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第二讲DIERJIANG参数方程
一　曲线的参数方程
课后篇巩固探究
A组
1.与普通方程xy=1表示相同曲线的参数方程的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(t为参数)
B.(t为参数)
C.(t为参数)
D.(t为参数)
答案D
2.圆(θ为参数)的半径等于(　　)
A.2
B.4
C.3
D.
解析圆的普通方程为(x-2)2+(y-2)2=9,故半径等于3.
答案C
3.参数方程(t为参数)表示的曲线是
(　　)
A.双曲线x2-y2=1
B.双曲线x2-y2=1的右支
C.双曲线x2-y2=1,且x≥0,y≥0
D.双曲线x2-y2=1,且x≥,y≥1
解析由已知得x2-y2=1,且x=,y=≥1,故选D.
答案D
4.曲线(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是(　　)
A.
B.
C.1
D.
解析曲线上的点到两坐标轴的距离之和d满足d2=(|sinθ|+|cosθ|)2=1+|sin2θ|≤2,且当θ=时上式取等号,故d的最大值为.
答案D
5.参数方程(t为参数)表示的图形为(　　)
A.直线
B.圆
C.线段(但不包括右端点)
D.椭圆
解析从x=中解得t2=,将其代入y=中,整理得到2x+y-5=0.但由t2=≥0解得0≤x<3.所以其对应的普通方程为2x+y-5=0(0≤x<3),它表示一条线段,但不包括右端点.
答案C
6.若曲线(θ为参数)经过点,则a=　　　　　.?
解析依题意知1+cosθ=,则cosθ=,于是sinθ=±,a=2sinθ=±.
答案±
7.已知圆的方程为x2+y2=2x,则它的参数方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.?
解析x2+y2=2x的标准方程为(x-1)2+y2=1,设x-1=cosθ,y=sinθ,则参数方程为(0≤θ<2π,θ为参数).
答案(0≤θ<2π,θ为参数)
8.指出下列参数方程分别表示什么曲线:
(1);
(2)(t为参数,π≤t≤2π);
(3)(θ为参数,0≤θ<2π).
解(1)由(θ为参数)得x2+y2=9.
又由0<θ<,得0所以其对应的普通方程为x2+y2=9(0这是一段圆弧(圆x2+y2=9位于第一象限的部分).
(2)由(t为参数)得x2+y2=4.
由π≤t≤2π,得-2≤x≤2,-2≤y≤0.
所求圆的普通方程为x2+y2=4(-2≤x≤2,-2≤y≤0).
这是一段半圆弧(圆x2+y2=4位于y轴下方的部分,包括端点).
(3)由参数方程(θ为参数),得(x-3)2+(y-2)2=152,由0≤θ<2π知这是一个圆.
9.已知点P(2,0),点Q是圆上一动点,求线段PQ中点的轨迹的参数方程,并说明轨迹是什么曲线.
解设线段PQ的中点为M(x,y),
由题意知Q(cosθ,sinθ),
则(θ为参数),
即所求轨迹的参数方程为(θ为参数),它是以(1,0)为圆心,以为半径的圆.
10.设点P(x,y)是圆x2+y2=2y上的动点.
(1)求2x+y的取值范围;
(2)若x+y+c≥0恒成立,求实数c的取值范围.
解圆的参数方程可表示为(θ为参数).
(1)因为2x+y=2cosθ+sinθ+1=sin(θ+φ)+1(其中tanφ=2),
所以1-≤2x+y≤1+.
(2)若x+y+c≥0恒成立,即c≥-(cosθ+sinθ+1)对一切θ∈R成立,且-(cosθ+sinθ+1)的最大值是-1,
则c≥-1时,x+y+c≥0恒成立.
B组
1.参数方程(α为参数)的普通方程为
(　　)
A.y2-x2=1
B.x2-y2=1
C.y2-x2=1(|x|≤,y≥0)
D.x2-y2=1(|x|≤,y≥0)
解析x2==1+sinα,y2=2+sinα,所以y2-x2=1.
又x=sin+cossin∈[-],y=≥0,即|x|≤,y≥0.故应选C.
