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2020-2021学年四川省乐山市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题）.
1．命题“如果x≥a2+b2，那么x≥2ab”的逆否命题是（　　）
A．如果x＜a2+b2，那么x＜2ab
B．如果x≥2ab，那么x≥a2+b2
C．如果x＜2ab，那么x＜a2+b2
D．如果x≥a2+b2，那么x＜2ab
2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是（　　）
A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．棱柱
3．圆x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0的圆心坐标和半径分别是（　　）
A．（﹣1，2），3 B．（﹣1，2），9 C．（1，﹣2），3 D．（1，﹣2），9
4．若直线l与平面α有两个公共点，则l与α的位置关系是（　　）
A．l?α B．l∥α C．l与α相交 D．l∈α
5．抛物线y＝4x2的准线方程是（　　）
A．y+1＝0 B．x+1＝0 C．16y+1＝0 D．16x+1＝0
6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1D1与BC1所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线l，交抛物线于点A、B两点，AB的中点为M．若|AB|＝8，则点M的横坐标为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，若PC⊥菱形ABCD所在的平面，那么PA与BD的位置关系是（　　）
A．平行 B．垂直且相交
C．相交但不垂直 D．垂直但不相交
9．与圆x2+y2＝1及圆x2+y2﹣8x+12＝0都外切的圆的圆心在（　　）
A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上 D．一个圆上
10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）
A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4
11．已知F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为（　　）
A． B． C． D．
12．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，AA1＝4，AB＝2，，E为BC中点，平面α过点E且与平面BDD1垂直，CC1∥α，则α被此直四棱柱截得的截面面积为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．6
二、填空题（共4小题）.
13．全称命题“?a∈Z，a有一个正因数”的否定是　 　．
14．方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围为　 　．
15．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为　 　．
16．双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是E坐支上一点，且|PF1|＝|F1F2|，直线PF2与圆x2+y2＝a2相切，则E的离心率为　 　．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
17．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．E、F分别是B1C1、CC1的中点．求证：A1E、D1C1、DF三线共点．
18．经过点M（2，1）作直线l交双曲线于A、B两点，若（O为坐标原点），求直线l的方程．
19．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）若MN＝，PA＝BC＝2，求异面直线PA与MN所成的角．
20．已知抛物线C：y2＝2x，直线l过点E（2，0）且与抛物线C相交于A、B两点，O是坐标原点．
（1）求证：点O在以AB为直径的圆上；
（2）若△OAB的面积为8，求直线l的斜率．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率是，且椭圆经过点（0，1）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l1：x+2y﹣2＝0与圆D：x2+y2﹣6x﹣4y+m＝0相切：
（ⅰ）求圆D的标准方程；
（ⅱ）若直线l2过定点（3，0），与椭圆C交于不同的两点E，F，与圆D交于不同的两点M，N，求|EF|?|MN|的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．命题“如果x≥a2+b2，那么x≥2ab”的逆否命题是（　　）
A．如果x＜a2+b2，那么x＜2ab
B．如果x≥2ab，那么x≥a2+b2
C．如果x＜2ab，那么x＜a2+b2
D．如果x≥a2+b2，那么x＜2ab
解：命题的逆命题是：如果x≥2ab，那么x≥a2+b2
∴逆否命题是：如果x＜2ab，那么x＜a2+b2，
故选：C．
2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是（　　）
A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．棱柱
解：由于棱柱的侧面与底面都是平行四边形，
所以用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是棱柱．
故选：D．
3．圆x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0的圆心坐标和半径分别是（　　）
