝2sin（﹣×2+φ）＝2，
即sin（φ﹣）＝1，
则φ﹣＝+2kπ，
即φ＝+2kπ，
∵0＜φ＜π，
∴当k＝0时，φ＝，
则，
故答案为：y＝2sin（2x+）
16．若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x+log2y＝1，则的最小值为　4　．
解：∵log2x+log2y＝1，
∴log2xy＝1＝log22，
∴xy＝2，
∴＝＝（x﹣y）+≥2＝4，但且仅当x＝1+，y＝﹣1时取等号，
故的最小值为4，
故答案为：4．
四、解答题（共6小题，满分70分）
17．在①A∪B＝B；②“x∈A“是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩B＝?这三个条件中任选一个，补充到本题第（Ⅱ）问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，B＝{x|﹣1≤x≤3}．
（Ⅰ）当a＝2时，求A∪B；
（Ⅱ）若_______，求实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）当a＝2时，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，
所以A∪B＝{x|﹣1≤x≤3}；
（Ⅱ）若选择①A∪B＝B，则A?B，
因为A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，所以A≠?，
又B＝{x|﹣1≤x≤3}，
所以，解得0≤a≤2，
所以实数a的取值范围是[0，2]．
若选择②，“x∈A“是“x∈B”的充分不必要条件，则A?B，
因为A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，所以A≠?，
又B＝{x|﹣1≤x≤3}，
所以，解得0≤a≤2，
所以实数a的取值范围是[0，2]．
若选择③，A∩B＝?，
因为A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，
所以a﹣1＞3或a+1＜﹣1，
解得a＞4或a＜﹣2，
所以实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．
18．如图，角θ的顶点与平面直角坐标系xOy的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P，若点P的坐标为．
（Ⅰ）求tanθ﹣sin2θ的值；
（Ⅱ）若将OP绕原点O按逆时针方向旋转40°，得到角α，设tanα＝m，求tan（θ+85°）的值．
解：（Ⅰ）由题意知：，且θ为第二象限角，
所以，tan．
则tanθ﹣sin2θ＝tanθ﹣2sinθcosθ＝．
（Ⅱ）由题意知：α＝40°+θ，
所以θ＝α﹣40°，
所以tan（θ+85°）＝tan（α+45°）＝．
19．目前，“新冠肺炎”在我国得到了很好的遏制，但在世界其他一些国家还大肆流行．因防疫需要，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室．已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值．此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为（a为常数）．已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间t（小时）的变化曲线如图所示．
（Ⅰ）从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？
解：（Ⅰ）依题意，当0≤t≤0.2时，可设y＝kt，
因为y＝kt，过点（0.2，1），所以1＝0.2k，解得k＝5，
又由，解得a＝0.2，
所以；
（Ⅱ）令，即，
则5t﹣1≥3，解得t≥0.8，
即至少需要经过0.8小时后，学生才能回到教室．
20．已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．
解：（Ⅰ）＝2sinx（cosx+sinx）﹣＝sin2x+﹣＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），
可得函数f（x）的最小正周期T＝＝π．
（Ⅱ）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，
得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
即函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，
∵x∈（0，π），
∴当k＝0时，﹣≤x≤，此时0＜x≤，
当k＝1时，≤x≤π+，此时≤x＜π，
综上函数的递增区间为（0，]，[，π）．
21．设函数f（x）＝ax2+（b﹣2）x+3．
（Ⅰ）若不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，1），求实数a，b的值；
（Ⅱ）若f（1）＝0，且存在x∈R，使f（x）＞4成立，求实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）由题意可知：方程ax2+（b﹣2）x+3＝0的两根是1，﹣1，
则，解得a＝﹣3，b＝2，
（Ⅱ）由f（1）＝0可得：b＝﹣a﹣1，
存在x∈R，f（x）＞4成立，即使ax2+（b﹣2）x﹣1＞0成立，
代入b＝﹣a﹣1可得：ax2﹣（a+3）x﹣1＞0成立，
当a≥0时，显然存在x∈R使得上式成立，
当a＜0时，要满足题意只需方程ax2﹣（a+3）x﹣1＝0有两个不等的根即可，
所以△＝（a+3）2+4a＞0，即a2+10a+9＞0，
解得a＜﹣9或﹣1＜a＜0，
综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣9）∪（﹣1，+∞）．
22．已知函数f（x）＝sinx+cosx，g（x）＝sin2x﹣f（x）．
（Ⅰ）求函数y＝f（x）图象的对称轴的方程；
（Ⅱ）当时，求函数g（x）的值域；
（Ⅲ）设，存在集合M，当且仅当实数m∈M，且在x∈（0，+∞）时，不等式恒成立．若在（Ⅱ）的条件下，恒有ag（x）?M（其中a＞0），求实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）
＝＝，
令，则，
∴函数y＝f（x）图象的对称轴方程为．
（Ⅱ）由（I）知，
当时，
∴，即﹣1?f（x）?1，
令μ＝f（x）＝sinx+cosx，则μ2＝1+sin2x，sin2x＝μ2﹣1μ∈[﹣1，1]，
由g（x）＝sin2x﹣f（x），得
∴当时，y＝g（x）有最小值，当μ＝﹣1时，y＝g（x）有最大值1，
∴当时，函数g（x）的值域为．
（Ⅲ）当x∈（0，+∞），不等式恒成立，
∵x＞0时，3x﹣1＞0，9x﹣1＞0，∴恒成立，
令t＝3x，则t＞1，
∴，
又，当且仅当即t＝1时取等号，
而t＞1，∴，即m?2，∴M＝{m|m?2}．
又由（Π）知，∴当a＞0时，
∴要使ag（x）?M恒成立，只需0＜a＜2，
∴a的取值范围是（0，2）．

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