答案C
2点P(x,y)是曲线(0≤θ<2π,θ为参数)上的动点,则的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析曲线是以(-2,0)为圆心,1为半径的圆,即(x+2)2+y2=1.
设=k,则y=kx.当直线y=kx与圆相切时,k取得最小值与最大值.
由=1,解得k2=.
故的取值范围是.
答案B
3.若圆(θ为参数,r>0)的直径为4,则圆心坐标是　　　　　.?
解析可化为
两式平方相加,得(x-r)2+=r2.
∵2r=4,∴r=2,
∴圆心坐标为(2,1).
答案(2,1)
4.已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数),以Ox为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为ρcos=0,则圆C截直线所得的弦长为　　　　　.?
解析圆C:(θ为参数)表示的曲线是以点(,1)为圆心,以3为半径的圆,将直线ρcos=0化为直角坐标方程为x-y=0,圆心(,1)到直线x-y=0的距离d==1,故圆C截直线所得的弦长为2=4.
答案4
5.已知圆C:(θ为参数)与直线x+y+a=0有公共点,则实数a的取值范围为　　　　　.?
解析(方法一)∵
消去θ,得x2+(y+1)2=1.
∴圆C的圆心坐标为(0,-1),半径为1.
∴圆心到直线的距离d=≤1.
解得1-≤a≤1+.
故实数a的取值范围是[1-,1+].
(方法二)将圆C的方程代入直线方程,得cosθ-1+sinθ+a=0,
即a=1-(sinθ+cosθ)=1-sin.
∵-1≤sin≤1,
∴1-≤a≤1+.
故实数a的取值范围是[1-,1+].
答案[1-,1+]
6.已知动点P,Q都在曲线C:(β为参数)上,对应参数分别为β=α与β=2α(0<α<2π),点M为线段PQ的中点.
(1)求点M的轨迹的参数方程;
(2)将点M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断点M的轨迹是否过坐标原点.
解(1)依题意有P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),
因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α).
故点M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).
(2)点M到坐标原点的距离d=(0<α<2π).
当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.
7.在一次军事演习中,一台轰炸机以150
m/s的速度作水平直线飞行,在离地面飞行高度为490
m时向目标投弹(不计阻力,重力加速度g取9.8
m/s2,炸弹的初速度等于飞机的速度).
(1)求炸弹离开飞机后飞行轨迹的参数方程.
(2)试问飞机在离目标的水平距离多远处投弹才能命中目标?
解(1)如图所示,建立平面直角坐标系,设A为投弹点,B为轰炸目标.
已知炸弹运动的水平速度和垂直速度,则可以用时间t作为参数,建立参数方程.
设曲线上任一点的坐标为(x,y),其对应的时刻为t,
则有(t为参数).
又由y≥0,得0≤t≤10,
所以参数方程为(t为参数,且0≤t≤10).
(2)炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程490-4.9t2=0,解得t0=10.
因此,x=150t=1500(m),即飞机在离目标的水平距离1500m处投弹才能命中目标.
8.如图,已知定点A(2,0),点Q是圆O:x2+y2=1上的动点,∠AOQ的平分线交AQ于点M,当Q在圆O上运动时,求点M的轨迹的参数方程.
解设点O到AQ的距离为d,则|AM|·d=|OA|·|OM|·sin∠AOM(∠AOM≠0),|QM|·d=|OQ|·|OM|·sin∠QOM(∠QOM≠0).
又∠AOM=∠QOM,所以.
所以.因为点Q是圆x2+y2=1上的点,则设点Q的坐标为(cosθ,sinθ)(θ为参数,θ≠0),M(x,y),所以(x-2,y-0)=(cosθ-2,sinθ-0),
即x-cosθ,y=sinθ.故点M的轨迹的参数方程为(θ为参数,θ≠0).二　圆锥曲线的参数方程
课后篇巩固探究
A组
1.圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.(1,0)
C.(0,1)
D.
解析曲线的普通方程为y2=4x,这是抛物线,故焦点坐标为(1,0).