A．（﹣1，2），3 B．（﹣1，2），9 C．（1，﹣2），3 D．（1，﹣2），9
解：由方程x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0可得（x+1）2+（y﹣2）2＝9，
∴圆心坐标为（﹣1，2），半径为3．
故选：A．
4．若直线l与平面α有两个公共点，则l与α的位置关系是（　　）
A．l?α B．l∥α C．l与α相交 D．l∈α
解：根据平面的公理1可知，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内，
故若直线l与平面α有两个公共点，则l与α的位置关系是l?α．
故选：A．
5．抛物线y＝4x2的准线方程是（　　）
A．y+1＝0 B．x+1＝0 C．16y+1＝0 D．16x+1＝0
解：整理抛物线方程得x2＝，∴p＝，∵抛物线方程开口向上，
∴准线方程是y＝﹣，
故选：C．
6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1D1与BC1所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
解：连接BD，DC1，
∴B1D1∥BD，
∴BD与BC1所成角即为B1D1与BC1所成角，
则在正方体中，BD＝BC1＝C1D，
则三角形BDC1为正三角形，
则∠DBC1＝60°，即cos∠DBC1＝，
故选：B．
7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线l，交抛物线于点A、B两点，AB的中点为M．若|AB|＝8，则点M的横坐标为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：由抛物线的方程可得焦点坐标为F（1，0），
设点M的坐标为（m，n），A（x1，y1），B（x2，y2），
则由题意，可得|AB|＝x1+x2+p＝x1+x2+2＝8，
所以x1+x2＝6，则m＝，
所以点M的横坐标为3．
故选：B．
8．如图，若PC⊥菱形ABCD所在的平面，那么PA与BD的位置关系是（　　）
A．平行 B．垂直且相交
C．相交但不垂直 D．垂直但不相交
解：∵PC⊥菱形ABCD所在的平面，
∴PC⊥BD，
∵ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵AC∩PC＝C，
∴BD⊥平面PAC，
∵PA?平面PAC，
∴PA⊥BD，
故选：D．
9．与圆x2+y2＝1及圆x2+y2﹣8x+12＝0都外切的圆的圆心在（　　）
A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上 D．一个圆上
解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2＝1的圆心为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+12＝0的圆心为F（4，0），半径为2．
依题意得|PF|＝2+r，|PO|＝1+r，则|PF|﹣|PO|＝（2+r）﹣（1+r）＝1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支．
故选：B．
10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）
A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4
解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，
底面半径为1，高为2，
故该几何体的表面积S＝2×π+（2+π）×2＝3π+4，
故选：D．
11．已知F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为（　　）
A． B． C． D．
解：如图，不妨设F为双曲线C：﹣＝1的右焦点，P为第一象限点．
由双曲线方程可得，a2＝4，b2＝5，则，
则以O为圆心，以3为半径的圆的方程为x2+y2＝9．
联立，解得P（，）．
∴．
故选：B．
12．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，AA1＝4，AB＝2，，E为BC中点，平面α过点E且与平面BDD1垂直，CC1∥α，则α被此直四棱柱截得的截面面积为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．6
解：分别取AB，A1B1，B1C1的中点F，M，N，连接MF，MN，NE，FE，AC．
由四边形ABCD为菱形，知BD⊥AC，
再根据三角形的中位线定理，知EF∥AC，所以BD⊥EF，
又因为EN∥CC1，因此BD⊥EN．
又EF∩EN＝E，EF?平面EFMN，EN?平面EFMN，
故BD⊥平面EFMN，
又BD?平面BDD1，则平面EFMN⊥平面BDD1．
则EFMN为矩形．
由EF＝1，MF＝4，故截面面积为4．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．
13．全称命题“?a∈Z，a有一个正因数”的否定是　?a0∈Z，a0没有正因数　．
解：因为全称命题的否定是特称命题，所以全称命题“?a∈Z，a有一个正因数”的否定是：?a0∈z，a0没有正因数．
故答案为：?a0∈Z，a0没有正因数．
14．方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围为　{k|1＜k＜2且}　．
解：由椭圆的性质，可得，
解得1＜k＜2且k，
故答案为：{k|1＜k＜2且k}．
15．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为　　．
解：由题意可知四棱锥A1﹣BB1D1D的底面是矩形，边长：1和，
四棱锥的高：A1C1＝．
则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为：＝．
故答案为：．
16．双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是E坐支上一点，且|PF1|＝|F1F2|，直线PF2与圆x2+y2＝a2相切，则E的离心率为　　．
解：设直线PF2与圆x2+y2＝a2相切于点M，
则|OM|＝a，OM⊥PF2，
取PF2的中点N，连接NF1，
由于|PF1|＝|F1F2|＝2c，则NF1⊥PF2，|NP|＝|NF2|，
由|NF1|＝2|OM|＝2a，
则|NP|＝2b，
即有|PF2|＝4b，
由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|＝2a，
即4b﹣2c＝2a，即2b＝c+a，
4b2＝（c+a）2，即4（c2﹣a2）＝（c+a）2，
4（c﹣a）＝c+a，即3c＝5a，
则e＝＝．
故答案为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
17．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．E、F分别是B1C1、CC1的中点．求证：A1E、D1C1、DF三线共点．
【解答】证明：连结EF、B1C、A1D，由题可知A1D∥B1C，
∵E、F分别是B1C1、C1C的中点，
∴EF∥B1C，且，
∴EF∥A1D，且，
∴A1DFE为梯形．
则可令A1E∩DF＝P．
由P∈A1E?面A1B1C1D1，P∈DF?面D1DCC1，
∴P∈D1C1＝面A1B1C1D1∩面D1DCC1，
∴A1E、D1C1、DF共点于P．得证．
18．经过点M（2，1）作直线l交双曲线于A、B两点，若（O为坐标原点），求直线l的方程．
解：令A（x1，y1），B（x2，y2），
由，
知M为AB的中点．
令l：y﹣1＝k（x﹣2），即y＝kx+1﹣2k．
将y＝kx+1﹣2k代入双曲线方程中，
得（2﹣k2）x2﹣2k（1﹣2k）x﹣（1﹣2k）2﹣2＝0．（2﹣k2≠0）①
∴，解得k＝4．
当k＝4时，方程①为14x2﹣56x+51＝0．
∵该方程根的判别式△＝562﹣56×51＞0，
∴方程①有实数解．
∴直线l的方程为y＝4x﹣7．
19．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）若MN＝，PA＝BC＝2，求异面直线PA与MN所成的角．
解：（1）证明：取PD的中点为Q，连结QN、QA，
∵N是PC的中点，∴QN∥DC且．
又∵ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．
又∵M是AB的中点，∴QN∥AM且QN＝AM．
∴QAMN为平行四边形．
∴MN∥QA．
∵QA?面PAD，且MN?面PAD，
∴MN∥面PAD．
（2）由（1）可知∠PAQ即为MN与PA所成的角．
∵PA＝BC＝2＝AD．Q为PD的中点．
∴AQ⊥PD．
∴，∴．
即异面直线PA与MN所成的角为．
20．已知抛物线C：y2＝2x，直线l过点E（2，0）且与抛物线C相交于A、B两点，O是坐标原点．
（1）求证：点O在以AB为直径的圆上；
（2）若△OAB的面积为8，求直线l的斜率．
【解答】（1）证明：令l的方程为x＝ty+2，A（x1，y1），B（x2，y2），（1分）
由消去x得y2﹣2ty﹣4＝0，
则y1+y2＝2t，y1y2＝﹣4．
∵＝．
∴．
即点O在以AB为直径的圆上．
（2）解：由题知，|OE|＝2，
∴S△OAB＝S△AOE+S△BOE＝．
＝＝
∴．
∴直线l的斜率为．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，
∴BD⊥PA，BD⊥AC，
∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，
E为CD的中点，∠ABC＝60°，
∴AB⊥AE，PA⊥AE，
∵PA∩AB＝A，∴AE⊥平面PAB，
∵AE?平面PAE，∴平面PAB⊥平面PAE．
解：（Ⅲ）棱PB上是存在中点F，使得CF∥平面PAE．
理由如下：取AB中点G，连结GF，CG，
∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，
∴CG∥AE，FG∥PA，
∵CG∩FG＝G，AE∩PA＝A，
∴平面CFG∥平面PAE，
∵CF?平面CFG，∴CF∥平面PAE．
22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率是，且椭圆经过点（0，1）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l1：x+2y﹣2＝0与圆D：x2+y2﹣6x﹣4y+m＝0相切：
（ⅰ）求圆D的标准方程；
（ⅱ）若直线l2过定点（3，0），与椭圆C交于不同的两点E，F，与圆D交于不同的两点M，N，求|EF|?|MN|的取值范围．
解：（1）Q椭圆经过点（0，1），∴＝1，b2＝1，
∵e＝，
∴e2＝1﹣＝，
解得a2＝4
椭圆C的标准方程为+y2＝1，
（2）（i）由（1）得直线l1的方程为+y＝1，即x+2y﹣2＝0，
又圆D的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝13﹣m，
∴圆心为（3，2），圆的半径r＝＝，
∴圆D的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝5．
（ii）由题可得直线l2的斜率存在，
设l2：y＝k（x﹣3），与椭圆C的两个交点为E（x1，y1）、F（x2，y2），
由消去y得（1+4k2）x2﹣24k2x+36k2﹣4＝0，
由△＞0，得0≤k2＜，x1+x2＝，x1x2＝，
∴|EF|＝?＝?
＝．
又圆D的圆心（3，2）到直线l2：kx﹣y﹣3k＝0的距离d＝＝，
∴圆D截直线l2所得弦长|MN|＝2＝2，
∴|EF|?|MN|＝4××2＝8×，
设t＝1+4k2∈[1，），k2＝，
∴|EF|?|MN|＝8＝2，∵t∈[1，），
∴﹣9（）2+﹣25∈（0，16]，
∴|EF|?|MN|的取值范围（0，8]

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