答案B
2.双曲线(α为参数)的两个焦点坐标是
(　　)
A.(0,-4),(0,4)
B.(-4,0),(4,0)
C.(0,-),(0,)
D.(-,0),(,0)
解析双曲线的普通方程为=1,因此其焦点在y轴上,c==4,故焦点坐标为(0,-4)和(0,4).
答案A
3.已知椭圆(a>b>0,θ为参数),若θ∈[0,2π),则椭圆上的点(-a,0)对应的θ为(　　)
A.π
B.
C.2π
D.
答案A
4.双曲线=1的参数方程是(　　)
A.(φ为参数)
B.(φ为参数)
C.(φ为参数)
D.(φ为参数)
答案C
5.若抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的参数方程是(　　)
A.(t为参数)
B.(t为参数)
C.(t为参数)
D.(t为参数)
解析由于抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,
故p=4,抛物线的普通方程为y2=8x(x≥0).
根据x≥0,排除A,C;
再根据=8,排除B.故选D.
答案D
6.二次曲线(θ为参数)的左焦点的坐标是　　　　　.?
解析该方程表示焦点在x轴上的椭圆,且a=5,b=3,故c=4,因此左焦点的坐标为(-4,0).
答案(-4,0)
7.若点M(x,y)在椭圆=1上,则点M到直线x+y-4=0的距离的最大值为　　　　　,此时点M的坐标是　　　　　.?
解析椭圆的参数方程为(θ为参数),设点M的坐标为(2cosθ,2sinθ),则点M到直线x+y-4=0的距离d=.当θ+时,dmax=4.此时,点M的坐标为(-3,-1).
答案4　(-3,-1)
8.已知双曲线(θ为参数),则它的两条渐近线所成的锐角的度数是　　　　.?
解析因为所以
②2-①2,得y2-=1,其渐近线方程为y=±x,
故两条渐近线所成的锐角的度数是60°.
答案60°
9.求以椭圆=1的焦点为焦点,以直线(t为参数)为渐近线的双曲线的参数方程.
解椭圆=1的焦点坐标为(,0),(-,0),即为(3,0),(-3,0),
则双曲线的方程可设为=1(a,b>0),
直线(t为参数),即为直线y=2x,
所以=2.
由题意得,c=3,a2+b2=32,所以a=1,b=2.
故双曲线的标准方程为x2-=1.
因为sec2θ-tan2θ=1,
所以双曲线的参数方程为(θ为参数).
10.椭圆=1上一动点P(x,y)与定点A(a,0)(0解设动点P(3cosθ,2sinθ)(θ为参数),则|PA|2=(3cosθ-a)2+4sin2θ=5a2+4.
因为0于是若0则当cosθ=a时,|PA|min==1,得a=(舍去);
若1故满足要求的a值为2.
11.已知A,B是椭圆=1与坐标轴正半轴的两交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
解椭圆的参数方程为(θ为参数).
设点P的坐标为(3cosθ,2sinθ),其中0<θ<.
因为SOAPB=S△APB+S△AOB,其中S△AOB为定值,所以只需S△APB最大即可.又AB为定长,故只需点P到AB所在直线的距离最大即可.直线AB的方程为2x+3y-6=0,点P到直线AB的距离为d=.
所以当θ=时,d取最大值,从而SOAPB取最大值,这时点P的坐标为.
B组
1.曲线C:(φ为参数)的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析由题设得曲线C的普通方程为=1,
所以a2=9,b2=5,c2=4.
因此e=.
答案A
2.当θ取一切实数时,连接A(4sin
θ,6cos
θ)和B(-4cos
θ,6sin
θ)两点的线段的中点的轨迹是(　　)
A.圆
B.椭圆
C.直线
D.线段
解析设线段AB的中点为M(x,y),由中点坐标公式,得x=2sinθ-2cosθ,y=3cosθ+3sinθ,即=sinθ-cosθ,=sinθ+cosθ,两式平方相加,得=2,即所求中点的轨迹是椭圆.
答案B
3.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1:(t为参数)与曲线C2:(θ为参数,a>0)有一个公共点在x轴上,则a=　　　　　.?
解析将曲线C1与C2的方程化为普通方程求解.
∵∴消去参数t,得2x+y-3=0.
又∴消去参数θ,得=1.
在方程2x+y-3=0中,令y=0,得x=.
将代入=1,得=1.
又a>0,∴a=.
答案
4.对任意实数,直线y=x+b与椭圆(0≤θ<2π,θ为参数)恒有公共点,则b的取值范围是　　　　　.?
解析将(2cosθ,4sinθ)代入y=x+b,
得4sinθ=2cosθ+b.
①
∵直线与椭圆恒有公共点,
∴方程①有解.
令f(θ)=4sinθ-2cosθ=2sin(θ-φ).
∴-2≤f(θ)≤2,
即-2≤b≤2.
答案[-2,2]
5.已知圆O1:x2+(y-2)2=1上一点P与双曲线x2-y2=1上一点Q,求P,Q两点间距离的最小值.
解设Q(secθ,tanθ)(θ为参数),
由题意知|O1P|+|PQ|≥|O1Q|.
|O1Q|2=sec2θ+(tanθ-2)2
=(tan2θ+1)+(tan2θ-4tanθ+4)
=2tan2θ-4tanθ+5
=2(tanθ-1)2+3,
当tanθ=1时,|O1Q|2取得最小值为3,
此时有|O1Q|min=,
因为|O1P|=1,
所以|PQ|min=-1.
6.已知椭圆+y2=1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1,B2的连线分别交x轴于P,Q两点,求证:|OP|·|OQ|为定值.
证明设M(2cosφ,sinφ)(φ为参数),B1(0,-1),B2(0,1).
则MB1的方程:y+1=·x,
令y=0,则x=,
即|OP|=.
MB2的方程:y-1=x,
令y=0,则x=.
∴|OQ|=.
∴|OP|·|OQ|==4.
故|OP|·|OQ|=4为定值.
7.如图,动线段PQ的一个端点Q在椭圆x2+=1上运动,另一端点P在x轴上运动,且|PQ|=2,由此条件能否求出线段PQ的中点M的轨迹方程?若能,求出其方程;若不能,说明理由.
解设Q(cosθ,2sinθ),P(t,0),
则PQ的中点坐标为
因为|PQ|=2,所以(t-cosθ)2+4sin2θ=4,
从而(t-cosθ)2=4(1-sin2θ)=4cos2θ,
所以t=cosθ±2cosθ,即t=3cosθ或t=-cosθ.
若t=3cosθ,则由得点M的轨迹方程为+y2=1.若t=-cosθ,则由得点M的轨迹方程为x=0(-1≤y≤1).
故点M的轨迹方程为+y2=1或x=0(-1≤y≤1).
8.如图所示,O是直角坐标系的原点,A,B是抛物线y2=2px(p>0)上异于原点的两个动点,且OA⊥OB于点O,求当点A,B在什么位置时,△AOB的面积最小,最小值是多少?
解根据题意设点A,B的坐标分别为A(2p,2pt1),B(2p,2pt2)(t1≠t2,且t1t2≠0),则|OA|==2p|t1|,|OB|==2p|t2|.
因为OA⊥OB,所以=0,
即2p·2p+2pt1·2pt2=0,所以t1·t2=-1.
△AOB的面积为S△AOB=|OA|·|OB|
=·2p|t1|·2p|t2|
=2p2|t1t2|
=2p2
=2p2≥2p2=4p2,
当且仅当,即t1=1,t2=-1或t1=-1,t2=1时,等号成立.
所以A,B的坐标分别为(2p,2p),(2p,-2p)或(2p,-2p),(2p,2p)时,△AOB的面积最小,最小值为4p2.三　直线的参数方程
课后篇巩固探究
A组
1.已知以t为参数的直线方程为点M0(-1,2)与M(x,y)分别是曲线上的定点和动点,则t的几何意义是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.t=·a(a=(1,0))
B.t=·a(a=(1,0))
C.|t|=||
D.|t|=2
解析由于所给参数方程表示直线参数方程的标准形式,所以t的几何意义是|t|=||.
答案C
2.直线(t为参数)与坐标轴的交点坐标是
(　　)
A.
B.
C.(0,-4),(8,0)
D.,(8,0)
解析令x=0得t=,于是y=,即直线与y轴的交点坐标为;令y=0得t=,于是x=,即直线与x轴的交点坐标为.
答案B
3.若直线的参数方程为(t为参数),则该直线的倾斜角为(　　)
A.60°
B.120°
C.300°
D.150°
解析y-y0=-(x-x0),斜率k=-,倾斜角为120°.
答案B
4.过点(1,1),倾斜角为135°的直线截圆x2+y2=4所得的弦长为(　　)
A.
B.
C.2
D.
解析直线的参数方程为(t为参数),将其代入圆的方程得t2+2=4,解得t1=-,t2=.
所以所求弦长为|t1-t2|=|-|=2.
答案C
5.若(λ为参数)与(t为参数)表示同一条直线,则λ与t的关系是(　　)
A.λ=5t
B.λ=-5t
C.t=5λ
D.t=-5λ
解析由得-3λ=tcosα.
由得4λ=tsinα,消去α的三角函数,
得25λ2=t2,得t=±5λ,借助于直线的斜率,可排除t=-5λ,所以t=5λ.
答案C
6.直线(t为参数)过定点　　　　　.?
解析由得-(y+1)a+(4x-12)=0,该式对于任意的a都成立,则x=3,y=-1,即直线过定点(3,-1).
答案(3,-1)
7.直线l:(t为参数)上的点P(-4,1-)到l与x轴的交点Q的距离是　　　　.?
解析在直线l:中令y=0,得t=-1.故l与x轴的交点为Q(-1-,0).
所以|PQ|=
==2-2.
答案2-2
8.若直线(t为参数)与直线4x+ky=1垂直,则常数k=　　　　　.?
解析由已知可得直线的斜率为-,因此直线4x+ky=1的斜率等于,于是k=-6.
答案-6
9.设直线的参数方程为(t为参数).
(1)求直线的普通方程;
(2)化参数方程为标准形式.
解(1)由y=10-4t,得t=,将其代入x=5+3t,得x=5+3×.
化简得普通方程为4x+3y-50=0.
(2)把方程变形为
令t'=-5t,
则参数方程的标准形式为(t'为参数).
10已知直线l经过点P(-1,2),且方向向量为n=(-1,),圆的方程为ρ=2cos.
(1)求直线l的参数方程;
(2)设直线l与圆相交于M,N两点,求|PM|·|PN|的值.
解(1)∵n=(-1,),∴直线l的倾斜角为.
∴直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数).
(2)∵ρ=2=cosθ-sinθ,
∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ.∴x2+y2-x+y=0.
将直线的参数方程代入得t2+(3+2)t+6+2=0.
∴|t1t2|=6+2,即|PM|·|PN|=6+2.
11求经过点(1,1),倾斜角为120°的直线截椭圆+y2=1所得的弦长.
解由直线经过点(1,1),倾斜角为120°,可得直线的参数方程为(t为参数),
将其代入椭圆的方程,得=1,整理,得13t2+4(4-1)t+4=0.设方程的两实根分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=.
|t1-t2|=.
所以直线被椭圆所截得的弦长为.
B组
1.直线(t为参数)上与点A(2,-3)的距离等于1的点的坐标是(　　)
A.(1,-2)或(3,-4)
B.(2-,-3+)或(2+,-3-)
C.
D.(0,-1)或(4,-5)
解析根据题意可设直线上任意一点的坐标为P(2-t,-3+t),则|PA|=2t2=1,解得t=±.
当t=时,点P的坐标为;
当t=-时,点P的坐标为.故所求的点的坐标为,-3-.
答案C
2.过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为的弦AB,则弦AB的长是(　　)
A.16
B.3
C.
D.
解析抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),又倾斜角为,所以弦AB所在直线的参数方程为(t为参数).将其代入抛物线方程y2=4x,得=4,整理得3t2-8t-16=0.设方程的两个实根分别为t1,t2,则有
所以|t1-t2|=.故弦AB的长为.
答案C
3.对于参数方程(t为参数)和(t为参数),下列结论正确的是(　　)
A.它们表示的是倾斜角为30°的两条平行直线
B.它们表示的是倾斜角为150°的两条重合直线
C.它们表示的是两条垂直且相交于点(1,2)的直线
D.它们表示的是两条不垂直但相交于点(1,2)的直线
解析因为参数方程可化为标准形式所以其倾斜角为150°.
同理,参数方程可化为标准形式所以其倾斜角也为150°.又因为两条直线都过点(1,2),故两条直线重合.
答案B
4.已知直线的参数方程为(t为参数),点P在直线上,且与点M0(-4,0)的距离为,若将该直线的参数方程改写成(t为参数),则在这个方程中点P对应的t值为　　　　　.?
解析由|PM0|=知t=±,代入第一个参数方程,得点P的坐标分别为(-3,1)或(-5,-1),再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t=1或t=-1.
答案±1
5.已知一条直线的参数方程是(t为参数),另一条直线的方程是x-y-4=0,则两条直线的交点到点(7,-5)的距离是　　　　　.?
解析把直线的参数方程(t为参数)代入另一条直线方程x-y-4=0,得7+t--4=0,解得t=8.
故交点到点(7,-5)的距离为|t|=8.
答案8
6.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ2cos
2θ=3.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)求直线l被曲线C截得的弦长.
解(1)由曲线C:ρ2cos2θ=ρ2(cos2θ-sin2θ)=3,
得ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=3,化成直角坐标方程为x2-y2=3.
①
(2)(方法一)把直线的参数方程化为标准参数方程(t'为参数,t'=6t),②
把②代入①得=3,
整理,得t'2-4t'-2=0.
设其两根为t1',t2',则t1'+t2'=4,t1'·t2'=-2.
从而弦长为|t1'-t2'|=
==2.
(方法二)把直线l的参数方程化为普通方程为y=(x-2),代入x2-y2=3,得2x2-12x+15=0.
设l与C交于点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=6,x1·x2=.
所以|AB|=
=2=2.
7.过点P作倾斜角为α的直线与曲线x2+2y2=1交于点M,N,求|PM|·|PN|的最小值及相应的α的值.
解设直线的参数方程为(t为参数),
将其代入x2+2y2=1,
得(1+sin2α)t2+tcosα+=0.
设点M,N对应的参数分别为t1,t2,
则|PM|·|PN|=|t1t2|=.
因为直线与曲线相交,
所以Δ=10cos2α-4×·(1+sin2α)≥0.
得sin2α≤.而当sinα=(0≤α<π),
即α=或α=时,|PM|·|PN|有最小值.
8.已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值为最小时的直线l的参数方程.
解设直线l的倾斜角为α,
则l的参数方程为(t为参数),
由题意知,A(xA,0),B(0,yB).由0=2+tsinα,
得|PA|=|t|=.由0=3+tcosα,得|PB|=|t|=-.
故|PA|·|PB|==-.
∵<α<π,
∴当2α=,即α=时,|PA|·|PB|有最小值,此时直线l的参数方程为(t为参数).四　渐开线与摆线
课后篇巩固探究
A组
1.下列说法正确的是(　　)
①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;
②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;
③圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点.
其中正确的说法有(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.②③
B.②
C.③
D.①③
答案B
2.下列各点中,在圆的摆线(φ为参数)上的是(　　)
A.(π,0)
B.(π,1)
C.(2π,2)
D.(2π,0)
解析依次将点代入验证即可.
答案D
3.当φ=2π时,圆的渐开线(φ为参数)上对应的点是(　　)
A.(6,0)
B.(6,6π)
C.(6,-12π)
D.(-π,12π)
解析当φ=2π时,将其代入圆的渐开线的参数方程,得
即所求的坐标为(6,-12π).
答案C
4.当φ=时,圆的摆线(φ为参数)上对应的点的坐标是　　　　　.?
答案(6π+4,4)
5.如果半径为3的圆的摆线上某点对应的参数φ=,那么该点的坐标为　　　　　.?
解析因为r=3,
所以圆的摆线的参数方程为(φ为参数).
把φ=代入得x=π-,y=3-.
故该点的坐标为.
答案
6.已知一个圆的摆线方程是(φ为参数),求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.
解根据摆线的参数方程可知圆的半径为4,
所以面积是16π,该圆对应的渐开线的参数方程是(φ为参数).
7.已知圆C的参数方程是(α为参数),直线l的普通方程是x-y-6=0.
(1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么位置关系?
(2)写出平移后的圆的渐开线的参数方程.
解(1)圆C平移后的圆心为O(0,0),它到直线x-y-6=0的距离为d==6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的.
(2)由于圆的半径是6,所以可得平移后圆的渐开线的参数方程是(φ为参数).
8当φ=,π时,求出渐开线(φ为参数)上的对应点A,B,并求出A,B两点间的距离.
解将φ=代入
得
所以A.
将φ=π代入
得所以B(-1,π).故A,B两点间的距离为|AB|=.
9.已知圆的半径为r,圆沿x轴正向滚动,开始时圆与x轴相切于原点O,圆上点M从起始处(点O处)沿顺时针已偏转φ角.试求点M的轨迹的参数方程.
解由题意知xM=r·φ-r·cos=r(φ-sinφ),yM=r+r·sin=r(1-cosφ).故点M的轨迹的参数方程为(φ为参数).
B组
1.我们知道图象关于直线y=x对称的两个函数互为反函数,则圆的摆线(φ为参数)关于直线y=x对称的曲线的参数方程为(　　)
A.(φ为参数)
B.(φ为参数)
C.(φ为参数)
D.(φ为参数)
解析图象关于直线y=x对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了x与y的互换.所以要写出摆线关于直线y=x对称的曲线方程,只需把其中的x与y互换.
答案B
2.已知一个圆的参数方程为(θ为参数),则圆的摆线的参数方程中与φ=对应的点A与点B之间的距离为(　　)
A.-1
B.
C.
D.
解析根据圆的参数方程可知,圆的半径为3,则它的摆线的参数方程为(φ为参数),把φ=代入参数方程中可得即A,
所以|AB|=.
答案C
3.如图,ABCD是边长为1的正方形,曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”,其中,…的圆心依次按B,C,D,A循环,则曲线段AEFGH的长是(　　)
A.3π
B.4π
C.5π
D.6π
解析根据渐开线的定义可知,是半径为1的圆周长,长度为是半径为2的圆周长,长度为π;是半径为3的圆周长,长度为是半径为4的圆周长,长度为2π.所以曲线段AEFGH的长是5π.
答案C
4.已知渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点,若把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),则得到的曲线的焦点坐标为　.?
解析根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r=7,其方程为x2+y2=49,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线方程为+y2=49,整理可得=1,这是一个焦点在x轴上的椭圆.c==7.
故焦点坐标为(7,0)和(-7,0).
答案(7,0)和(-7,0)
5.已知一个圆的摆线经过定点(2,0),请写出该圆半径最大时对应的摆线的参数方程以及对应圆的渐开线的参数方程.
解令y=0,可得r(1-cosφ)=0,由于r>0,即得cosφ=1,所以φ=2kπ(k∈Z).将其代入x=r(φ-sinφ),
得x=r(2kπ-sin2kπ)(k∈Z).又因为x=2,所以r(2kπ-sin2kπ)=2,即得r=(k∈Z).又由实际可知r>0,所以r=(k∈N
).易知,当k=1时,r取最大值.故所求圆的摆线的参数方程为(φ为参数);所求圆的渐开线的参数方程为
(φ为参数).
6.设圆的半径为4,圆沿x轴正向滚动,开始时圆与x轴相切于原点O,记圆上动点为M,它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时点M的轨迹方程,画出相应曲线,求此曲线上纵坐标y的最大值.
解依题意可知点M的轨迹是摆线,其参数方程为(φ为参数,且0≤φ≤2π).
其曲线是摆线的第一拱(0≤φ≤2π),如图所示.
易知,当x=4π时,y有最大值8,故该曲线上纵坐标y的最大值为8.

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